压轴题03 锐角三角函数应用的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版）

压轴题03 锐角三角函数应用的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、在四边形中应用 3 类型二、在圆中的应用 10 类型三、在生活中的应用 20 类型四、在函数中的应用 25 压轴能力测评（5题） 35 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 五、坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 六、方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 七、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 八、解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 类型一、在四边形中应用 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，菱形中，，点E、F分别是边上的动点，点E与点A，B不重合，且，作，交边于点G，连接，将四边形沿直线翻折得到四边形． (1)当E是AB的中点时，求四边形面积； (2)设，四边形面积为S，求S关于x的函数关系式． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接、．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接、，则______． 【拓展提升】 （3）如图3，和都是直角三角形，， ，连接、． ①求的值； ②延长交于点，交于点，求的度数． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，正方形，连接，点E在边上，点F在边上，连接，过点B作于点G，分别交线段于点M，点N，且． 各学习小组在探究过程中依次提出了以下问题，请你写出解答过程： (1)“智慧小组”提出问题： 三条线段的长度间存在某种等量关系，请你直接写出这种关系； (2)“善思小组”提出问题： 求证：； (3)“创新小组”在探究中受到启发，提出问题：如图②，若，求的值． 类型二、在圆中的应用 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若8，，求FC的长 2．（22-23九年级下·黑龙江绥化·期末）如图，是的直径，切于点B，的延长线交直线于点A，点F在上，．      (1)求的度数； (2)求的长． 3．（22-23九年级上·湖北随州·期末）如图，内接于⊙，是⊙的直径，切⊙于点B，E为上一点，且，延长交于点D． (1)求证：； (2)若⊙的半径为5，，求的长． 4．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为E，连接，过点B作的切线，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若点是的中点，且，求线段的长； 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知等腰中，，是的外接圆，点为上一点，连接、、．若点、在同侧，满足，则称为“阶等腰三角形”，点为的“阶点”．例如：如图①，若，点在延长钱上，满足，则称为“1阶等腰三角形”，点D为的“1阶点”． (1)如图2，若，试说明为“1阶等腰三角形”； (2)若为“阶等腰三角形”，试判断的形状，并说明理由 (3)若，为“阶等腰三角形”，直接写出与之间的关系． 类型三、在生活中的应用 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）图是某种多功能儿童车，根据需要可变形为图的滑板车或图的三轮车示意图．已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． (1)如图，当支撑点在水平线上时，直接写出的长； (2)如图，当与保持平行时，求前后两轴心的长度． （参考数据：，，） 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）综合与实践：习近平总书记指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和，某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪在两侧，，点C与点E相距（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度（参考数据：，结果精确到整数位）． 类型四、在函数中的应用 1．（23-24九年级上·浙江·期末）如图1，反比例函数 的图象经过点，射线与反比例函数的图象交于另一点，射线与y轴交于点C，，轴于点D． (1)填空： ①k的值为__________． ②_________；直线的函数解析式为__________． (2)如图2，M是线段上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线轴，与交于点N，连接．求面积的最大值． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与关于轴对称，与轴交于点，与轴交于点和． (1)的解析式 ，试猜想出与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式为 ． (2)，的中点是点，则＝ ． (3)如果过点的一条直线与图象相交于另一点，，满足，，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，二次函数与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C．点为二次函数在第四象限图像上一点，线段与交于Q，且．    (1)若，在点P运动过程中是否存在的情形？若存在请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由； (2)请继续探究，k的最大值是多少？并求出k取最大值时m和a之间的数量关系． 1．（24-25九年级上·四川达州·期末）（1）计算：．   （2）如图，某校数学兴趣小组的同学测量校园内一棵树的高度，他们在这棵树的正前方一旗台的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为，已知A点的高度米，台阶的坡度为，且B、C、E三点在同一直线上，求树高（测角器的高度忽略不计）． 2．（22-23九年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如果点的坐标为，连接、，求的正切值； (3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 3．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，交y轴于点C．    (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标． (2)如图1，过点A做轴于D点，y轴上是否存在点E，使得与相似，若存在，求的长． (3)设P是反比例函数图象在第一象限上一点，Q是平面内一点，若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形是矩形时，求Q点坐标． 4．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，将射线绕点A逆时针旋转，交延长线于点G，以线段为邻边作矩形． (1)如图1，连接，求的度数和的值； (2)如图2，当点F在射线上时，求线段的长； (3)如图3，当时，在平面内有一动点P，满足，连接，求的最小值． 5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是半圆的直径，，点在线段之间，，与半圆弧交于点，以为边，向右作正方形，连结、． (1)当时，的大小为_________． (2)当点落在半圆弧上时，_________． (3)当时，求正方形与半圆形的公共部分的面积．（结果保留） (4)当线段把正方形分成的两部分图形的面积之比为时，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题03 锐角三角函数应用的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、在四边形中应用 3 类型二、在圆中的应用 10 类型三、在生活中的应用 20 类型四、在函数中的应用 25 压轴能力测评（5题） 35 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 五、坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 六、方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 七、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 八、解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 类型一、在四边形中应用 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，菱形中，，点E、F分别是边上的动点，点E与点A，B不重合，且，作，交边于点G，连接，将四边形沿直线翻折得到四边形． (1)当E是AB的中点时，求四边形面积； (2)设，四边形面积为S，求S关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过作于，延长交于点P，作于，记与的交点为，证明三角形是等边三角形，则，可求，由，可得，，由翻折的性质可知，，，则，，可得，四边形是矩形，则，，，则，，由E是的中点，可得，，，，根据，计算求解即可； （2）由，可得，同理（1）可知，，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，延长交于点P，作于，记与的交点为， ∵，， ∴三角形是等边三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴，，，， ∴， ∴四边形面积为； （2）解：∵， ∴， 同理（1）可知，，，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，余弦等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，余弦是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接、．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接、，则______． 【拓展提升】 （3）如图3，和都是直角三角形，， ，连接、． ①求的值； ②延长交于点，交于点，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）①，② 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）证明，进而得出结果； （3）①利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到，再证明，进而得出结果；②由，得出，进而得出． 【详解】证明：（1）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①∵，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 同理， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，锐角三角函数的应用等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，正方形，连接，点E在边上，点F在边上，连接，过点B作于点G，分别交线段于点M，点N，且． 各学习小组在探究过程中依次提出了以下问题，请你写出解答过程： (1)“智慧小组”提出问题： 三条线段的长度间存在某种等量关系，请你直接写出这种关系； (2)“善思小组”提出问题： 求证：； (3)“创新小组”在探究中受到启发，提出问题：如图②，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据两组对角相等，证明，可得； （2）作于点H，根据正方形的性质证明是等腰直角三角形，推出；再证，推出，，可证； （3）过点M作且，连接，设，，，结合（1）中结论推出，，进而可得，再证，根据得出，等量代换得出，代入计算求出即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， 又四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，作于点H， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ； ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，即， ； （3）解：如图，过点M作且，连接， ， 设，， 由（1）知，， 设， ， ， ， ； 四边形是正方形，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即， 化简得：， 解得（负值舍去）， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，求角的正切值，等腰直角三角形的判定和性质，正确添加辅助线，熟练进行等量代换是解题的关键． 类型二、在圆中的应用 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若8，，求FC的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到根据切线的判定定理得到为的切线； （2）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：过点作于点， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（22-23九年级下·黑龙江绥化·期末）如图，是的直径，切于点B，的延长线交直线于点A，点F在上，．      (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）如图1，连接，由切于点B，可得，由是的直径，，可得，，由，可得，则，由圆周角定理得，计算求解即可； （2）如图2，连接，由是的直径，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，    ∵切于点B， ∴， ∵是的直径，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； （2）解：如图2，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，正弦，余弦，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．（22-23九年级上·湖北随州·期末）如图，内接于⊙，是⊙的直径，切⊙于点B，E为上一点，且，延长交于点D． (1)求证：； (2)若⊙的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角和切线的性质得到，则，再由等边对等角，对顶角相等证明，推出，即可证明； （2）由得到，设，则，，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径，切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，锐角三角函数等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 4．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为E，连接，过点B作的切线，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若点是的中点，且，求线段的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线性质定理，勾股定理，正切函数计算； （1）根据切线性质，垂直的定义，圆周角定理，余角的性质，证明即可． （2）根据点是的中点，且，得到，利用勾股定理，得到，结合计算即可． 【详解】（1）∵是的直径，过点B作的切线，交的延长线于点F， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． （2）如图，连接， ∵点是的中点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． ． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知等腰中，，是的外接圆，点为上一点，连接、、．若点、在同侧，满足，则称为“阶等腰三角形”，点为的“阶点”．例如：如图①，若，点在延长钱上，满足，则称为“1阶等腰三角形”，点D为的“1阶点”． (1)如图2，若，试说明为“1阶等腰三角形”； (2)若为“阶等腰三角形”，试判断的形状，并说明理由 (3)若，为“阶等腰三角形”，直接写出与之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）延长至点使，连接，利用等边三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）延长到点E，使得，连接，证明，即可得到，，然后根据勾股定理的逆定理得到，即可解题； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点在同侧时， 延长至点， 连接， 使过点作⊥于点， 利用圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到 再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论可得； ②当点在两侧时， 延长至点，使，连接， 过点作于点， 利用①的方法解答即可. 【详解】（1）证明：延长至点使，连接， 如图， ， 为等边三角形， ， ∵四边形为圆的内接四边形， ， ∵， 为等边三角形， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴. 在和中， ， ， ∴， ， ， ∴为“1阶等腰三角形” （2）解：是等腰直角三角形，理由为： 延长到点E，使得，连接， ∵为“阶等腰三角形”， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， （3）①当点、在同侧时，延长至点， 连接， 使， 过点作于点， 如图， ∵， ， ∵四边形为圆的内接四边形， ， ∵， ， ， ， ， ∵，， ∴ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ； ②当点、在两侧时，延长至点，使，连接，过点作于点，如图， ∵， ， ∵四边形为圆的内接四边形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上， 若满足的数量关系为： 当点在同侧时；当点在两侧时，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，解直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型三、在生活中的应用 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题． （1）过点B作，垂足为E，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，，从而可得，再利用（1）的结论可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答． 【详解】（1）如图，过点B作，垂足为E， ∵从处往处看的仰角为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为米； （2）如图，过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴甲山与乙山所拉缆绳的长度约为米． 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）图是某种多功能儿童车，根据需要可变形为图的滑板车或图的三轮车示意图．已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． (1)如图，当支撑点在水平线上时，直接写出的长； (2)如图，当与保持平行时，求前后两轴心的长度． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，由题意可知，根据三角函数定义即可得到结论； （2）过点作于点，过点作于点，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意可知：，点是的中点，，， ， ， 在中，， ； （2）解：过点作于点，过点作于点， ， 由题意知， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， 在中，，， 在中，， 由勾股定理得：， ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数，等腰三角形的三线合一性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用． 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）综合与实践：习近平总书记指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和，某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪在两侧，，点C与点E相距（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度（参考数据：，结果精确到整数位）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，可得． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 类型四、在函数中的应用 1．（23-24九年级上·浙江·期末）如图1，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象交于另一点，射线与y轴交于点C，，轴于点D． (1)填空： ①k的值为__________． ②_________；直线的函数解析式为__________． (2)如图2，M是线段上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线轴，与交于点N，连接．求面积的最大值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题考查了待定系数法确定反比例函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二次函数的最大值，锐角三角函数，坐标与图形等知识点．综合性比较强．掌握待定系数法及二次函数最大值的求法是关键． （1）①由点在反比例函数图象上，用待定系数法确定反比例函数的解析式； ②由反比例函数解析式先求出点的坐标，过作于，可得到、间的长度关系，从而得到的度数，再根据的度数求出，从而得到的值，根据的值及线段的和差关系，求得点的坐标，从而确定一次函数的解析式； （2）设的横坐标为，可知道、点的坐标，利用三角形的面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质，得到的最大面积． 【详解】（1）①解：∵反比例函数的图象经过点， ， ． 故答案为：． ②解：∵，所以反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， 过作于， 则． ， 又， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：；． （2）解：设， 则， 则， ∴， ∵，， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与关于轴对称，与轴交于点，与轴交于点和． (1)的解析式 ，试猜想出与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式为 ． (2)，的中点是点，则＝ ． (3)如果过点的一条直线与图象相交于另一点，，满足，，则点的坐标为 ． 【答案】(1)； (2) (3)或或或. 【分析】（1）可先求出抛物线的顶点坐标，然后根据两抛物线关于轴对称得出所求抛物线的顶点，可用顶点式二次函数通式来设所求的抛物线的解析式，然后将两函数轴的交点的坐标代入所求的抛物线中即可得出其解析式，两抛物线关于轴对称，其开口方向，开口大小以及与y轴的交点都一样，因此的值不变，而两函数的对称轴关于轴对称，因此值互为相反数，进而求解； （2）先求出的坐标，过点作，那么关键是求出和的长，可在直角三角形中，用的长和的正弦值求出的长，然后在直角三角形中，根据勾股定理求出的长，据此可得出的值； （3）可设直线的解析式为，由于是两函数的交点，因此可联立两函数的解析式，用表示出的值，当时，当时分别来求解． 【详解】（1）解：在中 ，， 的顶点为， 抛物线与关于轴对称， 的顶点的为． 设， 与轴的交点， 即与轴的交点， ， ∴所求二次函数为：． 猜想： 与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式是． 故答案为：；． （2） 解：过点作． 抛物线与轴的交点， ∵当时，， ∴与y轴交点，中点， 是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ． 在中，， ． 故答案为：． （3）解：设过点的直线为， 则， ， 则， 解得，， 则，， 当时，由已知是方程的解， 故， 即， 化简， 则，． ∴点的坐标是或． 当时，则， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 综上所述，的坐标是：或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了关于轴对称的函数解析式的关系，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定、轴对称图形、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，二次函数与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C．点为二次函数在第四象限图像上一点，线段与交于Q，且．    (1)若，在点P运动过程中是否存在的情形？若存在请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由； (2)请继续探究，k的最大值是多少？并求出k取最大值时m和a之间的数量关系． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)k的最大值为， 【分析】（1）首先得到当时，，然后求出，，，然后求出所在直线的表达式，表示出所在直线的表达式为，然后联立得到，然后由时，，然后表示出，然后代入抛物线解析式利用根的判别式求解即可； （2）首先得到，，，然后证明出，过点P作交于点D，过点P作轴交于点E，证明出，得到，然后利用得到，然后表示出所在直线的表达式为，得到，，得到，进而得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：不存在，理由如下： 当时，二次函数 当时， 解得， ∴， 当时， ∴ ∴设所在直线的表达式为 ∴，解得 ∴所在直线的表达式 设所在直线的表达式为 ∴将代入得， ∴ ∴所在直线的表达式为 ∴联立得， 解得 ∴ 当时， ∴点Q是的中点 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴将代入 得， 整理得， 设 ∴ 整理得， ∴ ∴原方程无解， ∴不存在的情形； （2）解：∵二次函数 ∴当时， 解得， ∴， 当时， ∴ ∴，， ∴，， ∴ ∴ 如图所示，过点P作交于点D，过点P作轴交于点E    ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∴ ∴ 待定系数法得，所在直线的表达式为 ∵， ∴代入，得 ∴ ∴将代入得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，k有最大值． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图像与性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的最值的求法，关键是构造相似三角形，把线段的比值的最大值转化为二次函数的最大值进行解答，体现了转化思想． 1．（24-25九年级上·四川达州·期末）（1）计算：．   （2）如图，某校数学兴趣小组的同学测量校园内一棵树的高度，他们在这棵树的正前方一旗台的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为，已知A点的高度米，台阶的坡度为，且B、C、E三点在同一直线上，求树高（测角器的高度忽略不计）． 【答案】（1）；（2）9米 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的实数计算及解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握特殊三角函数值和正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形． （1）先分别计算根式、特殊三角函数值、负指数幂以及绝对值，再将结果相加即可； （2）过点A作，则四边形为矩形，设米，由题可得，，由列方程求解，即可得解． 【详解】解：（1） ； （2）过点A作于点F，则四边形为矩形， ， ∵台阶的坡度为：，米， （米）， 设米， 则米，米； ， ， 解得：， （米）； 故树高为9米． 2．（22-23九年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如果点的坐标为，连接、，求的正切值； (3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将两个点坐标代入解析式即可求出，令x为0，求得C点坐标； （2）过D作延长线的垂线，通过证明求出和的长度，再求出正切值； （3）设，通过可求出参数t，从而得出P点坐标． 【详解】（1）解：将，代入抛物线， 解得：， ∴抛物线为， 令，得， 故． （2）解：过作交延长线于， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，由勾股定理得，， ∴， ∴，，， ∴． （3）解：设，连接、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或舍去，经检验符合题意； ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的证明和解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 3．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，交y轴于点C．    (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标． (2)如图1，过点A做轴于D点，y轴上是否存在点E，使得与相似，若存在，求的长． (3)设P是反比例函数图象在第一象限上一点，Q是平面内一点，若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形是矩形时，求Q点坐标． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为； (2)或 (3)点或 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）可知为等腰直角三角形，①当时， 联立，解得或，则，，再解直角三角形即可；②当时，在中，； （3）设，则，，，①当时，为矩形的边，此时为矩形，则，故，解得：或（舍），故，再利用坐标平移即可求解；②当为矩形对角线时，此时为矩形，记对角线交于点N，则，，，可求，由得，，化简得，，解得：或（舍）或（舍）或（舍），故，则． 【详解】（1）解：将代入， 得：， ∴， ∴， 将代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∴可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴①当时，如图：    联立， 解得或， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，      在中，， ∴， 综上所述：或； （3）解：设，则，， ①当时，为矩形的边，此时为矩形，如图：    ∴， ∴ 解得：或（舍）， ∴， ∴点A向右平移1个单位，向下平移1个单位即可得到点P， ∵， ∴B向右平移1个单位，向下平移1个单位即可得到点Q， ∴； ②当为矩形对角线时，此时为矩形，记对角线交于点N，    ∴，，， ∵，， ∴， 由得，， 化简得，， 解得：或（舍）或（舍）或（舍） ∴； ∵，， ∴， 综上所述：点或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的存在性问题，矩形的性质，勾股定理，已知两点求距离，熟练掌握这些知识点是解题的关键．注意分类讨论． 4．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，将射线绕点A逆时针旋转，交延长线于点G，以线段为邻边作矩形． (1)如图1，连接，求的度数和的值； (2)如图2，当点F在射线上时，求线段的长； (3)如图3，当时，在平面内有一动点P，满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案； （3）连接，先证明是等边三角形，，得出， 将绕点顺时针旋转，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由矩形和矩形可得，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：过点作于点， 由矩形和矩形可得，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 将绕点顺时针旋转，与重合，得到， ∴，，， ∴， ∴当点，，三点共线时，的值最小，为的长，过点作， 则：， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质，证明三角形相似，是解题的关键． 5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是半圆的直径，，点在线段之间，，与半圆弧交于点，以为边，向右作正方形，连结、． (1)当时，的大小为_________． (2)当点落在半圆弧上时，_________． (3)当时，求正方形与半圆形的公共部分的面积．（结果保留） (4)当线段把正方形分成的两部分图形的面积之比为时，直接写出的长． 【答案】(1)40 (2) (3) (4)或 【分析】（1）由四边形是正方形，得到，而，故，即可求解； （2）连接，过点作于点，则，可得四边形为矩形，则，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可； （3）连接，显然，在中，解直角三角形得到，则，由即可求解； （4）解：①记与交于点，连接当时，则，可得，由，设，则，在中，由勾股定理得 ，解得：，则； ②当时，则，连接，同理可得，设，则，，在中，由勾股定理得 ，解得，则． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：40； （2）解：连接，过点作于点，则， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴； （3）解：连接 ∵ ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； （4）解：①记与交于点，连接 当时，则， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍）， ∴； ②当时，则，连接 同理可得， 设，则，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴ 综上所述：为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，不规则图形的面积，难度较大，注意分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$