专题6.1 平面向量的线性运算（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

专题6.1平面向量的线性运算 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）若为的边的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北邯郸·期末）已知是不共线的非零向量，，，，则四边形是 A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，在平面四边形中，、分别为、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·新疆塔城·期末）在△ABC中，，若，则 则 值为（ ） A． B． C． D． 6．（2024高一·全国·专题练习）在△ABC中，∠ACB＝90°，＝，＝，点D是的外心，E是AC的中点，则＋＝（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·浙江宁波·期末）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 8．（2024高三下·全国·专题练习）若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ）.    A． B． C． D． 11．（24-25高一下·河南周口·阶段练习）下列说法中不正确的是（    ） A．若，则，且四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则与共线 C．在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·四川内江·阶段练习）若，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 . 13．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知点在直线上，且，设，则实数 ． 14．（24-25高一·全国·课后作业）一个重为4N的物体，受到两个大小分别为2N，5N的力的作用，则物体所受合力大小的范围是 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 16．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在中，，点E是CD的中点，设，用表示. 17．（24-25高一下·上海·课后作业）如图所示，是平行四边形，，C是其对角线的交点，试用表示向量． 18．（24-25高一·全国·课后作业）若是所在平面内一点，且满足，试判断的形状. 19．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，，是上的一点，若，求实数的值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1平面向量的线性运算 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）若为的边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量加法法则求解即可. 【详解】解：因为为的边的中点， 所以，根据向量加法法则得， 所以. 故选：B 2．（23-24高一下·河北邯郸·期末）已知是不共线的非零向量，，，，则四边形是 A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 【答案】A 【分析】本题首先可以根据向量的运算得出，然后根据以及向量平行的相关性质即可得出四边形的形状． 【详解】因为，所以， 因为，是不共线的非零向量，所以且， 所以四边形是梯形，故选A． 【点睛】本题考查根据向量的相关性质来判断四边形的形状，考查向量的运算以及向量平行的相关性质，如果一组对边平行且不相等，那么四边形是梯形；如果对边平行且相等，那么四边形是平行四边形；相邻两边长度相等的平行四边形是菱形；相邻两边垂直的平行四边形是矩形，是简单题． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算法则计算得到答案. 【详解】， 故选：B 4．（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，在平面四边形中，、分别为、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，，利用平面向量的加法法可求得结果. 【详解】由已知可得，， 由平面向量的加法可得， 上述两个等式相加可得，则. 故选：A. 5．（23-24高一上·新疆塔城·期末）在△ABC中，，若，则 则 值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用向量的加减法把向量用,表示出来，对照条件即可得到答案. 【详解】如图，由 根据，所以 故选：B 【点睛】本题考查向量的加减法运算，属于基础题. 6．（2024高一·全国·专题练习）在△ABC中，∠ACB＝90°，＝，＝，点D是的外心，E是AC的中点，则＋＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算的几何意义，即可得到答案； 【详解】因为点D是△ABC的外心，且∠ACB＝90°，所以点D是Rt的斜边AB的中点， 所以. 又E是AC的中点，所以， 所以， 故选：D. 7．（23-24高二下·浙江宁波·期末）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可得. 【详解】由题可知，， 因为，，所以，， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：A    8．（2024高三下·全国·专题练习）若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断 【详解】                   （2） 由非零向量，满足 当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, , 则. 在图（1）中, , 不能比较与的大小; 在图（2）中, 由, 得, 所以 为的直角三角形. 易知, 由三角形中大角对大边, 得. 故选：C 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合向量的加法，减法以及运算律计算即可. 【详解】由向量加法运算律知，ABD选项正确;，所以选项C错误. 故选：ABD. 10．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ）.    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误. 故选：AC 11．（24-25高一下·河南周口·阶段练习）下列说法中不正确的是（    ） A．若，则，且四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则与共线 C．在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【答案】AD 【分析】根据四点共线即可判断A，根据共线定理即可求解B，根据单位向量的定义以及向量加法的运算法则，即可由角平分线求解C，根据零向量即可求解D. 【详解】对于A，线段上，为线段的三等分点，满足，且， 但四点不能构成平行四边形，A错误； 对于B，因为为非零实数，且，所以，所以与共线，B正确； 对于C，因为、分别表示向量、方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合，又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角A的平分线所在直线上，C正确； 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，D错误. 故选：AD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一下·四川内江·阶段练习）若，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由题意结合共线向量定理可得存在实数，使，化简后可求得结果. 【详解】因为与共线， 所以存在实数，使， 因为，是两个不共线的向量， 所以，所以， 解得或，所以 故答案为： 13．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知点在直线上，且，设，则实数 ． 【答案】， 【详解】因为，所以是四等分点，因此，故填． 点睛：本题考查了向量的线性运算，属于容易题，注意处理此类问题时，一方面寻求二者的长度关系，一方面关注二者的方向．本题中，则的长度是的长度的，二者的方向相同，所以． 14．（24-25高一·全国·课后作业）一个重为4N的物体，受到两个大小分别为2N，5N的力的作用，则物体所受合力大小的范围是 . 【答案】 【分析】根据一个物体重为4N，受到两个大小分别为2N，5N的力，由力当夹角为零时合力最大，再由2N、4N的合力范围和5N的关系得到最小值即可. 【详解】因为一个物体重为4N，受到两个大小分别为2N，5N的力， 所以当夹角为零时合力最大，最大值为2N+4N+5N=11N； 2N、4N的合力范围为0N到6N，而5N在此范围内，则最小值为0N； 所以物体所受合力大小的范围是， 故答案为： 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 16．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在中，，点E是CD的中点，设，用表示. 【答案】， 【解析】根据向量的加减运算法则，，分别代换即可. 【详解】解： 【点睛】此题考查平面向量基本运算，根据线性运算法则求解即可. 17．（24-25高一下·上海·课后作业）如图所示，是平行四边形，，C是其对角线的交点，试用表示向量． 【答案】 【分析】根据平面向量的加法、减法运算法则求解出关于的表示，然后根据求得结果. 【详解】因为，所以，所以， 又因为， 所以. 18．（24-25高一·全国·课后作业）若是所在平面内一点，且满足，试判断的形状. 【答案】直角三角形 【分析】由向量的加法法则得出，可得出以、为邻边的平行四边形的两条对角线相等，可判断出平行四边形的形状，从而得出的形状. 【详解】，，， 以、为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等， 此平行四边形为矩形，.是直角三角形. 【点睛】本题考查利用和向量和差向量模的关系判断三角形的形状，解题的关键是要弄清楚相应平行四边形的形状，考查推理能力，属于中等题. 19．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，，是上的一点，若，求实数的值. 【答案】 【解析】先由和，求得，，根据共线、不共线列方程组，由此求得的值. 【详解】，∴. 又，设， 则，即， ∵，不共线，∴，∴ 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查向量共线、不共线的表示，属于基础题. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$