专题03 二次函数（考点串讲，4个常考点+7种重难点题型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

九年级数学上学期·期末复习大串讲 沪教版 专题03 二次函数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 七大题型典例剖析++技巧点拨+举一反三 五大易错易混经典例题 精选6道期末真题对应考点练 考点透视 一般地，形如　 　(a，b，c是常数，　 　__)的函数，叫做二次函数． y＝ax2＋bx＋c a ≠０ [注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数． 【清单01】二次函数的概念   二次函数 y=a(x-h)2+k y＝ax2＋bx＋c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 a＞0 a＜0 增减性 a＞0 a＜0 a＞0 开口向上 a ＜ 0 开口向下 x=h (h , k) y最小=k y最大=k 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗ 在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘ y最小= y最大= 【清单02】二次函数的图像与性质 【清单03】二次函数图像的平移 y＝ax2 左、右平移 左加右减 上、下平移 上加下减 y＝-ax2 写成一般形式 沿x轴翻折 【清单04】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【清单05】抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【清单06】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【清单07】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【清单07】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 考点1　二次函数的定义 1. [2024宁波月考]下列各式中， y 是 x 的二次函数的是(　A　) A. y ＝3 x2－1 B. y ＝ C. y ＝3 x －1 D. y ＝2 x3－1 A 2. 已知二次函数 y ＝1－5 x ＋3 x2，则二次项系数 a ＝ ，一次项系数 b ＝ ⁠. 3　 －5　 3. 若 y ＝( m －1) ＋3. (1) m 取什么值时，此函数是二次函数？ 解：(1)当 y ＝( m －1) ＋3是二次函数时， 有解得 m ＝－3， ∴当 m ＝－3时，此函数是二次函数. (2) m 取什么值时，此函数是一次函数？ 解：(2)当 y ＝( m －1) ＋3是一次函数时， 有解得 m ＝－1＋ 或 m ＝－1－ ， ∴当 m ＝－1＋ 或 m ＝－1－ 时，此函数是一次函数. 考点2　二次函数的图象和性质 4. 如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 和直线 y ＝3 x ＋ c 分别交于点 A 和点 B ，则二次函数 y ＝ ax2＋( b －3) x 的图象可能是(　B　) B A B C D 5. [2023邢台期中]二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，下列判断正确的是 (　D　) A. a ＜0 B. b ＜0 C. 当 x ＜1时， y 随 x 的增大而减小 D. b2－4 ac ＞0 D 6. [2023西藏中考]将抛物线 y ＝( x －1)2＋5平移后，得到抛物线的解析式为 y ＝ x2＋2 x ＋3，则平移的方向和距离是(　D　) A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 D 7. 如图，已知边长为1的正方形 ABCD 的顶点 A (0，1)， B (1，1)，一抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 过点 M (－1，0).(1)若抛物线顶点与点 C 重合，则抛物线的解析式为 ⁠ ⁠； y ＝ － x2＋ x ＋ 　 点拨：(1)由题可得 C (1，2).∵抛物线顶点与点 C 重合，∴设抛物线的解析式为 y ＝ a ( x －1)2＋2.∵点 M (－1，0)在抛物线上， ∴0＝4 a ＋2，解得 a ＝－ ， ∴ y ＝－ ( x －1)2＋2＝－ x2＋ x ＋ . 7. 如图，已知边长为1的正方形 ABCD 的顶点 A (0，1)， B (1，1)，一抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 过点 M (－1，0). (2)若顶点在正方形 ABCD 内部(包括在正方形的边上)，则 a 的取值范围是 ⁠. －2≤ a ≤－ 　 点拨：(2)设抛物线的解析式为 y ＝a ( x － h )2＋ k .根据题意可分下列情况：当抛物线的顶点与点 A 重合时，顶点坐标为(0，1)， 则抛物线的解析式为 y ＝ ax2＋1， 将 M (－1，0)代入，得 a ＋1＝0，∴ a ＝－1； 当抛物线的顶点与点 B 重合时，顶点坐标为(1，1)， 则抛物线的解析式为 y ＝ a ( x －1)2＋1， 将 M (－1，0)代入，得4 a ＋1＝0，∴ a ＝－ ； 当抛物线的顶点与点 C 重合时，顶点坐标为(1，2)，由(1)知 a ＝－ ； 当抛物线的顶点与点 D 重合时，顶点坐标为(0，2)， 则抛物线的解析式为 y ＝ ax2＋2， 将 M (－1，0)代入，得 a ＋2＝0，∴ a ＝－2. ∵顶点在正方形 ABCD 内部且包含边上， ∴－2≤ a ≤－ . 8. 【新考法】如图，在2×2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)中，有 A ， O ， B ， C ， D ， E ， F ， H ， G 九个格点，抛物线 L 的解析式为 y ＝ x2＋ bx ＋ c . (1)若 L 经过点 O (0，0)和 B (1，0)，则 b ＝ ， c ＝ ⁠； － 　 0　 8. 【新考法】如图，在2×2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)中，有 A ， O ， B ， C ， D ， E ， F ， H ， G 九个格点，抛物线 L 的解析式为 y ＝ x2＋ bx ＋ c . (2)若 L 经过点 H (－1，1)和 G (0，1)，求它的解析式及顶点坐标，并通过计算说明点 D (1，2)是否在 L 上； 解：(2)∵抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 经过点H (－1，1)和 G (0，1)， ∴解得 在 y ＝ x2＋ x ＋1中，令 x ＝1，则 y ＝ ＋ ＋1＝2， ∴点 D (1，2)在抛物线 L 上. ∴抛物线的解析式为 y ＝ x2＋ x ＋1. ∵ y ＝ x2＋ x ＋1＝ ＝ ＋ ，∴顶点坐标为 . 8. 【新考法】如图，在2×2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)中，有 A ， O ， B ， C ， D ， E ， F ， H ， G 九个格点，抛物线 L 的解析式为 y ＝ x2＋ bx ＋ c . (3)若 L 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足条件的抛物线的条数. 解：(3)4条. 考点3　二次函数与一元二次方程、不等式 9. [2023廊坊月考]如图，抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)与 x 轴交于点(－3，0)，其对称轴为直线 x ＝－ ，结合图象有下列结论：① abc ＞0；②3 a ＋ c ＞0；③当 x ＜0时， y 随 x 的增大而增大；④4 ac － b2＜0.其中正确的有(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 10. [2024福州期末]二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)直接写出不等式 ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集； 解：(1)－1＜ x ＜3. (2)求二次函数的解析式，并直接写出当－1≤ x ≤2时， y 的最小值； 10. [2024福州期末]二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所 示，根据图象解答下列问题： 解：(2)由图象可得， y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－3)， ∴解得 ∴二次函数的解析式为 y ＝ x2－2 x －3. 当－1≤ x ≤2时， y 的最小值为－4. (3)若方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ k 有两个不相等的正实数根，直接写出 k 的取值范围. 解：(3)－4＜ k ＜－3. 10. [2024福州期末]二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： 点拨：∵方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ k 有两个不相等的正实数根， ∴函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象与直线 y ＝ k 有两个交点，且两个交点的横坐标都 大于0， ∴由图象可知， k 的取值范围为－4＜ k ＜－3. 考点4　二次函数的实际应用 11. 【情境题生活应用】在圆形喷水池的中央竖直安装一根水管，其顶端安装一喷头，喷出水流的高度 y (m)与水平距离 x (m)之间满足 y ＝ ax2＋ bx ＋ ，如图所示，当 x ＝ 时，水流达到最高点，当 x ＝2时， y ＝ .若喷出的水流没有落在池外，则喷水池的半径不小于(　C　) C A. 3 m B. 3.2 m C. 3.5 m D. 4 m 12. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于70元，销售量 y (件)与销售单价 x (元)的关系可以近似的看作一次函数(其图象如图). (1)请求出 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出 x 的取值范围； 解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝ kx ＋ t . ∵函数图象经过点(60，40)和(70，30)， ∴解得 ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝－ x ＋100(50≤ x ≤70). (2)设该商铺销售这批商品获得的总利润(总利润＝总销售额－总成本)为 P 元，求 P 与 x 之间的函数关系式，并求出当 x 取何值时， P 的值最大？最大值是多少？ 12. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于70元，销售量 y (件)与销售单价 x (元)的关系可以近似的看作一次函数(其图象如图). 解：(2)由题意可得出 P ＝( x －50)(－ x ＋100)＝－ x2＋150 x －5 000，其中50≤ x ≤70. ∵－ ＝－ ＝75， a ＝－1＜0， ∴ P ＝－ x2＋150 x －5 000的图象开 口向下，对称轴是直线 x ＝75. ∵50≤ x ≤ 70，此时 P 随 x 的增大而 增大，∴当 x ＝70时， P 的值最大， 最大值为－702＋150×70－5 000＝600. (3)若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于400元，直接写出销售单价 x (元)的取值范围. 12. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于70元，销售量 y (件)与销售单价 x (元)的关系可以近似的看作一次函数(其图象如图). 解：(3)60≤ x ≤70. 点拨：根据题意，得 P ≥ 400. 当 P ＝400时，400＝－ x2＋150x －5 000，解得 x1＝60， x2＝90. ∵抛物线开口向下，∴当 P ≥400时，60≤ x ≤90， 又∵50≤ x ≤70∴60≤ x ≤70. 类型1　根据二次函数的图象判断字母系数 1. [2023衡水期末]如图是二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)图象的一部分，对称轴为直线 x ＝ 且经过点(2，0)，以下说法：① abc ＜0；②－2 b ＋ c ＝0；③9 a ＋3 b ＋ c ＜0；④若 ， 是抛物线上的两点，则 y1＜ y2；⑤ ＞ m ( am ＋ b )，其中 m ≠ .其中正确的有(　C　) C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 专项突破练一　二次函数图像与字母系数的关系 题型剖析 2. 【易错题】已知二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示，则下列5个代数式： ab ， ac ， a ＋ b ＋ c ， a － b ＋ c ，2 a ＋ b 中，其值为负的代数式的个数为 ⁠. 3　 类型2　由已知函数的图象判断其他函数的图象 3. [2023合肥模拟]已知抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ a －2如图所示，其对称轴为直线 x ＝ ，那么一次函数 y ＝ ax ＋ b 的图象大致为(　D　) D A B C D 4. 已知一次函数 y ＝ x ＋ c 的图象如图所示，则二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 在平面直角坐标系中的图象可能是(　D　) D A B C D 类型3　一次函数与二次函数图象的综合 5. 函数 y ＝ ax2－ a2 x 与 y ＝ ax － a2( a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象不可能是(　B　) B A B C D 点拨：∵ y ＝ ax2－ a2 x ＝ ax ( x － a )，∴二次函数的图象经过原点和点( a ，0). ∵ y ＝ ax － a2＝ a ( x － a )，∴一次函数的图象经过点( a ，0). ∴函数 y ＝ ax2－ a2 x 和 y ＝ ax － a2( a ≠0)的图象与 x 轴交于同一点( a ，0). ①当 a ＞0时，二次函数 y ＝ ax2－ a2 x ( a ≠0)的图象开口向上，对称轴在 y 轴的右侧，一次函数 y ＝ ax － a2( a ≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象与 x 轴交于同一点( a ，0)；②当 a ＜0时，二次函数 y ＝ ax2－ a2 x ( a ≠0)的图象开口向下，对称轴在 y 轴的左侧，一次函数 y ＝ ax － a2( a ≠0)的图象经过第二、三、四象限，且两个函数的图象与 x 轴交于同一点( a ，0).故选项B的图象不可能出现. 6. [2024合肥月考]如图是抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是 A (1，3)，与 x 轴的一个交点是 B (4，0)，点 P 在抛物线上，且在直线 AB 上方，则下列结论正确的是(　C　) C A. abc ＞0 B. 方程 ax2＋ bx ＋ c ＝3有两个不相等的实数根 C. x ( ax ＋ b )≤ a ＋ b D. 点 P 到直线 AB 的最大距离为 类型1　抛物线的平移问题 1. 【情境题程序设计】[2023衡水模拟]如图，点 P ( a ，6)是抛物线 C ： y ＝ ( x ＋2)2＋2上位于第二象限内的一点，点 A 是抛物线 C 与 y 轴的交点. (1)写出 C 的对称轴和顶点坐标，并求 a 的值； 解：(1)由抛物线 C 的解析式知，对称轴为直线 x ＝－2，顶点坐标为(－2，2)，将点 P ( a ，6)的坐标代入 y ＝ ( x ＋2)2＋2，得6＝ ( a ＋2)2＋2，解得 a ＝－6或 a ＝2(舍去)， ∴ a 的值为－6. 专项突破练二　抛物线与图形变换 (2)某同学设计了一个程序：数对[ m ， n ]表示输入 m 和 n 的值，可将抛物线 C 沿 x 轴方向向右( m ＞0)或向左( m ＜0)平移｜ m ｜个单位长度，再沿 y 轴方向向上( n ＞0)或向下( n ＜0)平移｜ n ｜个单位长度得到抛物线C'.若抛物线 C 平移后的抛物线C'： y ＝ x2－ x －2与 y 轴交于点A'，求数对[ m ， n ]及△AA'P的面积. 1. 【情境题程序设计】[2023衡水模拟]如图，点 P ( a ，6)是抛物线 C ： y ＝ ( x ＋2)2＋2上位于第二象限内的一点，点 A 是抛物线 C 与 y 轴的交点. 解：(2)抛物线C'： y ＝ x2－ x －2可整理为 y ＝ ( x －2)2－3，相当于把抛物线 C ： y ＝ ( x ＋2)2＋2先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，∴ m ＝4， n ＝－5， ∴[ m ， n ]为[4，－5]. 对于抛物线 C ： y ＝ ( x ＋2)2＋2，当 x ＝0时， y ＝3， ∴ A (0，3).对于抛物线C'： y ＝ x2－ x －2，当 x ＝0时， y ＝－2， ∴A'(0，－2)，∴AA'＝3－(－2)＝5， ∴△AA'P的面积＝ AA'·｜ xP ｜＝ ×5×6＝15. 类型2　抛物线的对称问题 2. 【新考法·动态探究】如图，“爱心”图案是由抛物线 y ＝－ x2＋ m 的一部分及其关于直线 y ＝－ x 的对称图形组成的，点 E ， F 是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点 A ， B ， C ， D 是该图案与坐标轴的交点，且点 D 的坐标为( ，0). (1)求 m 的值及 AC 的长； 解：(1)把 D ( ，0)的坐标代入 y ＝－ x2＋ m ，得0＝－6＋ m ，解得 m ＝6，∴抛物线的解析式为 y ＝－ x2＋6， ∴ A (0，6)， ∴ OA ＝6.根据对称性可得 B (－6，0)， C (0，－ )， ∴ OC ＝ .∴ AC ＝ AO ＋ OC ＝6＋ . (2)求 EF 的长； 解：(2)联立，得 解得或 ∴ E (－2，2)， F (3，－3)， ∴ EF ＝ ＝5 . 2. 【新考法·动态探究】如图，“爱心”图案是由抛物线 y ＝－ x2＋ m 的一部分及其关于直线 y ＝－ x 的对称图形组成的，点 E ， F 是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点 A ， B ， C ， D 是该图案与坐标轴的交点，且点 D 的坐标为( ，0). (3)若点 P 是抛物线 y ＝－ x2＋ m 上的一动点，且在该图案上，点 P 、点 Q 关于直线 y ＝－ x 对称，连接 PQ ，求 PQ 长度的最大值及此时点 Q 的坐标. 2. 【新考法·动态探究】如图，“爱心”图案是由抛物线 y ＝－ x2＋ m 的一部分及其关于直线 y ＝－ x 的对称图形组成的，点 E ， F 是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点 A ， B ， C ， D 是该图案与坐标轴的交点，且点 D 的坐标为( ，0). 解：(3)设 P ( h ，－ h2＋6)(－2≤ h ≤3)， 则 Q ( h2－6，－ h )，∴ PQ2＝[ h －( h2－6)]2＋[－ h2＋6－(－ h )]2， ∴ PQ ＝ × . ∵－2≤ h ≤3， ∴0≤ ≤ ，∴当 ＝0，即 h ＝ 时， 有最大值，为 ， ∴ PQ 长度的最大值为 .当 h ＝ 时， h2－6＝ －6＝－ ，∴ Q . 类型1　和一次函数的综合 1. [2023唐山二模]如图，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A (1，0)， B (－5，0)两点，与 y 轴交于点 C . P 是抛物线上的任意一点(不与点 C 重合)，点 P 的横坐标为 m ，抛物线上点 C 与点 P 之间的部分(包含端点)记为图象 G . (1)求抛物线的解析式； 解：(1)抛物线的解析式为 y ＝－ x2－4 x ＋5. 专项突破练三　二次函数的综合 (2)当 m 符合什么条件时，图象 G 所对应的函数的最大值与最小值的差为4？ 1. [2023唐山二模]如图，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A (1，0)， B (－5，0)两点，与 y 轴交于点 C . P 是抛物线上的任意一点(不与点 C 重合)，点 P 的横坐标为 m ，抛物线上点 C 与点 P 之间的部分(包含端点)记为图象 G . 解：(2)在 y ＝－ x2－4 x ＋5中， 令 x ＝0，则 y ＝5，∴ C (0，5). ∵ y ＝－ x2－4 x ＋5＝－( x ＋2)2＋9， ∴抛物线的顶点坐标为(－2，9). 当 y＝5时，－ x2－4 x ＋5＝5，解得 x ＝0或 x ＝－4. 当 m ＜－4时，图象 G 所对应的函数的最大值为9， 最小值为－ m2－4 m ＋5，∴9－(－ m2－4 m ＋5)＝4，解得 m ＝0(舍去)或 m ＝－4(舍去)； 当－4≤ m ≤－2时，图象 G 所对应的函数的最大值为9，最小值为5，即图象 G 所对应的函数的最大值与最小值的差为4；当－2＜ m ＜0时，图象 G 所对应的函数的最大值为－ m2－4 m ＋5，最小值为5， ∴－ m2－4 m ＋5－5＝4，解得 m1＝ m2＝－2(舍去)；当 m ＞0时，图象 G 所对应的函数的最大值为5，最小值为－ m2－4 m ＋5， ∴5－(－ m2－4 m ＋5)＝4， 解得 m ＝2 －2或 m ＝－2 －2(舍去). 综上所述，当－4≤ m ≤－2或 m ＝2 －2时，图象 G 所对应的函数的最大值与最小值的差为4. (3)当 m ＜0时，若图象 G 与平行于 x 轴的直线 y ＝－2 m ＋3有且只有一个公共点，直接写出 m 的取值范围. 解：(3) m 的取值范围为 m ＝－3或－ －1＜ m ≤－1. 1. [2023唐山二模]如图，抛物线 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 A (1，0)， B (－5，0)两点，与 y 轴交于点 C . P 是抛物线上的任意一点(不与点 C 重合)，点 P 的横坐标为 m ，抛物线上点 C 与点 P 之间的部分(包含端点)记为图象 G . 类型2　和实际问题的综合 2. 【情境题生活应用】如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方的 B 处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点 C 到 y 轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点 B 高出1米，已知 OB ＝ m 米，排球场的边界点 A 距 O 点的水平距离 OA 为18米，球网 EF 的高度为2.4米，且 OE ＝ OA . (1) C 点的坐标为 ； (用含 m 的代数式表示) (6， m ＋1)　 (2)当 m ＝2时，求抛物线的解析式； 解：(2)当 m＝2时， C (6，3)， B (0，2)， 2. 【情境题生活应用】如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方的 B 处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点 C 到 y 轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点 B 高出1米，已知 OB ＝ m 米，排球场的边界点 A 距 O 点的水平距离 OA 为18米，球网 EF 的高度为2.4米，且 OE ＝ OA . ∴设抛物线的解析式为 y ＝ a ( x －6)2＋3，将点 B (0，2) 的坐标代入，得2＝ a (0－6)2＋3，解得 a ＝－ ， ∴抛物线的解析式为 y ＝－ ( x －6)2＋3. (3)当 m ＝2时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由. 2. 【情境题生活应用】如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方的 B 处发出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点 C 到 y 轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点 B 高出1米，已知 OB ＝ m 米，排球场的边界点 A 距 O 点的水平距离 OA 为18米，球网 EF 的高度为2.4米，且 OE ＝ OA . 解：(3)球能越过球网，球不会出界.理由：由(2)知，当 m ＝2时，抛物线的解析式为 y ＝－ ( x －6)2＋3. ∵ OA ＝18米， OE ＝ OA ，∴ OE ＝9米. 又∵球网 EF 的高度为2.4米，∴ F (9，2.4). 当 x ＝9时， y ＝－ ×(9－6)2＋3＝2.75. ∵2.75＞2.4，∴球能越过球网. 当 y ＝0时，0＝－ ( x －6)2＋3， 解得 x1＝6＋6 ， x2＝6－6 (不合题意，舍去)， ∵6＋6 ＜18，∴球不会出界. 易混易错 1.（2023秋•松江区期末）下列函数中，属于二次函数的是( ____ ) A.y=x-2 B.y=x2 C.y=x2-(x+1)2 D. 【解析】解：y=x-2不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则A不符合题意； y=x2符合二次函数的定义，它是二次函数，则B不符合题意； y=x2-(x+1)2整理得y=-2x-1，不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则C不符合题意； y= 不符合二次函数的定义，它不是二次函数，则D不符合题意； 故选：B． B 押题预测 63 2.（2023秋•虹口区期末）已知点A(-3，y1)和B(1，y2)都在抛物线y=2(x-1)2-2上，那么y1和y2的大小关系为y1 ____ y2(填“＞”或“＜”或“=”)． 【解析】解：将A(-3，y1)，B(1，y2)代入y=2(x-1)2-2得y2=30，y2=-2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． ＞ 3.（2024•闵行区一模）将抛物线y=x2+4x向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 ___________ ． (-2，-2) 【解析】解：∵将抛物线y=x2+4x=(x+2)2-4向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：y=(x+2)2-4+2=(x+2)2-2． ∴平移后的抛物线的顶点坐标为：(-2，-2)． 故答案为：(-2，-2)． 64 4.（2023秋•宝山区期末）平面直角坐标系中，在x轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与y轴的交点的距离之和最小的点，称为这条抛物线与x轴的“亲密点”．那么抛物线y=2x²+4x+5与x轴的“亲密点”的坐标是 　　． 【解析】解：∵y=2x2+4x+5=2(x+1)2+3， ∴抛物线开口向上，顶点P为(-1，3） ∴顶点关于x轴的对称点Q为(-1，-3)， 当x=0时，y=5，∴抛物线与y轴的交点M为(0，5)， 设直线MQ的解析式为y=kx+5， 代入(-1，-3)得，解得k=8，∴直线MQ的解析式为y=8x+5， 令y=0，则x=- ， ∴抛物线y=2x2+4x+5与x轴的“亲密点”的坐标为(- ，0)， 故答案为：(- ，0)． 65 5.（2023秋•黄浦区期末）已知抛物线y=x2+2x+3的顶点为A，它与y轴的交点为B． (1)求线段AB的长； (2)平移该抛物线，使其顶点在y轴上，且与x轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式． 【解析】解：(1)∵y=x2+2x+3=(x+1)2+2， 当x=0时，y=x2+2x+3=3， ∴A点的坐标为(1，2)，B点的坐标为（0，3）， ∴AB= = ； (2)设平移后的抛物线为y=x2+k. ∵抛物线的对称轴是直线x=0，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4， ∴平移后的抛物线与x轴的交点交点为(-2，0)，（2，0）， ∴22+k=0，即k=-4， ∴平移后抛物线的解析式为：y=x2-4． 66 6.（2023秋•长宁区期末）已知抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线y=-x-6经过点A与点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在线段AC下方的抛物线上，过点P作BC的平行线交线段AC于点D，交y轴于点E． ①如果C、F两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF，当DF⊥CF时；求∠PDF的正切值； ②如果PD：DE=3：5，求点P的坐标． 【解析】解：(1)∵直线y=-x-6经过点A与点C， 则点A、C的坐标分别为：(-6，0）(0，-6）， 由题意得： ，解得： ， 则抛物线的表达式为：y= x2+2x-6； 67 (2)①如图1，C、F两点关于抛物线的对称轴对称， 则CF∥x轴，当DF⊥CF时，则DF∥y轴， 则∠PDF=∠E=∠OCB，则tan∠PDF=tan∠OCB= ； ②设点D(m,-m-6)，如图2， ∵PD∥BC，tan∠OCB= ， 则直线DP的表达式为：y=3(x-m)-m-6， 过点D、P分别作y轴的垂线、垂足分别为点N、T， ∵PD：DE=3：5，则ND：PT=DE：PE=5：8， 即-m：PT=5：8，则PT=- m,则点P( m, m-6)， 将点P的坐标代入抛物线表达式得： m-6= ( m ）2+2( m)-6， 解得：m=- ，则点P(-3，-7.5) 68 $$