专题4.1 数列的概念以及函数特征（9类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.1 数列的概念以及函数特征 【知识梳理】 1 【考点1：观察法求数列的通项】 4 【考点2：判断或求数列的项】 5 【考点3：由递推关系求数列的通项】 9 【考点4：由与的关系求数列的通项】 11 【考点5：求数列的前n项和】 14 【考点6：数列的周期性】 17 【考点7：数列的单调性】 19 【考点8：数列的最大（小）项】 22 【考点9：数列中的恒成立问题】 25 【知识梳理】 1．数列的概念 数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 8．数列的周期性 周期数列的常见形式与解题方法 (1)周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 9．数列的单调性 (1)数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号． (2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性．要先写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去． (3)解决数列单调性的方法主要有: 作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断. ①作差比较法 an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列． ②作商比较法 an>0时 ①>1⇔数列{an}是单调递增数列； ②<1⇔数列{an}是单调递减数列； ③＝1⇔数列{an}是常数列 an<0时 ①>1⇔数列{an}是单调递减数列； ②<1⇔数列{an}是单调递增数列； ③＝1⇔数列{an}是常数列 10． 数列的最大（小）项 (1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项． 11． 数列的恒成立问题 对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解. 【考点1：观察法求数列的通项】 【知识点：观察法求数列的通项】 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次求出各个选项中数列的前几项即可判断. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意；对于D，，不合题意． 故选：B 2．（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数列的前5项分析其变化规律即可求解. 【详解】数列的前5项依次为，即，，，，， 所以的一个通项公式为． 故选：C 3．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察奇数项和偶数项的符号以及分子分母的规律即可求解. 【详解】由已知得奇数项为正，偶数项为负，每一项的分子为1，分母为项数， 所以. 故选：B. 4．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察前几项的规律即可求解. 【详解】由，，，， 可得的一个通项公式为. 故选：B. 【考点2：判断或求数列的项】 【知识点：判断或求数列的项】 1．（24-25高三上·福建福州·期中）已知数列，，，，，则是它的（   ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【答案】C 【分析】首先得出数列的通项公式，然后解方程即可求解. 【详解】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（   ） A．100项 B．101项 C．199项 D．200项 【答案】C 【分析】由数列中的数字规律可知每一组由两项组成，计算可得结果. 【详解】根据该数列的规律可将数列进行分组，每一组含有两个互为相反数的组合， 因此100即为第100组的第一个数，其前面有99组，每一组有两项， 因此100是该数列的第项. 故选：C 3．（24-25高二下·陕西渭南·期中）已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据数列前的几项归纳出，即可求出结果. 【详解】由题知，所以， 故选：B. 4．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）设，为正整数，，，，，…，，…，已知，则的值为（    ） A．1806 B．2005 C．3612 D．4100 【答案】A 【分析】根据已知条件化简归纳通项公式即可求参. 【详解】, , , 依此类推得出, 所以, 所以. 故选：A. 5．（多选）（2024高三·全国·专题练习）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 C．数列1，，，2，，…的第8项是 D．数列0，，4，，…的一个通项公式为 【答案】BCD 【分析】 对于A,数列中的项与顺序有关判断；对于B,运用公式计算即可；对于C,D观察得出通项公式即可. 【详解】对于A，数列中的项与顺序有关，故数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是两个不同的数列，故A错误； 对于B，当时， 又是递增数列，故110是该数列的第10项，故B正确； 对于C，数列的一个通项公式是，故第8项是，故C正确； 对于D，数列变形为所以通项公式为，故D正确． 故选:BCD． 6．（2024高三·全国·专题练习）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式以及第项的图形和点数. (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）设第项的点数为，由图结合的值，根据规律可得及通项公式； （2）设第项的点数为，由图结合的值，根据规律可得及通项公式； （3）设第项的点数为，由图结合的值，根据规律可得及通项公式； 【详解】（1）设第项的点数为， ，，，， 该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： （2）设第项的点数为， ，，，， 该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： （3）设第项的点数为， ，，，， 该数列的第项为， 数列的一个通项公式为， 第项的图形如下图所示： 【考点3：由递推关系求数列的通项】 【知识点：由递推关系求数列的通项】 1．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）数列满足，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据条件等式，代入求，再赋值求. 【详解】由，得，，所以，． 故答案为： 2．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以，又，即为常数数列， 所以，则，则. 故答案为： 3．（24-25高三上·天津·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 【答案】C 【分析】根据递推关系式，利用累加法求和. 【详解】由题意可知，， 所以，，，……，， 所以上面9个式子相加得， 所以. 故选：C 4．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A．10 B．13 C．37 D．118 【答案】C 【分析】根据递推关系先求，再求. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：. 5．（重庆市2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题）已知数列满足，前8项的和为60，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式求出，用表示，再由前8项和列式求解. 【详解】数列中，， ，， 由前8项的和为60，得，所以. 故选：C 6．（24-25高三上·山东临沂·期中）已知数列的前项和为，，，，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用递推关系，直接求出，即可求解. 【详解】因为，，， 所以，，， ，，，， 所以， 故选：A. 【考点4：由与的关系求数列的通项】 【知识点：由与的关系求数列的通项】 1．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）设是数列的前项和，且，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用，可求数列的通项公式． 【详解】由题意时，， 又也满足上式，所以． 故答案为：. 2．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，则 ． 【答案】 【分析】利用来求得正确答案. 【详解】根据题意，数列满足， 当时，有； 当时，有，不符合， 故 故答案为： 3．（24-25高二上·天津·阶段练习）设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 . 【答案】. 【分析】由计算即可求解. 【详解】由题当时； 当时，①， 则不满足①式， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·重庆渝中·期中）若数列的前项和公式为，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用和的关系式求解即可. 【详解】当时：； 当时：； 经检验，不满足上式， 综上所述：. 故答案为：. 5．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用与的关系求出通项公式. 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，而，即满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 6．（24-25高二上·陕西·阶段练习）已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上． (1)求； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据题意，得到，结合，逐项即可求解； （2）由，结合，即可求解. 【详解】（1）由点均在函数的图象上，可得， 则，， ，. （2）由点均在函数的图象上，可得， 当时，可得； 当时，， 经检验，当时不成立， 所以数列的通项公式为. 【考点5：求数列的前n项和】 【知识点：求数列的前n项和】 1．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】利用数列的通项公式依次求得，从而得解. 【详解】因为， 所以， 则该数列的前4项和. 故选：A. 2．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知数列中，则数列前2024项的和为（   ） A．0 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】C 【分析】根据题意，由数列的递推关系式可得数列是周期为4的周期数列，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，， 所以，，，， ，…，所以数列是周期为4的周期数列， 且， 所以. 故选：C. 3．（23-24高二下·山东东营·期末）数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 【答案】C 【分析】根据求出，，，，得到的周期为4，从而利用数列周期求出答案. 【详解】由题意，，， ，， ， 故的一个周期为4． 又， 故． 故选：C 4．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第层有个球，则数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意，列出数列的递推关系，用累加法求出数列的通项公式，再用裂项相消法求出数列的前项和，即可求出数列的前20项和. 【详解】由题意及图得，， ，当时，， ， 以上各式累加得：， 又，所以， 经检验符合上式， 所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， 所以， 故选：A. 5．（24-25高三上·天津和平·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求数列的前四项，即可看到数列具有周期性，因此根据这一特性，即可逐一计算各项中的值，即可判断答案. 【详解】因为，， 所以， ， 故数列是以3为周期的周期数列， 则，故A错； ，故B错； 又， 故，故C错； ，故D对， 故选：D. 【考点6：数列的周期性】 【知识点：数列的周期性】 1．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知数列满足，且，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】列出数列的前几项，即可得到数列是周期为的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】由题意数列满足，由， 得，，，， 由此可知数列是周期为的周期数列，所以. 故选：C 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足：，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据递推公式计算可得数列的周期为2，即可得. 【详解】由可得，即； 又，可得， 所以数列是周期为2的周期数列，因此. 故选：A 3．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）若数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先分析归纳出数列的周期，利用周期可得答案. 【详解】∵数列满足，，∴， ∴，，，， ∴是周期为3的周期数列，而，故． 故选：A 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知数列满足等于的个位数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据递推关系可求数列的前项，找到数列的性质后可求. 【详解】因为，故；因为，故； 因为，故；因为，故； 因为，故；因为，故； 因为，故；因为，故； 故前10项为：， 故数列从第3项开始项的大小周期性出现，且周期为6， 故， 故选：D. 5．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】借助题目所给条件可得该数列为周期数列，结合周期数列的性质即可得解. 【详解】，， ，故数列是以为周期的周期数列， 则. 故答案为：. 【考点7：数列的单调性】 【知识点：数列的单调性】 1．（多选）（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）下列数列中，为递增数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用数列的单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A.，所以， 所以为递增数列，故A正确； 对于B，，所以为递减数列，故B错误； 对于C，因为，则，，所以不单调，故C错误； 对于D，，所以， 所以为递增数列，故D正确. 故选：AD. 2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调性的定义即可列不等式求解. 【详解】为单调递增的数列，故， 解得， 故选：C 3．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】利用给定的通项公式，结合单调性求出最大项即可得解. 【详解】数列的通项公式为，则 ， 由，，解得，而, 因此当时，，即，当时，， 即， 所以数列的最大项为，即对于任意正整数n，都有≤成立，依题意，. 故选：C 4．（2024高三·全国·专题练习）设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据数列的单调性，得到，从而得到对于任意的恒成立．求出，得到. 【详解】由数列是递增数列，可得，对于任意的恒成立， 即，即， 即对于任意的恒成立． 因为单调递减，所以，所以． 故答案为： 5．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系可得，即可求解； （2）利用作商法即可证明. 【详解】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 得到对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 【考点8：数列的最大（小）项】 【知识点：数列的最大（小）项】 1．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）若数列满足，且，为其前n项和，则的最小值为 . 【答案】10 【分析】令得，结合即可下结论. 【详解】由，解得， 所以数列中，只有，为负数， 所以的最小值可能为或或，又，， 所以的最小值为10. 故答案为：10 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列的通项，，则数列的最大项与最小项之和为 . 【答案】2 【分析】通过研究通项的单调性，即可求出数列中的最大项与最小项之和. 【详解】， 当时，，且单调递减； 当时，，且单调递减， 所以列的最大项为，最小值为， 所以数列的最大项与最小项之和为. 故答案为：2 3．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知数列的通项公式为，则中的项最大为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】根据数列的单调性求解. 【详解】. 当时，函数单调递减， 则当时，数列单调递减， 所以中的项最大为. 故选：D. 4．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，当n2时，，当n2时，，从而可得到n＝2时， 最大. 【详解】， 当n2时，，即； 当n＝2时，，即； 当n2时，，即. 所以， ， 所以数列中的最大项为 或 ，且. 故选：A. 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题. 5．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若数列满足，其前项和为，则（    ） A．既无最大值，又无最小值 B．当且仅当时，取得最小值 C．当且仅当时，取得最小值 D．， 【答案】D 【分析】分析数列的单调性，可知当时，；当时，，且，逐项判断即可. 【详解】因为数列、均为递增数列，所以，数列为递增数列， 因为，， 故当时，；当时，. 无最大值，但有最小值，且最小值为、，即. 所以，D对，ABC均错. 故选：D. 6．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 【答案】(1)； (2)最大项为，最小项为. 【分析】（1）根据题干已知条件并结合公式，即可计算出数列的通项公式. （2）由（1）可得数列是单调递增数列，进而求出负数项、正数项对应的n值，再由单调性求出数列中的最大项和最小项. 【详解】（1）数列中，， 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则数列是单调递增数列， 由，得，即当时，，当时，， 而，因此当时，，且数列单调递减，即； 当时，，且数列单调递减，即， 所以数列中的最大项为，最小项为. 【考点9：数列中的恒成立问题】 【知识点：数列中的恒成立问题】 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知数列满（），且对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列单调性结合二次函数的性质分析求解. 【详解】由题意可知：，且开口向上，对称轴为， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 2．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列的通项公式为，给出下列四个结论： ①数列为单调递增数列，且存在常数，使得恒成立； ②数列为单调递减数列，且存在常数，使得恒成立； ③数列为单调递增数列，且存在常数，使得恒成立； ④数列为单调递减数列，且存在常数，使得恒成立． 其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据的正负判断出的单调性，然后根据的单调性求解出的取值范围，由此可判断出正确结论. 【详解】因为，所以， 所以， 所以为单调递减数列； 又因为， 当且，，当时，， 所以， 当时，恒成立， 当时，恒成立， 由上可知，②④正确， 故选：B. 3．（多选）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知数列的通项公式，若对恒成立，则满足条件的正整数k可以为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】BC 【分析】利用均值不等式求出的最小值，注意n的取值. 【详解】，当且仅当，即时取等， 因为，所以当时，，当时，，所以的最小值为和，因为对恒成立，所以或. 故选：BC. 4．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是 【答案】 【分析】根据题中条件解不等式得，计算的最小值，从而得出实数的范围. 【详解】因为对一切正整数n均有且恒成立， 所以，化简得到， 的最小值为3. 所以， 故答案为：. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列{an}的前n项和，若，恒成立，则实数λ的最大值是 . 【答案】5 【分析】先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果. 【详解】数列的前n项和， 当时，；当时，满足上式，则， 由，恒成立，得，恒成立， 令， 则对任意都成立， 即，数列单调递增，因此，即的最小值为， 所以，即实数的最大值是. 故答案为：5 6．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法得到不等式，最后利用二次函数性质求解参数范围即可. 【详解】数列中，得 当时，得 累加得， 可得，则， 当时符合上式，则， 所以， 对于任意的，不等式， 即恒成立，∴， 设， 可得，即有，解得或， 则实数t的取值范围是． 故答案为： 【点睛】易错点睛： 不等式转化中的遗漏：在转化不等式时，要小心考虑每个步骤，特别是在累加时，避免出现漏项. 解不等式时的根的判断：在解二次不等式时，必须仔细判断根的符号，确保的取值范围正确. 7．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，，，，若对所有恒成立，则λ的取值范围为 ． 【答案】 【分析】在已知等式中用替换得另一等式（），两式相减得，然后用累乘法求得通项公式，不等式变形为，再利用作商法求出的最大值即可. 【详解】因为，， 所以当时，有， 两式相减可得，即当时，， 当时，，则，故也符合该递推关系， 所以， 而也满足该式，故, 由于，令， 由于， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 故数列最大项为，即. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 数列的概念以及函数特征 【知识梳理】 1 【考点1：观察法求数列的通项】 4 【考点2：判断或求数列的项】 4 【考点3：由递推关系求数列的通项】 6 【考点4：由与的关系求数列的通项】 6 【考点5：求数列的前n项和】 8 【考点6：数列的周期性】 9 【考点7：数列的单调性】 9 【考点8：数列的最大（小）项】 10 【考点9：数列中的恒成立问题】 11 【知识梳理】 1．数列的概念 数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 8．数列的周期性 周期数列的常见形式与解题方法 (1)周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 9．数列的单调性 (1)数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号． (2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性．要先写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去． (3)解决数列单调性的方法主要有: 作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断. ①作差比较法 an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列． ②作商比较法 an>0时 ①>1⇔数列{an}是单调递增数列； ②<1⇔数列{an}是单调递减数列； ③＝1⇔数列{an}是常数列 an<0时 ①>1⇔数列{an}是单调递减数列； ②<1⇔数列{an}是单调递增数列； ③＝1⇔数列{an}是常数列 10． 数列的最大（小）项 (1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项． 11． 数列的恒成立问题 对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解. 【考点1：观察法求数列的通项】 【知识点：观察法求数列的通项】 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【考点2：判断或求数列的项】 【知识点：判断或求数列的项】 1．（24-25高三上·福建福州·期中）已知数列，，，，，则是它的（   ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 2．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（   ） A．100项 B．101项 C．199项 D．200项 3．（24-25高二下·陕西渭南·期中）已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（    ） A． B． C．7 D． 4．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）设，为正整数，，，，，…，，…，已知，则的值为（    ） A．1806 B．2005 C．3612 D．4100 5．（多选）（2024高三·全国·专题练习）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2022，0，4与数列4，0，-2022是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项 C．数列1，，，2，，…的第8项是 D．数列0，，4，，…的一个通项公式为 6．（2024高三·全国·专题练习）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式以及第项的图形和点数. (1) (2) (3) 【考点3：由递推关系求数列的通项】 【知识点：由递推关系求数列的通项】 1．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）数列满足，若，则 ． 2．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 3．（24-25高三上·天津·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 4．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A．10 B．13 C．37 D．118 5．（重庆市2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题）已知数列满足，前8项的和为60，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．（24-25高三上·山东临沂·期中）已知数列的前项和为，，，，（），则（   ） A． B． C． D． 【考点4：由与的关系求数列的通项】 【知识点：由与的关系求数列的通项】 1．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）设是数列的前项和，且，则的通项公式为 . 2．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，则 ． 3．（24-25高二上·天津·阶段练习）设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 . 4．（24-25高二上·重庆渝中·期中）若数列的前项和公式为，则的通项公式为 . 5．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为 . 6．（24-25高二上·陕西·阶段练习）已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上． (1)求； (2)求数列的通项公式． 【考点5：求数列的前n项和】 【知识点：求数列的前n项和】 1．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知数列中，则数列前2024项的和为（   ） A．0 B．1012 C．2024 D．4048 3．（23-24高二下·山东东营·期末）数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 4．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第层有个球，则数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·天津和平·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 【考点6：数列的周期性】 【知识点：数列的周期性】 1．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知数列满足，且，则（    ） A．3 B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足：，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）若数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知数列满足等于的个位数，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知数列满足，，则 . 【考点7：数列的单调性】 【知识点：数列的单调性】 1．（多选）（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）下列数列中，为递增数列的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 4．（2024高三·全国·专题练习）设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则实数的取值范围为 5．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【考点8：数列的最大（小）项】 【知识点：数列的最大（小）项】 1．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）若数列满足，且，为其前n项和，则的最小值为 . 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列的通项，，则数列的最大项与最小项之和为 . 3．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知数列的通项公式为，则中的项最大为（    ） A． B．0 C． D．2 4．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若数列满足，其前项和为，则（    ） A．既无最大值，又无最小值 B．当且仅当时，取得最小值 C．当且仅当时，取得最小值 D．， 6．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 【考点9：数列中的恒成立问题】 【知识点：数列中的恒成立问题】 1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知数列满（），且对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列的通项公式为，给出下列四个结论： ①数列为单调递增数列，且存在常数，使得恒成立； ②数列为单调递减数列，且存在常数，使得恒成立； ③数列为单调递增数列，且存在常数，使得恒成立； ④数列为单调递减数列，且存在常数，使得恒成立． 其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（多选）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知数列的通项公式，若对恒成立，则满足条件的正整数k可以为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列{an}的前n项和，若，恒成立，则实数λ的最大值是 . 6．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 7．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，，，，若对所有恒成立，则λ的取值范围为 ． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$