期末考前满分冲刺之优质压轴题 -2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

期末考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、代数式中的规律 1．晋商大院一般指山西大院，是中国民居建筑的典范，一向有“北在山西，南在安徽”之说．皖南民居以朴实清新而闻名，晋中大院则以深邃富丽著称．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，以为端点画六条射线后，再从射线上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…则所描的第2028个点在（    ） A．射线上 B．射线上 C．射线上 D．射线上 3．如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形被涂黑，依此规律，第100个图案中被涂黑的小正方形个数为（   ） A．500 B．499 C．400 D．401 4．黑色圆点按如图所示的规律进行排列，则各图中黑色圆点的个数形成一列数据，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一列新数据，则新数据中的第34个数是 ． 5．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆…按此规律排列下去，第个图形中圆的个数是 个．第个图形中圆的个数是 个． 6．学习情境·规律探索如图是用正三角形、正方形、正六边形设计的一组图案，按照如下规律，第个图案中正三角形的个数是 ． 类型二、新定义数 1．若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于前后与它相邻的两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2028个，且具有“波动性质”，则这2028个数的和是（    ） A．－64 B．16 C．0 D．18 2．对于一个自然数，如果能找到正整数、，使得，则称为“好数”．例如：，则是一个“好数”，在8，9，10，11这四个数中，“好数”的个数共有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．对一个由5个数组成的数列，将其中的每个数换成该数在中出现的次数，可生成一个新数列，称为一次变换．将数列重复上述操作可生成新数列，称为二次变换．按照此方法经过次操作可生成数列．如数列：，经过一次变换生成新数列：，经过二次变换生成新数列：．……以下说法，正确的个数是（   ） ①数列：，经过一次变换生成新数列：； ②至少存在一个数列经过次变换生成新数列：； ③所有数列经有限次变换都能得到数列与数列相同，且数列共有15种不同的结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．若一个各位上的数字均不为0且互不相等的四位数M满足：千位与十位数字之和等于9，百位与个数位数字之和等于6，则称这个数M为“吉祥如意数”．若“吉祥如意数”（，且a，b，c，d为整数）与234的和被7整除余3，则当 时，M满足条件，且M的值为 ． 5．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个三位数和与的商记为，例如：，对调百位与十位上的数字得，对调百位与个位上的数字得，对调十位与个位上的数字得，这三个新三位数得和为，，所有． ① ； ②若都是“相异数”，其中，（，，都是正整数），规定：，当时，则的最大值为 ． 6．若正整数m满足个位数字是1，其他数位上的数字均不为1，且百位数字和十位数字相等，则称正整数m为“群凤和鸣数”，交换“群凤和鸣数”m的首位数字和个位得到一个新数n，并记，那么最小的四位“群凤和鸣数”为 ；若四位正整数（，且，x、y均为整数）与均为“群凤和鸣数”，那么所有满足条件的四位“群凤和鸣数”k的和为 ． 类型三、幻方幻圆问题 1．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 2．宋代数学家杨辉称幻方为纵横图，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉中的著作《续占摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（   ） 0 3 A． B．0 C．3 D．4 3．图1是我国古代传说中的“洛书”，图2是洛书的数字表示相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3中：若，，，整式F是（    ） A． B． C． D． 4．爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将这五个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 5．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驱“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出 ， ． 6．幻方是一类数字方阵，是流行于欧亚的世界性文化，在如图所示的图形中，每个字母分别代表不同的代数式，每个三角形的三个顶点上的代数式之和都与中间正方形四个顶点上的代数式之和相等，若，，，则 ．    类型四、方程中的整数解 1．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的整数的值之和是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．若关于的方程的解为正整数，则所有符合条件的整数的和为（   ） A．0 B．3 C． D． 3．若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 4．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，则满足条件的整数的值是 ． 5．若关于的方程的解是正整数，则整数的值为 ． 6．关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为_______． 类型五、钟面角问题 1．钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是（    ） A． B． C． D． 2．学校早上上第一节课，40分钟后下课，这节课中分针转动的角度为（  ） A． B． C． D． 3．某校为了缓解上午放学餐厅拥挤，同时给学生们营造轻松的就餐环境，特实施分年级错时放学，初一年级上午11：35放学，此时钟表上时针与分针的夹角是（　　） A． B． C． D． 4．钟面上的时间走到4时分，此时时针与分针的夹角是 °． 5．钟表上的时间是时，时针与分针的夹角为 度． 6．钟表上10时15分，时针与分针所夹的角是 度． 类型六、水费、电费问题 1．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市自来水具体收费价格见下表： 每月用水量 单价（单位：元/） 不超过的部分 2 超过，但不超过的部分 4 超过的部分 8 (1)该市一户居民月用水10立方米时，其当月交费______元． (2)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月交费52元? (3)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水费为每立方米元? 2．国家倡导居民节约用电，第九届哈尔滨亚冬会更是坚持“绿色、共享、开放、廉洁”的办赛理念．为此我市实施居民用电阶梯电价，方案如下：第一阶梯电价：月用电量不超过220度的部分，每度电的价格为0.5元：第二阶梯电价：月用电量超过220度不超过420度的部分，每度电的价格为0.55元：第三阶梯电价：月用电量超过420度的部分，每度电的价格为0.8元． (1)如果按此方案计算，金铎家10月份的用电量是200度，则金铎家10月份的电费为__________元；书铭家10月份的用电量是300度，则书铭家10月份的电费为__________元． (2)如果按此方案计算，宇轩家10月份的电费为260元，请求出宇轩家10月份的用电量． (3)政府部门更希望用电高峰时要节约用电，并尽量让居民减少用电支出，为此又推出了“峰谷电价”．居民可以根据用电情况，申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段8：00-22：00，其电价仍按各档标准分段计价，但在各档电价基础上加价0.05元/度； 低谷时段8：00-22：00以外的时间，其电价还是按各档标准分段计价，但在各档电价基础上降价0.2元/度． 英赫家10月的用电量为350度，并且高峰时段用电量大于220度，他家申请“峰谷电价”后，能节省15.5元，请求出英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是多少度？ 3．为了鼓励市民节约用水，合理利用水资源，某市按月实行阶梯水价，价目如下表： 收费方式 月用水量 单价（元） 第一阶梯 3 第二阶梯 第三阶梯 30以上 6 (1)小菲家9月份用水，求她家9月应交水费金额； (2)若小希家10月份交水费元，则小希家10月用水量为多少立方米？（列一元一次方程解） 4．我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过6立方米时，水费按“基本价”收费；超过6立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年3、4月份用水量和水费如表： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 5 12.00 4 7.5 20.40 (1)该市每立方米水费的“基本价”是多少钱？ (2)该市每立方米水费的“调节价”是多少钱？ (3)若该户居民6月份水费是26.4元，该户6月份用水多少立方米？ (4)根据该市的这一规定，请你从环保角度说说你的想法． 5．为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用天然气用气量及价格分为三档，其中： 档次 年用气量 单价（元／） 第一档气量 不超出的部分 第二档气量 超出不超出的部分 a 第三档气量 超出的部分 (1)若甲用户今年已使用天然气，共缴费用1632元，求a的值； (2)在（1）的条件下，若某用户年用气量为，请用含x的式子表示每年支出的燃气费． 6．我市居民生活用水实行阶梯式计量水价，实施细则如下表所示： 分档水量 年用水量 水价（元/吨） 第1级 180吨以下（含180吨） 5 第2级 吨（含260吨） 7 第3级 260吨以上 9 例：若某用户2020年的用水量为270吨，按三级计算则应交水费为：（元）． (1)如果小丽家2020年的用水量为200吨，求小丽家全年需缴水费多少元？ (2)如果小明家2020年的用水量为a吨，求小明家全年应缴水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） (3)如果全年缴水费2000元，则该年的用水量为多少吨？ 类型七、数轴动点求t 1．如图，数轴上A、B两点对应的数分别为，5 (1)A、B两点之间的距离是______，点P是数轴上任意一点，且，则点P对应的数是______； (2)点M、N分别是数轴上的两个动点，点M从点A出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，点N从原点O出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．则①点M表示的数是______，点N表示的数是______(用含t的代数式表示) ②经过t秒M、N两点运动到使得M点到A点的距离是N点到B点距离的2倍，求时间t的值． 2．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能形成量感，进而掌握世界尺度．“数轴”是数形结合的重要工具，在数轴上，两点的距离等于对应两数之差的绝对值．如：数轴上表示2和5的两点的距离为；再如，数轴上表示x和2的两点的距离为（若为正，距离即为；若非正，距离即为） 依据上述材料，解答下列问题： 如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且． (1)填空：a的值为_________，b的值为_________，点A与点B的距离为_________； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点N同时从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间t（）为秒． ①填空：点M表示的数是_________；点N表示的数是_________；（均用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，点M与点N的距离为3个单位长度？ 3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为，b，则两点之间的距离． (1)【问题情境】已知数轴上点A表示的数为2，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为___________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为___________． (2)【情境应用】如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则___________； ②的最小值为___________； (3)【综合运用】在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为3． 4．已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 5．已知若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)填空：①A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为_____； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时，？ (4)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 6．［阅读材料］ 在数轴上点表示的数为点表示的数为，则点到点的距离记为，若，线段的长度可以表示为；若，线段的长度可以表示为． ［问题探究］    (1)如图，点A在数轴上表示的数是8，点B在数轴上表示的数是，则______； (2)在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点O从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设两点的运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)在（1）的条件下，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动；同时点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向点A运动．当点M到达点B后，立即以原速返回，到达点A停止运动，当点N到达点A后，立即速度变为原速的一半返回，到达点B停止运动，请问：当点M运动时间为多少秒时，． 类型八、三角板旋转求t 1．综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线的两侧，且，，．    (1)如图1，______； (2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图2，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则______； 当时，则______； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 2．将一副直角三角板，，按如图叠加放置，其中与重合，，． (1)如图1，点在直线上，且位于点的左侧，求的度数； (2)将三角板从图位置开始绕点顺时针旋转，并记，分别为，的角平分线． ①当三角板旋转至如图的位置时，求的度数． ②若三角板的旋转速度为每秒，且转动到时停止，运动时间记为（单位：秒），试根据不同的的值，求的大小． 3．已知，在下列各图中，点O为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，则的度数为_________°，的度数为_________°； (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，此时的度数为_________°； (3)在图2中，延长线段得到射线，如图3，则的度数为_________°；与的数量关系是_________（填“”、“”或“”）； (4)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为_________．（直接写出答案） 4．（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s． （ⅰ）________cm． （ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． （ⅰ）________度． （ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，________． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 5．一副三角板按如图1所示放置，边，在直线上，． 如图2，将三角板绕点O顺时针旋转到，转速为每秒钟转动，当旋转一周回到射线上时停止转动，设转动时间为秒． (1)当与重合时，直接写出的值； (2)①当正好平分时，在图1中画出此时的位置，并求出t的值； ②在旋转过程中，作的角平分线，当时．直接写出t的值． 6．如图1，已知，是含角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将三角板按图2位置放置，使一边在的内部，且恰好平分，若，问：此时直线是否平分？请说明理由． (2)将三角板按图3位置放置，此时发现，当在的内部时，绕点O旋转三角板，与的差值不变，请你写出这个差值，即___________°． 类型九、新定义问题 1．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 (2)若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 2．如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 3．定义1：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“互余分割线”．定义2：若射线在的内部，且将分成的两个角的比为，则称射线是的三等分线． (1)如图，，，请判断是否为的“互余分割线”，并说明理由； (2)若射线为的“互余分割线”，且是的三等分线， ①________； ②若的度数小于，过点作射线，使得，求的度数．(本题中涉及的所有角都小于平角) 4．定义：若，则称a与b是关于7的幸福数． (1)10与________是关于7的幸福数，与________是关于7的幸福数．（填一个含x的代数式） (2)若，，判断a与b是否是关于7的幸福数，并说明理由． (3)若，，且c与d是关于7的幸福数，若x为正整数，求非负整数k的值． 5．【定义新知】 在数轴上，点M和点N分别表示数m和n，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离d，即． 【初步应用】 （1）在数轴上，点A、B、C分别表示数、2、x，解答下列问题： ① ； ②若，则x的值为 ； ③若，且x为整数，则x的取值有 个． 【综合应用】 （2）在数轴上，点A、B分别表示数6，．M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位；点N从B点出发，速度为每秒6个单位；点P从原点出发，速度为每秒1个单位．点M、N、P同时向右运动，若，求动点M运动的时间． 6．某校七年级数学兴趣小组发现一组有趣的有理数对，定义如下：两个有理数和，称为一组有理数对，记作若有理数对满足，称有理数对为“线性数对”．例如，有理数对，即，，有，那么就是“线性数对”． (1)两组有理数对，，可以称为“线性数对”的是__________； (2)如果有理数对是“线性数对”，求的值； (3)如果有理数对是“线性数对”（，），求的值． 类型十、综合实践问题 1．【问题情境】 李老师给同学们布置了一项综合实践任务：利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品． 【操作探究】 (1)同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．如图1，你觉得图案 ___________（填序号）经过折叠能围成正方体纸盒．（答案直接填写在答题卡的横线上．） (2)小辰刚好有一张边长为的正方形硬纸板，他打算在硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．如图2，设底面边长为，则这个纸盒的底面积是 ___________，高是 ___________（用含x的代数式表示）．（答案直接填写在答题卡的横线上．） (3)小颖所在的综合实践小组折叠得到了6个棱长都为的无盖正方体纸盒，将它们摆成如图3所示的几何体． (4)①求这个几何体的体积； ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加 ___________个正方体纸盒．（答案直接填写在答题卡的横线上．） 2．【综合与实践】 木杆与重物 学习了一元一次方程后，老师在综合实践课上让同学们探讨木杆与重物的实验问题，实验通过改变的长度和砝码的重量来保持木杆的平衡，并用表格记录了实验数据如下： 【实践发现】 实验次数 左边 右边 砝码重量（克） 支点O到左边挂重物处的距离 砝码重量（克） 支点O到右边挂重物处的距离 1 20 40 20 40 2 20 40 40 20 3 20 40 60 13．33 4 20 40 80 10 5 20 40 100 8 … 小明从表中发现这样的规律：， ， ， ， ，… ． 【实践运用】 根据上面规律解决下列问题： (1)若，则 ； (2)若的重量是50克，的长度是，的长度是，则等于多少克才能保持木杆平衡？ (3)学习小组根据这个原理自制了一个杆秤，如图所示，提纽处O是支点，已知为，秤砣重量是克，不放重物时，秤砣放在C处时秤杆平衡，此时，放入重物时，秤砣放在B处时秤杆平衡，此时，则重物的重量约是多少斤？（1斤克） 3．综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？ 【操作探究】下面是“指挥小组”的探究过程； 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 探究过程：设每个乒乓球的质量是x克． 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量 记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x ______ 记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 4x ______ 【解决问题】 （1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示； ②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量． 【拓展设计】 （2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题： 请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球______个 一次性纸杯______个+1个10克的砝码 平衡 并利用方程的知识说明理由． 4．某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有________；（只填序号）    【制作纸盒】 综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子． 如图⑤，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图⑥，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子，则制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍；    【拓展探究】 若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体形盒子表面展开图的外围周长最小为________． 5．综合实践 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点、点表示的数分别为，则线段的长（点到点的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． (1)【问题探究】请在图2中表示出、、三点的位置： (2)【问题探究】若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点、从点、点分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动． 设移动时间为秒． ①两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； ③试探究在移动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化说明理由：若不变，请求其值． 6．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．    (1)如图2，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①旋转到图3的位置，的度数是多少？（用含的代数式表示） ②在旋转过程中，若，则此时的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、代数式中的规律 1．晋商大院一般指山西大院，是中国民居建筑的典范，一向有“北在山西，南在安徽”之说．皖南民居以朴实清新而闻名，晋中大院则以深邃富丽著称．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索，明确题意，从图形中发现并总结出一般规律是解题的关键． 观察图形可知，第一个图案为个窗花，第二个图案为个窗花，第三个图案为个窗花，，由此可得第n个图案所贴窗花数，于是得解． 【详解】解：第一个图案为个窗花， 第二个图案为个窗花， 第三个图案为个窗花， ， 由此可得，第n个图案所贴窗花数为个， 故选：C． 2．如图，以为端点画六条射线后，再从射线上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…则所描的第2028个点在（    ） A．射线上 B．射线上 C．射线上 D．射线上 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化规律，根据1在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上，6在射线上，7在射线上，…得出每6个数为一周期．用2028除以6，根据余数来决定数2028在哪条射线上． 【详解】解：∵1在射线上， 2在射线上， 3在射线上， 4在射线上， 5在射线上， 6在射线上， 7在射线上， … 每六个一循环， ， ∴所描的第2028个点所在射线和6所在射线一样， ∴第2028个点在射线上． 故选：D． 3．如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形被涂黑，依此规律，第100个图案中被涂黑的小正方形个数为（   ） A．500 B．499 C．400 D．401 【答案】D 【分析】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律． 根据图形的变化发现规律：第个图案中涂有阴影的小正方形个数为，进而求得第个图案中涂有阴影的小正方形个数． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 发现规律： 第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； ∴第100个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 故选：D． 4．黑色圆点按如图所示的规律进行排列，则各图中黑色圆点的个数形成一列数据，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一列新数据，则新数据中的第34个数是 ． 【答案】1326 【分析】本题主要考查图形与数字的规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第34个能被3整除的数所在组，为原数列中第51个数，代入计算即可． 【详解】解：第1个图形中黑色圆点个数为1； 第2个图形中黑色圆点个数为； 第3个图形中黑色圆点个数为； 第4个图形中黑色圆点个数为； …； 第个图形中黑色圆点个数为， 则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…， 其中每3个数中，都有2个能被3整除， ， ∴则第34个能被3整除的数为原数列中的第51个数，即． 故答案为：1326． 5．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆…按此规律排列下去，第个图形中圆的个数是 个．第个图形中圆的个数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变换规律，找到图形的排列规律得到第个图形中圆的个数是解题的关键． 根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可． 【详解】解：第个图形中一共有个圆， 第个图形中一共有个圆， 第个图形中一共有个圆， 第个图形中一共有个圆； 可得第个图形中圆的个数是； ∴时，一共有个圆； 故答案分别为：；． 6．学习情境·规律探索如图是用正三角形、正方形、正六边形设计的一组图案，按照如下规律，第个图案中正三角形的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类变化规律问题，根据已知图形可得第个图案正三角形个数为，据此即可求解，由已知图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一个图案正三角形个数为， 第二个图案正三角形个数为， 第三个图案正三角形个数为， ， ∴第个图案正三角形个数为， 故答案为：． 类型二、新定义数 1．若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于前后与它相邻的两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2028个，且具有“波动性质”，则这2028个数的和是（    ） A．－64 B．16 C．0 D．18 【答案】C 【分析】设这列数依次为，先得出，，，再得出和，然后归纳类推出一般规律即可得． 【详解】设这列数依次为 由题意得： 三式相加得： 即 同理可得： 则有 即该数列连续六个数相加等于0 因为 所以这2028个数的和是0 故选：C． 【点睛】本题考查了数字类规律探索问题，依据题意，列出等式，观察发现一般规律是解题关键． 2．对于一个自然数，如果能找到正整数、，使得，则称为“好数”．例如：，则是一个“好数”，在8，9，10，11这四个数中，“好数”的个数共有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，由n＝x＋y＋xy，可得n＋1＝x＋y＋xy＋1，所以n＋1＝（x＋1）（y＋1），因此如果n＋1是合数，则n是“好数”，据此判断即可． 【详解】根据分析， ∵8＝2＋2＋2×2， ∴8是好数； ∵9＝1＋4＋1×4， ∴9是好数； ∵10＋1＝11，11是一个质数， ∴10不是好数； ∵11＝2＋3＋2×3， ∴11是好数． 综上，可得在8，9，10，11这四个数中，“好数”有3个：8、9、11． 故选C． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化；此题还考查了对“好数”的定义的理解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果n＋1是合数，则n是“好数”． 3．对一个由5个数组成的数列，将其中的每个数换成该数在中出现的次数，可生成一个新数列，称为一次变换．将数列重复上述操作可生成新数列，称为二次变换．按照此方法经过次操作可生成数列．如数列：，经过一次变换生成新数列：，经过二次变换生成新数列：．……以下说法，正确的个数是（   ） ①数列：，经过一次变换生成新数列：； ②至少存在一个数列经过次变换生成新数列：； ③所有数列经有限次变换都能得到数列与数列相同，且数列共有15种不同的结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律．根据数列的变化规律逐项分析判断即可． 【详解】解：①数列，经过一次变换生成新数列；故①正确； ②设数列经过次变换生成新数列， 若，则中1的个数，而中1的个数应为中1的个数与2的个数之和，即中1的个数是，故②错误； ③若数列经有限次变换都能得到数列与数列相同，则数列中1的个数与中1的个数相同，数列中2的个数与中2的个数相同，数列中3的个数与中3的个数相同，数列中的个数与中的个数相同，即数列与数列完全相同，所以数列与数列完全相同，所以共有15种不同的结果．故③正确． 故选：C． 4．若一个各位上的数字均不为0且互不相等的四位数M满足：千位与十位数字之和等于9，百位与个数位数字之和等于6，则称这个数M为“吉祥如意数”．若“吉祥如意数”（，且a，b，c，d为整数）与234的和被7整除余3，则当 时，M满足条件，且M的值为 ． 【答案】 23 6531 【分析】本题考查整式的运算，抓住“被7整除”的已知条件，求出符合题意的a，b的值是解题的关键． 根据已知条件得到，，，，，，，因此，又根据M与234的和被7整除余3，得到能被7整除，计算得，当分别等于7，14，28，35时，分别求出a，b的值，当其值满足各自的取值范围时，即可求解． 【详解】解：由已知可得，，， ∴，， ∵，，，， ∴，，，， ∴， ∵M与234的和被7整除余3， ∴能被7整除， ∴， ①当时，，a，b无法取得符合题意的值； ②当时，，则 ，，不合题意，舍去； 或，此时，，不合题意，舍去； ③当时，，则 ，，不合题意，舍去； 或，，不合题意，舍去； 或，此时，，不合题意，舍去； ④当时，，则 ，此时，，不合题意，舍去； 或，此时，，符合题意； 或，，不合题意，舍去； ⑤当时，，则 ，，不合题意，舍去； 或，，不合题意，舍去； 综上所述，当时，即，，，时M符合条件，此时． 故答案为：23，6531． 5．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个三位数和与的商记为，例如：，对调百位与十位上的数字得，对调百位与个位上的数字得，对调十位与个位上的数字得，这三个新三位数得和为，，所有． ① ； ②若都是“相异数”，其中，（，，都是正整数），规定：，当时，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】①根据的算法进行计算即可； ②根据的算法可得，，进而由可得，由，，，及，，都是正整数可得或或或或，最后根据即可求解； 本题考查了整式的加减，新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：①对调的任意两个数位上的数字得，，， ∴三个新三位数的和为， ∴ ， 故答案为：； ②∵都是“相异数”，，对调的任意两个数位上的数字得，，， ∴三个新三位数的和为， ∴， ∵， 对调的任意两个数位上的数字得，，， ∴三个新三位数的和为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵各个数位上的数字互不相同， ∴，，，， ∵，，都是正整数， ∴或或或或， ∵， ∴当，时，的值最大，， 故答案为：． 6．若正整数m满足个位数字是1，其他数位上的数字均不为1，且百位数字和十位数字相等，则称正整数m为“群凤和鸣数”，交换“群凤和鸣数”m的首位数字和个位得到一个新数n，并记，那么最小的四位“群凤和鸣数”为 ；若四位正整数（，且，x、y均为整数）与均为“群凤和鸣数”，那么所有满足条件的四位“群凤和鸣数”k的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义——“群凤和鸣数”．熟练掌握新定义，整数数字的表达式，整式的混合运算，是解答本题的关键． 根据“群凤和鸣数”的定义和最小数的性质即可确定最小的四位“群凤和鸣数”；然后根据“群凤和鸣数”和交换“群凤和鸣数”求得k、，进而求得，然后再根据“群凤和鸣数”的定义即可解答． 【详解】解：由题意可得，在“群凤和鸣数”中，百位数字和十位数字相等且不为1， 则最小的四位“群凤和鸣数”的千位上只能是2，十位和百位数为0，个为位为1， 即2001． 故答案为：2001． ∵（，且，x、y均为整数）与均为“群凤和鸣数”， ∴交换k的首位数字和个位数字得到一个新数． 则． ∴，． ∴ ． ∵为“群凤和鸣数”，且的末位数数字为0，115的末尾数字为5， ∴的末尾数字必为6． ∴或． 当时，． ∵为“群凤和鸣数”，即百位和十位上数字相同， ∴，． ∴． 当时，． ∵为“群凤和鸣数”，即百位和十位上数字相同， ∴，． ∴． ∴所有满足条件的k的和为：． 故答案为：11442． 类型三、幻方幻圆问题 1．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查整式加减的应用．由题意可知，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．所以有，进而得，，再代入计算可得结论． 【详解】解：由题意可得： ， 所以有，， 所以 ， 故选：B． 2．宋代数学家杨辉称幻方为纵横图，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉中的著作《续占摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（   ） 0 3 A． B．0 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加减、代数式求值，找到正确的数量关系是解题的关键．由每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：； 解得：． 所以． 故选B． 3．图1是我国古代传说中的“洛书”，图2是洛书的数字表示相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3中：若，，，整式F是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，利用幻方的性质，求出整式E，I，F是解题的关键．由每一横行三个数的和是E的3倍，可找出整式E是，由第一横行和对角线上的三个数之和相等，可得出整式I是，再由第一横行和第三竖列上的三个数之和相等，可求出整式F是． 【详解】解：，，， 幻和为：， 中心数， ，， ， ，， ， 故选：B 4．爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将这五个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是有理数的加法及代数式的求值，因为这8个数字的和是，所以横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于，因此；内圈下边的圆圈应填，则或，或代入即可． 【详解】解：这8个数字的和是， 横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于， 根据内圈正方形的4个数字之和等于，得内圈下边的圆圈应填， 根据题意有：，解得； 则或，或 当，时 因此， 当，时 因此，． 故答案为：或． 5．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驱“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出 ， ． 【答案】 2 5 【分析】先根据图2得出每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，然后根据图3列式，进行运算，即可作答．本题考查了图形规律． 【详解】解：∵图2得出每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等， ∴图3每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：2，5． 6．幻方是一类数字方阵，是流行于欧亚的世界性文化，在如图所示的图形中，每个字母分别代表不同的代数式，每个三角形的三个顶点上的代数式之和都与中间正方形四个顶点上的代数式之和相等，若，，，则 ．    【答案】 【分析】先表示，，再利用可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查幻方，整式的加减运算，解题的关键是根据幻方的特点，列方程得到，． 类型四、方程中的整数解 1．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的整数的值之和是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次方程，多项式次数和项．先解方程得到，根据方程的解为整数推出的可能取值为、、，再根据多项式次数和项的定义得到，，据此得到所有满足条件的整数a的值，由此可得答案． 【详解】解：由方程，解得：， 关于x的方程的解是整数， 的可能取值为、、； 关于y的多项式是二次三项式， ，， ，， 所有满足条件的整数a的值、、， 所有满足条件的整数a的值之和是， 故选：A． 2．若关于的方程的解为正整数，则所有符合条件的整数的和为（   ） A．0 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 方程去分母，移项合并同类项得到，，再根据题意得出符合条件的整数的值，最后计算即可得到答案． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， ， ∵方程的解为正整数， ∴①，则2； ②，则； ③，则； ④，则； ∴所有符合条件的整数的和为：． 故选：A． 3．若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】表示出方程的解，由方程的解为负整数解，确定出整数的值即可．此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：方程去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程有负整数解，得到整数，，之和为， 故选：B． 4．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，则满足条件的整数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，求出方程的解，根据其解是整数，确定的可能值，再根据多项式的次数和项数，进一步求出的值即可． 【详解】解：， ， 整理得，， ， 是整数， 或， 或或2或； 关于的多项式是二次三项式， ，且， ，且； ， 故答案为：． 5．若关于的方程的解是正整数，则整数的值为 ． 【答案】0或1或3 【分析】本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．首先解方程表示出x的值，然后根据解为正整数求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1 ，得， ∵关于的方程的解是正整数， ∴是正整数， ∴或2或4， ∴或1或3， 故答案为：0或1或3． 6．关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为_______． 【答案】8或10 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程解的情况求参数．正确求出，进而得到或，是解题的关键． 先按照解一元一次方程的方法求出方程的解，再根据方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵原方程解是正整数， ∴且为整数， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或10． 类型五、钟面角问题 1．钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了钟面角的计算，注意钟面上每2个数字之间相隔30度． 根据4点10分时时针和分针相差格，每格度数为，据此即可求解． 【详解】解：4点10分时，分针指向2、时针指向间偏向4的位置， 所以时针和分针所形成的锐角度数为：． 故选：A． 2．学校早上上第一节课，40分钟后下课，这节课中分针转动的角度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角，解题的关键在于能够熟练掌握分针一小时转360度． 根据分针一小时（60分钟）转360度进行求解即可． 【详解】解：∵分针一小时（60分钟）转360度， ∴一节课40分钟分针转动的角度， 故选：B． 3．某校为了缓解上午放学餐厅拥挤，同时给学生们营造轻松的就餐环境，特实施分年级错时放学，初一年级上午11：35放学，此时钟表上时针与分针的夹角是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查钟面角问题，掌握每刻度代表度数和每根针的转速是解题关键． 夹角是指小于的角，中间夹了一个7-11点之间4个，由于时针继续顺时针旋转了35分钟，由时针转速为每分钟，故又旋转了，两个角度加起来即为所求． 【详解】解：由题意得： ． 故选：D． 4．钟面上的时间走到4时分，此时时针与分针的夹角是 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键．钟面上有个大格，每个大格是，4时分时，时针指向4和5之间，分针指向9，时针和分针之间有4个大格和个大格，用4乘，再加上乘，即可求出时针和分针的夹角． 【详解】分针指向9，时针指向4和5之间， 时针和分针之间有4个大格和个大格 ． 此时时针与分针的夹角是， 故答案为：． 5．钟表上的时间是时，时针与分针的夹角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角．解题的关键是掌握钟面角的计算方法：利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数．根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：钟面平均分成12份，每份30度， 时，时针指向和的中间，分针指向，则时针与分针相距份， 夹角为（度）， 故答案为：． 6．钟表上10时15分，时针与分针所夹的角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，涉及角的和差运算；先计算出10时时针与分针所夹的角为，过15分钟，分针转了，此时时针转了，则10时15分，时针与分针所夹的角为10时时针与分针的夹角加上经过15分钟分针所转的角，再减去时针15分钟所转的角． 【详解】解：分针1分钟转，时针1分钟转； 在10时，时针与分针所夹的角为，经过15分钟，分针转了，时针转了， ∴10时15分，时针与分针所夹的角是； 故答案为：． 类型六、水费、电费问题 1．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市自来水具体收费价格见下表： 每月用水量 单价（单位：元/） 不超过的部分 2 超过，但不超过的部分 4 超过的部分 8 (1)该市一户居民月用水10立方米时，其当月交费______元． (2)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月交费52元? (3)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水费为每立方米元? 【答案】(1) (2)居民月用水立方米 (3)居民月用水立方米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解应用题的方法和步骤，确定等量关系是列一元一次方程的关键． （1）根据第一阶梯用水收费标准解题即可； （2）先确定该收费属于第二阶梯，再根据收费相等列出方程，求出解即可； （3）先根据平均收费确定收费属于第三阶梯，再根据收费相等列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：元， 故答案为：； （2）解：∵元元，元， ∴该户居民月用水超过立方米但不超过立方米． 设该户居民月用水立方米， ， 解得， 所以该市一户居民月用水立方米． （3）解：∵． ∴该户居民月用水超过立方米． 设该户居民月用水y立方米， ， 解得． 所以该市一户居民月用水立方米． 2．国家倡导居民节约用电，第九届哈尔滨亚冬会更是坚持“绿色、共享、开放、廉洁”的办赛理念．为此我市实施居民用电阶梯电价，方案如下：第一阶梯电价：月用电量不超过220度的部分，每度电的价格为0.5元：第二阶梯电价：月用电量超过220度不超过420度的部分，每度电的价格为0.55元：第三阶梯电价：月用电量超过420度的部分，每度电的价格为0.8元． (1)如果按此方案计算，金铎家10月份的用电量是200度，则金铎家10月份的电费为__________元；书铭家10月份的用电量是300度，则书铭家10月份的电费为__________元． (2)如果按此方案计算，宇轩家10月份的电费为260元，请求出宇轩家10月份的用电量． (3)政府部门更希望用电高峰时要节约用电，并尽量让居民减少用电支出，为此又推出了“峰谷电价”．居民可以根据用电情况，申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段8：00-22：00，其电价仍按各档标准分段计价，但在各档电价基础上加价0.05元/度； 低谷时段8：00-22：00以外的时间，其电价还是按各档标准分段计价，但在各档电价基础上降价0.2元/度． 英赫家10月的用电量为350度，并且高峰时段用电量大于220度，他家申请“峰谷电价”后，能节省15.5元，请求出英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是多少度？ 【答案】(1)； (2)宇轩家10月份的用电量为470度； (3)英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是240度、110度． 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解阶梯电价、峰谷电价的计费规则． （1）根据阶梯电价计费规则列式计算即可； （2）先判断用电量是否超过420度，再列方程求解； （3）高峰时段用电量执行第一、第二阶梯电价，低谷时段用电量执行第二阶段电价，根据申请“峰谷电价”后，能节约15.5元，列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：金铎家10月份的电费为（元）， 书铭家10月份的电费为（元）， 故答案为：；； （2）解：用电量为420度时，电费为：（元）， ， 宇轩家10月份的用电量比420度多， 设宇轩家10月份的用电量为度， 则， 解得， 答：宇轩家10月份的用电量为470度； （3）解：设英赫家10月份高峰时段的用电量为度， 则， 整理得， 即， 解得，． 答：英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是240度、110度． 3．为了鼓励市民节约用水，合理利用水资源，某市按月实行阶梯水价，价目如下表： 收费方式 月用水量 单价（元） 第一阶梯 3 第二阶梯 第三阶梯 30以上 6 (1)小菲家9月份用水，求她家9月应交水费金额； (2)若小希家10月份交水费元，则小希家10月用水量为多少立方米？（列一元一次方程解） 【答案】(1)36元 (2)25立方米 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意确定相等关系是解本题的关键； （1）由单价乘以用电量即可得到答案； （2）先判断小希家10月用水量在第二阶梯，设小希家10月用水量为，再根据分段收费方式计算总费用得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：（元）； 故她家9月应交水费金额为36元； （2）解：∵（元），（元）， ， ∴小希家10月用水量在第二阶梯． 设小希家10月用水量为， ， 解得：， 故小希家10月用水量为25立方米． 4．我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过6立方米时，水费按“基本价”收费；超过6立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年3、4月份用水量和水费如表： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 5 12.00 4 7.5 20.40 (1)该市每立方米水费的“基本价”是多少钱？ (2)该市每立方米水费的“调节价”是多少钱？ (3)若该户居民6月份水费是26.4元，该户6月份用水多少立方米？ (4)根据该市的这一规定，请你从环保角度说说你的想法． 【答案】(1)该市每立方米水费的“基本价”是2.4元 (2)该市每立方米水费的“调节价”是4元 (3)该户6月份用水9立方米 (4)节约用水，人人有责．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程是关键． （1）依据题意，设该市每立方米水费的“基本价”是x元，从而可得，解方程即可得解； （2）依据题意，设该市每立方米水费的“调节价”是y元，从而，进而计算可以得解； （3）依据题意，设该户6月份用水m立方米，又，求出，故，计算即可得解； （4）依据题意，从节约用水的角度回答．（答案不唯一） 【详解】（1）解：设该市每立方米水费的“基本价”是x元， ∴． ∴． 答：该市每立方米水费的“基本价”是2.4元． （2）解：由题意，设该市每立方米水费的“调节价”是y元， ∴． ∴． 答：该市每立方米水费的“调节价”是4元． （3）解：由题意，设该户6月份用水m立方米， ∵， ∴． ∴． ∴． 答：该户6月份用水9立方米． （4）解：节约用水，人人有责．（答案不唯一） 5．为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用天然气用气量及价格分为三档，其中： 档次 年用气量 单价（元／） 第一档气量 不超出的部分 第二档气量 超出不超出的部分 a 第三档气量 超出的部分 (1)若甲用户今年已使用天然气，共缴费用1632元，求a的值； (2)在（1）的条件下，若某用户年用气量为，请用含x的式子表示每年支出的燃气费． 【答案】(1) (2)当时，每年支出的燃气费为元；当时， 每年支出的燃气费为元，当时，每年支出的燃气费为元． 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用； （1）由分段计费可得：，再解方程即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，再列代数式并化简即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为3． （2）解：当时，每年支出的燃气费为元； 当时， 每年支出的燃气费为元， 当时， 每年支出的燃气费为： 元． 6．我市居民生活用水实行阶梯式计量水价，实施细则如下表所示： 分档水量 年用水量 水价（元/吨） 第1级 180吨以下（含180吨） 5 第2级 吨（含260吨） 7 第3级 260吨以上 9 例：若某用户2020年的用水量为270吨，按三级计算则应交水费为：（元）． (1)如果小丽家2020年的用水量为200吨，求小丽家全年需缴水费多少元？ (2)如果小明家2020年的用水量为a吨，求小明家全年应缴水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） (3)如果全年缴水费2000元，则该年的用水量为多少吨？ 【答案】(1)小丽家全年需缴水费1040元 (2)小明家全年应缴水费元 (3)该年的用水量为320吨 【分析】（1）根据水价要按两级计算，用每一级的价格乘以每一级的用水量，再把所得的结果相加； （2）根据水价要按三级计算，用每一级的价格乘以每一级的用水量，再把所得的结果相加，最后进行化简即可． （3）先得出全年缴水费2000元，用水量大于260吨，由题意列出方程，进行求解． 此题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， ∴小丽家全年需缴水费1040元； （2）根据题意得：（元）， 答：小明家全年应缴水费元； （3）解：∵用水量为260吨，需缴水费：（元）， ∴全年缴水费2000元，用水量大于260吨， 设该年的用水量为x吨， 根据题意可得：， 解得：， ∴该年的用水量为320吨． 类型七、数轴动点求t 1．如图，数轴上A、B两点对应的数分别为，5 (1)A、B两点之间的距离是______，点P是数轴上任意一点，且，则点P对应的数是______； (2)点M、N分别是数轴上的两个动点，点M从点A出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，点N从原点O出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．则①点M表示的数是______，点N表示的数是______(用含t的代数式表示) ②经过t秒M、N两点运动到使得M点到A点的距离是N点到B点距离的2倍，求时间t的值． 【答案】(1)20， (2)①，；②或 【分析】（1）根据距离等于计算即可，设点P表示的数为，根据得，解答即可； （2）①设后，点M运动到点，点N运动到点，根据点M从点A出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，点N从原点O出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，则，，解答即可． ②设后，M点到A点的距离是，点N点到B点距离的为，根据题意，得解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 设点P表示的数为， 根据得， 解得， 故答案为：20，． （2）①解：设后，点M运动到点，点N运动到点， 根据题意，得，， 解得，， 故答案为：，． ②解：设后，M点到A点的距离是，点N点到B点距离的为， 根据题意，得， 故或， 解得或． 【点睛】本题考查了数轴表示有理数，数轴上的动点坐标，数轴上的两点间距离，解方程，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 2．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能形成量感，进而掌握世界尺度．“数轴”是数形结合的重要工具，在数轴上，两点的距离等于对应两数之差的绝对值．如：数轴上表示2和5的两点的距离为；再如，数轴上表示x和2的两点的距离为（若为正，距离即为；若非正，距离即为） 依据上述材料，解答下列问题： 如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且． (1)填空：a的值为_________，b的值为_________，点A与点B的距离为_________； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点N同时从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间t（）为秒． ①填空：点M表示的数是_________；点N表示的数是_________；（均用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，点M与点N的距离为3个单位长度？ 【答案】(1)；9；13 (2)①；；②或 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，理解题意，利用距离找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）利用绝对值和平方的非负性求出a、b的值，再根据题意求出距离即可； （2）①直接用含t的代数式表示点M和点N即可；②结合点M与点N的距离为3个单位长度列出方程，求解方程即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点A与点B的距离为． 故答案：；9；13． （2）①由题意得，点M表示的数是，点N表示的数是． 故答案为：；； ②点M与点N的距离为， 由题意得，， 或， 解得：或， 当或时，点M与点N的距离为3个单位长度． 3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为，b，则两点之间的距离． (1)【问题情境】已知数轴上点A表示的数为2，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为___________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为___________． (2)【情境应用】如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则___________； ②的最小值为___________； (3)【综合运用】在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为3． 【答案】(1)①；② (2)①或；② (3)经过或3秒后P、Q两点之间的距离为3 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，根据题意找到等量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）①根据点A表示的数和求解即可；②根据题意得到点C在点A和点B中间，然后列式求解即可； （2）①根据题意得到表示的是有理数x到有理数8的距离为2，然后分x在8左边和x在8右边两种情况，然后分别列式求解即可； ②根据题意得到表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离，然后得出当有理数x在和8之间时，的值最小进而列式求解即可； （3）设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：①∵数轴上点A表示的数为2，B是数轴上位于点A左侧一点，且 ∴数轴上点B表示的数为； ②∵数轴上有一点C到点A、点B的距离相等， ∴点C在点A和点B中间 ∵点A表示的数为2，点B表示的数为 ∴C表示的数为； （2）解：①表示的是有理数x到8的距离为2 ∴当x在8左边时，； 当x在8右边时，； 综上，或； ②表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离， ∴当有理数x在和8之间时，的值最小 ∴此的最小值为； （3）解：设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴ 整理得， ∴或 ∴或， ∴经过或3秒后P、Q两点之间的距离为3． 4．已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）利用绝对值表示出，，根据列出方程，解之即可． （3）由路程、速度、时间三者关系，根据分类谈论求出四种情况下的时间即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵，，点P对应的数为， 根据题意可得， ∵， ∴， 解得：或 ∴的值为或． （3）解：由上可知，， 当点在，点在上运动时，，， ∴当时，即， 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 当点、两点都在上运动时，，， ∴当时，即 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 综上，当时，运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数形结合思想，分类讨论的方法． 5．已知若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)填空：①A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为_____； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时，？ (4)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②， (2)当时相遇，相遇点表示的数为4 (3)当t为1或3时， (4)不变， 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，熟练掌握点的移动以及点所表示的数之间的关系是解题的关键． （1）①根据题意即可得到答案；②根据题意即可得到答案； （2）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可； （3）t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，根据题意列方程即可； （4）利用中点公式求得点M表示的数为：，点N表示的数为：，再根据两点间的距离可得到答案． 【详解】（1）解：①由题意，，A、B的中点为， ②由题意可得，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：①10，3；②，； （2）解：∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等， ∴，解得， ∵， ∴相遇点表示的数为4； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵且， ∴， 解得或； ∴当t为1或3时，； （4）解：不发生变化，理由如下： 点M，N分别为，的中点， 点M表示的数为：， 点N表示的数为：， 由两点间的距离公式可得：． 6．［阅读材料］ 在数轴上点表示的数为点表示的数为，则点到点的距离记为，若，线段的长度可以表示为；若，线段的长度可以表示为． ［问题探究］    (1)如图，点A在数轴上表示的数是8，点B在数轴上表示的数是，则______； (2)在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点O从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设两点的运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)在（1）的条件下，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动；同时点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向点A运动．当点M到达点B后，立即以原速返回，到达点A停止运动，当点N到达点A后，立即速度变为原速的一半返回，到达点B停止运动，请问：当点M运动时间为多少秒时，． 【答案】(1)18 (2)4或14 (3)或5或或 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出的长； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，根据，可列出关于的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出各时间节点，当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出的值；当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出的值． 本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：18； （2）解：当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：的值为4或14； （3）解：依题意，（秒），（秒），（秒），（秒）． 当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或； 当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：当点运动时间为或5或或秒时，． 类型八、三角板旋转求t 1．综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线的两侧，且，，．    (1)如图1，______； (2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图2，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则______； 当时，则______； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)135 (2)是的平分线；理由见解析 (3)125；25；；理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算，角平分线的定义，三角板中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握各个角度之间的关系． （1）根据三角板中各个角度的大小，结合图形进行解答即可； （2）先根据角平分线定义求出，得出，求出，即可证明结论； （3）根据已知角度，结合图形，分别求出、即可；根据，，得出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：135； （2）解：是的平分线；理由如下： 落在的平分线上， ， ， ； ， 即是的平分线． （3）解：当时，， ∴； 故答案为：125； 当时，， ∴； 故答案为：； ；理由如下： ， 又， ． 2．将一副直角三角板，，按如图叠加放置，其中与重合，，． (1)如图1，点在直线上，且位于点的左侧，求的度数； (2)将三角板从图位置开始绕点顺时针旋转，并记，分别为，的角平分线． ①当三角板旋转至如图的位置时，求的度数． ②若三角板的旋转速度为每秒，且转动到时停止，运动时间记为（单位：秒），试根据不同的的值，求的大小． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了角度的计算，利用角平分线定义和角的和差； （1）先根据三角板的度数得到的度数，再用即可； （2）①由角平分线的定义可得，，再根据，整理可得的度数； ②当，，，，时，分情况讨论． 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：①，分别为，的角平分线， ，， ； ②设，依题意，三角形的运动总时间为秒， 当时，在内部， ，， ； 当时，在外部， 当时，，如图， 此时，， ∴； 当时， ∴ ； 当时， 若、在直线同侧， 则，， ，， ； 若、在直线异侧， 则，， ，， ； 综上所述，不论为何值时，的大小为或． 3．已知，在下列各图中，点O为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，则的度数为_________°，的度数为_________°； (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，此时的度数为_________°； (3)在图2中，延长线段得到射线，如图3，则的度数为_________°；与的数量关系是_________（填“”、“”或“”）； (4)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为_________．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2) (3)， (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的运算以及角平分线的定义，解题关键：一是理解角平分线的定义，二是确定旋转到某一条件时旋转的度数． （1）利用两角互补，即可得出结论； （2）根据平分， 可得出，由可求得的度数； （3）根据直角三角板MON各角的度数以及图中各角的关系即能得出结论. （4）根据题中条件算出旋转到射线和射线的延长线恰好平分锐角时所旋转的度数，再除以速度即可得的值. 【详解】（1）解：∵，与互补， ∴， ∵， ∴. 故答案为：；； （2）解：∵三角板一边恰好在的角平分线上，， ， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴ 故答案为： ；； （4）解：当直线恰好平分锐角，此时则从图中的位置旋转到射线恰好平分锐角时所旋转的度数为： ， ∵速度为每秒， ∴， 解得； 当射线的反向延长线恰好平分时， 此时旋转的角度为：， ∵速度为每秒， ∴， 解得； 故答案为：或． 4．（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s． （ⅰ）________cm． （ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． （ⅰ）________度． （ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，________． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）10（ⅱ）；（2）（ⅰ）75（ⅱ）①的值为，，②当或时，存在 【分析】（1）（ⅰ）根据线段中点，可得答案；（ⅱ）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）（ⅰ）根据平角的定义即可得到结论；（ⅱ）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）（ⅰ）∵C为的中点 ∴． 故答案为：10； （ⅱ）存在， ①∵P的速度2，Q的速度是1， ∴， 又， ∴ ∴不是线段的中点； ②为线段的中点，得 ，解得； ③为线段的中点，得 ，解得 综上所述：或． （2）（ⅰ），， ， 故答案为：75； （ⅱ）①当平分时， ，， ， ， ， 当平分时， ， ， ； 当平分时， ， ， ， 综上所述，旋转角度的值为，，； ②当在的左侧时，则，， ， ， ； 当在的右侧时，则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在． 【点睛】本题考查了两点间的距离，角的计算，特殊角，角平分线的定义，利用线段中点的性质得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 5．一副三角板按如图1所示放置，边，在直线上，． 如图2，将三角板绕点O顺时针旋转到，转速为每秒钟转动，当旋转一周回到射线上时停止转动，设转动时间为秒． (1)当与重合时，直接写出的值； (2)①当正好平分时，在图1中画出此时的位置，并求出t的值； ②在旋转过程中，作的角平分线，当时．直接写出t的值． 【答案】(1)15秒 (2)①图见详解，的值为21秒；②的值为33或45秒 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据已知角的度数和平角的定义直接求度数即可； （2）①根据求解即可；②根据题意分两种情况得出的度数，求解即可． 【详解】（1）解：由题知， （秒）； （2）①如图所示： ∵正好平分 ∴ ， ∴ ， 的值为21； ②当在内部时， ， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 当在外部时， ∴ ∵平分 ∴ ∴转动的角度为：， 解得， 当时．的值为33或45（秒）． 6．如图1，已知，是含角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将三角板按图2位置放置，使一边在的内部，且恰好平分，若，问：此时直线是否平分？请说明理由． (2)将三角板按图3位置放置，此时发现，当在的内部时，绕点O旋转三角板，与的差值不变，请你写出这个差值，即___________°． 【答案】(1)直线平分，理由见解析 (2)30 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角度之间的和差关系，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，根据，得出，结合，即可得出结论； （2）根据图形得出，，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即直线平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：30． 类型九、新定义问题 1．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 (2)若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 【答案】(1)①③ (2)①，；②11 【分析】此题考查了整式的加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据“友好多项式”的概念将各项多项式相加求解判断即可； （2）①首先计算，然后根据“友好多项式”的概念得到，，即可求出、的值； ②将，代入求解即可． 【详解】（1）①∵，是常数， ∴与互为“友好多项式”； ②，不是常数， ∴与不互为“友好多项式”； ③，是常数， ∴与互为“友好多项式”； 综上所述，互为“友好多项式”的是①③； （2）①∵多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”， ∴ ∴， ∴，； ②∵， ∴多项式、的“友好值”． 2．如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 【答案】(1)是 (2)或或； (3)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义和“欢乐线”的定义可得； （2）分三种情况讨论，由“欢乐线”的定义，列出方程可求出的值； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒，由得到，，则，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“欢乐线”； 故答案为：是； （2）有三种情况：①若时，且， ∴； ②若时，且， ∴； ③若时，且， ∴． 故答案为：或或； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒， 由得到， ， 则， ∴射线为的“欢乐线”． 3．定义1：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“互余分割线”．定义2：若射线在的内部，且将分成的两个角的比为，则称射线是的三等分线． (1)如图，，，请判断是否为的“互余分割线”，并说明理由； (2)若射线为的“互余分割线”，且是的三等分线， ①________； ②若的度数小于，过点作射线，使得，求的度数．(本题中涉及的所有角都小于平角) 【答案】(1)见解析 (2)①或；②或 【分析】本题考查了三等分线的定义，余角等 （1）先求出的度数，根据，即可判断； （2）①根据三等分线的定义和“互余分割线”的定义可知，进一步求解即可；②画出图，由①中算出的角度可知，再根据，求出和，求解即可． 【详解】（1）解：是的“互余分割线”，理由如下： ，， ， ， 是的“互余分割线”； （2）解：①∵是的三等分线， ∴，或， 为的“互余分割线”， 或， 解得或 故答案为：或； ②如图， ∵的度数小于， ∴，， ∵ ∴ 即 ， 解得， 当时， ∵， 当时， ， ， ， 综上所述，的值为或． 4．定义：若，则称a与b是关于7的幸福数． (1)10与________是关于7的幸福数，与________是关于7的幸福数．（填一个含x的代数式） (2)若，，判断a与b是否是关于7的幸福数，并说明理由． (3)若，，且c与d是关于7的幸福数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【答案】(1)，； (2)与是关于7的幸福数，理由见解析 (3)非负整数的值为0或1或3 【分析】本题考查了新定义，整式的加减计算，解一元一次方程： （1）根据幸福数的定义列式求解即可； （2）将和相加，化简，看最后的结果是否为3即可； （3）根据，，且与是关于3的幸福数，可以得到和的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当为正整数时，非负整数的值． 【详解】（1）解：， 10与是关于7的幸福数，， ， 与是关于7的幸福数， 故答案为：，； （2）解：与是关于7的幸福数， 理由：，， ， 与是关于7的幸福数； （3）解：，，且与是关于7的幸福数， ， ， ， ∴， 为非负整数，x为正整数， 可能是1，2，4， 当时，，得； 当时，，得， 当时，，得， 非负整数的值为0或1或3． 5．【定义新知】 在数轴上，点M和点N分别表示数m和n，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离d，即． 【初步应用】 （1）在数轴上，点A、B、C分别表示数、2、x，解答下列问题： ① ； ②若，则x的值为 ； ③若，且x为整数，则x的取值有 个． 【综合应用】 （2）在数轴上，点A、B分别表示数6，．M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位；点N从B点出发，速度为每秒6个单位；点P从原点出发，速度为每秒1个单位．点M、N、P同时向右运动，若，求动点M运动的时间． 【答案】（1）①3；②1或；③4；（2）点M运动的时间是秒或秒 【分析】本题考查两点间的距离、绝对值、一元一次方程的应用，掌握数轴上点对应的数的表示方法、两点间的距离、绝对值的几何意义及一元一次方程的解法是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式计算即可； ②根据两点间的距离公式列绝对值方程并求解即可； ③根据两点间的距离公式列绝对值方程并由绝对值的几何意义解答即可； （2）设它们运动的时间是t，分别将点M、N、P表示的数表示出来，根据两点间的距离公式列绝对值方程并求解即可． 【详解】解：（1）①． 故答案为：3． ②∵， ∴或． 故答案为：1或． ③根据题意，得，即， ∵表示的几何意义是x对应的点到对应的点的距离与到2对应的点的距离之和， ∴， ∵x为整数， ∴， ∴x的取值有4个． 故答案为：4． （2）设它们运动的时间是t，则点M表示的数是，点N表示的数是，点P表示的数是t， 根据题意，得，即， 解得t或， ∴点M运动的时间是秒或秒． 6．某校七年级数学兴趣小组发现一组有趣的有理数对，定义如下：两个有理数和，称为一组有理数对，记作若有理数对满足，称有理数对为“线性数对”．例如，有理数对，即，，有，那么就是“线性数对”． (1)两组有理数对，，可以称为“线性数对”的是__________； (2)如果有理数对是“线性数对”，求的值； (3)如果有理数对是“线性数对”（，），求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用，整式加减运算的化简求值．理解题意，掌握运算规则进行求解是解题的关键． （1）根据定义进行求解，然后判断作答即可； （2）由有理数对是“线性数对”，可得，计算求解即可； （3）有理数对是“线性数对”，可得，整理得，，根据，代值求解即可． 【详解】（1）解：有理数对，，， ∵， ∴为“线性数对”； 同理可求，，， ∵， ∴不为“线性数对”； 故答案为：； （2）解：∵有理数对是“线性数对”， ∴， ， 解得，； （3）解：∵有理数对是“线性数对”， ∴，整理得，， ∴， ∴的值为4． 类型十、综合实践问题 1．【问题情境】 李老师给同学们布置了一项综合实践任务：利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品． 【操作探究】 (1)同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．如图1，你觉得图案 ___________（填序号）经过折叠能围成正方体纸盒．（答案直接填写在答题卡的横线上．） (2)小辰刚好有一张边长为的正方形硬纸板，他打算在硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．如图2，设底面边长为，则这个纸盒的底面积是 ___________，高是 ___________（用含x的代数式表示）．（答案直接填写在答题卡的横线上．） (3)小颖所在的综合实践小组折叠得到了6个棱长都为的无盖正方体纸盒，将它们摆成如图3所示的几何体． (4)①求这个几何体的体积； ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加 ___________个正方体纸盒．（答案直接填写在答题卡的横线上．） 【答案】(1)②③ (2)，； (3)①；②3 【分析】本题考查正方体的展开图，从不同方向看几何体，熟练掌握正方体的11种展开图，良好的空间想象能力，是解题的关键： （1）根据正方体的11种展开图，以及展开图中不能出现凹字形，田字形，进行判断即可； （2）观察图形可知，长方体的底面为边长为的正方形，高为cm，作答即可； （3）①用一个小正方体的体积乘以小正方体的数量，进行求解即可； ②根据保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，可以在第二层第一行的第1，第3，第4列各添加一个小正方形，即可得出结果． 【详解】（1）解：观察可知：第①个图形不能围成正方体，第②和第③个图形可以围成正方体； 故答案为：②③； （2）观察可知：长方体的底面为边长为的正方形，高为cm， ∴长方体的底面面积为：， 故答案为：，； （3）①几何体的体积为：； ②保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以在第二层第一行的第1，第3，第4列各添加一个小正方形，共3个； 故答案为：3． 2．【综合与实践】 木杆与重物 学习了一元一次方程后，老师在综合实践课上让同学们探讨木杆与重物的实验问题，实验通过改变的长度和砝码的重量来保持木杆的平衡，并用表格记录了实验数据如下： 【实践发现】 实验次数 左边 右边 砝码重量（克） 支点O到左边挂重物处的距离 砝码重量（克） 支点O到右边挂重物处的距离 1 20 40 20 40 2 20 40 40 20 3 20 40 60 13．33 4 20 40 80 10 5 20 40 100 8 … 小明从表中发现这样的规律：， ， ， ， ，… ． 【实践运用】 根据上面规律解决下列问题： (1)若，则 ； (2)若的重量是50克，的长度是，的长度是，则等于多少克才能保持木杆平衡？ (3)学习小组根据这个原理自制了一个杆秤，如图所示，提纽处O是支点，已知为，秤砣重量是克，不放重物时，秤砣放在C处时秤杆平衡，此时，放入重物时，秤砣放在B处时秤杆平衡，此时，则重物的重量约是多少斤？（1斤克） 【答案】(1)16 (2)等于200克才能保持木杆平衡 (3)重物的重量约是4斤 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）解一元一次方程，即得答案； （2）将，，的值代入并求解，即得答案； （3）先设秤盘的重量为x克，列方程，得到秤盘的重量为克，再设秤盘和重物的总重量为y克，列方程，求得秤盘和重物的总重量为克，因此重物的重量为克，经过单位换算，即得答案． 【详解】（1）， ； 故答案为：16． （2）若的重量是50克，的长度是，的长度是， 则， 解得， 答：等于200克才能保持木杆平衡； （3）设秤盘的重量为x克， 则， 解得， 设秤盘和重物的总重量为y克， 则， 解得， （克）， （斤）， 答：重物的重量约是4斤． 3．综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？ 【操作探究】下面是“指挥小组”的探究过程； 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 探究过程：设每个乒乓球的质量是x克． 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量 记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x ______ 记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 4x ______ 【解决问题】 （1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示； ②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量． 【拓展设计】 （2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题： 请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球______个 一次性纸杯______个+1个10克的砝码 平衡 并利用方程的知识说明理由． 【答案】（1）①；②一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为3克（2）不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可 【分析】此题考查的是等式的性质，列代数式， （1）①由题目中的数量关系可得答案； ②根据题意列出方程，求解可得答案； （2）根据等式的性质可得答案． 【详解】解决问题 解：①根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：； 记录二中的一次性纸杯的总质量为：， 故答案为：；， ②由题意得：， 解得：， ， 答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为3克． 及时迁移 （2）解：将天平左边放置4个乒乓球，天平右边放置2个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡． 故答案为：4个乒乓球，2个一次性纸杯和1个10克的砝码， 理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 故答案为：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 4．某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有________；（只填序号）    【制作纸盒】 综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子． 如图⑤，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图⑥，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子，则制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍；    【拓展探究】 若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体形盒子表面展开图的外围周长最小为________． 【答案】（1）①③；（2）2；（3）50 【分析】本题考查了正方体和长方体的表面展开图，长方体的体积，解题的关键是掌握正方体的展开图的11种情况，长方体的体积公式． （1）根据正方体的展开图有11种情况：1−4−1型共6种，1−3−2型共3种，2−2−2型一种，3−3型一种，再根据无盖正方体只有5个面，找出答案即可； （2）根据图形，分别求出有盖和无盖盒子的长宽高，根据长方体的体积公式，求出两个盒子体积，即可解答； （3）根据题意，画出该长方体表面展开图，使长度为的边最少，的边其次，的边最多，即可解答． 【详解】解：（1）根据题意可得：可能是无盖正方体的表面展开图的有①③， 故答案为：①③； （2）无盖长方体形盒子的长为， 无盖长方体形盒子的宽为， 无盖长方体形盒子的高为， 无盖长方体形盒子的体积为， 有盖长方体形盒子长为， 有盖长方体形盒子宽为， 有盖长方体形盒子高为， 有盖长方体形盒子的体积为， ， 故答案为：2； （3）当该长方体形盒子表面展开图如图所示时，表面展开图的外围周长最小， ， 故答案为：50．    5．综合实践 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点、点表示的数分别为，则线段的长（点到点的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． (1)【问题探究】请在图2中表示出、、三点的位置： (2)【问题探究】若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点、从点、点分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动． 设移动时间为秒． ①两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； ③试探究在移动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)画图见解析 (2)①；②，，；③不变，值为 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，整式的加减的应用，数轴，列代数式； （1）利用数轴上的点表示即可； （2）①根据两点间距离公式求解即可；②先求出各点运动的距离，再求出对应的数即可；③由移动时间为秒知点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，据此得出和的长，再代入化简可得． 【详解】（1）解：、、三点的位置在数轴上表示如图所示： （2）①， ②如图2， 由题意得：，，， 秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ③在移动的过程中，的值不随着时间的变化而变化，理由如下： ， ， ． 在移动的过程中，的值总等于，保持不变． 6．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．    (1)如图2，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①旋转到图3的位置，的度数是多少？（用含的代数式表示） ②在旋转过程中，若，则此时的值． 【答案】(1)； (2)；或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键． （1）根据，以及角的和差计算即可； （2）①先求，再利用得出结论； ②分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；． （2）解：①∵，， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； ②当旋转到左侧时，如图所示：    ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当旋转到右侧时，如图所示：    设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为：或． 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$