第2章 一元二次方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙教版）

第2章 一元二次方程（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：121分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1．（2024春•西湖区期中）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 2．（2024秋•临海市期中）把方程x2＝3（x﹣2）化成一般式x2+bx+c＝0，则正确的是（　　） A．b＝3，c＝6 B．b＝﹣3，c＝6 C．b＝3，c＝﹣6 D．b＝﹣3，c＝﹣6 3．（2024秋•萧山区月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为，且b+2c＝0，则方程cx2+bx+a＝0一定有一个根为（　　） A．﹣2022 B．﹣2023 C．﹣2024 D．﹣2025 4．（2024春•义乌市月考）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），那么方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝0， C．x1＝﹣3，x2＝3 D．无法求解 5．（2024春•西湖区校级月考）珍珍将方程x2﹣4x﹣2＝0化为（x+p）2＝q的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（　　） A．正确 B．不正确，p的值应为﹣2 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 6．（2024•富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x B．x＝1 C．x或x＝1 D．x或x＝1 7．（2024春•湖州期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 8．（2024秋•鄞州区月考）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣c＝0有实数根，则c可取的最小整数是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 9．（2024春•婺城区校级期中）对于任意4个实数 a，b，c，d定义一种新的运算ad﹣bc，例如：4×6﹣2×1＝22，则关于x的方程0的根的情况为（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 10．（2024•苍南县校级自主招生）设k为非负实数，且方程x2﹣2kx+4＝0的两实数根为a，b，则（a﹣1）2+（b﹣1）2的最小值为（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．4 D．2 11．（2023春•临平区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 12．（2024•宁波模拟）对于实数a，b，定义一种运算“⊕”为：a⊕b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，则实数m的取值范围为 　 　． 13．（2023春•龙湾区期中）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　 　． 14．（2024春•上城区校级期中）已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程x2﹣11x+18＝0的一个根，则这个三角形的周长是 　 　． 15．（2024春•义乌市校级月考）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是 　 　s． 16．（2024春•平湖市期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 　 　． 17．（2024春•柯桥区期中）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：m⊗n，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为 　 　． 18．（2024春•义乌市期末）将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣9≥﹣9，∴当x＝2时，多项式x2﹣4x﹣5有最小值﹣9．已知a，b为实数，多项式（x+3）（3x+a）展开后x的一次项系数为m，多项式（3x+2）（x+b）展开后x的一次项系数为n，且m，n均为正整数．则当m+n＝17时，ab的最大值为 　 　． 三、解答题（本大题共6小题，共60分） 19．（8分）（2023秋•铁山区期中）解下列方程： （1）（x﹣1）（x+3）＝x﹣1； （2）2x2﹣6x＝﹣3． 20．（8分）（2024•海曙区校级开学）解方程： （1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）（x+4）2＝5（x+4）． 21．（10分）（2024春•萧山区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围． 22．（10分）（2024春•金华期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 23．（12分）（2023春•东阳市期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12.所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 　 　； （2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝　 　； 探究问题： （3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y＝　 　； （4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （5）已知实数x、y满足﹣x2x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值． 24．（12分）（2024春•萧山区校级期中） 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为a cm（a＜50cm）长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的为 　 　． 目标2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求储物盒的容积． 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次方程（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：121分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 选择题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A B B C A C C C C 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1．（2024春•西湖区期中）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【分析】方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，据此可得m+1+2m﹣4＝0，求得m的值，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 2．（2024秋•临海市期中）把方程x2＝3（x﹣2）化成一般式x2+bx+c＝0，则正确的是（　　） A．b＝3，c＝6 B．b＝﹣3，c＝6 C．b＝3，c＝﹣6 D．b＝﹣3，c＝﹣6 【分析】将原方程转化为一般形式，进而可找出b，c的值． 【解答】解：∵将原方程转化成一般式为x2﹣3x+6＝0， ∴b＝﹣3，c＝6． 故选：B． 3．（2024秋•萧山区月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为，且b+2c＝0，则方程cx2+bx+a＝0一定有一个根为（　　） A．﹣2022 B．﹣2023 C．﹣2024 D．﹣2025 【分析】先根据一元二次方程根的定义，把代入一元二次方程ax2+bx+c＝0，再根据b+2c＝0，把b用c表示出来，从而把a用c表示出来，最后方程cx2+bx+a＝0中的a，b换成c，然后把方程左边分解因式，求出方程的解即可． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为， ∴， ， ∴， ∵b+2c＝0， ∴b＝﹣2c， ∴， ， ， a＝﹣2022×2024c， ∴方程cx2+bx+a＝0可化为：cx2﹣2cx﹣2022×2024c＝0， c（x2﹣2x﹣2022×2024）＝0， c（x﹣2024）（x+2022）＝0， 若c＝0，则x取任意实数； 若c≠0，方程cx2+bx+a＝0的两个根为：x1＝2024，x2＝﹣2022， 故选：A． 4．（2024春•义乌市月考）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），那么方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝0， C．x1＝﹣3，x2＝3 D．无法求解 【分析】已知方程a（x+m）2+b＝0的解，对比所求方程a（2x+m+1）2+b＝0，两者在结构上是一致的，因此只需要把2x+1看作一个整体对应已知方程的解，即可求解． 【解答】解：∵x1＝﹣2，x2＝1，是方程a（x+m）2+b＝0的解， ∴令2x+1＝x1，2x+1＝x2，满足方程a（x+m）2+b＝0，即a（2x+1+m）2+b＝0． ∴，， ∴方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是：，x′2＝0． 故选：B． 5．（2024春•西湖区校级月考）珍珍将方程x2﹣4x﹣2＝0化为（x+p）2＝q的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（　　） A．正确 B．不正确，p的值应为﹣2 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 【分析】把常数项﹣2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方． 【解答】解：x2﹣4x＝2， x2﹣4x+4＝2+4， （x﹣2）2＝6， ∴p＝﹣2，q＝6， 故选：B． 6．（2024•富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x B．x＝1 C．x或x＝1 D．x或x＝1 【分析】分析题意，按新定义的运算对方程变形可得3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1；对以上方程整理，先化为一般形式，再因式分解，可得（5x+4）（x﹣1）＝0；接下来用一元一次方程的解法求出方程的两个解即可． 【解答】解：∵a※b＝3（a+b）﹣5ab， ∴方程x※（x+1）＝﹣1变形为3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1， ∴5x2﹣x﹣4＝0， ∴（5x+4）（x﹣1）＝0， ∴5x+4＝0，x﹣1＝0， ∴x或x＝1． 故选：C． 7．（2024春•湖州期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【分析】判断出a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，可得结论． 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 8．（2024秋•鄞州区月考）关于x的一元二次方程x2﹣x﹣c＝0有实数根，则c可取的最小整数是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣c）≥0，然后解不等式，从而可确定c的最小整数值． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣c）≥0， 解得c， 所以c的最小整数值是0． 故选：C． 9．（2024春•婺城区校级期中）对于任意4个实数 a，b，c，d定义一种新的运算ad﹣bc，例如：4×6﹣2×1＝22，则关于x的方程0的根的情况为（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【分析】先根据新定义得到x•（x﹣k）﹣2×4＝0，再把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：根据题意得x•（x﹣k）﹣2×4＝0， 整理得x2﹣kx﹣8＝0， ∵Δ＝（k）2﹣4×1×（﹣8）＝k2+32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 10．（2024•苍南县校级自主招生）设k为非负实数，且方程x2﹣2kx+4＝0的两实数根为a，b，则（a﹣1）2+（b﹣1）2的最小值为（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．4 D．2 【分析】由根的判别式结合k为非负数得到k≥2，由一元二次方程根与系数的关系得到a+b＝2k，ab＝4，将（a﹣1）2+（b﹣1）2展开变形得到（a+b﹣1）2﹣2ab+1，代入后得到（2k﹣1）2﹣7，根据二次函数的性质即可解答． 【解答】解：由题意可知，此方程有两个非负实数根， ∴Δ＝（2k）2﹣4×1×4≥0，解得k≤﹣2或k≥2， ∵k为非负实数， ∴k≥2． ∵方程x2﹣2kx+4＝0的两实数根为a，b， ∴a+b＝2k，ab＝4， ∴（a﹣1）2+（b﹣1）2 ＝a2﹣2a+1+b2﹣2b+1 ＝（a+b）2﹣2ab﹣2（a+b）+2 ＝（a+b﹣1）2﹣2ab+1 ＝（2k﹣1）2﹣2×4+1 ＝（2k﹣1）2﹣7， ∵当时，（2k﹣1）2﹣7随k的增大而增大， 又k≥2， ∴当k＝2时，（2k﹣1）2﹣7有最小值，为（2×2﹣1）2﹣7＝2， ∴（a﹣1）2+（b﹣1）2的最小值为2． 故选：D． 11．（2023春•临平区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合， ③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴，x2＝﹣q， ∴， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程ax2+bx+c＝0的根为：，， 若x1＝2x2，则， 即， ∴， ∴， ∴， ∴9（b2﹣4ac）＝b2， ∴2b2＝9ac． 若2x1＝x2时，则， 则， ∴， ∴， ∴， ∴b2＝9（b2﹣4ac）， ∴2b2＝9ac． 故④正确， ∴正确的有：②③④共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 12．（2024•宁波模拟）对于实数a，b，定义一种运算“⊕”为：a⊕b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，则实数m的取值范围为 　m＜0　． 【分析】根据定义的新运算可得：（x+1）2﹣6m＝0，从而可得（x+1）2＝6m，然后利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答． 【解答】解：∵（x+1）⊕（3m）＝0， ∴（x+1）2﹣6m＝0， ∴（x+1）2＝6m， ∵方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根， ∴6m＜0， ∴m＜0， 故答案为：m＜0． 13．（2023春•龙湾区期中）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　1m　． 【分析】由题意：剩余绿地的面积为224m2，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224， 整理得：x2﹣24x+23＝0， 解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去）， 即图中x的值为1m， 故答案为：1m． 14．（2024春•上城区校级期中）已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程x2﹣11x+18＝0的一个根，则这个三角形的周长是 　20　． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定符合题意的x的值，然后计算其周长即可． 【解答】解：x2﹣11x+18＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x﹣9）＝0， 解得：x1＝2，x2＝9， ∵2+4＜7， ∴x＝2应舍去， 只取x＝9， 那么这个三角形的周长为7+4+9＝20， 故答案为：20． 15．（2024春•义乌市校级月考）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是 　3　s． 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【解答】解：设动点P，Q运动t（t≤3）秒时，能使△PBQ的面积为， 则BP的长为，BQ的长为tcm． 可列方程为， 解得t1＝3，t2＝5（舍去）， ∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为． 故答案为：3． 16．（2024春•平湖市期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 　36　． 【分析】设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为x﹣3，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 【解答】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为x﹣3， 由题意得，10（x﹣3）+x＝x2， 解得：x1＝5，x2＝6， ∴他去世时年龄为25或36， 又∵他去世时的年龄大于30， ∴他去世时的年龄为36 故答案为：36． 17．（2024春•柯桥区期中）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：m⊗n，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为 　3　． 【分析】根据新定义分两种情况分别计算：当x≥﹣2时，x2+x﹣2＝10；当x＜﹣2时，（﹣2）2+x﹣2＝10；分别求解即可． 【解答】解：若x⊗（﹣2）＝10， 则当x≥﹣2时，x2+x﹣2＝10， 整理得x2+x﹣12＝0， 解得x＝﹣4（舍去）或x＝3， 当x＜﹣2时，（﹣2）2+x﹣2＝10， 解得x＝8（舍去）， 综上，实数x的值为3， 故答案为：3． 18．（2024春•义乌市期末）将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣9≥﹣9，∴当x＝2时，多项式x2﹣4x﹣5有最小值﹣9．已知a，b为实数，多项式（x+3）（3x+a）展开后x的一次项系数为m，多项式（3x+2）（x+b）展开后x的一次项系数为n，且m，n均为正整数．则当m+n＝17时，ab的最大值为 　3　． 【分析】先根据题意出a与b的关系，再变式代入，配方求解． 【解答】解：由题意得：m＝9+a，n＝3b+2， ∴m+n＝a+3b+11＝17， ∴a+3b＝6， ∴a＝6﹣3b， ∴ab＝（6﹣3b）b＝﹣3b2+6b＝﹣3（b﹣1）2+3≤3， ∴ab的最大值为3， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共6小题，共60分） 19．（8分）（2023秋•铁山区期中）解下列方程： （1）（x﹣1）（x+3）＝x﹣1； （2）2x2﹣6x＝﹣3． 【分析】（1）先移项得到（x﹣1）（x+3）﹣（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解． 【解答】解：（1）（x﹣1）（x+3）＝x﹣1， （x﹣1）（x+3）﹣（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x+3﹣1）＝0， x﹣1＝0或x+3﹣1＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣2； （2）2x2﹣6x＝﹣3， 2x2﹣6x+3＝0， Δ＝（﹣6）2﹣4×2×3＝12＞0， x， 所以x1，x2． 20．（8分）（2024•海曙区校级开学）解方程： （1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）（x+4）2＝5（x+4）． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0． （x﹣4）（x+2）＝0， （x﹣4）＝0，（x+2）＝0， ∴x1＝4，x2＝﹣2； （2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0， （x+4）（x+4﹣5）＝0， ∴x+4＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝1． 21．（10分）（2024春•萧山区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）来解答． （2）用求根公式表示出两个根，再根据两个根都是负根来解答． 【解答】解：（1）b2﹣4ac ＝（k+3）2﹣4×1×（2k+2） ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2， ∵不论k为何值，（k﹣1）2≥0， ∴方程有两个实数根． （2）x， x12， x2k﹣1， ∵方程的两个根都是负根， ∴﹣k﹣1＜0， ∴k＞﹣1． 22．（10分）（2024春•金华期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x）件；三月份的销售量为：256（1+x）（1+x）件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量×每件商品的利润＝4250求出即可． 【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256（1+x）2＝400， 解得：x1，x2（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%； （2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得： （40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250， 解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 23．（12分）（2023春•东阳市期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12.所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 　10＝12+32　； （2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝　﹣2　； 探究问题： （3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y＝　﹣2　； （4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （5）已知实数x、y满足﹣x2x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值． 【分析】解决问题： （1）把10拆成两个两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出mn的值； 探究问题： （3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出x+y的值； （4）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； 拓展结论： （5）等式表示出y，代入x﹣2y中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【解答】解：解决问题： （1）根据题意得：10＝12+32； 故答案为：10＝12+32； （2）根据题意得：x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1 m＝2，n＝﹣1； mn＝﹣2； 探究问题： （3）已知等式变形得：（x2﹣2x+1）+（y2+6y+9）＝0， 即（x﹣1）2+（y+3）2＝0， ∵（x﹣1）2≥0，（y+3）2≥0， ∴x﹣1＝0，y+3＝0， 得：x＝1，y＝﹣3 则x+y＝1﹣3＝﹣2 故答案为：﹣2； （4）当k＝8，S为“完美数”，理由如下： S＝x2+9y2+4x﹣12y+8， ＝（x2+4x+4）+（9y2﹣12y+4）， ＝（x+2）2+（3y﹣2）2， ∵x，y是整数， ∴x+2，3y﹣2也是整数， ∴S是一个“完美数”； 拓展结论： （5）∵﹣x2x+y﹣2＝0， ∴﹣y＝﹣x2x﹣2，即﹣3y＝﹣3x2+7x﹣6， 5x﹣3y＝5x﹣3x2+7x﹣6， ＝﹣3（x﹣2）2+6， 当x＝2时，5x﹣3y最大，最大值为：6． 24．（12分）（2024春•萧山区校级期中） 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为a cm（a＜50cm）长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的为 　40　． 目标2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求储物盒的容积． 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【分析】（1）由制作过程知小正方形的边长为5（cm），a＝40（cm），设小正方形的边长为x cm，列出方程可求解； （2）设小长方形的宽为x cm，（x＜20），长为y cm，列出方程组可求解． 【解答】（1）解：储物区域的长为40cm，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则图1中的四角裁去小正方形的边长为（50﹣40）÷2＝5（cm）， 则a＝收纳盒的宽+2×小正方形的边长＝30+2×5＝40（cm）， 由图2知，设小正方形的边长为x cm， 由题意可得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝936， 解得：x＝7， 体积为v＝936×7＝6552（cm3）， 答：储物盒的容积为6552立方厘米； （2）设小长方形的宽为x cm，（x＜20），长为y cm， 由题意可得：， 解得： ∴小长方形的宽为11cm 当EH，HG之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为11＜18， ∴玩具机械狗也不能完全放入该储物； 综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物． 答：玩具机械狗不能完全放入该储物． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$