专题2.2 证明切线几种常用方法（7种方法3类题型）（方法梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.2 证明切线几种常用方法（7种方法3类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 【知识点1】证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法 1、 连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直” 2、 作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径” 【知识点2】证明切线的类型与方法 类型一、有公共点：连半径，证垂直 【方法1】特殊角计算法证垂直..................................................1 【方法2】平行线性质法证垂直..................................................5 【方法3】等角代换法证垂直...................................................10 【方法4】全等三角形法证垂直.................................................15 类型二、无公共点：做垂直，证半径 【题型5】无公共点：做垂直，证半径（点到直线的距离等于半径）........................21 【方法6】角平分线的性质法证半径....................................................23 【方法7】全等三角形法证半径........................................................28 类型三、拓展延伸 【直通中考】.......................................................................33 【拓展延伸】.......................................................................35 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有公共点：连半径，证垂直（特殊角计算法证垂直） 【例1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，点O在的边上，以O为圆心，为半径的经过点C，交于点D． (1) 求证：与相切； (2)若，求与重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查与圆相关图形的面积，熟练掌握圆切线的判定定理和面积转化思想是解题的关键． （1）连接，根据题意易得到，从而得到，即可得到为的切线； （2）过点作于点，结合（1）可得到，从而得到，根据勾股定理可得，进而得到，利用扇形面积公式得到，即可得到与重叠部分的面积． 解：（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切． （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与重叠部分的面积为． 【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，．以为直径画，交边于点D．弧的长为．求证：是的切线． 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式等知识．连接，根据弧长公式求出，根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理证明即可． 解：证明：如图，连接， ∵以为直径画，交边于点D，． ∴圆的半径. 设， ∵弧的长为．     解得. 即   ∵ ∵， ∴，   即 又∵为直径， ∴是的切线． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的外接圆，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定和性质： （1）连接，根据圆周角定理，得到，等边对等角，推出，即可得证； （2）连接，圆周角定理，得到，证明是等腰三角形，得到，再根据含30度的直角三角形的性质，进行求解即可． 解：（1）证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：连接． 由（1）可得，． ∵为直径， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴， 即的半径为2． 【题型2】有公共点：连半径，证垂直(平行线性质法证垂直) 【例2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识； （1）由等腰三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，则，证出，则可得出结论； （2）由勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 解：（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：设的半径为， 在中，， ， ， ， 即， 解得，， ． 【变式1】（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图：四边形内接于，为的直径，点平分，过点的直线分别交、的延长线于点、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接连接，，由圆的内接四边形的性质可得，根据可得；进一步证明即可得出结论； （2）设与交于点，可证矩形四边形是矩形，是的中位线，然后根据勾股定理求出，从而求出； 解：（1）证明：如图，连接，， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：设与交于点， 由（1）知：， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了圆的切线的判定、圆周角、勾股定理、圆的内接四边形等知识点；根据多个垂线构造矩形转化线段是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，过D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，，利用等腰三角形三线合一得到，证明出是的中位线，得到，进而得到，即可证明出是的切线； （2）如图所示，连接，首先证明出，得到，然后代数求出，设，，表示出，然后在中利用勾股定理求出，得到，进而求解即可． 解：（1）证明：如图所示，连接， ∵是的直径 ∴ ∵ ∴是等腰三角形 ∴，即点D是的中点 ∵点O是的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵ ∴ ∵点D在上，是半径 ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接 ∵是的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴设， ∴ ∴在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的半径是． 【点拨】此题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，三角形中位线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线求解． 【题型3】有公共点：连半径，证垂直（等角代换法证垂直） 【例3】（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证∶是的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】连结，根据圆周角定理可知，根据可知，利用等量代换可得，从而可证，所以可得是的切线； 根据相似三角形对应边成比例可得，所以可知，根据平分可证，根据直径所对的圆周角是直角可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可以求出的长度． 解：（1）证明∶如下图所示，连结， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解∶，， ， ， ， ， ， 如下图所示，连结， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 【点拨】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用圆的性质找角之间的关系． 【变式1】（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）如图，已知是的直径，点C为外的一点，交于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由是的直径，则，再根据直角三角形的性质可得，又，得出，从而求证； （2）由（1）得：，，证明，然后根据相似三角形的性质即可求解； 解：（1）∵是的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故：是的切线 （2）在中： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴的半径为： 故答案为： 【点拨】本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 【分析】（1）由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由切线的判定定理可得结论； （2）由（1）可得是的切线，由切线的性质定理可得，由垂线的性质可得，由等边对等角可得，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，利用等式的性质可得，由对顶角相等可得，进而可得，由等角对等边即可得证． 解：（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）证明：由（1）可得：是的切线， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ． 【点拨】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，切线的判定定理，切线的性质定理，等式的性质，对顶角相等，等角对等边等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【题型4】有公共点：连半径，证垂直（全等三角形法证垂直） 【例4】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的外接圆，，点D是的中点，连接，过点A作的垂线交的延长线于点E，连接，并延长与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）连接，先说明垂直平分得到，再证得到，即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质得到，再根据是的切线可得，进而得到即是等边三角形，进而得到即可解答． 解：（1）证明：连接 ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴垂直平分，即垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图： ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知，是的切线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即的半径为． 【点拨】本题主要考查了圆的切线的证明、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，综合运用所学知识成为解答本题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接． (1) 求证：直线与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)6 【分析】（1）如图，连接，由与相切于点，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，进而结论得证； （2）设的半径为，则，由勾股定理得，，即，可求，则，，由（1）知，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 解：（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）解：设的半径为，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为6． 【点拨】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 【变式2】（2022·四川南充·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心作与相切于D，交于点F，在上取点E，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求点C到的距离． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用等角的余角相等可得，然后利用证明，从而可得即可解答； （2）过点C作，垂足为G，在中，利用勾股定理求出的长，再利用（1）的结论可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而在中，利用勾股定求出的长，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用两角相等的两个三角形相似证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 解：（1）证明：如图：连接， ∵与相切于D， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点C作，垂足为G， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴点C到的距离为． 【点拨】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加适当的辅助线是解题的关键． 【题型5】无公共点：做垂直，证半径（点到直线的距离等于半径） 【例5】（2022九年级上·全国·专题练习）在中，，，，以O为圆心，4为半径的与直线的位置关系如何？请说明理由 【答案】与直线的位置关系是相切，理由见解析 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是利用等积法求得斜边上的高． 首先利用勾股定理求得斜边的长，然后利用等积法求得斜边上的高，然后与半径4比较即可确定答案． 解： 解：与直线的位置关系是相切， 理由：如图，作于点， 中，，，， ， ， ， 的半径为4， 与直线的位置关系是相切． 【变式】（2024·江西吉安·模拟预测）如图，在同心，大的直径交小于、，大的两弦、交于，且，，弦与小切于，过作于．小的半径为． （1）的长为__________； （2）试问弦与小是什么位置关系？请证明你的结论； 【答案】(1) (2)相切，证明见解析 【分析】（1）根据切线的性质得，证明四边形是矩形，即得得解； （1）解：连接， ∵弦与小切于，小的半径为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：； （2）相切．证明：过作于， ∵， ∴， ∴与小相切； 【点拨】本题考查切线的判定与性质，矩形的判定与性质，弦、弧、弦心距和圆周角的关系，垂径定理，勾股定理及锐角三角函数的定义等知识点．掌握圆的基本性质、勾股定理及锐角三角函数的定义是解题的关键． 【题型6】无公共点：做垂直，证半径（角平分线的性质法证半径） 【例6】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1) 求证∶与相切； (2)若正方形的边长为4，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过作于，连接，由正方形的性质结合已知条件可得出，由三角形内角和可得出，进一步即可证明与相切； （2）由（1）易知为等腰直角三角形，为半径，设，由勾股定理可得出，进而可得出，再由勾股定理可得出，由正方形的性质可得出，求出，进而列出等式计算即可． （1）证明∶过作于，连接， 与相切于点， ， 四边形为正方形， ， ， 又为正方形对角线， ， ∴， ， 与相切； （2）解∶由（1）易知为等腰直角三角形，为半径， 设， ∴ ， 在中，， ∴， ， ． ， ， 的半径为. 【点拨】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 【变式1】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． （1）求证：是的切线； （2）延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了判定直线是圆的切线的判定、切线的性质定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可证明结论； （2）根据等腰直角三角形的性质求出的长，勾股定理求出，如图：连接，过点O作于点H，根据等面积法可得，勾股定理求出，最后根据等腰三角形的性质求解即可． （1）证明：连接，过点O作于点P， ∵与相切于点D， ∴， ∵是等腰直角三角形，，O为的中点， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， 如图：连接，过点O作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式2】（2024·广西梧州·二模）如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点D (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识： （1）过点作垂足为点，根据角平分线性质定理可得从而可知为的切线（作垂直证相等）； （2）根据勾股定理得设的半径为，得由切线长定理得在中由勾股定理求得再证明列出比例式即可求出． 解：（1）证明：过点作垂足为点，如图， ∴ 由作图知，是的切线，且 ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴是的切线； （2）解：在中， ∵ ∴ ∵是的切线，是的切线， ∴ ∴ 设的半径为，则 ∴ 在中， ∴， 解得， 在中， ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 【题型7】无公共点：做垂直，证半径（全等三角形法证半径） 【例7】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． 求证：为的切线； 【分析】本题主要考查切线的判定和性质，切线长定理，全等与相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 过点O作于点E，根据题意证明，再证明，根据切线的判定定理即可得到结论； 证明：过点O作于点E， 于点D， ， ， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，是半径， 是的切线； 【变式1】（2024·广西南宁·二模）如图，是的直径，和分别是的切线，平分，且与交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，由切线的性质得出，于是有，根据角平分线的定义得出，于是利用证得和全等，得出，于是问题得证； （2）过点作于点，根据切线长定理得出，再证四边形是矩形，得出，在中求出的度数、的长，即可求出的长，的度数，于是得出为等边三角形，问题即可得解． （1）证明：如图1，过点作于点， ， 是的切线，是的直径， ， ， 平分， ， 在和中， ， ∴， ， 又∵为半径，， ∴是的切线； （2）解：如图2，过点作于点， 由（1）知是的切线， ∵和分别是的切线， ， ， ， ， ， ， 都是的切线， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得，， ， ， 平分， ， ， ， ∴是等边三角形， ． 【点拨】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，角平分线的定义，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，需熟练掌握． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点O为的角平分线上一点，于D，以O为圆心．为半径作，求证：与相切． 【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，过点作于，则有和，即可证明，有，则点E在上，即可证明． 解：证明：过点作于，如图， 平分， ， 又，， ， 在与中， ， ， ， 点E在上， 又， 与相切． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）连接OD，可推出∠BDC＝90°，进而得出DE＝BE，然后证明△DOE≌△BOE，求出∠ODE＝∠ABC＝90°即可得出结论； （2 ）可推出∠C＝∠ABD，解直角△ABC求得AC，进而根据三角形中位线定理求得OE． 解：（1）证明：如图，连接OD， ∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线， ∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°， ∵E是BC的中点， ∴DE＝BE＝EC＝， 在△DOE和△BOE中，， ∴△DOE≌△BOE（SSS）， ∴∠ODE＝∠ABC＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBD＝90°， 由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE， ∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10， ∴∠C＝∠ABD， 在Rt△ABC中，AC＝＝， ∵OA＝OB，BE＝CE， ∴OE＝． 【点拨】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是灵活运用有关基础知识． 【例2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 解：（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又， 在中，， ， 解得： 2、拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的内接三角形，是的直径，D是的中点，交的延长线于点E． （1）求证：直线与相切； （2）若的直径是10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）如图：连接，先利用垂径定理得到，再根据平行线的性质得到，然后根据切线的判定方法即可证明结论； （2）先根据圆周角定理得到，则，再根据平行线的性质得到，则可判断为等腰直角三角形，于是可求出，然后计算即可． （1）证明：如答图，连接， ∵D是的中点， ∴． ∵， ∴． 又∵是的半径， ∴直线与相切． （2）解：∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【例2】（2023·云南楚雄·模拟预测）如图，已知直线交于A、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为．   （1）求证：为的切线； （2）若，，求的直径的长． 【答案】(1)见解析； (2)， 【分析】（1）如图：连接，根据推出，根据角平分线得出，推出，得出，根据切线的判定定理即可解答； （2）如图：过作于，得出矩形，推出，，求出的长，利用勾股定理求出的长，设圆的半径为，则，再根据勾股定理列方程，求出的值即可求出的半径，从而求出的直径的． （1）证明：如图：连接．   ， ． 平分， ， ， ． ， ，即 ，点在上， 是的切线． （2）解：过作于即， ， 四边形是矩形， ，． ，， ， 设圆的半径为，则， 在中，，根据勾股定理得：． ，解得：， 的半径是， 的直径的． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂径定理、切线的判定、平行线的性质和判定等知识点，灵活运用相关知识以及方程思想成为解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 证明切线几种常用方法（7种方法3类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 【知识点1】证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法 1、 连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直” 2、 作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径” 【知识点2】证明切线的类型与方法 类型一、有公共点：连半径，证垂直 【方法1】特殊角计算法证垂直...............................................1 【方法2】平行线性质法证垂直...............................................2 【方法3】等角代换法证垂直.................................................3 【方法4】全等三角形法证垂直...............................................4 类型二、无公共点：做垂直，证半径 【题型5】无公共点：做垂直，证半径（点到直线的距离等于半径）...............5 【方法6】角平分线的性质法证半径...........................................6 【方法7】全等三角形法证半径...............................................6 类型三、拓展延伸 【直通中考】..............................................................7 【拓展延伸】..............................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有公共点：连半径，证垂直（特殊角计算法证垂直） 【例1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，点O在的边上，以O为圆心，为半径的经过点C，交于点D． (1) 求证：与相切； (2)若，求与重叠部分的面积． 【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，．以为直径画，交边于点D．弧的长为．求证：是的切线． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的外接圆，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【题型2】有公共点：连半径，证垂直(平行线性质法证垂直) 【例2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图：四边形内接于，为的直径，点平分，过点的直线分别交、的延长线于点、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，过D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【题型3】有公共点：连半径，证垂直（等角代换法证垂直） 【例3】（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证∶是的切线； (2)当，时，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）如图，已知是的直径，点C为外的一点，交于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若求的半径． 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 【题型4】有公共点：连半径，证垂直（全等三角形法证垂直） 【例4】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的外接圆，，点D是的中点，连接，过点A作的垂线交的延长线于点E，连接，并延长与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的半径． 【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接． (1) 求证：直线与相切； (2)若，求的长． 【变式2】（2022·四川南充·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心作与相切于D，交于点F，在上取点E，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求点C到的距离． 【题型5】无公共点：做垂直，证半径（点到直线的距离等于半径） 【例5】（2022九年级上·全国·专题练习）在中，，，，以O为圆心，4为半径的与直线的位置关系如何？请说明理由 【变式】（2024·江西吉安·模拟预测）如图，在同心，大的直径交小于、，大的两弦、交于，且，，弦与小切于，过作于．小的半径为． （1）的长为__________； （2）试问弦与小是什么位置关系？请证明你的结论； 【题型6】无公共点：做垂直，证半径（角平分线的性质法证半径） 【例6】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1) 求证∶与相切； (2)若正方形的边长为4，求的半径． 【变式1】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． （1）求证：是的切线； （2）延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 【变式2】（2024·广西梧州·二模）如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点D (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【题型7】无公共点：做垂直，证半径（全等三角形法证半径） 【例7】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． 求证：为的切线； 【变式1】（2024·广西南宁·二模）如图，是的直径，和分别是的切线，平分，且与交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点O为的角平分线上一点，于D，以O为圆心．为半径作，求证：与相切． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长． 【例2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 2、拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的内接三角形，是的直径，D是的中点，交的延长线于点E． （1）求证：直线与相切； （2）若的直径是10，，求的长． 【例2】（2023·云南楚雄·模拟预测）如图，已知直线交于A、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为．   （1）求证：为的切线； （2）若，，求的直径的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$