精品解析：河北省唐山市遵化市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

遵化市2024-2025学年度第一学期期中学业评估九年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，总分120分，考试时间90分钟． 2．答题前考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．考生务必将答案写在试卷上． 一、选择题（本大题有16个小题，1-10每小题3分，11-16每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 在中，，，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列四条线段中，能成为成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（ ） A. 10 B. 35 C. 55 D. 75 5. 在“爱我汾阳”演讲赛中，小明和其他6名选手参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 6. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（　　） A. 3：2 B. 3：5 C. 9：4 D. 4：9 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A. （﹣3，﹣1） B. （﹣1，2） C. （﹣9，1）或（9，﹣1） D. （﹣3，﹣1）或（3，1） 10. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，D为的边上一点，若，，，在边上取一点E，使与相似，则的长为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 12. 已知方程的两根分别为和，则的值等于（　　） A. 2 B. C. D. 13. 中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．则羊的只数为（ ） A. B. C. D. 14. 将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，那么下列结论成立的是（　　） A. 平均数不变 B. 方差和标准差都不变 C. 方差改变 D. 方差不变但标准差改变 15. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　） A. 1秒 B. 4秒 C. 1秒或4秒 D. 1秒或秒 16. 如图， 在中， 点在边上，， 与边交于点， 连接， 记 ， 的面积分别为（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 二、填空题（本大题有3个小题，每小题3分，共9分．把答案写在题中横线上）． 17. 已知，那么_______． 18. 在等式中，（ ）内的数等于______． 19. 2023年3月7日上午，江苏省青少年射击（步手枪）冠军赛在扬州市射击运动中心鸣枪开赛．来自全省12个设区市的200余名青少年射击选手齐聚扬州，一较高下，赛前，某位射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示，则该名选手十次射击训练成绩的中位数是_____． 三、解答题（本大题有6个小题，共69分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 20. （1）计算：； （2）解方程 ． 21. 图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 23. 在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年6月份的16000元/每平方米下降到8月份的12960元/每平方米． （1）求6月到8月平均每月降价的百分率； （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米11500元？请说明理由． 24. 某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了 以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x 表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．)，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是： 八年级10名学生的竞赛成绩是： (部分数据被污染) 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出 ，并补全条形统计图． （2）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为人和人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有多少人? （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好?请说明理由(一条即可)． 25. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． （1）求的长； （2）求灯泡到地面的高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵化市2024-2025学年度第一学期期中学业评估九年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，总分120分，考试时间90分钟． 2．答题前考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．考生务必将答案写在试卷上． 一、选择题（本大题有16个小题，1-10每小题3分，11-16每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 用因式分解法解出方程即可选出正确答案． 【详解】解： ， ， 或， 解得， 故答案为：C． 2. 在中，，，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：，，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是正确理解余弦的定义． 3. 下列四条线段中，能成为成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】能组成比例线段是指或，由此即可求解． 【详解】解：根据能成比例线段的定义得， 选项，或，不能组成比例线段，不符合题意； 选项，或，能组成比例线段，符合题意； 选项，或，不能组成比例线段，不符合题意； 选项，或，不能组成比例线段，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查组成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义，即两条线段的比值相等则组成比例线段是解题的关键． 4. 明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（ ） A. 10 B. 35 C. 55 D. 75 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：题意得：（人） 答：中卷录取人数为10人． 故选：A． 5. 在“爱我汾阳”演讲赛中，小明和其他6名选手参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】7人成绩的中位数是第4名的成绩，参赛选手想要知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4名的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数是多少， 故选：C． 【点睛】考查了中位数的定义，中位数的实际应用，熟记中位数的定义是解题关键． 6. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为； ∴方程必有一根为． 故选：B 7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解∶如图，过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E， ， 即：， 解得∶， 故选∶D． 8. 若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（　　） A. 3：2 B. 3：5 C. 9：4 D. 4：9 【答案】A 【解析】 【详解】∵△ABC～△DEF，相似比为3：2， ∴对应高的比为：3：2． 故选A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A. （﹣3，﹣1） B. （﹣1，2） C. （﹣9，1）或（9，﹣1） D. （﹣3，﹣1）或（3，1） 【答案】D 【解析】 【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 10. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解． 【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ADC与△ACB的周长比1:2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键． 11. 如图，D为的边上一点，若，，，在边上取一点E，使与相似，则的长为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．由于与相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】解：如图，，，， ①若对应时，，即， 解得：； ②当对应时，，即， 解得：． 故选C． 12. 已知方程的两根分别为和，则的值等于（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答． 【详解】∵方程的两根分别为和， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：，熟记关系式是解题的关键． 13. 中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．则羊的只数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意找出等量关系，“头数加只数只数减头数只数乘头数只数除头数”，把相关数值代入化简即可． 【详解】设羊的只数为，则头数加只数为，只数减头数为，只数乘头数为，只数除头数为， ∴根据题意：， 解得：，(不符合题意，舍去) 故选：． 【点睛】此题考查了用一元二次方程解决实际问题，读懂题意，得到总只数为的等量关系是解题的关键． 14. 将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，那么下列结论成立的是（　　） A. 平均数不变 B. 方差和标准差都不变 C. 方差改变 D. 方差不变但标准差改变 【答案】B 【解析】 【分析】将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，这组数据的波动大小不变，方差和标准差都不变；这组数据的平均数也要减去这个数，平均数改变．由此即可解答. 【详解】将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，这组数据的平均数也要减去这个数， 所以选项A错误，方差和标准差都不变，所以选项C、D也都错误． 故选B． 【点睛】本题考查了平均数、方差和标准差的性质，熟知平均数、方差和标准差的性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　） A. 1秒 B. 4秒 C. 1秒或4秒 D. 1秒或秒 【答案】A 【解析】 【分析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为t秒时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴． ∴运动时间为1秒． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16. 如图， 在中， 点在边上，， 与边交于点， 连接， 记 ， 的面积分别为（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判定，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 【详解】∵在中，， ∴， ， 若，则，， 即：，整理得：， 而，则，， ，即：，故无法判断与之间的大小关系，排除A、B； 若，则，， 即：，整理得：， 而，则，， ，即：，排除C， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及与不等式相结合，熟练掌握相似三角形的基本性质，抓住面积比等于相似比的平方，灵活运用不等式进行比较大小是解题的关键． 二、填空题（本大题有3个小题，每小题3分，共9分．把答案写在题中横线上）． 17. 已知，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可知，则，将，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，且， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的性质，比例的性质，掌握比例的知识，分式的性质是解题的关键． 18. 在等式中，（ ）内的数等于______． 【答案】2或-12##-12或2 【解析】 【分析】根据平方根的定义求出，从而求出内的数． 【详解】解：∵， ∴， ∴=2或-12， 故答案为：2或-12． 【点睛】本题考查了平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，且互为相反数． 19. 2023年3月7日上午，江苏省青少年射击（步手枪）冠军赛在扬州市射击运动中心鸣枪开赛．来自全省12个设区市的200余名青少年射击选手齐聚扬州，一较高下，赛前，某位射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示，则该名选手十次射击训练成绩的中位数是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据中位数的定义，利用图中的数据，求出答案即可． 【详解】解：由图可得： 10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10， 第5个和第6个数据都是8， 所以中位数是， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 三、解答题（本大题有6个小题，共69分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 20. （1）计算：； （2）解方程 ． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，以及解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）用配方法求解即可． 【详解】解：（1） （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 【解析】 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质．如图，过点A作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点A作于点，过点作于点， ∵ 在中，， ∴， 同理可得，， 又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为， ∴ ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， 则一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）k的值为1，方程的另一个根为0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握这两个知识点是解题的关键； （1）计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断； （2）设方程的另一个根为x，由根与系数的关系即可求出k的值及方程的另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为x， 由根与系数的关系得：， 解得：； 即k的值为1，方程的另一个根为0． 23. 在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年6月份的16000元/每平方米下降到8月份的12960元/每平方米． （1）求6月到8月平均每月降价的百分率； （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米11500元？请说明理由． 【答案】（1）平均每月降价的百分率为 （2）预测到9月份该市的商品房成交均价不会跌破每平方米11500元 【解析】 【分析】（1）设平均每月降价的百分率为x，利用8月份该市的商品房成交均价6月份该市的商品房成交均价（平均每月降价的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）利用9月份该市的商品房成交均价8月份该市的商品房成交均价（平均每月降价的百分率），可预测出到9月份该市的商品房成交均价，再将其与11500元比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设平均每月降价的百分率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每月降价的百分率为； 【小问2详解】 解：预测到9月份该市的商品房成交均价不会跌破每平方米11500元，理由如下： （元）， ， 答：预测到9月份该市的商品房成交均价不会跌破每平方米11500元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了 以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x 表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．)，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是： 八年级10名学生的竞赛成绩是： (部分数据被污染) 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出 ，并补全条形统计图． （2）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为人和人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有多少人? （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好?请说明理由(一条即可)． 【答案】（1）， （2）人； （3）八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计总体，掌握计算方法是解题关键． （1）找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数，找出八年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，根据各个组的频数之和为10，可求出的八年级B组的人数，补全统计图即可； （3）根据样本中七、八年级成绩的优秀率，估计总体的优秀率，进而计算七、八年级的优秀的人数即可． （3）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好； 【小问1详解】 解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次， 故众数为99，即， 八年级B组的人数为， 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是， ∴中位数是， 即， 补全统计图如下： 故答案为：， 【小问2详解】 由题意可得，（人） 答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人； 【小问3详解】 八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好． 25. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． （1）求的长； （2）求灯泡到地面的高度． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长； （2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长． 【小问1详解】 解：（1）由题意可得：， 则， ∴， ∴， 解得：， 答：的长为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $