第07讲 二项式定理（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第07讲 二项式定理 【人教A版2019】 模块一 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 =++++++.(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 【题型1 求二项展开式】 【例1.1】（23-24高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二下·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二·上海·期中）写出的二项展开式 . 【变式1.2】（24-25高二·全国·课后作业）用二项式定理展开 ． 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2.1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在的展开式中，项的系数为（   ） A． B．10 C． D．80 【例2.2】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在的二项展开式中，含的项系数是（    ） A．132 B．240 C．480 D．196 【变式2.1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）二项式的展开式中有理项的项数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2.2】（23-24高二下·贵州安顺·期末）的展开式中各项系数和为32，则展开式中含的项是（    ） A． B． C． D． 模块二 二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 【题型3 用赋值法求系数和问题】 【例3.1】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）设，则（ ） A．1 B． C． D．2 【例3.2】（23-24高二下·北京海淀·期末）设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 【变式3.1】（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二下·广东肇庆·期末）若，则（    ） A．4048 B． C．1 D． 【题型4 多项式积的展开式中的特定项问题】 【例4.1】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B．0 C．5 D．10 【例4.2】（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式4.1】（23-24高二下·浙江舟山·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A．182 B．42 C． D． 【变式4.2】（23-24高二下·山西太原·期末）已知展开式中的系数为28，则该展开式的各项系数和为（    ） A． B． C．0 D． 【题型5 求展开式中系数最大（小）的项】 【例5.1】（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【例5.2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【变式5.1】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）若，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【题型6 三项展开式的系数问题】 【例6.1】（23-24高二下·福建·期末）的展开式中，常数项为（    ） A． B． C．141 D．140 【例6.2】（23-24高二下·湖北武汉·期末）的展开式中的系数是（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【变式6.1】（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）的展开式中项的系数为（    ） A．112 B．136 C．184 D．236 【变式6.2】（23-24高二下·河南郑州·期中）的展开式中，除含的项之外，剩下所有项的系数和为（    ） A． B．299 C． D．301 【题型7 利用二项式定理解决整除问题】 【例7.1】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）被8整除的余数为（ ） A．4 B．6 C．7 D．5 【例7.2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）若，且能被17整除，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．15 D．16 【变式7.1】（23-24高二下·全国·课前预习）证明：能被96整除. 【变式7.2】（23-24高二下·山东聊城·期中）已知的展开式中常数项为． (1)求n； (2)证明：能被6整除． 【题型8 杨辉三角问题】 【例8.1】（24-25高二·全国·假期作业）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”： 若在的展开式中， 的系数为，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【例8.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【变式8.1】（23-24高二上·全国·单元测试）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角： (1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为，求n的值. 【变式8.2】（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式的第3项的二项式系数为15，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）的展开式中含的项是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课堂例题）观察图中的数所成的规律，则所表示的数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 5．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 7．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，则被10除所得的余数为（    ） A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是 8．（23-24高二上·辽宁·期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 二、多选题 9．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．展开式的各二项式系数的和为64 C．展开式的第6项的系数为30 D．展开式中二项式系数最大的项是第4项 10．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（    ） A． B．展开式中项数共有13项 C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 11．（2024·山东日照·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·四川达州·期末）的展开式中项的二项式系数是 （用数字作答）． 13．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）被17除的余数为 ． 14．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，的二项展开式中各项系数和为，则展开式中项的系数是 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·全国·课后作业）用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 16．（23-24高二下·山东济南·期中）已知二项式． (1)求展开式中的有理项； (2)求展开式中系数最大的项． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）在二项式的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比为，求： (1)二项展开式中的各项的二项式系数之和； (2)二项展开式中的各项的系数之和． 18．（23-24高二下·辽宁大连·期中）若.求： (1)； (2). 19．（23-24高二上·全国·单元测试）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角： (1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为，求n的值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 二项式定理 【人教A版2019】 模块一 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 =++++++.(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 【题型1 求二项展开式】 【例1.1】（23-24高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由二项式定理求解. 【解答过程】二项式 ， . 故选：B. 【例1.2】（23-24高二下·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【解题思路】逆用二项展开式定理即可得答案. 【解答过程】 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二·上海·期中）写出的二项展开式 . 【解题思路】直接根据二项式定理展开求解即可. 【解答过程】因为的展开式的通项为， 所以. 故答案为：. 【变式1.2】（24-25高二·全国·课后作业）用二项式定理展开 ． 【解题思路】利用二项式定理展开即可. 【解答过程】． 故答案为：. 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2.1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在的展开式中，项的系数为（   ） A． B．10 C． D．80 【解题思路】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【解答过程】由， 令，解得， 所以，即项的系数为. 故选：C. 【例2.2】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在的二项展开式中，含的项系数是（    ） A．132 B．240 C．480 D．196 【解题思路】利用二项式定理的原理分析取得的方式，就可求出其系数. 【解答过程】可以看成6个因式相乘，要得到，只需两个因式取，其他4个因式取常数即可， 所以的系数为：. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）二项式的展开式中有理项的项数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】根据题意，求得二项式的展开式的通项为，结合通项，即可求解. 【解答过程】由题意，二项式的展开式的通项为： ，其中， 当时，展开式为有理项， 所以二项式的展开式中有理项的项数为5项. 故选：B. 【变式2.2】（23-24高二下·贵州安顺·期末）的展开式中各项系数和为32，则展开式中含的项是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】借助赋值法令可得，再利用二项式的展开式的通项公式计算即可得解. 【解答过程】令，则有，解得， 对有， 则有， 故展开式中含的项是. 故选：A. 模块二 二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 【题型3 用赋值法求系数和问题】 【例3.1】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）设，则（ ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】通过赋值法即可求解. 【解答过程】令，则， 故选：B. 【例3.2】（23-24高二下·北京海淀·期末）设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 【解题思路】令,求出，结合为的系数，求出这一项即可求出. 【解答过程】令，则可得， 又，则， 又为的系数，且， 因此. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】赋值法求解即可. 【解答过程】令，得①，令，得②， ①－②，得，即． 故选：A． 【变式3.2】（23-24高二下·广东肇庆·期末）若，则（    ） A．4048 B． C．1 D． 【解题思路】通过赋值法令即可求解. 【解答过程】的展开式的通项公式为， 结合，知均为负值， ， 令，得， 故， 故选：D. 【题型4 多项式积的展开式中的特定项问题】 【例4.1】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B．0 C．5 D．10 【解题思路】根据题意，结合二项展开式的性质，即可求解. 【解答过程】由题意，在的展开式中， 其中项为， 所以项的系数为. 故选：A. 【例4.2】（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 【解题思路】先求出二项式的通项公式，将分为两项，由的系数求解参数即可. 【解答过程】二项式的通项公式为． 的展开式中， 的系数为，解得． 故选：B． 【变式4.1】（23-24高二下·浙江舟山·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A．182 B．42 C． D． 【解题思路】写出展开式的通项，从而确定常数项. 【解答过程】因为， 则的展开通项公式为， 的展开通项公式为， 令，即， 可得和， 相加得， 故选：B. 【变式4.2】（23-24高二下·山西太原·期末）已知展开式中的系数为28，则该展开式的各项系数和为（    ） A． B． C．0 D． 【解题思路】直接利用二项式的展开式以及组合数得，利用赋值法求出结果． 【解答过程】根据的展开式通项， 当与配对时，，故的系数为, 当与配对时，，故的系数为， 所以，故； 故令，则各项的系数和为． 故选：D． 【题型5 求展开式中系数最大（小）的项】 【例5.1】（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【解题思路】写出的二项展开式的通项，进而可知项的系数为，进而可知当取奇数时，系数为负值，因此分别求出、、时的项的系数，进而可知最小值；因为的展开式有7项，因此中间一项的二项式系数最大. 【解答过程】的展开式的通项为， 当取奇数时，系数为负值， 当时，，当时，，当时，， 所以第2项的系数最小； 因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大. 故选：B. 【例5.2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【解题思路】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【解答过程】的通项公式为, 根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大， 第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大 故选：B. 【变式5.1】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，得到，从而求出展开式中系数的最小值. 【解答过程】因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以， 所以展开式的通项公式为，要使展开式中系数的最小值，则为奇数，取值为1，3，5，7，所以当或5时，系数最小，则展开式中系数的最小值为， 故选：C. 【变式5.2】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）若，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【解题思路】令，，且，结合组合数公式求出的值即可． 【解答过程】令，，且， 解得，，且， 所以时，， 而，， 所以 ，且 ， 故取最大值时的值为9． 故选：B． 【题型6 三项展开式的系数问题】 【例6.1】（23-24高二下·福建·期末）的展开式中，常数项为（    ） A． B． C．141 D．140 【解题思路】利用多项式乘法写出展开式的通项，令的次数为,计算可求常数项． 【解答过程】展开式的通项公式为： ， 当时，常数项为1； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 所以展开式中的常数项为. 故选：C. 【例6.2】（23-24高二下·湖北武汉·期末）的展开式中的系数是（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【解题思路】根据二项式定理的通项公式确定r的值即可求出系数. 【解答过程】因为的展开式中，通项公式 , 令，得，则， 又, 所以的系数为. 故选：A. 【变式6.1】（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）的展开式中项的系数为（    ） A．112 B．136 C．184 D．236 【解题思路】根据题意，由二项式展开式的通项公式可知，或，再结合的展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】的展开式的通项为， 要得到项，必有，所以，所以，或. 当时，，而展开式中的项为， 故中项的系数为； 当时，，而中的常数项为1， 故中项的系数为，所以所求项的系数为. 故选：B. 【变式6.2】（23-24高二下·河南郑州·期中）的展开式中，除含的项之外，剩下所有项的系数和为（    ） A． B．299 C． D．301 【解题思路】先令，求出展开式中所有项的系数和，然后求出项的系数，从而可得答案. 【解答过程】令得， 所以的展开式中所有项的系数和为， 由为个因式相乘， 要得到项，则五个因式中有一个因式取，一个因式取，其余三个因式取，然后相乘而得， 所有的展开式中含的项为， 所以的展开式中，除含的项之外，剩下所有项的系数和为. 故选：B. 【题型7 利用二项式定理解决整除问题】 【例7.1】（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）被8整除的余数为（ ） A．4 B．6 C．7 D．5 【解题思路】由，利用二项式定理展开即可求得余数. 【解答过程】由 ， 所以被8除所得的余数是7. 故选：C. 【例7.2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）若，且能被17整除，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．15 D．16 【解题思路】二项式定理整除问题，把改写成，利用二项式定理展开，再令能被17整除，求出的最小值即可. 【解答过程】 ， 因为能被17整除， 所以上式中能被17整除即可满足题意， 所以， 即， 所以的最小值为16， 故选：D. 【变式7.1】（23-24高二下·全国·课前预习）证明：能被96整除. 【解题思路】将化成的形式，再利用二项式定理展开整理得到的倍数形式即可. 【解答过程】 ， 原式能被96整除． 【变式7.2】（23-24高二下·山东聊城·期中）已知的展开式中常数项为． (1)求n； (2)证明：能被6整除． 【解题思路】（1）根据题意，利用二项展开式，得出展开式的常数项为，即可求解； （2）由，结合二项展开式，即可得证. 【解答过程】（1）解：由， 则多项式的展开式的常数项为，解得. （2）解：由 ， 所以能被6整除. 【题型8 杨辉三角问题】 【例8.1】（24-25高二·全国·假期作业）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”： 若在的展开式中， 的系数为，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】利用广义杨辉三角，求出的展开式，再分析的项即可得解. 【解答过程】由广义杨辉三角，得:， 所以的展开式中，项为， 所以解得 故选：B. 【例8.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【解题思路】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【解答过程】由图知，第行的第个数为，则， 对于A，由，得 ，故A错误； 对于B，第2023行有2024项，从左往右第1013个数与第1014个数分别为，所以，故B错误； 对于C，第行的第个数为，则， ，故C错误； 对于D，第20行中，第8个数与第9个数的比为，故D正确. 故选：D. 【变式8.1】（23-24高二上·全国·单元测试）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角： (1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为，求n的值. 【解题思路】（1）根据数阵中数的排列规律，得到第行的从左到右第个数为，利用组合数的计算公式，即可求解； （2）由（1）中的结论，建立关于的方程，结合组合数的计算公式，即可求解. 【解答过程】（1）由题意得，第行的从左到右第个数为（其中且） 所以第20行中从左到右的第4个数为. （2）由题意，第行的从左到右第14与第15个数的比为， 可得，可化简得， 解得. 【变式8.2】（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【解答过程】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式的第3项的二项式系数为15，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】由第3项的二项式系数为15，可列方程，解方程可得的值. 【解答过程】的展开式的第3项的二项式系数为：， 由 ，解得或（舍去）． 故选：C. 2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）的展开式中含的项是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先写出二项式展开式的通项，令的指数位置等于可得的值，即可求解. 【解答过程】的展开式的通项公式为，则，得，所以含的项是． 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·课堂例题）观察图中的数所成的规律，则所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】观察图表，总结出规律，即可得到答案. 【解答过程】由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以，即． 故选：B. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 【解题思路】根据题意，令，即可求得所有项的系数之和，得到答案． 【解答过程】由多项式，令，可得所有项的系数之和为． 故选：A. 5．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 【解题思路】先求出二项式的通项公式，将分为两项，由的系数求解参数即可. 【解答过程】二项式的通项公式为． 的展开式中， 的系数为，解得． 故选：B． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【解题思路】写出的二项展开式的通项，进而可知项的系数为，进而可知当取奇数时，系数为负值，因此分别求出、、时的项的系数，进而可知最小值；因为的展开式有7项，因此中间一项的二项式系数最大. 【解答过程】的展开式的通项为， 当取奇数时，系数为负值， 当时，，当时，，当时，， 所以第2项的系数最小； 因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大. 故选：B. 7．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，则被10除所得的余数为（    ） A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是 【解题思路】由题意可得，将其展开式写出后可得，即可得解. 【解答过程】， 由， 故被10除所得的余数为. 故选：C. 8．（23-24高二上·辽宁·期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 【解题思路】根据二项展开式的通项，可得的，结合赋值法，即可求解. 【解答过程】由二项式的展开式的通项为， 所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数， 令，可得， 令，可得， 所以 . 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．展开式的各二项式系数的和为64 C．展开式的第6项的系数为30 D．展开式中二项式系数最大的项是第4项 【解题思路】根据二项式定理逐一判断即可. 【解答过程】解：展开式共有7项，故A错误； 展开式的各二项式系数的和为，故B正确； 展开式的第6项是，其系数为-30，故C错误； 展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 10．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（    ） A． B．展开式中项数共有13项 C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 【解题思路】利用二项式定理及二项展开式的通项公式，结合展开式中的特定项的求法即可求解. 【解答过程】依题意，展开式的通项公式为， 因为第6项为常数项， 所以时，有，解得，故A正确； 由，得展开式中项数共有项，故B错误； 令，得， 所求含项的系数为.故C正确； 由,令，,则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取，所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D. 故选：ACD. 11．（2024·山东日照·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令即可判断A；令再由选项A即可判断C；由通项公式即可判断B；令，再由选项C即可判断选项D. 【解答过程】由， 令得，故A正确； 由的展开式的通项公式， 得，故B错误； 令，得①， 再由，得，故错误； 令，得②， ①-②再除以2得，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（23-24高二下·四川达州·期末）的展开式中项的二项式系数是 （用数字作答）． 【解题思路】利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【解答过程】 展开式的通项公式为， 当时，有，即展开式中项的二项式系数是. 故答案为：. 13．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）被17除的余数为 15 ． 【解题思路】根据二项式系数的性质得到，再化简得到，得到答案. 【解答过程】由题意得， 因为 ， 所以所求的余数为15． 故答案为：15. 14．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，的二项展开式中各项系数和为，则展开式中项的系数是 ． 【解题思路】由二项展开式的各项系数和为，求出，再利用二项展开式的通项公式，即可求解． 【解答过程】因为的二项展开式的各项系数和为， 令，得，解得， 所展开式的通项公式为， 令，得， 所以项的系数为． 故答案为：． 四、解答题 15．（23-24高二上·全国·课后作业）用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用二项展开式定理，写出二项展开式的通项，即可得答案； （2）利用二项展开式定理即可得答案. 【解答过程】（1） . （2） . 16．（23-24高二下·山东济南·期中）已知二项式． (1)求展开式中的有理项； (2)求展开式中系数最大的项． 【解题思路】（1）写出二项展开式的通项，由的指数为有理数求得的值，即可得答案； （2）直接由（1）中求得的项得结论． 【解答过程】（1）的展开式的通项为 ，， 展开式中的每一项都是有理项，分别为： ，，，，，，，， . （2）由（1）可知，展开式中系数最大的项为第三项与第四项，分别为，． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）在二项式的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比为，求： (1)二项展开式中的各项的二项式系数之和； (2)二项展开式中的各项的系数之和． 【解题思路】（1）由通项公式得出第4项的系数与第7项的系数，根据比例得出，进而得出二项式系数之和； （2）令，得各项系数之和. 【解答过程】（1）解：二项式的展开式的通项为， ∵ ，∴． 即二项展开式中的各项的二项式系数之和为． （2）令，得各项系数之和为． 18．（23-24高二下·辽宁大连·期中）若.求： (1)； (2). 【解题思路】（1）令，可得，再令，即可求解； （2）分别令和，两式相加即可求解. 【解答过程】（1）令，可得， 令，可得，① ∴； （2）令，可得，② ①②两式相加，可得. 19．（23-24高二上·全国·单元测试）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角： (1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为，求n的值. 【解题思路】（1）根据数阵中数的排列规律，得到第行的从左到右第个数为，利用组合数的计算公式，即可求解； （2）由（1）中的结论，建立关于的方程，结合组合数的计算公式，即可求解. 【解答过程】（1）由题意得，第行的从左到右第个数为（其中且） 所以第20行中从左到右的第4个数为. （2）由题意，第行的从左到右第14与第15个数的比为， 可得，可化简得，解得. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$