（温故知新篇）专题03 多边形的面积-2024-2025学年北师大版数学五年级上学期寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学五年级上学期寒假学习讲义（温故知新篇） 专题03 多边形的面积 （导图+知识点+易错点+培优卷） 知识点01：面积的比较和高的认识 1.比较图形面积大小的方法。 （1）数方格法:观察方格纸中的各图形，数出各图形各占几个格，根据图形所占方格的数量来比较它们的面积。 （2）重叠法:借助图形变换使两个图形重叠，观察两个图形能否完全重合，来比较它们的面积。(图形的形状相同适用于此方法) （3）拼组法:将两个图形组在一起，看是否与其他图形相同。 （4）分割移补法:两个图形的形状不同，不能完全重合，但可以把图形分割平移，变成一种比较相似的图形，再比较它们的面积。 温馨提示：两个图形面积的大小与它们的形状没有关系。 2.梯形的底和高及画法。 （1）梯形中平行的两条边为梯形的上底和下底。上、下底之间的垂直线段就是梯形的高。梯形有无数条高。 （2）把三角尺的一条直角边与梯形的一条底边重合，另一条直角边与另一条底边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）画垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是梯形的高。 3.平行四边形的底和高及画法。 （1）从平行四边形的顶点（或一条边上的任意一点）向它的对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边就是这条高对应的底。平行四边形有无数条高。 （2）把三角尺的一条直角边与平行四边形的一条底边重合，另一条直角边与平行四边形这条底边所对的边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）画垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是平行四边形的高。 4.三角形的底和高及画法。 （1）三角形有三条边，三条边都可以作底边，每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是三角形的底和高。三角形有三组对应的底和高。 （2）把三角尺的一条直角边与一条底边重合，沿着这条底边平移三角尺，使三角尺的另一条直角边通过底边所对的顶点，从顶点向底边（或底边延长线）画一条垂线，顶点到底边（或底边延长线）的垂直线段就是三角形底边上的高。 5.画指定底和高长度的平面图形的方法。 先画指定长度的底，然后根据底确定指定长度的高，最后画出其他的边。 知识点02：平行四边形的面积 1.平行四边形面积计算公式的推导过程。 通过割补法把平行四边形转化为长方形，长方形的长等于原平行四边形的底，长方形的宽等于原平行四边形的高。 2.平行四边形的面积计算公式。 平行四边形的面积 ＝底×高。如果用S表示平行四边形的面积，用a表示平行四边形的底,用h表示平行四边形的高,那么平行四边形面积的计算公式可以写成S＝ah。 温馨提示： 1. 平行四边形的底＝平行四边形的面积÷对应的高，平行四边形的高＝平行四边形的面积÷对应的底 。 2. 决定平行四边形面积大小的是它的底和高，等底等高的平行四边形的面积相等。 知识点03：三角形的面积 1.三角形面积计算公式的推导过程。 两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形。平行四边形的底和高分别是三角形的底和高。 平行四边形的面积是其中一个三角形面积的2倍，因此可以由平行四边形面积公式推导出三角形的面积计算公式。 2.三角形的面积计算公式。 三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 三角形的面积=底×高÷2。 温馨提示： 1.三角形的底＝三角形的面积×２÷高，三角形的高＝三角形的面积×２÷底。 2. 决定三角形面积大小的是它的底和高，等底等高的三角形的面积相等。 知识点04：梯形的面积 1.梯形面积计算公式的推导过程。  可以把一个梯形分成两个三角形或一个三角形和一个平行四边形，通过计算两个三角形的面积之和或一个三角形和一个平行四边形的面积之和推导出梯形的面积计算公式。 两个完全相同的梯形，可以拼成一个平行四边形。 2.平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高。 3.梯形的面积计算公式。 梯形的面积＝ (上底＋下底)×高÷２；若用S表示梯形的面积,用a表示梯形的上底,用b表示梯形的下底,用h表示梯形的高,则S＝ (a＋b)×h÷2 。 温馨提示： 1.上底与下底之和相等，高也相等的梯形，面积相等。 2.计算排放整齐的圆木或钢管的数量，可以用梯形的面积计算公式。 知识点01：面积的比较和高的认识 1.割补法可以保证图形的面积不变，但会影响到周长。 2.任意一个三角形都有三条高。任意一个梯形都有无数条高。任意一个平行四边形都有无数条高。 3.画平行四边形指定底边上的高时，所画的高一定要与底边垂直。 知识点02：平行四边形的面积 1.判断两个平行四边形的面积是否相等，应根据它们的底和高的具体情况进行判断。 2.求平行四边形的面积，先要找到底和与其相对应的高，再计算。 3.一个平行四边形，如果形状发生了变化，越接近长方形面积就越大；反之，面积就越小。 知识点03：三角形的面积 1.只有大小、形状完全相同的两个三角形才能拼成平行四边形。 2.三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形的面积的一半。 3.计算三角形的面积时，不要忘记底乘高后再除以2。 4.已知三角形的面积和底（或高）求高（或底）时，不要忘记三角形的面积要先乘2。 5.钝角三角形的面积与底边延长线的长度没有关系。 知识点04：梯形的面积 1.只有两个完全一样的梯形才能拼成一个平行四边形。即梯形的面积和平行四边形的面积只有在特定情况下才有2倍关系。 2.计算梯形的面积时，不要忘记除以2。 （难度系数：0.43 较难） 一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分) 1．（2分） 下图是一面墙的形状，同学们在计算它的面积时，用到了不同的方法，如下： 上面四位同学的想法不正确的是(　　)。 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2分） 一个梯形，上底是5cm ，下底是 8 cm，如果上底变成0时，面积就减少5 cm2，那么原梯形的面积是(　　)cm2。 A．13 B．15 C．26 D．65 3．（2分） 梯形的上底增加 6 厘米，下底减少6厘米，高不变，面积(　　)。 A．变大了 B．变小了 C．不变 D．无法判断 4．（2分） 如图所示，将一个底边(BC)长16cm的直角三角形ABC，先向右平移6cm，再向下平移2cm。图中涂色部分的面积为(　　)cm2。 A．22 B．26 C．2.6 D．无法确定 5．（2分）淡竹分布在我国长江流域和黄河流域附近。已知一块梯形竹林的面积是96m2，涂色部分种植的是淡竹，则种植淡竹的面积是(　　)m2。 A．36 B．48 C．60 D．96 二、判断正误(共5题；每题2分，共10分) 6．（2分） 把一个长方形框架拉成一个平行四边形，面积变大了。(　　) 7．（2分）两个面积相等的梯形，形状也一定相同．（　　） 8．（2分）一个三角形的高不变，它的底扩大到原来的3倍，那么面积也扩大到原来的3倍。(　　) 9．（2分）把平行四边形框架拉成一个长方形，周长变小，面积变大。（ ） 10．（2分）沿着任意一条高把平行四边形剪成两部分，再把这两部分拼起来，一定能拼成一个长方形。（　　）三、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共12分) 11．（1分） 一个三角形比与它等底等高的平行四边形的面积少 45 cm2，这个三角形的面积是　 　cm2。 12．（2分） 把一个长10厘米、宽8厘米的长方形框架拉成一个平行四边形，这时面积减少 20 平方厘米，平行四边形的面积为　 　平方厘米，这时平行四边形的高为　 　厘米。 13．（1分） 一块梯形铁皮的面积是76平方厘米，上底7厘米，下底12厘米，高是　 　厘米。 14．（2分） 一个三角形的面积是24 平方厘米，高是4厘米，底是　 　厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是　 　平方厘米。 15．（2分）如图所示的梯形是由一张长方形纸折叠而成的，这个梯形的高是　 　cm，面积是　 　cm2。 (单位： cm) 16．（2分）一个平行四边形，底为 10 dm，高为 4 dm。若底不变，高增加 2 dm，则面积增加　 　dm2；若高不变，底增加 2 dm，则面积增加　 　dm2。 17．（1分）一个三角形与一个长方形等底等高，它们的面积之和是75.6平方厘米，这个三角形的面积是　 　平方厘米. 18．（1分）在一个上底5厘米，下底8厘米的梯形中剪下一个最大的平行四边形，剩下的面积是9平方厘米。那么原来梯形的面积是　 　平方厘米。 四、看图列式计算(共1题；共8分) 19．（8分）求下面各图形的面积。 （1）（4分） （2） （4分） 五、解决实际问题(共11题；共60分) 20．（6分） 如下图，李伯伯在一块平行四边形土地里种甘蔗，在这块土地里有两条宽1米的小路(涂色部分)。 （1）（3分）已知每公顷甘蔗地收获的甘蔗可制糖500千克。如果一个罐子可以装5 千克糖，那么李伯伯需要准备多少个罐子？ （2）（3分）将这些糖运送给商家，需要快递公司送货。一个箱子可以装4 罐糖(每箱不超 30 千克)，李伯伯怎样选择安排运送合算？ 一共需要多少元运费？ 快递公司 收费标准 A 每箱不超过30 千克，每箱运费 18元 B 每 10 箱收费 160元(每箱不超过30 千克，不满10箱按10 箱计) 21．（5分）有一条小河，如下图，原来河面宽18 m，河底宽3m，深4m。河床清理后河面宽不变，河底宽增加1m，深也增加1m 。这条小河的横截面面积增加了　 　m2。 22．（5分） 实验小学有一块蔬菜种植园(如下图)，甲地种的是白菜，面积是15 m2，乙地种的是萝卜，种萝卜的面积是多少平方米？ 23．（9分）一个直角梯形，高是5cm，如果把它的上底延长2cm，它就成为一个正方形。 （1）（3分）这个直角梯形的面积是多少？ （2）（3分）如果把这个梯形的上底减少1cm，下底增加1cm，得到的新梯形面积与原梯形的面积相比，哪个图形的面积大？ 如果上底减少2cm，下底增加2cm呢？ （3）（3分）你发现了什么？ 试着用文字或图示说明理由。 24．（5分）刘伯伯家有一块梯形菜地(如图)，他把空白的部分用来种西红柿，涂色部分用来种土豆，如果平均每平方米收获10千克土豆，那么刘伯伯的这块菜地一共可收获多少千克土豆？ (单位：米) 25．（5分）如下图，在一张长8cm、宽5cm 的长方形纸上剪下一个大写英文字母“Z”。这个字母的面积是多少平方厘米？ 26．（5分）市民建议在蕉门河道旁建立一个梯形花坛（如图中直角梯形所示），并在不靠河道的三边围上68.5m长的护栏，量得这个直角梯形的高是20m，这个花坛的面积是多少平方米？ 27． （6分） 新情境·客观规律 根据相关研究，室内景点低于1 m2/人、室外景点低于0.75 m2/人时，就会有发生踩踏事故的危险。在一个古镇景点戏台前面有一块上底是30 m、下底是50m、高是60m的梯形室外场地，为保证安全，这块场地最多能容纳多少人同时看戏? 28．（4分）妙妙不小心将自己的一件外套划破了，她想让奶奶在划破处绣一个好看的图案，于是她找来一块梯形的布(如图①)，在梯形布上画出了字母“A”(如图②)，并涂上了她喜欢的颜色，奶奶按照妙妙的图案剪出字母“A”。 （1）（2分）字母“A”的面积是多少? （2）（2分）奶奶在家里找到一些紫色的线，大约长70cm，绣了如图③所示的一部分后，还剩余48cm，那么剩余的线能将字母全部绣完吗?如果能绣完，请说明理由；如果不能绣完，还需要多长的线?(按面积绣) 29．（4分）王叔叔家有一块面积是900平方米的三角形苗圃。 （1）（2分）如图，王叔叔想把三角形苗圃扩建成直角梯形，扩建后苗圃的面积增加了多少平方米? （2）（2分）如果每5平方米栽8棵树苗，那么直角梯形苗圃里一共可以栽多少棵树苗? 30．（6分）五（1）班有一块劳动基地（如图）。 （1）（2分）这块地的面积是多少平方米？ （2）（2分）这块菜地某次采得西红柿57.6千克，同学们把它装入小袋子中送给敬老院的老人，平均每个袋子装1.8千克，需要多少个小袋子？ （3）（2分）在一次采摘中，同学们把摘得的豆角分别装在篮子里用来奖励美德银行中积分较高的同学，小机灵发现如果每个篮子装6千克刚好可以装完；如果每个篮子装8千克，也刚好可以装完。这次摘得的豆角至少有多少千克？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学五年级上学期寒假学习讲义（温故知新篇） 专题03 多边形的面积 （导图+知识点+易错点+培优卷） 知识点01：面积的比较和高的认识 1.比较图形面积大小的方法。 （1）数方格法:观察方格纸中的各图形，数出各图形各占几个格，根据图形所占方格的数量来比较它们的面积。 （2）重叠法:借助图形变换使两个图形重叠，观察两个图形能否完全重合，来比较它们的面积。(图形的形状相同适用于此方法) （3）拼组法:将两个图形组在一起，看是否与其他图形相同。 （4）分割移补法:两个图形的形状不同，不能完全重合，但可以把图形分割平移，变成一种比较相似的图形，再比较它们的面积。 温馨提示：两个图形面积的大小与它们的形状没有关系。 2.梯形的底和高及画法。 （1）梯形中平行的两条边为梯形的上底和下底。上、下底之间的垂直线段就是梯形的高。梯形有无数条高。 （2）把三角尺的一条直角边与梯形的一条底边重合，另一条直角边与另一条底边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）画垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是梯形的高。 3.平行四边形的底和高及画法。 （1）从平行四边形的顶点（或一条边上的任意一点）向它的对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边就是这条高对应的底。平行四边形有无数条高。 （2）把三角尺的一条直角边与平行四边形的一条底边重合，另一条直角边与平行四边形这条底边所对的边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）画垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是平行四边形的高。 4.三角形的底和高及画法。 （1）三角形有三条边，三条边都可以作底边，每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是三角形的底和高。三角形有三组对应的底和高。 （2）把三角尺的一条直角边与一条底边重合，沿着这条底边平移三角尺，使三角尺的另一条直角边通过底边所对的顶点，从顶点向底边（或底边延长线）画一条垂线，顶点到底边（或底边延长线）的垂直线段就是三角形底边上的高。 5.画指定底和高长度的平面图形的方法。 先画指定长度的底，然后根据底确定指定长度的高，最后画出其他的边。 知识点02：平行四边形的面积 1.平行四边形面积计算公式的推导过程。 通过割补法把平行四边形转化为长方形，长方形的长等于原平行四边形的底，长方形的宽等于原平行四边形的高。 2.平行四边形的面积计算公式。 平行四边形的面积 ＝底×高。如果用S表示平行四边形的面积，用a表示平行四边形的底,用h表示平行四边形的高,那么平行四边形面积的计算公式可以写成S＝ah。 温馨提示： 1. 平行四边形的底＝平行四边形的面积÷对应的高，平行四边形的高＝平行四边形的面积÷对应的底 。 2. 决定平行四边形面积大小的是它的底和高，等底等高的平行四边形的面积相等。 知识点03：三角形的面积 1.三角形面积计算公式的推导过程。 两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形。平行四边形的底和高分别是三角形的底和高。 平行四边形的面积是其中一个三角形面积的2倍，因此可以由平行四边形面积公式推导出三角形的面积计算公式。 2.三角形的面积计算公式。 三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 三角形的面积=底×高÷2。 温馨提示： 1.三角形的底＝三角形的面积×２÷高，三角形的高＝三角形的面积×２÷底。 2. 决定三角形面积大小的是它的底和高，等底等高的三角形的面积相等。 知识点04：梯形的面积 1.梯形面积计算公式的推导过程。  可以把一个梯形分成两个三角形或一个三角形和一个平行四边形，通过计算两个三角形的面积之和或一个三角形和一个平行四边形的面积之和推导出梯形的面积计算公式。 两个完全相同的梯形，可以拼成一个平行四边形。 2.平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高。 3.梯形的面积计算公式。 梯形的面积＝ (上底＋下底)×高÷２；若用S表示梯形的面积,用a表示梯形的上底,用b表示梯形的下底,用h表示梯形的高,则S＝ (a＋b)×h÷2 。 温馨提示： 1.上底与下底之和相等，高也相等的梯形，面积相等。 2.计算排放整齐的圆木或钢管的数量，可以用梯形的面积计算公式。 知识点01：面积的比较和高的认识 1.割补法可以保证图形的面积不变，但会影响到周长。 2.任意一个三角形都有三条高。任意一个梯形都有无数条高。任意一个平行四边形都有无数条高。 3.画平行四边形指定底边上的高时，所画的高一定要与底边垂直。 知识点02：平行四边形的面积 1.判断两个平行四边形的面积是否相等，应根据它们的底和高的具体情况进行判断。 2.求平行四边形的面积，先要找到底和与其相对应的高，再计算。 3.一个平行四边形，如果形状发生了变化，越接近长方形面积就越大；反之，面积就越小。 知识点03：三角形的面积 1.只有大小、形状完全相同的两个三角形才能拼成平行四边形。 2.三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形的面积的一半。 3.计算三角形的面积时，不要忘记底乘高后再除以2。 4.已知三角形的面积和底（或高）求高（或底）时，不要忘记三角形的面积要先乘2。 5.钝角三角形的面积与底边延长线的长度没有关系。 知识点04：梯形的面积 1.只有两个完全一样的梯形才能拼成一个平行四边形。即梯形的面积和平行四边形的面积只有在特定情况下才有2倍关系。 2.计算梯形的面积时，不要忘记除以2。 （难度系数：0.43 较难） 一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分) 1．（2分）（2024五上·浙江期末） 下图是一面墙的形状，同学们在计算它的面积时，用到了不同的方法，如下： 上面四位同学的想法不正确的是(　　)。 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【规范解答】解：根据图形所示，可得 甲将图形分割成1个三角形和1个正方形：5×5+5×2.5÷2，故甲正确 乙将图形分割成2个直角梯形：（5+7.5）×2.5÷2×2，故乙不正确 丙将图形分割成5个相等的三角形：5×2.5÷2×5，故丙正确 丁利用割补法，将原图形补充为1个完整的长方形：5×（5+2.5）-2.5×2.5，故丁正确 故答案为：B 【思路点拨】甲将图形分割成1个三角形和1个正方形，利用三角形和正方形面积公式即可判断；乙将图形分割成2个直角梯形，利用梯形的面积公式即可判断；丙将图形分割成5个相等的三角形，利用三角形的面积公式即可判断；丁利用割补法，将原图形补充为1个完整的长方形，利用长方形面积减去2个小三角形面积，利用长方形面积公式和三角形面积公式即可判断 2．（2分） 一个梯形，上底是5cm ，下底是 8 cm，如果上底变成0时，面积就减少5 cm2，那么原梯形的面积是(　　)cm2。 A．13 B．15 C．26 D．65 【答案】A 【规范解答】解：根据题意，可知 三角形的高=梯形的高为：5×2÷5=2（厘米） 原梯形的面积为： （5+8）×2÷2 =13×1 =13（平方厘米） 答：原来梯形的面积是13平方厘米． 故答案为：A 【思路点拨】根据题意，如果把这个梯形的上底减少到0厘米，面积就减少5平方厘米，由此可知面积减少的5平方厘米是底为5厘米的三角形的面积，根据三角形的面积公式：S=ah÷2，那么h=2S÷a，据此可以求出三角形的高(也就是梯形的高)，然后根据梯形的面积公式：S=(a+b)×h÷2，把数据代入公式解答即可 3．（2分） 梯形的上底增加 6 厘米，下底减少6厘米，高不变，面积(　　)。 A．变大了 B．变小了 C．不变 D．无法判断 【答案】C 【规范解答】解：因为梯形的面积=（上底+下底）×高÷2， 如果“上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变” 那么（上底+下底）的和不变，且高不变， 所以梯形的面积不变． 故答案为：C． 【思路点拨】梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，如果“上底增加6厘米，下底减少6厘米，高不变”，那么（上底+下底）的和不变，且高不变，从而得知梯形的面积也不变．解答即可． 4．（2分） 如图所示，将一个底边(BC)长16cm的直角三角形ABC，先向右平移6cm，再向下平移2cm。图中涂色部分的面积为(　　)cm2。 A．22 B．26 C．2.6 D．无法确定 【答案】B 【规范解答】解：因为平移不改变图形的形状和大小， 所以两个大三角形的面积相等，中间重叠部分的面积也相等， 所以涂色部分的面积等于下面梯形的面积。 梯形的上底是 16-6=10( cm)，下底是 16 cm，高是 2 cm，面积是(10+16)×2÷2=26(cm2)。 故答案为：B 【思路点拨】此题的关键在于理解平移后三角形与原三角形的关系，以及如何计算平移后形成的图形中特定区域的面积。由于三角形ABC是直角三角形，底边BC长度已知，且知道其平移的方向和距离，可以先确定平移后的三角形位置，再根据图形的几何特性求解涂色部分的面积。 5．（2分）淡竹分布在我国长江流域和黄河流域附近。已知一块梯形竹林的面积是96m2，涂色部分种植的是淡竹，则种植淡竹的面积是(　　)m2。 A．36 B．48 C．60 D．96 【答案】A 【规范解答】15×8÷2=60（m2），96-60=36（m2）， 故答案为：A. 【思路点拨】根据图中的信息计算出三角形的面积，再用梯形的面积减去三角形的面积即可计算出涂色部分的面积. 二、判断正误(共5题；每题2分，共10分) 6．（2分） 把一个长方形框架拉成一个平行四边形，面积变大了。(　　) 【答案】错误 【规范解答】解：因为把长方形框架拉成平行四边形，由于平行四边形的高小于长方形的宽，所以面积变小 故答案为：错误 【思路点拨】长方形是特殊的平行四边形，一个长方形框架，把它拉成平行四边形，周长不变，面积变小．由此解答 7．（2分）两个面积相等的梯形，形状也一定相同．（　　） 【答案】错误 【规范解答】解：两个面积相等的梯形，形状不一定相同。 故答案为：错误。 【思路点拨】梯形的面积与上底、下底和高有关，所以面积相等的梯形，形状不一定相同。 8．（2分）一个三角形的高不变，它的底扩大到原来的3倍，那么面积也扩大到原来的3倍。(　　) 【答案】正确 【规范解答】因为三角形面积为：， 又因为三角形的高不变，它的底扩大到原来的3倍， 所以，三角形的面积也扩大到原来的3倍. 故选：正确. 【思路点拨】利用已知条件结合三角形的面积公式，从而判断出此题的正确与否. 9．（2分）（2022五上·即墨期末）把平行四边形框架拉成一个长方形，周长变小，面积变大。（ ） 【答案】错误 【规范解答】解：把平行四边形框架拉成一个长方形，周长不变，面积变大。 故答案为：错误。 【思路点拨】把平行四边形框架拉成一个长方形，周长不变，周长还是框架的长；长方形的长和平行四边形的底相等，长方形的宽大于平行四边形的高，所以它的面积变大了。 10．（2分）沿着任意一条高把平行四边形剪成两部分，再把这两部分拼起来，一定能拼成一个长方形。（　　） 【答案】正确 【规范解答】解：沿着任意一条高把平行四边形剪成两部分，再把这两部分拼起来，一定能拼成一个长方形。原题干说法正确。 故答案为：正确。 【思路点拨】平行四边形的高是从互相平行的一组对边的任意一点向对边作垂线，这点和垂足之间的距离就是平行四边形的高，所以和高连接的两个角是直角，沿着任意一条高把平行四边形剪成两部分，再把这两部分拼起来，一定能拼成一个长方形。 三、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共12分) 11．（1分） 一个三角形比与它等底等高的平行四边形的面积少 45 cm2，这个三角形的面积是　 　cm2。 【答案】45 【规范解答】解：设三角形的面积为S，则与它等底等高的平行四边形的面积为2S。 根据题目条件，可得：2S-S=45，即S=45 因此，这个三角形的面积是45平方厘米。 故答案为：45 【思路点拨】等底等高的三角形和平行四边形的面积关系是：平行四边形的面积是三角形面积的两倍。据此可求解 12．（2分） 把一个长10厘米、宽8厘米的长方形框架拉成一个平行四边形，这时面积减少 20 平方厘米，平行四边形的面积为　 　平方厘米，这时平行四边形的高为　 　厘米。 【答案】60；6或7.5 【规范解答】解：根据题意，可知 长方形的面积=10×8=80（平方厘米） 平行四边形的面积=10×8-20=60（平方厘米） 当底是10厘米时，高是60÷10=6（厘米）； 当底是8厘米时，高是60÷8=7.5（厘米） 故答案为：60；6或7.5 【思路点拨】根据题干信息，可知平行四边形的面积=长方形的面积，根据长方形的面积公式，即可求出长方形的面积，根据“面积减少20平方厘米”即可得出平行四边形面积；再利用平行四边形面积公式求出高即可 13．（1分） 一块梯形铁皮的面积是76平方厘米，上底7厘米，下底12厘米，高是　 　厘米。 【答案】8 【规范解答】解：梯形的面积公式，可得 76×2÷（7＋12） ＝152÷19 ＝8（厘米） 答：高是8厘米。 故答案为：8 【思路点拨】根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，变形得：h＝2S÷（a＋b），据此解答。 14．（2分） 一个三角形的面积是24 平方厘米，高是4厘米，底是　 　厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是　 　平方厘米。 【答案】12；48 【规范解答】解：根据三角形的面积公式，可得 三角形的底为： 24×2÷4 =48÷4 =12（厘米） 与它等底等高的平行四边形的面积为：24×2（平方厘米） 故答案为：12；48 【思路点拨】根据三角形的底=面积×2÷高，即可求解；根据与其等底等高的平行四边形的面积是其三角形面积的2倍，即可求解 15．（2分）如图所示的梯形是由一张长方形纸折叠而成的，这个梯形的高是　 　cm，面积是　 　cm2。 (单位： cm) 【答案】4；40 【规范解答】因为原来长方形纸的宽为4cm， 所以，这个梯形的高为4cm， 由图可知，梯形的下底是原来长方形纸的长，即7+3+3=13cm， 所以，这个梯形的面积为：. 故填：4；40. 【思路点拨】利用已知条件结合图中数据得出梯形的高；再结合梯形的下底是原来长方形纸的长，从而得出梯形的下底，再由梯形的面积公式得出这个梯形的面积. 16．（2分）一个平行四边形，底为 10 dm，高为 4 dm。若底不变，高增加 2 dm，则面积增加　 　dm2；若高不变，底增加 2 dm，则面积增加　 　dm2。 【答案】20；8 【规范解答】解：平行四边形面积=底×高， 若底不变，则平行四边形增加的面积=底×高增加的长度=10×2=20(dm2) 若高不变，则平行四边形增加的面积=底增加的长度×高： 故答案为：20；8 【思路点拨】平行四边形的面积=底高，先计算出原来平行四边形的面积，如果底不变，高增加2分米，计算出此时平行四边形的面积，再用此时平行四边形的面积减去原来平行四边形的面积即可求出增加的面积；若高不变，底增加2分米，先求出此时平行四边形的底，再计算出此时平行四边形的面积，再用此时平行四边形的面积减去原来平行四边形的面积即可求出增加的面积。 17．（1分）一个三角形与一个长方形等底等高，它们的面积之和是75.6平方厘米，这个三角形的面积是　 　平方厘米. 【答案】25.2 【规范解答】解：75.6÷（2+1） =75.6÷3 =25.2（平方厘米） 故答案为：25.2。 【思路点拨】 一个三角形与一个长方形等底等高，长方形的面积是三角形面积的2倍，已知它们的面积之和，要求三角形的面积，它们的面积和÷（1+2）=三角形的面积。 18．（1分）（2023五上·）在一个上底5厘米，下底8厘米的梯形中剪下一个最大的平行四边形，剩下的面积是9平方厘米。那么原来梯形的面积是　 　平方厘米。 【答案】39 【规范解答】解：9×2÷（8-5） =18÷3 =6（厘米） （5＋8）×6÷2 =78÷2 =39（平方厘米）。 故答案为：39。 【思路点拨】原来梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2；其中，高=剩下部分的面积×2÷（下底-上底）。 四、看图列式计算(共1题；共8分) 19．（8分）求下面各图形的面积。 （1）（4分） （2）（4分） 【答案】（1）解：根据三角形面积公式，可得 32×26÷2 =832÷2 =416（cm2） 答：三角形的面积是416cm2 （2）解：如图所示，将图形分割成1个三角形和1个长方形 根据长方形的面积公式，可得 12×18=216（cm2） 根据三角形的面积公式，可得 （18-8）×（18-12）÷2 =10×6÷2 =30（cm2） 所以图形的面积为： 216+30=246（cm2） 答：图形的面积为246cm2 【思路点拨】（1）三角形中32cm长的底对应的高是26 cm，根据“三角形的面积=底×高÷2”计算即可。 （2）长方形的面积+三角形的面积=组合图形的面积。 五、解决实际问题(共11题；共60分) 20．（6分）（2024五上·浙江期末） 如下图，李伯伯在一块平行四边形土地里种甘蔗，在这块土地里有两条宽1米的小路(涂色部分)。 （1）（3分）已知每公顷甘蔗地收获的甘蔗可制糖500千克。如果一个罐子可以装5 千克糖，那么李伯伯需要准备多少个罐子？ （2）（3分）将这些糖运送给商家，需要快递公司送货。一个箱子可以装4 罐糖(每箱不超 30 千克)，李伯伯怎样选择安排运送合算？ 一共需要多少元运费？ 快递公司 收费标准 A 每箱不超过30 千克，每箱运费 18元 B 每 10 箱收费 160元(每箱不超过30 千克，不满10箱按10 箱计) 【答案】（1）解：根据题意，可得 甘蔗的面积为： 162×85-1×85×2 =13770-170 =13600（平方米） 13600 平方米=1.36公顷 需要准备罐子： 1.36×500÷5 =136×5÷5 =136（个） 答：李伯伯需要准备136个罐子. （2）解：根据题意，可得 136÷4=34（箱） 方案一：选择A 快递公司 共需 18×34=612（元） 方案二：选择B 快递公司 34÷10=3（组）……4（箱）3+1=4（组） 共需：4×160=640（元） 方案三：A、B两家快递公司合运，A快递公司运4箱，B 快递公司运30箱， 共需： 18×4+160×（30÷10） =72+160×3 =72+480 =552（元） 因为552<612<640， 所以选 A 快递公司运 4 箱，B 快递公司运30箱合算，一共需要552元运费。 【思路点拨】（1）先用平行四边形土地的面积减去两条小路的面积，求出种甘蔗的面积，再用每公顷甘蔗地收获的甘蔗可制糖的千克数乘种甘蔗的面积，就是一共可以制糖的千克数，最后用糖的千克数除以每个罐子可以装糖的千克数，就是罐子的个数。 （2）先分别A快递公司的运费、B公司的运费和A、B两家合运的运费，然后再进行对比即可 21．（5分）有一条小河，如下图，原来河面宽18 m，河底宽3m，深4m。河床清理后河面宽不变，河底宽增加1m，深也增加1m 。这条小河的横截面面积增加了　 　m2。 【答案】13 【规范解答】解：(18+3+1)×（4+1）÷2-（18+3）×4÷2=13（ m2 ）。 故答案为：13。 【思路点拨】根据等腰梯形面积为“（上底+下底）×高÷2”分别求出清理前和清理后的河床的横截面面积分别为(18+3+1)×（4+1）÷2和（18+3）×4÷2，两个面积的差就是增加的面积。 22．（5分） 实验小学有一块蔬菜种植园(如下图)，甲地种的是白菜，面积是15 m2，乙地种的是萝卜，种萝卜的面积是多少平方米？ 【答案】解：根据图形所示，可知 甲地的高为： 15×2÷5 =30÷5 =6（米） 因为甲地和乙地的高相等 所以，乙地的面积为： （4+8）×6÷2 =12×6÷2 =72÷2 =36（m2） 答：种萝卜的面积是36平方米 【思路点拨】先运用“三角形的面积×2÷底”求出三角形的高，三角形的高也就是梯形的高，所以运用梯形面积公式就能求出乙地的面积。 23．（9分）一个直角梯形，高是5cm，如果把它的上底延长2cm，它就成为一个正方形。 （1）（3分）这个直角梯形的面积是多少？ （2）（3分）如果把这个梯形的上底减少1cm，下底增加1cm，得到的新梯形面积与原梯形的面积相比，哪个图形的面积大？ 如果上底减少2cm，下底增加2cm呢？ （3）（3分）你发现了什么？ 试着用文字或图示说明理由。 【答案】（1）解：根据题意，可知 （3+5）×5÷2 =8×5÷2 =40÷2 =20（平方厘米） 答： 这个直角梯形的面积是20平方厘米。 （2）解：根据题意，可知 （2+6）×5÷2 =8×5÷2 =40÷2 =20（平方厘米） （1+7）×5÷2 =8×5÷2 =40÷2 =20（平方厘米） 答：得到新梯形的面积和原来梯形的面积相等。 （3）解：发现了：梯形的上底减少a 厘米，下底增加a 厘米，梯形上、下底的和不变，也就是梯形的面积不变。 【思路点拨】（1）正方形的4 条边长度相等，上底延长 2 厘米变成边长 5 厘米的正方形，梯形的上底=5-2=3(厘米)。 （2）根据“梯形的面积=(上底+下底)×高÷2”计算出梯形的面积。 （3）通过（1）和（2）的运算结果，分析其规律，从而得出结论 24．（5分）刘伯伯家有一块梯形菜地(如图)，他把空白的部分用来种西红柿，涂色部分用来种土豆，如果平均每平方米收获10千克土豆，那么刘伯伯的这块菜地一共可收获多少千克土豆？ (单位：米) 【答案】解：根据题意，可知 （8+15）×10÷2-8×10÷2 =23×10÷2-40 =230÷2-40 =115-40 =75（平方米） 75×10=750（千克） 答：刘伯伯的这块菜地一共可收获750千克土豆. 【思路点拨】根据题意，可知种土豆的面积等于梯形菜地的面积减去种西红柿的面积，根据梯形的面积公式和三角形的面积，即可求解 25．（5分）（新素养·几何直观）如下图，在一张长8cm、宽5cm 的长方形纸上剪下一个大写英文字母“Z”。这个字母的面积是多少平方厘米？ 【答案】解：8×5=40（cm2） (1.8+6.2)×(5-1)÷2=16(cm2) (5-1)×4.5÷2=9(cm2) 40-16-9=15(cm2) 答：这个字母的面积是15平方厘米。 【思路点拨】从图中可以看出，英文字母“Z”的面积应该是长方形的面积减去涂色部分的面积。先求出长方形面积为，然后求出其中为三角形的阴影面积为(5-1)×4.5÷2=9(cm2)，之后再求出梯形阴影的面积(1.8+6.2)×(5-1)÷2=16(cm2)，最后相减得出“Z”的面积为40-16-9=15(cm2)。 26．（5分）市民建议在蕉门河道旁建立一个梯形花坛（如图中直角梯形所示），并在不靠河道的三边围上68.5m长的护栏，量得这个直角梯形的高是20m，这个花坛的面积是多少平方米？ 【答案】解：（68.5-20）×20÷2 =48.5×20÷2 =485（平方米） 答：这个花坛的面积是485平方米。 【思路点拨】这是一个直角梯形，用护栏的长度减去高即可求出上底和下底的和，然后用上底和下底的和乘高，再除以2即可求出这个花坛的面积。 27．（6分） 新情境·客观规律 根据相关研究，室内景点低于1 m2/人、室外景点低于0.75 m2/人时，就会有发生踩踏事故的危险。在一个古镇景点戏台前面有一块上底是30 m、下底是50m、高是60m的梯形室外场地，为保证安全，这块场地最多能容纳多少人同时看戏? 【答案】解：(30+50)×60÷2 =80×60÷2 =4800÷2 =2400 (m2) 2400÷0.75=3200 (人) 答：这块场地最多能容纳3200 人同时看戏。 【思路点拨】这块场地最多能容纳同时看戏的人数=（上底＋下底）×高÷2÷平均每人的占地面积。 28．（4分）妙妙不小心将自己的一件外套划破了，她想让奶奶在划破处绣一个好看的图案，于是她找来一块梯形的布(如图①)，在梯形布上画出了字母“A”(如图②)，并涂上了她喜欢的颜色，奶奶按照妙妙的图案剪出字母“A”。 （1）（2分）字母“A”的面积是多少? （2）（2分）奶奶在家里找到一些紫色的线，大约长70cm，绣了如图③所示的一部分后，还剩余48cm，那么剩余的线能将字母全部绣完吗?如果能绣完，请说明理由；如果不能绣完，还需要多长的线?(按面积绣) 【答案】（1）解：因为图①中梯形的面积是(2+11)×14÷2=91(cm2)， 图②中小三角形的面积是3×4÷2=6(cm2)，图②中小梯形的面积是(4+7)×6÷2=33(cm2)， 所以字母“A”的面积是 答：字母“A”的面积是52cm2。 （2）解：能，理由如下：因为(11-7)÷2=2(cm)， 所以图③阴影部分是底为2cm、高为14cm的平行四边形， 所以已绣部分的面积为 由(1)可知，剩余部分的面积为 52-28=24(cm2)， 因为绣了28cm2用了22cm的线，剩余的24cm2，还有48cm的线，所以剩余的线能将字母全部绣完。 【思路点拨】（1）首先，计算图①中梯形的面积。梯形面积公式为。接着，计算图②中小三角形的面积。三角形面积公式为计算图②中小梯形的面积。最后，字母 “A” 的面积为大梯形面积减去小三角形面积和小梯形面积。 （2）首先，计算图③中阴影部分的面积。阴影部分是一个底为、高为的平行四边形，其面积公式为由第一问可知，字母 “A” 剩余部分的面积。根据比例关系计算需要的线长。比较剩余的线长得出结论。 29．（4分）（2024五上·弋江期末）王叔叔家有一块面积是900平方米的三角形苗圃。 （1）（2分）如图，王叔叔想把三角形苗圃扩建成直角梯形，扩建后苗圃的面积增加了多少平方米? （2）（2分）如果每5平方米栽8棵树苗，那么直角梯形苗圃里一共可以栽多少棵树苗? 【答案】（1）解：900×2÷60×15÷2 =1800÷60×15÷2 =450÷2 =225（平方米） 答：扩建后苗圃的面积增加了225平方米。 （2）解：（900＋225）÷5×8 =1125÷5×8 =225×8 =1800（棵） 答：直角梯形苗圃里一共可以栽1800棵树苗。 【思路点拨】（1）扩建后苗圃的面积增加的面积=空白三角形的底×高÷2；其中，空白三角形的高=阴影部分三角形的高=阴影部分三角形的面积×2÷阴影部分三角形的底； （2）直角梯形苗圃里一共可以栽树苗的棵数=（阴影部分三角形的面积＋空白部分三角形的面积）÷5×8。 30．（6分）（2024五上·八步期末）五（1）班有一块劳动基地（如图）。 （1）（2分）这块地的面积是多少平方米？ （2）（2分）这块菜地某次采得西红柿57.6千克，同学们把它装入小袋子中送给敬老院的老人，平均每个袋子装1.8千克，需要多少个小袋子？ （3）（2分）在一次采摘中，同学们把摘得的豆角分别装在篮子里用来奖励美德银行中积分较高的同学，小机灵发现如果每个篮子装6千克刚好可以装完；如果每个篮子装8千克，也刚好可以装完。这次摘得的豆角至少有多少千克？ 【答案】解：（1）15×15＋（15－10）×（20－15）÷2＝225＋5×5÷2＝225＋12.5＝237.5（平方米）答：这块地的面积是237.5平方米。（2）57.6÷1.8＝32（个）答：需要32个小袋子。（3）6＝2×38＝2×2×26和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24答：这次摘得的豆角至少有24千克。 （1）解：15×15＋（15－10）×（20－15）÷2 ＝225＋5×5÷2 ＝225＋12.5 ＝237.5（平方米） 答：这块地的面积是237.5平方米。 （2）解：57.6÷1.8＝32（个） 答：需要32个小袋子。 （3）解：6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 答：这次摘得的豆角至少有24千克。 【思路点拨】（1）如图，把这块地分成一个正方形和一个三角形，这块地的面积=正方形的面积＋三角形的面积；其中，正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2； （2）需要袋子的数量=西红柿的质量÷每个袋子装的质量； （3）豆角的质量是6和8的公倍数；可以用分解质因数的方法求出，求豆角至少的质量，就是求6和8的最小公倍数。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$