（温故知新篇）专题01 圆的周长与面积-2024-2025学年北师大版数学六年级上学期寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学六年级上学期寒假学习讲义（温故知新篇） 专题01 圆的周长与面积 （导图+知识点+易错点+培优卷） 知识点01：圆的认识 1、圆是由一条曲线围成的平面图形。(以前所学的图形如长方形、梯形等 都是由几条线段围成的平面图形) 2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O 表示;连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d 表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。 3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动;两脚间的距离必须保持不变； 要旋转一周。 4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的 2 倍。(d=2r,r=d÷2) 5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。 6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。 7、正方形里最大的圆: 两者联系：边长=直径画法： 画出正方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 8、长方形里最大的圆: 两者联系：宽=直径画法： 画出长方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。 知识点02：扇形的认识 1.圆上两点间的曲线是弧； 2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形； 3.顶点在圆心的角叫作圆心角； 4.在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 知识点03：圆的周长 1、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。 每分前进米数(速度)=车轮的周长×转数 2、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做 圆周率。用字母π(读 pài)表示。π是一个无限不循环小数。π=3.141592653……我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值 3.14。π>3.14 3、如果用 C 表示圆的周长，那么 C=πd 或 C = 2πr 4、求圆的半径或直径的方法： d=C÷π r =C÷ π÷2= C÷2π 5、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。C 半圆= πr+2r C 半圆= πd÷2+d 6、常用的 3.14 的倍数： 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 知识点04：圆及圆环的面积 1、圆的面积公式：S=πr²。 圆的面积是半径平方的π倍。 2、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面 积相等(即S 长方形=S 圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=c/2=πr)。 即：S 长方形= a × b S 圆 = πr × r=πr² 注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。 C 长方形=2πr+2r=C 圆+d 3、半圆的面积和周长。S 半圆=πr²÷2 C 半圆=C/2+d 4、大小两个圆比较，半径的倍数=直径的倍数=周长的倍数， 面积的倍数=半径的倍数的平方 5、周长相等的平面图形中，圆的面积最大； 面积相等的平面图形中，圆的周长最短。 6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法 分配律进行简便计算。S 圆环=πR²－πr²=π(R²－r²) 7、常用的平方数： 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 易错知识点01：圆的特征误解 学生可能会误认为圆内所有线段都是半径或直径，实际上，只有通过圆心且两端在圆上的线段才是直径，从圆心到圆上任一点的线段才是半径。 易错知识点02：半径与直径关系混淆 学生可能不清楚半径是直径的一半，或直径是半径的两倍这一关系，导致在计算时出错。 易错知识点03：圆周率π的理解 π是一个无理数，常取近似值3.14进行计算。学生可能误将π等同于3.14，而忽略其精确值的无限不循环特性。 易错知识点04：圆的周长计算错误 在应用圆的周长公式C = πd或C = 2πr时，学生可能因对公式理解不透彻或计算粗心而导致结果错误。 易错知识点05：对称轴理解偏差 圆有无数条对称轴，即每条经过圆心的直线都是对称轴。学生可能误认为只有几条特定的直线才是圆的对称轴。 易错知识点06：圆与直线、其他圆的位置关系判断失误 在判断圆与直线、其他圆的位置关系时，如相切、相交、相离等，学生可能因对概念理解不准确而做出错误判断。 （难度系数：0.39 较难） 1、 慎重选择(共5题；每题2分，共10分) 1．（2分）（2024六上·期末）下图中，三个圆的圆心在同一条直线上，大圆的周长和两个小圆的周长之和比较，结果是(　　) A．大圆的周长长 B．小圆的周长和长 C．两者相等 【答案】C 【规范解答】解：因为大圆的半径等于小圆的直径，所以大圆的周长和两个小圆的周长之和相等； 故答案为：C。 【思路点拨】根据圆的周长公式C=2πr，通过观察图形可知，大圆的半径等于小圆的直径，所以大圆的周长和两个小圆的周长之和相等，据此解答。 2．（2分）下图是两个同等大小的小半圆和一个较大的半圆。从甲地到乙地有A、B两条路可走，这两条路的长度相比，(　　)。 A．路线A长 B．路线 B长 C．同样长 【答案】C 【规范解答】解：设大圆的半径是r，周长=πr； 小圆的直径是r，周长=πr； 所以 这两条路的长度相比 ，同样长。 故答案为：C。 【思路点拨】路线A的长度等于大圆周长的一半，设大圆的半径是r，据此表示出大圆的周长；路线B的长度等于小圆的周长，小圆的直径等于大圆的半径，据此表示出小圆的周长；再进行比较即可。 3．（2分）（2024六上·廉江月考）如下图，四个小圆的周长的和与大圆的周长相比（　　）。 A．大圆周长长 B．大圆的周长短 C．一样长 D．无法比较 【答案】C 【规范解答】解：设这五个圆的直径从大到小分别是d1，d2，d3，d4，d5，且d2+d3+d4+d5=d1 大圆的周长=πd1 四个小圆的周长之和 =πd2+πd3+πd4+πd5 =π（d2+d3+d4+d5） =πd1 所以，大圆的周长等于四个小圆的周长之和。 故答案为：C。 【思路点拨】观察图形发现四个小圆的直径之和等于大圆的直径，可以设这五个圆的直径从大到小分别是d1，d2，d3，d4，d5，且d2+d3+d4+d5=d1；然后根据圆的周长公式C=πd，分别求出大圆的周长、四个小圆周长的和，再比较，得出结论。 4．（2分）（2024六上·廉江月考）一块长12米，宽8米的长方形铁皮里剪出半径是1.5米的小圆（不能剪拼），最多能剪出（　　）个。 A．8个 B．11个 C．13个 D．10个 【答案】A 【规范解答】解：1.5×2=3（米） 12÷3=4（个） 8÷3=2（个）......2（米） 4×2=8（个） 最多能剪出8个。 故答案为：A。 【思路点拨】小圆的直径是1.5×2=3(米)，求出长方形的长、宽分别含有几个小圆直径，相乘即可。 5．（2分）下图阴影部分的面积是30cm2，圆环的面积是（　　） cm2。 A．251.2 B．188.4 C．2826 D．1256 【答案】B 【规范解答】解：R×R÷2-r×r÷2=30 R2÷2-r2÷2=30 -=30 （-）×2=30×2 （R2-r2）=60 圆环的面积： π（R2-r2） =3.14×60 =188.4（cm2） 故答案为：B。 【思路点拨】观察图可知，阴影部分的面积=大三角形的面积-小三角形的面积，大三角形的底和高都是R，小三角形的底和高都是r，三角形的面积=底×高÷2，由此可以求出（R2-r2），圆环的面积=π（R2-r2）。 2、 判断正误(共5题；每题1分，共5分) 6．（1分）（2024六上·期末）半圆的周长等于圆周长的一半，半圆的面积等于圆面积的一半。(　　) 【答案】错误 【规范解答】解：半圆的周长为圆周长的一半再加上一条直径，半圆的面积是圆面积的一半，原说法错误； 故答案为：错误。 【思路点拨】半圆的周长为圆周长的一半再加上一条直径，半圆的面积是圆面积的一半，据此解答即可。 7．（1分）一个圆的半径是2dm，它的周长与面积相等。 【答案】错误 【规范解答】解：周长和面积的意义不同，无法比较大小，原题说法错误。 故答案为：错误 【思路点拨】圆的周长是围成圆形一周的曲线长度，圆的面积是平面图形的大小，周长和面积的意义是不同的。 8．（1分）（2024六上·廉江月考）用同样长的铁丝围成圆的面积比正方形的大。（　　） 【答案】正确 【规范解答】解：假设周长都是62.8厘米，正方形的面积是： (62.8÷4)×(62.8÷4) =15.7×15.7 =246.49(平方厘米) 圆的面积是： 3.14×(62.8÷3.14÷2)2 =3.14÷102 =3.14×100 =314(平方厘米) 246.49<314 所以圆的面积大，原说法正确。 故答案为：正确。 【思路点拨】假设这根长的铁丝的周长都是62.8厘米，根据圆的周长公式：C=2πr，正方形的周长公式：C=4a，分别求出半径和正方形的边长，再根据圆的面积公式：S=πr2，正方形的面积公式：S=a2，求出它们的面积，进行比较即可。 9．（1分）在面积相等的长方形、正方形和圆中，周长最长的是长方形。(　　) 【答案】正确 【规范解答】解：设三种图形的面积均为4，则正方形的边长为2，周长为2×4=8； 圆的半径的平方为4÷3.14≈1，半径也约等于1，周长约为 2×3.14×1=6.28；此时正方形的周长比圆的周长长； 假设长方形的宽是1，长就是4，周长就是（1+4）×2=10，综合比较，长方形的周长最长。 故答案为：正确。 【思路点拨】本题可以先假设出面积为4，然后分析对比正方形和圆的周长。对于长方形，可以假设出长和宽，也可以分析“当两个整数的积相等时，这两个数相等时其和最小，因此长方形与正方形面积相等，长方形的周长比正方形的周长长，所以面积相等的长方形、正方形和圆中，周长最长的是长方形”。 10．（1分）（2023六上·合川期中）把一个半圆剪拼成一个近似长方形后，它的面积不变，周长也不变。（　　） 【答案】正确 【规范解答】解：我们首先明确两个几何图形的基本特征： 半圆的周长由半个圆周加上直径组成，其面积是整个圆面积的一半。 长方形的周长由两组相等的长边和宽边组成，其面积由长和宽的乘积决定。 当把一个半圆剪拼成一个近似长方形时： 剪拼过程中，所占空间大小不变，因此面积保持不变。 长方形的周长将包含两个长边，两个宽边。其中，长边的长度等于半圆的半周长，而宽边的长度等于半圆的半径。因此，与半圆的周长相比，长方形的周长由于增加了两个半径作为宽边，周长实际上增加了。 综上所述，面积不变，周长增加，因此题目中的陈述“它的面积不变，周长也不变”是错误的。 故答案为：错误。 此题的关键在于理解剪拼操作对周长和面积的影响。虽然面积不发生变化，这是因为图形所占空间大小保持不变；但周长的变化则与图形的边界长度有关，半圆变为长方形时，新增的两个宽边（即两个半径）导致周长增加。这一变化突出了周长和面积概念的区别以及它们如何受图形形状变化的影响。 三、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共13分) 11．（1分）（2024六上·浙江期末）如下图，已知其中一个小圆的面积是3π平方米，那么正方形的面积是　 　平方米。 【答案】108 【规范解答】解：3π÷π=3（米） 3×4×9 =12×9 =108（平方米） 故答案为：108。 【思路点拨】从图中可以看出，把这个正方形平均分成9个小正方形，每个小圆是正方形中最大的圆； 小圆的半径2=小圆的面积÷π，得到的是小正方形的面积，所以小正方形的面积=小圆的半径2×4，所以大正方形的面积=小正方形的面积×9。 12．（2分）（2024六上·期末）用A、B、C三张边长相等的正方形纸剪圆形(如下图，同一张纸上剪出的每个圆面积均相等)，如果 A 纸上剪出的最大圆的面积是 ，B纸上剪出的每个圆的面积是　 　，C纸剪去9个圆后剩下的面积是　 　。 【答案】； 【规范解答】解：， 所以ABC减去的圆的面积和相等， 剪去9个圆后剩下的面积是； 故答案为：；。 【思路点拨】由A 纸上剪出的最大圆的面积可以推出正方形边长为a，则B中圆的半径为，据此求出B纸上剪出的每个圆的面积，可以发现，B纸上剪出的每个圆的面积是A纸上剪出的最大圆的面积的，所以ABC减去的圆的面积和相等，剪去9个圆后剩下的面积即为正方形面积-A纸上剪出的最大圆的面积。 13．（2分）用圆规画一个直径为2cm 的圆，圆规两脚间的距离应取　 　cm，所画圆的周长是　 　cm。 【答案】1；6.28 【规范解答】解：2÷2=1（厘米） 3.14×1×2=6.28（厘米） 故答案为：1；6.28。 【思路点拨】圆规两脚间的距离应取圆的半径长度，即直径的一半。根据圆的周长公式 C=2πr，可以计算出圆的周长。 14．（2分）（2024六上·会东期中）两个圆的半径的比是2：5，周长的比是　 　，面积比是　 　。 【答案】2：5；4：25 【规范解答】解：周长的比是2：5， 面积的比：22：52=4：25 故答案为：2：5；4：25。 【思路点拨】 两个圆的半径比，等于周长的比，面积比是半径的平方的比。 15．（2分）（2024六上·盐田期中）一个挂钟分针长6厘米，从12：00到12：30，这根分针的针尖走了　 　厘米，这根分针扫过的面积是　 　平方厘米。 【答案】18.84；56.52 【规范解答】解：2×3.14×6×＝18.84（厘米） 3.14×62× ＝3.14×36× ＝56.52（平方厘米）。 故答案为：18.84；56.52。 【思路点拨】先观察分针走了半圈，即是圆周长的一半，也就是圆周长的一半，圆的周长=π×半径×2，用2×3.14×6×，即可求出分针的针尖走过的路程，圆的面积=π×半径×半径，据此计算。 16．（2分）从一个边长是10cm的正方形纸片中剪去一个最大的圆，圆的面积是　 　cm2，剩下部分的面积是　 　cm2。 【答案】78.5；21.5 【规范解答】解：10÷2=5（厘米） 3.14×52=78.5（平方厘米） 10×10-78.5 =100-78.5 =21.5（平方厘米）。 故答案为：78.5；21.5。 【思路点拨】从正方形纸片中剪去一个最大的圆，这个圆的直径=正方形的边长，圆的面积=π×半径2，剩余部分的面积=正方形的边长×边长-最大圆的面积。 17．（1分）下图中，大正方形的面积是25cm2，小正方形的面积是9cm2，那么圆环的面积是　 　。 【答案】50.24平方厘米 【规范解答】解：π×（25-9） =3.14×16 =50.24（平方厘米）。 故答案为：50.24平方厘米。 【思路点拨】正方形的面积=边长×边长，圆环的面积=π×（R2-r2） ；其中，R2=25，r2=9。 18．（1分）（2024·期末） 一个大挂钟，分针长是 20厘米，分针走了15分钟，扫过的面积是　 　平方厘米。 【答案】314 【规范解答】15分钟走过扇形的圆心角是360°÷12×3=90° 3.14×202×（90°÷360°） =3.14×400× =314（平方厘米） 故答案为：314 【思路点拨】分针扫过的形状是一个扇形，扇形的半径为 20厘米，分针15分钟走过扇形的圆心角为 90°，也就是 圆，根据圆的面积计算公式求解。 四、看图列式计算(共1题；共6分) 19．（6分）（2024·期末）求涂色部分的面积。(单位：cm) （1）（3分） （2）（3分） 【答案】（1）解：根据图形所示，可知， 涂色部分面积为： =3.14×16 =50.24（cm2） 答：涂色部分的面积为50.24cm2 （2）解：根据图形所示，可知 涂色部分面积为： =3.14×36÷2-3.14×32 =3.14×18-3.14×9 =3.14×9 =28.26（cm2） 答：涂色部分的面积为28.26cm2 【思路点拨】（1）观察图形，可知，涂色部分面积等于以4cm为半径的圆的面积，利用圆的面积公式：s=兀r2即可求解 （2）观察图形可知，涂色部分面积等于以6cm为半径的圆的面积的一半减去以（6÷2）cm为半径的圆的面积，利用圆的面积公式：s=兀r2即可求解 五、解决实际问题(共11题；共66分) 20．（6分）（2024六上·期末）宇轩用纸剪了一个风车图案(如图)，这个图案中间部分是一个边长为15 cm的正方形，这个图案的周长和面积各是多少？ 【答案】解：3.14×15×2+15×4 =3.14×30+60 =94.2+60 =154.2(cm)； 3.14×152+15×15 =3.14×225+225 =706.5+225 =931.5(cm2)； 答：这个图案的周长是154.2cm，面积是931.5cm2。 【思路点拨】观察图形可以发现，这个图案的周长是半径15cm的圆的周长+边长为15cm的正方形的周长，面积为半径15cm的圆的面积+边长为15cm的正方形的面积，圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S=πr2，正方形的周长=边长×4，正方形的面积=边长×边长，据此求解。 21．（6分）（2024六上·期末）明明用一张圆形纸片做投影实验，他量得墙上圆形影子的直径是 30cm，圆形影子的面积是多少平方厘米？ 已知影子的面积是圆形纸片的9倍，圆形纸片的半径是多少厘米？ 【答案】解：3.14×(30÷2)2 =3.14×152 =3.14×225 =706.5(cm2) 706.5÷9=78.5(cm2)， 78.5÷3.14=25(cm2)， 5×5=25(cm)； 答：圆形影子的面积是706.5平方厘米，圆形纸片的半径是5厘米。 【思路点拨】根据圆的面积公式S=πr2，先求出影子的面积，再除以9，求出圆形纸片的面积，再根据面积公式求出圆形纸片的半径即可。 22．（6分） 某卡丁车赛道分为内圈和外圈，内圈和外圈弯道部分的转弯半径如右下图，其中两个180°弯道长度相等且都是半圆，内圈和外圈一周的长度相差多少米？ 【答案】解：根据题意，可得 2×3.14×5-2×3.14×4 =6.28×（5-4） =6.28（m） 答：内圈和外圈一周的长度相差6.28米 【思路点拨】根据题图可知，在弯道处内圈选手经过弯道所在圆的半径分别是4 m和5 m，外圈选手经过弯道所在圆的半径也是4m和5m，因此在经过弯道时，外圈和内圈的长度是一样的，内外圈直线赛道的长度也是相同的，因此内外圈只在180°弯道处有长度差。 23．（6分）（2024六上·会东期中）森林公园有一个直径12米的圆形花坛，围绕花坛外有一条环宽1米的环形小路，这条小路的面积是多少？ 【答案】解：12÷2=6（米） 6+1=7（米） 3.14×（72-62） =3.14×13 =40.82（平方米） 答：这条小路的面积是40.82平方米。 【思路点拨】 根据环形面积=外圆面积-内圆面积，已知圆形花坛的直径是12米，可以求出花坛的半径，花坛的半径加上1米就是外圆的半径，把数据代入环形面积公式解答即可。 24．（6分）（2024·期末）下图是公园的树池座椅，座椅宽0.8米，这个座椅的面积是多少平方米？ 【答案】 答：这个座椅的面积是7.0336平方米。 【思路点拨】座椅是一个圆环，这个圆环的外圆半径是内圆的半径加上0.8米，内圆的半径是2米的一半，据此将数据代入圆环的面积公式计算求解。 25．（6分）（2023.10.29·科学城巴蜀）如图，、是以为直径的半圆的三等分点，是圆心，且半径为6。求图中阴影部分的面积。 【答案】解：如图，连接 、 、 。 ∵ 、 是半圆的三等分点 ∴ 和 都是正三角形 ∴∥ ∴SΔACD=SΔOCD ∴S阴影=S扇形 OCD = = 答：图中阴影部分的面积为。 【思路点拨】连接定点构成辅助线，根据三等分点可以推出三角形AOC和三角形COD均属于正三角形；根据三角形ACD和三角形OCD共享同一底边CD，且顶点A和O在同一平行线上可以推出两三角形面积相等，进一步将阴影面积代换成扇形OCD的面积，根据扇形面积公式代入数据求解即可。 26．（6分）（2022六上·宝安期末）公园里有一个圆形花坛，直径是20米，工人叔叔要在这个花坛外围修一条2米宽的人行观赏过道，这条人行观赏过道的面积是多少平方米？ 【答案】138.16平方米 27．（6分）（2022六上·竞赛）在如图所示的正方形中，对角线长2厘米。扇形是以为圆心，以为半径的圆的一部分。 求阴影部分的面积。 【答案】解：如图所示， ，； 因为 ， 所以阴影部分的面积为： = =π-2 =1.14(平方厘米) 【思路点拨】如图，ABCD是正方形，AD=DC。过D点向AC作垂线，把等腰直角三角形ADC分成两个完全一样的且腰为AC的一半的等腰直角三角形。 根据三角形面积=，可求出。 1号阴影部分面积=圆的四分之一减三角形面积=0.57；2号和3号面积之和=半圆面积-三角形面积=0.57.所以阴影部分面积=1号面积+2号面积+3号面积=1.14。 28．（6分）（2024六上·光明期中）如图，院子两堵墙的长度分别为5米和7米，墙外是一片草地，如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米（绳子两端连接处忽略不计），画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据并求其面积。 【答案】解： 3.14×42×＋3.14×22÷4 ＝3.14×16×＋3.14×4÷4 ＝50.24×＋12.56÷4 ＝25.12＋3.14 ＝28.26（平方米） 答：这只小羊吃草的面积是28.26平方米。 【思路点拨】观察图形：这只小羊能吃到草的面积=圆面积的一半＋圆的面积÷4，其中，圆的面积=π×半径×半径。 29．（6分）（2022六上·竞赛）在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。(圆周率取) 【答案】解：3.14×42÷4-2×4-3.14×22÷4 ＝12.56-8-3.14 ＝1.42（平方厘米） 答：两个阴影部分的面积的差是1.42平方厘米。 30．（6分）（2022六上·竞赛）如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。(取3) 【答案】解：如图，阴影部分面积=4个半圆面积-4个三角形面积， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学六年级上学期寒假学习讲义（温故知新篇） 专题01 圆的周长与面积 （导图+知识点+易错点+培优卷） 知识点01：圆的认识 1、圆是由一条曲线围成的平面图形。(以前所学的图形如长方形、梯形等 都是由几条线段围成的平面图形) 2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O 表示;连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d 表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。 3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动;两脚间的距离必须保持不变； 要旋转一周。 4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的 2 倍。(d=2r,r=d÷2) 5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。 6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。 7、正方形里最大的圆: 两者联系：边长=直径画法： 画出正方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 8、长方形里最大的圆: 两者联系：宽=直径画法： 画出长方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。 知识点02：扇形的认识 1.圆上两点间的曲线是弧； 2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形； 3.顶点在圆心的角叫作圆心角； 4.在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 知识点03：圆的周长 1、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。 每分前进米数(速度)=车轮的周长×转数 2、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做 圆周率。用字母π(读 pài)表示。π是一个无限不循环小数。π=3.141592653……我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值 3.14。π>3.14 3、如果用 C 表示圆的周长，那么 C=πd 或 C = 2πr 4、求圆的半径或直径的方法： d=C÷π r =C÷ π÷2= C÷2π 5、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。C 半圆= πr+2r C 半圆= πd÷2+d 6、常用的 3.14 的倍数： 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 知识点04：圆及圆环的面积 1、圆的面积公式：S=πr²。 圆的面积是半径平方的π倍。 2、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面 积相等(即S 长方形=S 圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=c/2=πr)。 即：S 长方形= a × b S 圆 = πr × r=πr² 注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。 C 长方形=2πr+2r=C 圆+d 3、半圆的面积和周长。S 半圆=πr²÷2 C 半圆=C/2+d 4、大小两个圆比较，半径的倍数=直径的倍数=周长的倍数， 面积的倍数=半径的倍数的平方 5、周长相等的平面图形中，圆的面积最大； 面积相等的平面图形中，圆的周长最短。 6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法 分配律进行简便计算。S 圆环=πR²－πr²=π(R²－r²) 7、常用的平方数： 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 易错知识点01：圆的特征误解 学生可能会误认为圆内所有线段都是半径或直径，实际上，只有通过圆心且两端在圆上的线段才是直径，从圆心到圆上任一点的线段才是半径。 易错知识点02：半径与直径关系混淆 学生可能不清楚半径是直径的一半，或直径是半径的两倍这一关系，导致在计算时出错。 易错知识点03：圆周率π的理解 π是一个无理数，常取近似值3.14进行计算。学生可能误将π等同于3.14，而忽略其精确值的无限不循环特性。 易错知识点04：圆的周长计算错误 在应用圆的周长公式C = πd或C = 2πr时，学生可能因对公式理解不透彻或计算粗心而导致结果错误。 易错知识点05：对称轴理解偏差 圆有无数条对称轴，即每条经过圆心的直线都是对称轴。学生可能误认为只有几条特定的直线才是圆的对称轴。 易错知识点06：圆与直线、其他圆的位置关系判断失误 在判断圆与直线、其他圆的位置关系时，如相切、相交、相离等，学生可能因对概念理解不准确而做出错误判断。 （难度系数：0.39 较难） 1、 慎重选择(共5题；每题2分，共10分) 1．（2分）（2024六上·期末）下图中，三个圆的圆心在同一条直线上，大圆的周长和两个小圆的周长之和比较，结果是(　　) A．大圆的周长长 B．小圆的周长和长 C．两者相等 2．（2分）下图是两个同等大小的小半圆和一个较大的半圆。从甲地到乙地有A、B两条路可走，这两条路的长度相比，(　　)。 A．路线A长 B．路线 B长 C．同样长 3．（2分）（2024六上·廉江月考）如下图，四个小圆的周长的和与大圆的周长相比（　　）。 A．大圆周长长 B．大圆的周长短 C．一样长 D．无法比较 4．（2分）（2024六上·廉江月考）一块长12米，宽8米的长方形铁皮里剪出半径是1.5米的小圆（不能剪拼），最多能剪出（　　）个。 A．8个 B．11个 C．13个 D．10个 5．（2分）下图阴影部分的面积是30cm2，圆环的面积是（　　） cm2。 A．251.2 B．188.4 C．2826 D．1256 2、 判断正误(共5题；每题1分，共5分) 6．（1分）（2024六上·期末）半圆的周长等于圆周长的一半，半圆的面积等于圆面积的一半。(　　) 7．（1分）一个圆的半径是2dm，它的周长与面积相等。 8．（1分）（2024六上·廉江月考）用同样长的铁丝围成圆的面积比正方形的大。（　　） 9．（1分）在面积相等的长方形、正方形和圆中，周长最长的是长方形。(　　) 10．（1分）（2023六上·合川期中）把一个半圆剪拼成一个近似长方形后，它的面积不变，周长也不变。（　　） 3、 仔细想，认真填(共8题；每空1分，共13分) 11．（1分）（2024六上·浙江期末）如下图，已知其中一个小圆的面积是3π平方米，那么正方形的面积是　 　平方米。 12．（2分）（2024六上·期末）用A、B、C三张边长相等的正方形纸剪圆形(如下图，同一张纸上剪出的每个圆面积均相等)，如果 A 纸上剪出的最大圆的面积是 ，B纸上剪出的每个圆的面积是　 　，C纸剪去9个圆后剩下的面积是　 　。 13．（2分）用圆规画一个直径为2cm 的圆，圆规两脚间的距离应取　 　cm，所画圆的周长是　 　cm。 14．（2分）（2024六上·会东期中）两个圆的半径的比是2：5，周长的比是　 　，面积比是　 　。 15．（2分）（2024六上·盐田期中）一个挂钟分针长6厘米，从12：00到12：30，这根分针的针尖走了　 　厘米，这根分针扫过的面积是　 　平方厘米。 16．（2分）从一个边长是10cm的正方形纸片中剪去一个最大的圆，圆的面积是　 　cm2，剩下部分的面积是　 　cm2。 17．（1分）下图中，大正方形的面积是25cm2，小正方形的面积是9cm2，那么圆环的面积是　 　。 18．（1分）（2024·期末） 一个大挂钟，分针长是 20厘米，分针走了15分钟，扫过的面积是　 　平方厘米。 四、看图列式计算(共1题；共6分) 19．（6分）（2024·期末）求涂色部分的面积。(单位：cm) （1）（3分） （2） （3分） 五解决实际问题(共11题；共66分) 20．（6分）（2024六上·期末）宇轩用纸剪了一个风车图案(如图)，这个图案中间部分是一个边长为15 cm的正方形，这个图案的周长和面积各是多少？ 21．（6分）（2024六上·期末）明明用一张圆形纸片做投影实验，他量得墙上圆形影子的直径是 30cm，圆形影子的面积是多少平方厘米？ 已知影子的面积是圆形纸片的9倍，圆形纸片的半径是多少厘米？ 22．（6分） 某卡丁车赛道分为内圈和外圈，内圈和外圈弯道部分的转弯半径如右下图，其中两个180°弯道长度相等且都是半圆，内圈和外圈一周的长度相差多少米？ 23． （6分）（2024六上·会东期中）森林公园有一个直径12米的圆形花坛，围绕花坛外有一条环宽1米的环形小路，这条小路的面积是多少？ 24．（6分）（2024·期末）下图是公园的树池座椅，座椅宽0.8米，这个座椅的面积是多少平方米？ 25．（6分）（2023.10.29·科学城巴蜀）如图，、是以为直径的半圆的三等分点，是圆心，且半径为6。求图中阴影部分的面积。 26． （6分）（2022六上·宝安期末）公园里有一个圆形花坛，直径是20米，工人叔叔要在这个花坛外围修一条2米宽的人行观赏过道，这条人行观赏过道的面积是多少平方米？ 27．（6分）（2022六上·竞赛）在如图所示的正方形中，对角线长2厘米。扇形是以为圆心，以为半径的圆的一部分。 求阴影部分的面积。 28．（6分）（2024六上·光明期中）如图，院子两堵墙的长度分别为5米和7米，墙外是一片草地，如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米（绳子两端连接处忽略不计），画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据并求其面积。 29．（6分）（2022六上·竞赛）在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。(圆周率取) 30．（6分）（2022六上·竞赛）如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。(取3) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$