（温故知新篇）专题02 倍数与因数-2024-2025学年北师大版数学五年级上学期寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学五年级上学期寒假学习讲义（温故知新篇） 专题02 倍数与因数 （导图+知识点+易错点+培优卷） 知识点01：倍数与因数-倍数、因数的意义和求一个数的倍数的方法 1.找一个数的倍数就是将这个数依次乘1，2，3，4 ， 5······ 2.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数就是它本身。 3. 2、5的倍数的特征与奇偶数 （1）5的倍数个位上是0或5。 （2）2的倍数个位上是0、2、4、6、8。 （3）既是2的倍数又是5的倍数的数个位上的数字一定是0； （4）是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫奇数。 4. 3的倍数的特征 3的倍数好判断，计算各位数字和，只要是3的倍数，此数定是3的倍数。 知识点02：找因数和质数 1.找一个数的全部因数的方法： （1）找某数的因数很容易，借助乘法算式依次找； （2）最小因数都是1； （3）最大因数是自己； 2. 找质数的方法： （1）质数的因数只有1和它本身； （2）合数除1和它本身以外还有别的因数； （3）除0和2以外，所有的偶数都是合数。 易错知识点01：倍数与因数的认识及求法 1.因数与倍数是相互依存的，不能单独说某一个数是倍数或因数。 2.只在自然数（0除外）范围内研究倍数与因数，所以小数之间不存在倍数与因数的关系。 3.不是所有能除尽的算式都存在倍数与因数关系。 4. 找一个数的因数时不要忘记了１和它本身这两个因数。 易错知识点02：2、5、3的倍数的特征 1.0是2的倍数，0也是偶数，自然数中最小的偶数是0，没有最大的偶数。 2.1—9每个数的倍数都是有规律的，可以牢记这个规律，也可以用麻烦的办法去求。 3.2的倍数一定是偶数，各个数位上数字之和是3的倍数的数一定是3的倍数。 4.同时是2，3的倍数的特征，个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是3和5的倍数的特征，个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数的特征，各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。 易错知识点03：奇数偶数质数合数 1.奇数不一定只有1和它本身两个因数，还可能有其他因数。 2.最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4。 （难度系数：0.39 较难） 一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分) 1．（2分）用一些相同的小正方形卡片拼长方形，每次都用上所有的小正方形卡片。如果刚好可以摆出4种不同的长方形(含正方形)，则小正方形卡片的个数一定(　　)。 A．是质数 B．含有因数5 C．只有5个因数 D．有7个或8个因数 2．（2分）五(1)班在“欢庆元旦”活动开幕式上进行队列表演，出场队形是，则变换后的队形可能是(　　)。 A． B． C． D． 3．（2分）刘爷爷今年已过花甲之年，未到古稀之年，今年的年龄为合数，且个位与十位上的数字和为质数，刘爷爷今年(　　)岁。(花甲之年指60岁，古稀之年指70岁) A．58 B．65 C．69 D．70 4．（2分）（2024五上·坪山期末）哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中符合这个猜想的是（　　）。 A．10=2+8 B．16=3+13 C．14=5+9 D．8=7+1 5．（2分）我们发现一些数有一个有趣的特点，一个数所有因数（除了它本身）的和等于它本身。比如6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数叫做完全数（也叫完美数）。那么下面的数中也有这样的特点是（　　）。 A．12 B．28 C．32 D．15 二、判断正误(共5题；每题2分，共10分) 6．（2分）（2024五下·大祥月考）所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数。 7．（2分）（2024五上·坪山期末）用24个相同的小正方形摆长方形，有且只有3种不同的摆法。（　　） 8．（2分）（2024五上·梅江期末）同时是 2、3、5的倍数的最大两位数是 90 。（　　） 9．（2分）（2021五上·惠城期中）每一个合数的因数个数都是偶数。（　　） 10．（2分）（2021五上·岷县期中）任意两个质数的积一定是偶数。（　　） 三、仔细想，认真填(共8题；共13分) 11．（3分）竹子耐寒，一般最低能耐零下20℃的低温。在20的所有因数中，最大的是　 　，质数有　 　个，合数有　 　个。 12．（2分）在猜灯谜活动中，奇奇一共猜对了三个字：中秋①从左往右这三个字的笔画数可组成一个三位数，并且这个三位数有因数3，代表的字的笔画数可能是　 　，如果这个三位数既是4的倍数，又是3的倍数，那么这个数是　 　。 13．（1分）浙江一带除中秋赏月外，观潮也是一中秋盛事，它被视为一种祈求平安、吉祥的方式。在一次中秋观潮活动中，参加的人数是一个四位数，最高位上的数既是质数，又是偶数，百位上是10以内最大的质数，十位上的数只有1和5 两个因数，个位上是最小的合数，参加活动的有　 　人。 14．（1分）广藿香有开胃止呕的功效，适宜生长在温暖的气候环境中，张爷爷购买了一些广藿香幼苗打算栽种，他购买的幼苗数量是一个两位数，且是5的倍数，这个数个位上的数字和十位上的数字调换位置后，恰好是6和9的倍数，张爷爷购买了　 　株广藿香幼苗。 15．（2分）据统计，我国现有药用植物资源种类有383科，其中383至少减去　 　是3的倍数，至少减去　 　既有因数2，又含有因数5。 16．（2分）一个数的因数共有9个，将这些因数按照从小到大的顺序排列，分别是a、b、c、d、e、f、g、h、i，若e=6，则f×h=　 　，g÷d=　 　。 17．（1分）（2023五上·化州期中）王老师家的电话号码是，请你根据下面提示猜一猜他家的电话号码。 提示，A-它是8的最小倍数。B-它是最大的一位数。C它的所有的因数是1，2，4，8。D-它只有1个因数。E-最小的奇数。F-它的所有因数是1，3。G-它既不是质数也不是合数。H-它是偶数也是质数。 王老师家的电话号码是　 　。 18．（1分）（2020五上·龙华期末）张奶奶养了一些鸡，一天产蛋不超过50个，2个2个地数剩1个，5个5个地数剩4个，3个3个地数正好数完，一天最多产　 　个蛋。 四、解决实际问题(共13题；共67分) 19．（4分）新疆哈密瓜香甜源于阳光充足和昼夜温差大，利于糖分积累。当地水果店将一些哈密瓜包装售卖，礼盒的规格分为每盒装6个或8个，如果6个装一盒正好装完，8个装一盒还多2个，已知哈密瓜的数量不超过50个，这些哈密瓜最多有多少个? 20．（6分）妙妙按如下步骤探究6的倍数特征： 第一步：写出一组是6的倍数的数：6、12、18、24、30……； 第二步：发现它们个位上的数字是0、2、4、6、8，都是2的倍数； 第三步：求出它们各位上的数的和，是6、3、9…都是3的倍数。 （1）（3分）6的因数除1和它本身以外，还有哪些?从妙妙的探究过程中，你发现了6的倍数有什么特征? （2）（3分）利用这个探究方法，探究一下15的倍数特征。 21． （5分）柚子是中秋节的必备水果，“柚”是“佑”的谐音，有保佑的好意头。甜甜买了一个大柚子，剥开后发现里面的果肉有10~20瓣，且无论3瓣3瓣地数还是5瓣5瓣地数，最后均剩下1瓣，那么这个柚子有多少瓣果肉? 22．（5分）花生含有丰富的蛋白质和脂肪，是常见坚果之一，且被广泛种植。奇奇家刚收获了 48千克花生，他想分装成相同的几筐送给朋友，有下面三种规格的筐，哪种筐可以正好装完这些花生? 22． （5分）体育老师让50个学生面对他站立，并依次报数。首先，他让所有报的数是3的倍数的学生向后转，接着他又让所有报的数是5的倍数的学生向后转，最后，让所有报的数是7的倍数的学生向后转。三次口令结束后，还有多少名学生面对老师站立? 23． （5分）在1234后面补一个两位数，使得这个六位数能同时被8和9整除，则补充后的六位数最小是多少? 25．（6分）某村大力发展蔬菜种植业，兴建现代化温室大棚。 （1）（3分）温室大棚产出蔬菜的量比自然种植要高，自然种植和大棚种植同一种蔬菜的面积相同，自然种植每10平方米产出34千克蔬菜，大棚种植每10平方米产出的蔬菜的重量是自然种植产出重量的所有因数之和，那么大棚种植每10平方米产出多少千克蔬菜? （2）（3分）一个温室大棚的占地是一个长方形，周长为154米，跨度(宽)是一个小于14米的两位数偶数，长度是一个质数，则大棚的占地面积是多少? 26． （5分）海马属于我国二级保护动物，适宜的水温和光照对其繁殖与生长有利，某海马养殖基地为此优化养殖环境，安装了50个控制光照的灯，给这50个灯编号为1~50。 若从月初开始(所有灯光关闭)，第一天按下所有编号为1 的倍数的开关，第二天按下所有编号为2的倍数的开关，第三天按下所有编号为3的倍数的开关⋯⋯这样反复进行了30天，第30天操作完后，还有多少个灯处于照明状态? 27． （5分）（2023五上·龙岗期中）一个长方形的长和宽都是整厘米数，面积是24平方厘米，这样的长方形有多少种情况？长和宽各是多少厘米？ 28． （5分）（2023五上·上蔡期中）用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少? 29． （5分）（2023五上·龙泉驿期中）育英小学五年级36名同学排队表演校园集体舞，要使每行人数相等(每行不能是1人或36人)，一共有多少种不同的排法？ 30． （5分）（2022五上·枞阳期中）体育课上，老师让60名同学分组做游戏，要求每组人数相同，且每组不多于15名同学，不少于8名同学，有哪几种分法，每组有多少人？ 31．（6分）（2023五上·深圳）五(1)班有48名同学报名参加义务劳动，老师把他们分成人数相等的若干个小组。要求组数大于2个组，小于16个组，有几种分法？每种分法每组多少人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学五年级上学期寒假学习讲义（温故知新篇） 专题02 倍数与因数 （导图+知识点+易错点+培优卷） 知识点01：倍数与因数-倍数、因数的意义和求一个数的倍数的方法 1.找一个数的倍数就是将这个数依次乘1，2，3，4 ， 5······ 2.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数就是它本身。 3. 2、5的倍数的特征与奇偶数 （1）5的倍数个位上是0或5。 （2）2的倍数个位上是0、2、4、6、8。 （3）既是2的倍数又是5的倍数的数个位上的数字一定是0； （4）是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫奇数。 4. 3的倍数的特征 3的倍数好判断，计算各位数字和，只要是3的倍数，此数定是3的倍数。 知识点02：找因数和质数 1.找一个数的全部因数的方法： （1）找某数的因数很容易，借助乘法算式依次找； （2）最小因数都是1； （3）最大因数是自己； 2. 找质数的方法： （1）质数的因数只有1和它本身； （2）合数除1和它本身以外还有别的因数； （3）除0和2以外，所有的偶数都是合数。 易错知识点01：倍数与因数的认识及求法 1.因数与倍数是相互依存的，不能单独说某一个数是倍数或因数。 2.只在自然数（0除外）范围内研究倍数与因数，所以小数之间不存在倍数与因数的关系。 3.不是所有能除尽的算式都存在倍数与因数关系。 4. 找一个数的因数时不要忘记了１和它本身这两个因数。 易错知识点02：2、5、3的倍数的特征 1.0是2的倍数，0也是偶数，自然数中最小的偶数是0，没有最大的偶数。 2.1—9每个数的倍数都是有规律的，可以牢记这个规律，也可以用麻烦的办法去求。 3.2的倍数一定是偶数，各个数位上数字之和是3的倍数的数一定是3的倍数。 4.同时是2，3的倍数的特征，个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是3和5的倍数的特征，个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数的特征，各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。 易错知识点03：奇数偶数质数合数 1.奇数不一定只有1和它本身两个因数，还可能有其他因数。 2.最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4。 （难度系数：0.39 较难） 一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分) 1．（2分）用一些相同的小正方形卡片拼长方形，每次都用上所有的小正方形卡片。如果刚好可以摆出4种不同的长方形(含正方形)，则小正方形卡片的个数一定(　　)。 A．是质数 B．含有因数5 C．只有5个因数 D．有7个或8个因数 【答案】D 【规范解答】解：A.是质数。质数只有两个因数，1和它自己，所以不能形成4种不同的长方形。 B.含有因数5。这并不直接说明它可以形成4种不同的长方形，因为这取决于n的总因数个数。 C.只有5个因数。这意味着n是一个形式为的数，其中p是一个质数。这样的数确实可以形成4种不同的长方形（包括1x， p，x，x，x1），但这也意味着n是一个完全平方数，但这种情况下n的因数个数为5，这与我们的条件不符，因为我们要求的是4种不同的长方形，而这里实际上是5种，不过其中x只算作一种。 D.有7个或8个因数。这是正确的。如果n有7个因数，这意味着n的形式是（p是一个质数），这种情况下n是一个完全平方数，它可以形成4种不同的长方形（1x， p，x，x）。如果n有8个因数，这可能是因为n是两个不同质数的乘积的平方（），这种情况下n也可以形成4种不同的长方形。 故答案为：D 【思路点拨】设小正方形卡片的个数为n。因为可以摆出4种不同的长方形（含正方形），所以n的因数个数至少为4。 对于一个数n，如果它可以分解成，那么a和b都是n的因数。一个数的因数是成对出现的，除非这个数是完全平方数，此时会有一个因数重复。 2．（2分）五(1)班在“欢庆元旦”活动开幕式上进行队列表演，出场队形是，则变换后的队形可能是(　　)。 A． B． C． D． 【答案】D 3．（2分）刘爷爷今年已过花甲之年，未到古稀之年，今年的年龄为合数，且个位与十位上的数字和为质数，刘爷爷今年(　　)岁。(花甲之年指60岁，古稀之年指70岁) A．58 B．65 C．69 D．70 【答案】B 4．（2分）（2024五上·坪山期末）哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中符合这个猜想的是（　　）。 A．10=2+8 B．16=3+13 C．14=5+9 D．8=7+1 【答案】B 【规范解答】解：选项A， 10=2+8，10是偶数，2是质数，但是8是合数，与题意不符； 选项B， 16=3+13，16是偶数，3和13都是质数，与题意相符； 选项C， 14=5+9，14是偶数，5是质数，9是合数，与题意不符； 选项D， 8=7+1，8是偶数，7是质数，1既不是质数也不是合数，与题意不符。 故答案为：B。 【思路点拨】能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；分别判断各选项的数据即可。 5．（2分）我们发现一些数有一个有趣的特点，一个数所有因数（除了它本身）的和等于它本身。比如6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数叫做完全数（也叫完美数）。那么下面的数中也有这样的特点是（　　）。 A．12 B．28 C．32 D．15 【答案】B 【规范解答】解：A：12的因数有1、2、3、4、6、12，1+2+3+4+6=16，不是完美数； B：28的因数有1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14=28，是完美数； C：32的因数有1、2、4、8、16、32，1+2+4+8+16=31，不是完美数； D：15的因数有1、3、5、15，1+3+5=9，不是完美数。 故答案为：B。 【思路点拨】一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。找出每个数字的所有因数，然后根据完美数的判断方法判断即可。 二、判断正误(共5题；每题2分，共10分) 6．（2分）（2024五下·大祥月考）所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数。 【答案】错误 【规范解答】解：2是偶数，也是质数。 故答案为：错误。 【思路点拨】；除了1和本身外还有其它因数的数是合数；只有1和本身两个因数的数是质数；2既是偶数，也是质数。 7．（2分）（2024五上·坪山期末）用24个相同的小正方形摆长方形，有且只有3种不同的摆法。（　　） 【答案】错误 【规范解答】解：24=1×24=2×12=3×8=4×6，一共有4种不同的摆法，原题说法错误。 故答案为：错误。 【思路点拨】用24个小正方体摆相同的长方形，可以先将24分成两个整数相乘的形式，可以得到不同的几种摆法。 8．（2分）（2024五上·梅江期末）同时是 2、3、5的倍数的最大两位数是 90 。（　　） 【答案】正确 【规范解答】解：根据分析可知，同时是2、3、5的倍数的最大两位数是90， 原题干说法正确； 故答案为：正确。 【思路点拨】同时是2、3、5的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数；这个两位数最大，那么十位上应是最大的一位数9，个位上的数是0；据此解答。 9．（2分）（2021五上·惠城期中）每一个合数的因数个数都是偶数。（　　） 【答案】错误 【规范解答】解：如：4的因数有1、4、2，有3个，是奇数个； 6的因数有1、6、2、3，有4个，是偶数个；所以一个合数的因数个数可能是偶数也可能是奇数。 故答案为：错误。 【思路点拨】一个合数的因数个数可能是偶数也可能是奇数。 10．（2分）（2021五上·岷县期中）任意两个质数的积一定是偶数。（　　） 【答案】错误 【规范解答】解：如3×5=15，15是奇数； 2×3=6，6是偶数，积可能是奇数也可能是偶数。 故答案为：错误。 【思路点拨】任意两个质数的积可能是偶数，也可能是奇数。 三、仔细想，认真填(共8题；共13分) 11．（3分）竹子耐寒，一般最低能耐零下20℃的低温。在20的所有因数中，最大的是　 　，质数有　 　个，合数有　 　个。 【答案】20；2；3 【规范解答】解：20的因数有：1、2、4、5、10、20， 最大的因数是20 质数有2、5，共2个 合数有；4、10、20，共3个 故答案为：20，2，3。 【思路点拨】一个数的最大的因数是它本身；‌质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，无法被其他自然数整除的数。例如，2、3、5、7等都是质数‌。‌合数‌则是指除了1和它本身以外，至少有其他因数的数，如4、6、8等。 12．（2分）在猜灯谜活动中，奇奇一共猜对了三个字：中秋①从左往右这三个字的笔画数可组成一个三位数，并且这个三位数有因数3，代表的字的笔画数可能是　 　，如果这个三位数既是4的倍数，又是3的倍数，那么这个数是　 　。 【答案】2、5、8；492 【规范解答】解：“中”的笔画数是4， “秋”的笔画数是9， 4+9=13 因为 15-13=2， 18-13=5， 21-13=8 ① 代表的字的笔画数可能是2、5、8； 所以这个三位数可能是492、495、498， 其中只有492既是4的倍数，又是3的倍数。 故答案为：2、5、8；492。 【思路点拨】首先明确“中和秋”的笔画是4和9，然后根据这个三位数是3的倍数，找出第三个字 ① 可能的笔画数是2、5、8，进而得到这个三位数可能是492、495、498；依次判断这三个数，哪一个又是4的倍数即可。 13．（1分）浙江一带除中秋赏月外，观潮也是一中秋盛事，它被视为一种祈求平安、吉祥的方式。在一次中秋观潮活动中，参加的人数是一个四位数，最高位上的数既是质数，又是偶数，百位上是10以内最大的质数，十位上的数只有1和5 两个因数，个位上是最小的合数，参加活动的有　 　人。 【答案】2754 【规范解答】解：既是质数， 又是偶数的数是2， 10以内最大的质数是7，只有1和5两个因数的数是5，最小的合数是4，所以参加活动的有2754人。 故答案为：2754。 【思路点拨】本题根据个位上是0、2、4、6、8的数是偶数，一个数的因数如果只有1和本身就是质数，除了1和本身还有其他的因数就是合数。考虑既是质数又是偶数的只有2，所以千位上是2；10以内的质数有2、3、5、7，所以百位上是7；十位上的因数只有1和5，所以十位上是5；最小的合数是4，所以个位上是4。 14．（1分）广藿香有开胃止呕的功效，适宜生长在温暖的气候环境中，张爷爷购买了一些广藿香幼苗打算栽种，他购买的幼苗数量是一个两位数，且是5的倍数，这个数个位上的数字和十位上的数字调换位置后，恰好是6和9的倍数，张爷爷购买了　 　株广藿香幼苗。 【答案】45 【规范解答】解：两位数且是5的倍数，则个位是0或5，个位和十位颠倒后，十位可能是0或5，但同时是6和9倍数的数不可能是一位数，所以原来数的个位一定是5，个位和十位上的数字调换位置后，十位上的数就变成了5，而同时是6和9倍数的数，并且十位是5，只有54，所以原数是45。 故答案为：45。 【思路点拨】5的倍数的特征是：个位数是0或5的数一定是5的倍数，据此分析解答。 15．（2分）据统计，我国现有药用植物资源种类有383科，其中383至少减去　 　是3的倍数，至少减去　 　既有因数2，又含有因数5。 【答案】2；3 【规范解答】解：各个数位上数字之和是3的倍数的数是3的倍数， 而3+8+3=14， 12是3的倍数，14-12=2， 则至少减去2才是3的倍数；既含有因数2，又含有因数5，则这个数要同时符合2和5的倍数特征，则个位必须是0，所以至少减去3。 故答案为：2；3。 【思路点拨】3的倍数的特征是：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数； 既有因数2，又含有因数5的数的特征是：个位是0的数。 16．（2分）一个数的因数共有9个，将这些因数按照从小到大的顺序排列，分别是a、b、c、d、e、f、g、h、i，若e=6，则f×h=　 　，g÷d=　 　。 【答案】162；3 【规范解答】解：因为e=6， 则这个数是6×6=36，36的所有因数按照从小到大的顺序排列依次是：1、2、3、4、6、9、12、18、36， 所以f=9， h=18， 则fxh=9×18=162， g=12， d=4， 所以g÷d=12÷4=3。 故答案为：162；3。 【思路点拨】根据一个数的因数的个数是奇数个，中间数的平方等于这个数，依此可求该数，然后列举出它的所有因数，再按要求计算。 17．（1分）（2023五上·化州期中）王老师家的电话号码是，请你根据下面提示猜一猜他家的电话号码。 提示，A-它是8的最小倍数。B-它是最大的一位数。C它的所有的因数是1，2，4，8。D-它只有1个因数。E-最小的奇数。F-它的所有因数是1，3。G-它既不是质数也不是合数。H-它是偶数也是质数。 王老师家的电话号码是　 　。 【答案】89811312 【规范解答】解：A-8的最小倍数是8， B-最大的一位数是9， C-8的所有的因数是1，2，4，8， D-1只有1个因数， E-最小的奇数是1， F-3的所有因数是1，3， G-1既不是质数也不是合数， H-2是偶数也是质数， 王老师家的电话号码是：89811312。 故答案为：89811312。 【思路点拨】求一个数因数的方法：利用乘法算式，两个整数相乘得出积。这时，两个整数都是积的因数。找时按从小到大的顺序一组一组地找； 个位上是1、3、5、7、9的数是奇数；个位上是0、2、4、6、8的数是偶数； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数； 一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 18．（1分）（2020五上·龙华期末）张奶奶养了一些鸡，一天产蛋不超过50个，2个2个地数剩1个，5个5个地数剩4个，3个3个地数正好数完，一天最多产　 　个蛋。 【答案】39 【规范解答】解：50以内3的倍数：48、45、42、39、36、33、30、27、24、21、18、15、12、9、6、3。 50以内同时是2和5的倍数是50、40、30、20、10； 既是3的倍数又同时是2和5的倍数-1是：39、9。 所以一天最多产39个蛋。 故答案为：39。 【思路点拨】2的倍数特征：个位上是偶数的数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0或5的数。本题中蛋的个数是3的倍数，是5的倍数-1，是2的倍数-1，先找出50以内的3的倍数，再找出同时是2和5的倍数-1，即可得出答案。 四、解决实际问题(共13题；共67分) 19．（4分）新疆哈密瓜香甜源于阳光充足和昼夜温差大，利于糖分积累。当地水果店将一些哈密瓜包装售卖，礼盒的规格分为每盒装6个或8个，如果6个装一盒正好装完，8个装一盒还多2个，已知哈密瓜的数量不超过50个，这些哈密瓜最多有多少个? 【答案】每盒装6个哈密瓜，正好装完，数量可能是：6、12、18、24、30、36、42、48… 每盒装8个哈密瓜，多出2个，数量可能是：10、18、26、34、42、50… 两种分法都出现不超过50的数是18和42，所以这些哈密瓜最多有42个。 答：这些哈密瓜最多有42个。 20．（6分）妙妙按如下步骤探究6的倍数特征： 第一步：写出一组是6的倍数的数：6、12、18、24、30……； 第二步：发现它们个位上的数字是0、2、4、6、8，都是2的倍数； 第三步：求出它们各位上的数的和，是6、3、9…都是3的倍数。 （1）（3分）6的因数除1和它本身以外，还有哪些?从妙妙的探究过程中，你发现了6的倍数有什么特征? （2）（3分）利用这个探究方法，探究一下15的倍数特征。 【答案】（1）6的因数除1和它本身以外，还有2和3两个因数。我发现6的倍数特征是：末尾为0、2、4、6、8，且各数位上的数字之和是3的倍数。 （2）探究15的倍数特征： 第一步：写出15的倍数：15、30、45、60… 第二步：发现它们个位上的数字是0、5，都是5的倍数； 第三步：求出它们各数位上的数的和，是6、3、9……都是3的倍数。 15的因数除1和它本身以外，还有3和5两个因数。15的倍数特征：末尾是0或5，且各数位上的数字之和是3的倍数。 【思路点拨】（1）找出6除了1和它本身的因数，根据妙妙的探究过程总结6的倍数特征；（2）根据妙妙探究倍数特征的三步来探究15的倍数特征，首先写出一组15的倍数，再从这些数的个位以及它们各数位上数的和探究15的倍数特征。 21．（5分）柚子是中秋节的必备水果，“柚”是“佑”的谐音，有保佑的好意头。甜甜买了一个大柚子，剥开后发现里面的果肉有10~20瓣，且无论3瓣3瓣地数还是5瓣5瓣地数，最后均剩下1瓣，那么这个柚子有多少瓣果肉? 【答案】解：10~20 中， 3 的倍数有 12， 15， 18， 5 的倍数有10， 15， 20， 同时是3和5的倍数的是15。 15+1=16(瓣)。 答：这个柚子有16瓣果肉。 【思路点拨】考虑先去掉1瓣果肉，此时果肉数正好就是3和5的倍数，据此找到15瓣果肉，然后再加上刚开始去掉的1瓣果肉即可。 22．（5分）花生含有丰富的蛋白质和脂肪，是常见坚果之一，且被广泛种植。奇奇家刚收获了 48千克花生，他想分装成相同的几筐送给朋友，有下面三种规格的筐，哪种筐可以正好装完这些花生? 【答案】解：48的所有因数是：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48， 而5、14和16中只有16是48的因数，所以第三种筐可以正好装完这些花生。 答：第三种筐可以正好装完这些花生。 【思路点拨】根据题意可知，先列举出48的所有因数，再找出3种筐中哪种规格的是48的因数，就可以正好装完。 23．（5分）体育老师让50个学生面对他站立，并依次报数。首先，他让所有报的数是3的倍数的学生向后转，接着他又让所有报的数是5的倍数的学生向后转，最后，让所有报的数是7的倍数的学生向后转。三次口令结束后，还有多少名学生面对老师站立? 【答案】解：第一次口令，所有报的数是3的倍数的学生向后转， 50÷3=16……2， 所以50以内3的倍数的数有16个，向后转了16名学生，面对老师站立有34人；第二次口令，所有报的数是5的倍数的学生向后转，50÷5=10，50以内5的倍数的数有10个，这10个数中是3的倍数的数有3个，则原来后转的3个人向前转，这轮前转3人，后转10-3=7(人)， 即16-3+7=20(人)， 现在向后转的学生有20名，面对老师站立的有30人；第三次，所有报的数是7的倍数的学生向后转，50以内7的倍数的数有7个，这7个数中是3的倍数的有2个，是5的倍数的有1个，此轮前转3人，后转7-3=4(人)，面对老师站立的有30+3-4=29(人)， 则三次口令结束后， 还有29名学生面对老师站立。 【思路点拨】首先报数是3的倍数的学生向后转，在第2次5的倍数向后转的时候，本来是3的学生又转回来了，在第3次转报7的倍数向后转时，本来符合3和5倍数的数也要再次向后转，据此解答即可。 24．（5分）在1234后面补一个两位数，使得这个六位数能同时被8和9整除，则补充后的六位数最小是多少? 【答案】解：想要这个数可以被9整除，则各个数位上的数的和是9的倍数， 1+2+3+4=10， 至少再加上8就是9的倍数， 则后三位可能是408、480、417、471、426、462、435、453、444， 想要这个数可以被8整除，则后三位可以被8整除且个位必须是偶数，以上数字中满足条件的数只有408和480，但要补一个两位数，则十位不能为0，补充的两位数最小是80。 答：补充后的六位数最小是123480。 【思路点拨】此题主要考查了数的倍数，一个数要求能被9整除，则各个数位上的数的和是9的倍数；要求是8的倍数，这个数的个位是偶数，要求同时是8和9的倍数，则后三位可以被8整除且个位必须是偶数，据此找出符合条件的最小的六位数。 25．（6分）某村大力发展蔬菜种植业，兴建现代化温室大棚。 （1）（3分）温室大棚产出蔬菜的量比自然种植要高，自然种植和大棚种植同一种蔬菜的面积相同，自然种植每10平方米产出34千克蔬菜，大棚种植每10平方米产出的蔬菜的重量是自然种植产出重量的所有因数之和，那么大棚种植每10平方米产出多少千克蔬菜? （2）（3分）一个温室大棚的占地是一个长方形，周长为154米，跨度(宽)是一个小于14米的两位数偶数，长度是一个质数，则大棚的占地面积是多少? 【答案】（1）解：34的因数有1、2、17、34， 1+2+17+34=54（千克）。 答：大棚种植每10平方米产出54千克蔬菜。 （2）解：长度与宽度的和为154÷2=77（米）， 宽是小于14米的两位数偶数，则宽可能是10米或12米， 当宽是10米，则长是77-10=67（米），是质数，符合题意， 当宽是12米，则长是77-12=65（米），是合数，不符合题意， 所以大棚的占地面积是10×67=670（平方米）。 答：大棚的占地面积是670平方米。 【思路点拨】（1）求一个数的因数的方法最简单的就是用除法，用这个数连续除以1，2，3，……，除到它本身为止，能整除的就是它的因数； （2）长方形的周长÷2=长+宽，求出长与宽的和，根据条件“ 跨度(宽)是一个小于14米的两位数偶数，长度是一个质数 ”求出宽可能的情况，再确定长，长方形的面积=长×宽，据此列式解答。 26．（5分）海马属于我国二级保护动物，适宜的水温和光照对其繁殖与生长有利，某海马养殖基地为此优化养殖环境，安装了50个控制光照的灯，给这50个灯编号为1~50。 若从月初开始(所有灯光关闭)，第一天按下所有编号为1 的倍数的开关，第二天按下所有编号为2的倍数的开关，第三天按下所有编号为3的倍数的开关⋯⋯这样反复进行了30天，第30天操作完后，还有多少个灯处于照明状态? 【答案】解：5+(20-2)=23(个) 答：第30天操作完后，还有23个灯处于照明状态。 【思路点拨】根据题意，开关按奇数次，灯处于照明状态，按偶数次，灯处于关闭状态。灯的编号有多少个因数，就会被按几下，第一天操作后，所有灯处于照明状态，因为只操作了30天，也就是说只按完了最大因数是30的数的所有因数，所以编号超过30的，被按的次数会减少1，那么编号为1~30的光照灯，编号含有奇数个因数的，处于照明状态，编号为31~50的光照灯，编号含有偶数个因数的，处于照明状态，找出1~30 中含有奇数个因数的数有：1、4、9、16、25， 31~50 中含有偶数个因数的数的：除36和49外，其它数均含有偶数个因数，所以30天后还有5+(20-2)=23(个)灯处于照明状态。 27．（5分）（2023五上·龙岗期中）一个长方形的长和宽都是整厘米数，面积是24平方厘米，这样的长方形有多少种情况？长和宽各是多少厘米？ 【答案】解：24×1=24，12×2=24，8×3=24，6×4=24，共4种情况。 答：这样的长方形有4种情况，分别是长24厘米、宽1厘米；长12厘米、宽2厘米；长8厘米、宽3厘米；长6厘米、宽4厘米。 【思路点拨】长方形面积=长×宽，因为长和宽都是整厘米数，所以长和宽一定是24的一对因数，所以一对一对找出24的因数，每队中一个数是长，另一个数就是宽。 28．（5分）（2023五上·上蔡期中）用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少? 【答案】解：40÷2=20(厘米) 相加是20的只数和合数的组合有：2+18；5+15；9+11 当长和宽是2和18时，面积是：18×2=36(平方厘米) 当长和宽是5和15时，面积是：15×5=75(平方厘米) 当长和宽是9和11时，面积是：11×9=99(平方厘米) 99＞75＞36，所以长方形的面积最大可能是99平方厘米。 答：围成的长方形的面积最大可能是99平方厘米。 【思路点拨】首先用长方形周长÷2求出长宽之和；再找到所有相加是20的一个质数和一个合数的组合；再根据长方形面积=长×宽，将符合要求的长和宽的数值代入计算，再进行比较找到最大的面积。 29．（5分）（2023五上·龙泉驿期中）育英小学五年级36名同学排队表演校园集体舞，要使每行人数相等(每行不能是1人或36人)，一共有多少种不同的排法？ 【答案】解：36的因数有1、36、2、18、3、12、4、9、6；排除1和36，剩余7个数，则一共有7种不同的排法。 【思路点拨】求一个数因数的方法：哪两个自然数（0除外）相乘的积等于这个数，这些数都是这个数的因数；求出36的因数有1、36、2、18、3、12、4、9、6；排除1和36，剩余7个数，就一共有7种不同的排法。 30．（5分）（2022五上·枞阳期中）体育课上，老师让60名同学分组做游戏，要求每组人数相同，且每组不多于15名同学，不少于8名同学，有哪几种分法，每组有多少人？ 【答案】解：60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10； 有3种分法： 可以分成4组，每组15人； 可以分成5组，每组12人； 可以分成6组，每组10人。 【思路点拨】每组人数×组数=60人，每组人数不多于15且不少于8，符合这两个条件即可。 31．（6分）（2023五上·深圳）五(1)班有48名同学报名参加义务劳动，老师把他们分成人数相等的若干个小组。要求组数大于2个组，小于16个组，有几种分法？每种分法每组多少人？ 【答案】解：48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8， 可以分给3组，每组16人， 可以分给4组，每组12人， 可以分给12组，每组4人， 可以分给6组，每组8人， 可以分给8组，每组6人， 答：有5种分法；分给3组，每组16人；分给4组，每组12人；分给12组，每组4人；分给6组，每组8人；分给8组，每组6人。 【思路点拨】先求出所有积是48的两个自然数因数，其中一个因数是组数，一个因数是每组的人数；再根据 组数大于2小于16来解答。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$