压轴题02 相似三角形四种解题模型-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版）

压轴题02 相似三角形四种解题模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 模型一、“8”字型及其变形 2 模型二、“A”字型及其变形 9 模型三、“手拉手”旋转型 15 模型四、“三垂直”模型与“一线三等角”模型 20 压轴能力测评（4题） 25 【模型】一、“8”字型及其变形 模型展示： (1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔＝＝. (2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔＝＝. 图1 　 　　 图2[来源 【模型】二、“A”字型及其变形 模型展示： (1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝. (2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝. (3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔＝＝.[来源:学科网] 图1　 　图2 　　图3 【模型】三、“手拉手”旋转型 模型展示： 如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com] 【模型】四、“三垂直”模型与“一线三等角”模型 模型展示： (1)“三垂直”模型 如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型 如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　[来源:学科网] 【模型】一、“8”字型及其变形 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点．    ∵， ∴． ∴， ∴，， 设，，则，，正方形边长为， ∴． 由翻折和正方形的性质可得，． ∴． ∴，即， ∴． ∴． 在中，， ∴． 解得：（舍），． ∴． 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．（2023秋•榆林期末）已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形． 【解答】证明：（1）四边形是平行四边形， ，． ，． ，． ． ． （2）， ． ， ． ， ． ，即． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ，即． 平行四边形是菱形． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 4．（2023·江苏南通·一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点． (1)当时，求的度数用含的式子表示； (2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，是定值 (3) 【分析】根据翻变换的性质可以得到，加上对顶角相等得到的，从而得到，进而得到对应边成比例，再根据比例的性质得到，加上对顶角相等得到的证明出： ，最终得到对应角相等得出结果． 如图中，连接，证明是等腰直角三角形，可得结论； 证明是等边三角形，可得结论． 【详解】（1）如图中，设交于点． 四边形是正方形， ，， ， 由翻折变换的性质可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2），是定值． 理由：如图中，连接，． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 同法可证，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图中，当时， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 【模型】二、“A”字型及其变形 1．（2023秋•锦江区期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点，，，，在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米． （1）求明德楼的高； （2）求塑像的影长． 【解答】解：（1），米， 米， 由题意得：， ， ， ， ， 解得：， 明德楼的高为12米； （2）由题意得：， ， ， ， ， 解得：， 塑像的影长为4米． 2．（2023秋•金牛区期末）学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）为，离小李处的小张拿一根高的标杆直立地面，小张离教学楼，此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼的高度． 【解答】解：如图，过点作于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 即， 解得， （米， 答：教学楼的高度为16.6米． 3．（2023秋•晋中期末）小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端，，然后不断调整站立的位置，在点处时恰好能看到该大树的顶端和底部．（图中所有点均在同一平面，点，，在同一条直线上．经测量，小明的手臂长，点到树底端的距离，求大树的高度． 【解答】解：，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 答：大树的高度为． 4．（2023秋•海门区期末）如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是20米，，两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆后退160米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？ 【解答】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 解得：， 山峰的高度为70米，它和标杆的水平距离是200米． 5．（2023秋•莱西市期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题： （1）取何值时，平分； （2）设的面积为，求与的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：，，， ，， 是的直径， ， 在中，， ，， ， ，即， ， ， 当时，平分， ， 解得：， 当时，平分； （2）如图，过点作于点， ， ，即， ， ，， ，即， ， ； （3）存在某一时刻，使与相切．理由如下： 如图，过点作于点， 由（1）（2）知： ， ，， ， ， ， ， ， ， 与相切， ， ， ， ， ，即， 解得：， 当时，与相切． 【模型】三、“手拉手”旋转型 1．（2023秋•包河区期末）已知：如图，在中，点在边上，，，与交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：． 【解答】（1）证明：，，， ， ， ， ； （2）证明：如图，， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ． 2．（2023秋•陵城区期末）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． （1）如图①，当点在线段上时，且，求证：； （2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：； （3）在（2）的条件下，若，时，求点、两点间的距离．（用含的代数式表示） 【解答】（1）证明：如图1中， 和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）如图2， ，即， ， ， 又， ； （3）解：， ， ， ， 解得：， ， ， ，， 在中，． 3.（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【详解】（1）证明：∵和都为等边三角形， ∴ ∴， 即， ∴ （2）解：∵； ∴， 设交于O， ∵， ∴； 如图①在上取点F，使，    同（1）可得 ∴为等边三角形， ∴； （3）解：    如图②，过点Q作于G，设， ∵点Q、R分别是等边和等边的重心， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 【模型】四、“三垂直”模型与“一线三等角”模型 1．（2023秋•龙川县校级期末）已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【解答】（1）证明：是等边三角形， ，， ，， ； （2）解：由（1）证得， ， 设，则， ， 或， 或． 2．（2023秋•西固区期末）【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点．易证：．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点． （1）求证：． （2）若，，为的中点，求的长． 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为 　或2　． 【解答】【探究】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：为的中点， ， 由（1）知， ， 即， ； 【应用】解：如果，则，，则点与点重合，点与点重合，不符合题意， ②如果，则， 为的外角， ， ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ，，， ， ； 如果，则， ， 在中，， ， ， 又， 点为的中点， ， 综上，的长为或2， 故答案为：或2． 3．（2023秋•蒙城县期末）如图1，在四边形中，是对角线，且．是边上一动点，连接，，交于点，其中，． （1）求证：； （2）若，． ①如图2，若，求的值； ②如图3，若，求的面积． 【解答】（1）证明：， ， ，， ， ， ， 即； （2）解：①， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； ②如图，过点，分别作，，垂足分别为，，过点作于点， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， 又，则， ． 又， ， ， 则， ， 则， ， ， ， 由， 得， ， ， ． 1．（2023秋•市南区期末）如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）当为何值时，； （2）在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：，， ，， ，， ， ， ，即， 解得：， 当时，； （2）存在某一时刻，使得的面积等于6． 理由如下： 过点作于，作于，如图1， 则， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：，， ， ， 当时，的面积等于6． （3）存在，使得． 理由如下： 如图2，过点作于，于，交于，过点作于， 则，， 是的中点， ，，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ，， ， ，即， ，， ， ，， ， ，即， 解得：； 存在，使得． 2．（2023秋•榆林期末）已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形． 【解答】证明：（1）四边形是平行四边形， ，． ，． ，． ． ． （2）， ． ， ． ， ． ，即． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ，即． 平行四边形是菱形． 3．（2023秋•谢家集区期末）已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处． （1）求证：； （2）若时，求． 【解答】解：（1）证明：等边 将沿折叠，点落在边上的处． 又 ； （2） 设，则， 翻折， 设， ，， 由得： ① 由得： ② 由①②解得：， ． 4.（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求正方形的边长． 【详解】（1）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． 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(2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔＝＝. 图1 　 　　 图2[来源 【模型】二、“A”字型及其变形 模型展示： (1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝. (2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝. (3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔＝＝.[来源:学科网] 图1　 　图2 　　图3 【模型】三、“手拉手”旋转型 模型展示： 如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com] 【模型】四、“三垂直”模型与“一线三等角”模型 模型展示： (1)“三垂直”模型 如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型 如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　[来源:学科网] 【模型】一、“8”字型及其变形 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 2．（2023秋•榆林期末）已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 4．（2023·江苏南通·一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点． (1)当时，求的度数用含的式子表示； (2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由； (3)若，求的值． 【模型】二、“A”字型及其变形 1．（2023秋•锦江区期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点，，，，在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米． （1）求明德楼的高； （2）求塑像的影长． 2．（2023秋•金牛区期末）学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）为，离小李处的小张拿一根高的标杆直立地面，小张离教学楼，此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼的高度． 3．（2023秋•晋中期末）小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端，，然后不断调整站立的位置，在点处时恰好能看到该大树的顶端和底部．（图中所有点均在同一平面，点，，在同一条直线上．经测量，小明的手臂长，点到树底端的距离，求大树的高度． 4．（2023秋•海门区期末）如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是20米，，两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆后退160米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？ 5．（2023秋•莱西市期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题： （1）取何值时，平分； （2）设的面积为，求与的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 【模型】三、“手拉手”旋转型 1．（2023秋•包河区期末）已知：如图，在中，点在边上，，，与交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：． 2．（2023秋•陵城区期末）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． （1）如图①，当点在线段上时，且，求证：； （2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：； （3）在（2）的条件下，若，时，求点、两点间的距离．（用含的代数式表示） 3.（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【模型】四、“三垂直”模型与“一线三等角”模型 1．（2023秋•龙川县校级期末）已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 2．（2023秋•西固区期末）【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点．易证：．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点． （1）求证：． （2）若，，为的中点，求的长． 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为 　或2　． 3．（2023秋•蒙城县期末）如图1，在四边形中，是对角线，且．是边上一动点，连接，，交于点，其中，． （1）求证：； （2）若，． ①如图2，若，求的值； ②如图3，若，求的面积． 1．（2023秋•市南区期末）如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）当为何值时，； （2）在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（2023秋•榆林期末）已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形． 3．（2023秋•谢家集区期末）已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处． （1）求证：； （2）若时，求． 4.（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求正方形的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$