寒假作业11 二次根式计算分类训练（7种类型70道）-【寒假巩固提升】2024-2025学年八年级数学寒假作业（人教版）

寒假作业11 二次根式计算分类训练（7种类型70道） 目录 【题型1 二次根式乘除字母类】 1 【题型2 二次根式乘除数字类】 1 【题型3 二次根式加减字母类】 2 【题型4 二次根式加减数字类】 2 【题型5 二次根式与乘法公式综合】 3 【题型6二次根式混合运算】 4 【题型7 化简求值】 4 【题型1 二次根式乘除字母类】 1．计算： 2．计算： ． 3．计算： 4．计算： 5．计算：． 6．计算：． 7．计算：． 8．计算：； 9．化简：（其中）． 10．计算： 【题型2 二次根式乘除数字类】 11．计算：； 12．计算：． 13．计算：． 14． 15．计算：． 16．计算：． 17．计算：． 18．计算：． 19．计算： 20．计算： 【题型3 二次根式加减字母类】 21．计算：． 22． ． 23．计算： 24． 25．计算： 26．计算：（x＞0，y＞0） 27．化简： 28．计算 29．计算：． 30．计算：． 【题型4 二次根式加减数字类】 31．计算：． 32．计算：． 33．计算： ． 34．计算：． 35．计算 36．计算：． 37．计算：． 38．计算： 39．计算：． 40．计算： 【题型5 二次根式与乘法公式综合】 41．计算：已知：，，求． 42．已知， 求的值．（用两种不同的方法计算） 43．已知，完成下列两题： (1)计算的值： (2)求代数式的值． 44．已知，，求代数式的值． 45．已知，求代数式的值． 46．已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 47．已知， (1)求的值； (2)求的值． 48．已知，，求下列式子的值． (1)； (2)． 49．已知，，求的值． 50．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【题型6二次根式混合运算】 51．计算：． 52．计算： 53．计算：． 54．计算：． 55．化简：． 56．计算：． 57．计算：． 58．计算： 59．计算：． 60．计算：． 【题型7 化简求值】 61．先化简，再求值：，其中． 62．已知，求代数式的值． 63．先化简，后求值：，其中，． 64．已知，，求的值． 65．先化简，再求值：，其中，． 66．当时，化简代数式，并求代数式的值． 67．先化简，再求值，其中 ，． 68．先化简再求值：，其中． 69．先化简，再求值：，其中 70．先化简，再求值：，其中 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 寒假作业11 二次根式计算分类训练（7种类型70道） 目录 【题型1 二次根式乘除字母类】 1 【题型2 二次根式乘除数字类】 5 【题型3 二次根式加减字母类】 8 【题型4 二次根式加减数字类】 12 【题型5 二次根式与乘法公式综合】 14 【题型6二次根式混合运算】 20 【题型7 化简求值】 22 【题型1 二次根式乘除字母类】 1．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解： 原式 2．计算： ． 【答案】． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 4．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此可求出，再根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案． 【详解】解： ． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，直接利用二次根式的乘法，除法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 8．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可 【详解】解：∵ ∴， ∴ 9．化简：（其中）． 【答案】 【分析】将除法转化为乘法，再利用二次根式的乘除法则计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握运算法则，从而正确化简算式． 10．计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【题型2 二次根式乘除数字类】 11．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 12．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算．先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可． 【详解】解：原式 ． 13．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 14． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 15．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的乘除混合运算法则，即可求解． 【详解】解：原式= =． 16．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法，约分即可作答． 【详解】解： ． 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先整理得，再把除法化为乘法，得，再化简运算，即可作答． 【详解】解：原式． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 19．计算： 【答案】24 【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ． 【点睛】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．计算： 【答案】 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 【题型3 二次根式加减字母类】 21．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【详解】解：由题意，得， ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变． 22． ． 【答案】 【分析】先根据二次根式性质化简成最简二次根式，再根据根式加减法则合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是根据根式性质化简成最简二次根式． 23．计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质和加减法运算法则分别计算、化简即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和计算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键． 24． 【答案】 【分析】首先化简二次根式，再合并同类二次根式，计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题的关键． 25．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法运算、二次根式的化简与性质，熟练掌握二次根式的性质和运算规则是解题的关键．先将各个二次根式化简，再进行加减运算，合并同类二次根式即可． 【详解】解：， ， ． 26．计算：（x＞0，y＞0） 【答案】. 【分析】根据二次根式性质与化简，可得同类二次根式，根据合并同类二次根式，可得答案． 【详解】原式＝﹣2+3 ＝． 故答案为. 【点睛】本题考查二次根式的加减法. 27．化简： 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式的化简及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先将二次根式化简，然后计算加减法即可． 【详解】解： ． 28．计算 【答案】 【分析】先把各项化简为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握同类二次根式——指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式；二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并； 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变． 29．计算：． 【答案】 【分析】把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解：原式 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 30．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】原式. ∵， ∴. ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质以及二次根式的加减混合运算，掌握二次根式的性质是关键． 【题型4 二次根式加减数字类】 31．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减，分别将各二次根式化简后再合并即可． 【详解】解： ． 32．计算：． 【答案】． 【分析】先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并是解答本题的关键． 33．计算： ． 【答案】 【分析】先运用二次根式的性质化简，然后再进行合并即可． 【详解】解： = = 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，合并同类二次根式法则，解本题的关键是熟练掌握二次根式的性质和合并同类二次根式． 34．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式加减运算，熟练掌握二次根式化简是解题的关键． 先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 35．计算 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 36．计算：． 【答案】－ 【分析】先化简二次根式，然后进行加减运算求解即可． 【详解】解：原式＝ 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算．解题的关键在于正确化简二次根式． 37．计算：． 【答案】 【分析】将同类二次根式进行合并即可． 【详解】原式＝ 【点睛】本题考查二次根式的加减，掌握二次根式的加法法则是解题关键． 38．计算： 【答案】2 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 39．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 40．计算： 【答案】 【分析】先化为最简二次根式，再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】解： . 【点睛】本题考查二次根式的加减运算．掌握二次根式的加减运算法则是解题关键． 【题型5 二次根式与乘法公式综合】 41．计算：已知：，，求． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则． 先根据二次根式的运算法则求出和的值，再把变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 42．已知， 求的值．（用两种不同的方法计算） 【答案】 【分析】方法一，直接将代入代数式，根据完全平方公式及平方差公式计算，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案；方法二，先利用完全平方和公式配方，再将代入，根据完全平方公式及平方差公式计算，再由有理数减法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：方法一： 当时， ； 方法二： 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查整数的化简求值，涉及二次根式混合运算、完全平方公式、平方差公式等性质，熟练掌握完全平方公式及二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 43．已知，完成下列两题： (1)计算的值： (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法； （1）根据，，可以得到、的值，从而可以得到所求式子的值； （2）将，将、的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ，， 原式 ； （2）解： ，， 原式 ． 44．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值；本题考查了二次根式的化简求值．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 【详解】解： 因为， 原式 ； 45．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的运算、完全平方公式、代数式的求值等问题，利用公式进行变形简化计算是解题的关键． 把代入变形后的结果，即可得到答案． 【详解】∵ ∴ ． 46．已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，再根据进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）解： ，， ； ． 47．已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)22 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）利用平方差公式可计算出答案； （2）将原式变形为，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：已知， 那么 （2）解：原式= 其中， 那么原式 48．已知，，求下列式子的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，二次根式的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用提公因式法化简后代值求解即可； （2）利用完全公平公式化简后代值求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 49．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，二次根式的混合运算，平方差的运算求值，先算出与的值，在将式子变形，代入求解即可． 【详解】解：，， ，， ． 50．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方差公式运算，代数式求值，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先算出，的值，再利用平方差公式进行计算代入求值即可； （2）先求出，的值，再利用多项式乘以多项式进行计算代入求值即可． 【详解】（1）解：， ，， （2）， ，， ． 【题型6二次根式混合运算】 51．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先利用二次根式的乘法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可． 【详解】解： ． 52．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及二次根式的性质化简，合并同类项，先算乘除法再算加减法即可． 【详解】解： ． 53．计算：． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的乘法，加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的混合运算解答即可． 【详解】解：原式 ． 54．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解： ． 55．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，先利用二次根式乘法及完全平方式展开，再合并同类项，即可求解；掌握（，），是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 56．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 先利用二次根式性质，化简二次根式，再进行乘除运算，最后在进行加减运算即可求解； 【详解】解：原式 ＝． 57．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的乘除运算法则和性质分别运算，再合并即可，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 58．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算以及完全平方公式、平方差公式，先用完全平方公式对第一个式子进行化简，用平方差公式对第二个式子进行化简，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ． 59．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先运算二次根式的乘除，再运算加法，即可作答． 【详解】解： ． 60．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘法运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【题型7 化简求值】 61．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据二次根式的定义对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ， 当时， 原式， ， 62．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．先求出，然后将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 63．先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式 ． 64．已知，，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式， 首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解，最后代数求解即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 65．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把、的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 66．当时，化简代数式，并求代数式的值． 【答案】， 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简代数式是解题关键． 首先判断出，然后对二次根式进行化简，代入数值计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， ， 当时，原式． 67．先化简，再求值，其中 ，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先进行括号内化简，再合并同类二次根式，最后再代入求值即可． 【详解】原式 ， 当 ， 时， 原式 ． 68．先化简再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，二次根式的运算等知识点，先利用分式的混合运算法则进行化简，然后把x的值代入，再计算出结果即可，能够熟练运用平方差公式，完全平方公式是解答此题的关键． 【详解】解： ， 当时，． 69．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 70．先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先根据分式混合运算顺序与运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当时，原式． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$