期末强化练08 对数与对数函数小题17种常考题型总结（60题）-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 期末强化练08 对数与对数函数小题17种常考题型总结（60题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一对数的运算 题型二换底公式 题型三求对数函数的解析式 题型四对数函数的定义域 题型五对数函数的值域 题型六判断对数型函数的图象形状 题型七根据对数型函数图象判断参数的范围 题型八对数型函数图象过定点问题 题型九对数函数图象的应用 题型十对数函数的单调性 题型十一由对数（型）的单调性求参数 题型十二由对数函数的单调性解不等式 题型十三比较对数式的大小 题型十四根据对数函数的最值求参数或范围 题型十五对数函数最值与不等式的综合问题 题型十六反函数 题型十七对数函数的应用 1.对数运算的一般思路 （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； （2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 提醒　对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[（－3）×（－4）]＝log2（－3）＋log2（－4）的错误. 2.指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f（x，y，z）的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k（k＞0），则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f（x，y，z）求解. 3.对数函数 （1）定义：函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是　（0，＋∞）　. 提醒　对数函数y＝logax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x＞0；③系数为1. （2）图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：　（0，＋∞）　 值域：R 图象过定点　（1，0）　，即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0； 当0＜x＜1时，恒有y＞0 在（0，＋∞）上是　增函数　 在（0，＋∞）上是　减函数　 提醒　当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论. 4.反函数 （1）指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换； （2）y＝ax与y＝logax的函数图象关于　y＝x　对称. 5.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 （1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想； （2）对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 6.比较对数式大小的常见类型及解题方法 7.求解对数不等式的两种类型及方法 （1）logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； （2）logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解. 8.对数型函数性质的综合问题 　与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三个方面：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 题型1 对数的运算 1．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数，则为（    ） A．1 B． C．0 D．2 2．（23-24高二下·天津红桥·期末）（1）求值：; （2）求值：. 3．（23-24高一上·安徽·期末） . 4．（23-24高一下·浙江杭州·期末） . 5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末） . 6．（23-24高一上·天津·期末） . 题型2 换底公式 7．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知，且，则的值是 . 8．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）设，若，则 ． 9．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 题型3 求对数函数的解析式 10．（23-24高三上·江苏·期末）满足的函数可以为 .（写出一个即可） 11．（20-21高一上·上海奉贤·阶段练习）若对数函数且）的图象经过点，则实数 . 12．（21-22高二下·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 题型4 对数函数的定义域 13．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型5 对数函数的值域 16．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域和值域都是，则 . 17．（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 18．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数的值域为 . 题型6 判断对数型函数的图象形状 19．（23-24高二下·湖北·期末）函数的图象大致为（    ） A．  B．   C．  D．   20．（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． 题型7 根据对数型函数图象判断参数的范围 22．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知，是方程的两个不等实根，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 23．（21-22高一下·湖南·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 24．（23-24高一下·云南昆明·期末）设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 题型8 对数型函数图象过定点问题 25．（21-22高一上·山西长治·期末）函数且的图象恒过定点 . 26．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点 . 27．（23-24高一上·湖北·期末）函数的图象恒过，则 题型9 对数函数图象的应用 28．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 29．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数，若，则的最小值为 . 30．（23-24高一上·重庆·期末）若，当时，，则 . 题型10 对数函数的单调性 31．（23-24高二下·天津滨海新·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高三上·云南保山·期末）下列函数既是奇函数，又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 题型11 由对数（型）的单调性求参数 34．（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 35．（23-24高二下·江西赣州·期末）“”是“函数在单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 36．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·全国·期末）已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 38．（23-24高二下·河北·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知函数，则“在上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 题型12 由对数函数的单调性解不等式 40．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数，则关于的不等式解集为(    ) A． B． C． D． 41．（23-24高一上·江苏连云港·期末）函数是定义在上的单调递减函数，则不等式的解集为 . 42．（23-24高一上·安徽·期末）已知偶函数在单调递减，，若，则实数的取值范围是 . 题型13 比较对数式的大小 43．（23-24高二下·云南·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·浙江·期中）若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高三上·河南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型14 根据对数函数的最值求参数或范围 46．（23-24高一下·山西大同·期末）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 . 47．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数，且，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 48．（22-23高一上·广东广州·期末）已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 49．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 50．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 51．（23-24高一上·陕西渭南·期末）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，那么就称为“减半函数”.现有函数是“减半函数”，则的取值范围是 . 题型15 对数函数最值与不等式的综合问题 52．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 53．（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，当时，，则的取值范围为 . 54．（23-24高一上·天津南开·期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 ． 题型16 反函数 55．（23-24高二下·吉林·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 56．（23-24高二下·山东德州·期末）已知分别是函数的零点，则（    ） A． B． C．3 D．4 57．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（    ） A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数 题型17 对数函数的应用 58．（23-24高二上·贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 59．（2023·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 60．（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为 ；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是 . $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 期末强化练08 对数与对数函数小题17种常考题型总结（60题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一对数的运算 题型二换底公式 题型三求对数函数的解析式 题型四对数函数的定义域 题型五对数函数的值域 题型六判断对数型函数的图象形状 题型七根据对数型函数图象判断参数的范围 题型八对数型函数图象过定点问题 题型九对数函数图象的应用 题型十对数函数的单调性 题型十一由对数（型）的单调性求参数 题型十二由对数函数的单调性解不等式 题型十三比较对数式的大小 题型十四根据对数函数的最值求参数或范围 题型十五对数函数最值与不等式的综合问题 题型十六反函数 题型十七对数函数的应用 1.对数运算的一般思路 （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； （2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 提醒　对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[（－3）×（－4）]＝log2（－3）＋log2（－4）的错误. 2.指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f（x，y，z）的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k（k＞0），则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f（x，y，z）求解. 3.对数函数 （1）定义：函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是　（0，＋∞）　. 提醒　对数函数y＝logax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x＞0；③系数为1. （2）图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：　（0，＋∞）　 值域：R 图象过定点　（1，0）　，即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0； 当0＜x＜1时，恒有y＞0 在（0，＋∞）上是　增函数　 在（0，＋∞）上是　减函数　 提醒　当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论. 4.反函数 （1）指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换； （2）y＝ax与y＝logax的函数图象关于　y＝x　对称. 5.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 （1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想； （2）对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 6.比较对数式大小的常见类型及解题方法 7.求解对数不等式的两种类型及方法 （1）logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； （2）logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解. 8.对数型函数性质的综合问题 　与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三个方面：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 题型1 对数的运算 1．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数，则为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2．（23-24高二下·天津红桥·期末）（1）求值：; （2）求值：. 【答案】（1）（2） 【分析】应用指数运算律及对数运算律化简求值即可. 【详解】（1），. （2）. 3．（23-24高一上·安徽·期末） . 【答案】 【分析】根据指数与对数的互化、对数的运算性质计算直接得出结果. 【详解】原式. 故答案为： 4．（23-24高一下·浙江杭州·期末） . 【答案】9 【分析】根据根式的化简与对数的运算法则计算即可. 【详解】原式可化为. 故答案为：9 5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末） . 【答案】12 【分析】根据对数和指数运算法则计算可得结果. 【详解】易知 . 故答案为：12 6．（23-24高一上·天津·期末） . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质和特殊角的三角函数值可求原式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 题型2 换底公式 7．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知，且，则的值是 . 【答案】1 【分析】由指对互化可得，再利用对数的换底公式和对数的运算性质计算可得的值. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：1. 8．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）设，若，则 ． 【答案】3 【分析】利用换底公式将已知转化为关于的一元二次方程求解即可. 【详解】由 整理得：，解得或， 即（舍去）或. 故答案为：3 9．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 题型3 求对数函数的解析式 10．（23-24高三上·江苏·期末）满足的函数可以为 .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】对数函数均满足要求，考虑到定义域需要加绝对值 【详解】可令，满足要求. 故答案为：.（答案不唯一） 11．（20-21高一上·上海奉贤·阶段练习）若对数函数且）的图象经过点，则实数 . 【答案】2 【分析】直接将点代入计算即可. 【详解】将点代入得，解得 故答案为：2. 12．（21-22高二下·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 【答案】A 【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解. 【详解】解：由已知得，所以，解得：， 故选：A． 题型4 对数函数的定义域 13．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的性质求对数复合函数的定义域. 【详解】由题意，解得或， 故函数的定义域为． 故选：D 14．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域的求法来求得正确答案. 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 15．（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开偶次方根被开方数非负及对数真数大于零确定函数定义域. 【详解】由 得 ，所以函数的定义域为. 故选: B 题型5 对数函数的值域 16．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域和值域都是，则 . 【答案】或 【分析】分类讨论的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解. 【详解】当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 故答案为：或. 17．（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 【答案】 【分析】由函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，化简，令，得到，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由， 令，可得 令， 因为，当且仅当时，即时，即时取等号， 所以，所以，所以函数的最小值为. 故答案为：；. 18．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数的值域为 . 【答案】 【分析】由题意利用对数的运算法则、对数函数的定义域、值域并通过换元法即可得解. 【详解】由题意函数的定义域为，而， 不妨设，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 题型6 判断对数型函数的图象形状 19．（23-24高二下·湖北·期末）函数的图象大致为（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数在、时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为， 且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，则，当时，则，故排除C. 故选：D 20．（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 21．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案. 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. 题型7 根据对数型函数图象判断参数的范围 22．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知，是方程的两个不等实根，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意求出与之间关系，再利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】由题意知，其中，，则， 所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确. 故选：B. 23．（21-22高一下·湖南·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 24．（23-24高一下·云南昆明·期末）设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数结合分段函数和二次函数的图象求解. 【详解】当时，当时 函数图象示意图为 则与有两个零点知a的取值范围是. 故答案为： 题型8 对数型函数图象过定点问题 25．（21-22高一上·山西长治·期末）函数且的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可. 【详解】因为函数且，令，解得， 所以，即函数恒过点. 故答案为：. 26．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】令可求出过定点的横坐标，代入函数中可求出其纵坐标，从而可求得结果. 【详解】令，解得，又， 所以函数（且）的图象恒过定点. 故答案为： 27．（23-24高一上·湖北·期末）函数的图象恒过，则 【答案】 【分析】根据对数函数的知识求得正确答案. 【详解】当时，. 故答案为： 题型9 对数函数图象的应用 28．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】转化为与的图象有3个交点，做出的图象，结合图象可得答案. 【详解】若函数有三个零点， 则与的图象有3个交点， ， 当时，， 当时，， 与轴的交点为， 的大致图象如下， 要使与的图象有3个交点， 则，解得，或.    故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 29．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据题意结合图象可得，且，结合基本不等式运算求解. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 因为，且， 则，可得， 即，且， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 30．（23-24高一上·重庆·期末）若，当时，，则 . 【答案】6 【分析】先求出是以为周期的周期函数，再由对数的运算性质求出结果即可. 【详解】因为，所以， 所以是以为周期的周期函数， 又因为余，故， 因为当时，， 所以，所以. 故答案为：6. 题型10 对数函数的单调性 31．（23-24高二下·天津滨海新·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式，直接判断函数的单调性即可． 【详解】对于A，二次函数对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，故A错误； 对于B，由对数函数的单调性得，在上单调递增，故B错误； 对于C，当时，，由指数函数单调性得，在上单调递减，故C正确； 对于D，因为和在上单调递增，故在上单调递增，故D错误； 故选：C． 32．（23-24高一上·河南驻马店·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数函数，对数函数，幂函数的图象与性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A:结合对数函数可知在上单调递减，所以在上单调递增，故选项A错误； 对于选项B: 结合指数函数可知在上单调递增，所以在上单调递增，故选项B错误； 对于选项C: 因为，结合幂函数图象与性质可知在上单调递减，故选项C正确； 对于选项D: 结合幂函数可知在上单调递增，故选项D错误. 故选：C. 33．（23-24高三上·云南保山·期末）下列函数既是奇函数，又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的判定方法及函数在上单调递增，逐项求解即可判断. 【详解】对A：令，定义域为，， 所以为奇函数，又因为，所以在上不是增函数，故A错误； 对B：令，定义域为，，所以为偶函数，故B错误； 对C：令，定义域为，所以不是奇函数，故C错误； 对D：令，定义域为，，所以为奇函数， 由幂函数性质可知在上单调递增，故D正确. 故选：D. 题型11 由对数（型）的单调性求参数 34．（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数型复合函数的单调性可知在上单调递增且大于恒成立，即可得到，解得即可. 【详解】因为在定义域上单调递减， 要使函数在上是严格减函数， 则在上单调递增且大于恒成立， 所以，解得， 即实数的取值范围. 故选：B 35．（23-24高二下·江西赣州·期末）“”是“函数在单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可. 【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知： 要满足函数在单调递增， 需要， 因为，所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件． 故选：B． 36．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知在内单调递增，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】若，可知在内单调递增， 可知在内单调递增，可得对任意恒成立， 又因为在定义域内单调递增，可知在内单调递增， 由题意可得：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 37．（23-24高一上·全国·期末）已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合对数函数单调性列式求解即得. 【详解】函数是上的增函数， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 38．（23-24高二下·河北·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数定义域，结合复合函数单调性得到不等式，求出，得到答案. 【详解】由，得，所以的定义域为. 又在上单调递增，且在上单调递增， 所以解得，即的取值范围是. 故选：A 39．（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知函数，则“在上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可列出关于的不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】“在上单调递增”当且仅当，即当且仅当， 换言之，“在上单调递增”的充要条件是. 故选：B. 题型12 由对数函数的单调性解不等式 40．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数，则关于的不等式解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性与单调性，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得原不等式的解集. 【详解】因为 ， 由可得或， 即函数的定义域为， 因为， 所以，函数为偶函数， 任取、，且， 则，，，令， 则， 即，所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数， 由可得，可得， 解得或，因此，原不等式的解集为. 故选：C. 41．（23-24高一上·江苏连云港·期末）函数是定义在上的单调递减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】 根据函数单调性直接求解即可. 【详解】为定义在的减函数，由得：，， 即不等式的解集为. 故答案为：. 42．（23-24高一上·安徽·期末）已知偶函数在单调递减，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数单调性和奇偶性得到，利用对数函数单调性求解即可. 【详解】因为偶函数在单调递减，，所以在上单调递增，， 所以等价于，所以， 所以，解得.所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型13 比较对数式的大小 43．（23-24高二下·云南·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 而，所以， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：B. 44．（24-25高一上·浙江·期中）若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数以及幂函数结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数在上为减函数，函数在上为增函数， 则，即， 因为对数函数在上为增函数，则， 因此，. 故选：B. 45．（24-25高三上·河南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性，借助基本不等式比较大小. 【详解】依题意，， ， 因此，所以. 故选：C 题型14 根据对数函数的最值求参数或范围 46．（23-24高一下·山西大同·期末）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值，探讨函数的性质，并求出在上的最大值，再由已知建立不等式求解即得. 【详解】函数，当时，， 则当，即时，； 函数，显然， 则函数的图象关于直线对称，当时，令，， ，， 由，得，则，，于是， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 在上单调递减，而在上单调递减， 因此函数在上单调递减，由对称性知，在上单调递增， 则当时，， 由对于任意，存在，使得，得，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 47．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数，且，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知，，求值后解出不等式即可. 【详解】根据题意知， 因为， 其图象开口向下，对称轴为， 所以当时， 其最小值， 当时，，在上的最小值为， 则由得， 当时，，在上的最小值为， 则时，无解， 故实数的取值范围为， 故答案为：. 48．（22-23高一上·广东广州·期末）已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答. 【详解】当时，，则， 因为对任意的，都存在，使得成立， 因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值， 而当时，，，不符合题意， 于是，函数在上单调递增，则，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故. 49．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 50．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【答案】2 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，，解得. 故答案为：2. 51．（23-24高一上·陕西渭南·期末）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，那么就称为“减半函数”.现有函数是“减半函数”，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】借助为“减半函数”， 从而可构造函数，利用换元转化为一元二次方程有两个不同的正根.从而求出的取值范围. 【详解】由题意可知函数在其定义域内为增函数， 若为“减半函数”， 则在上的值域为. 所以，即， 所以方程必有两个不同的实数根. 所以，即， 令，则方程有两个不同的正数根， 所以，解得的取值范围是， 故答案为：. 题型15 对数函数最值与不等式的综合问题 52．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】由，解得， ， 当时，取得最大值. 故答案为：. 53．（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，当时，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】按和分类讨论可得． 【详解】当时，. 当时，成立. 当时，若成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 54．（23-24高一上·天津南开·期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由二次函数、对数函数的性质判断、对应值域范围，即可得解集. 【详解】由题设，开口向下且对称轴为， 在上，在上递增，在上递减，且恒过点， 所以，上，上， 又，上，上， 综上，的解集为. 故答案为： 题型16 反函数 55．（23-24高二下·吉林·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令，根据题设，将问题转化成为函数与交点的横坐标，为函数与交点的横坐标，再利用与互为反函数，再结合图象，即可求出结果. 【详解】由，得到，令，得到 所以为函数与交点的横坐标， 由，得到，所以为函数与交点的横坐标， 又与互为反函数，故它们的图象关于直线对称， 又关于对称，由，得到，所以，得到， 故选：C. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于将问题转化成求函数与交点的横坐标及与交点的横坐标之和，再利用与互为反函数，即可求解. 56．（23-24高二下·山东德州·期末）已知分别是函数的零点，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意可得函数与直线的交点为，与直线的交点为，而与互为反函数，则由反函数的性质可得和关于直线对称，从而得，，进而可求得答案. 【详解】由题意可得函数的零点为函数与直线的交点的横坐标， 则两函数图象的交点坐标为， ， 函数的零点为函数与直线的交点的横坐标， 则两函数图象的交点坐标为，， 因为与互为反函数，其图象关于直线对称，直线也关于直线对称， 所以点和关于直线对称， 所以， 所以. 故选：C 57．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（    ） A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数 【答案】B 【分析】首先代入点的坐标求出，即可求出的解析式，从而求出的解析式，再根据奇偶性的定义及对数型复合函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数，且的图象过点，所以，解得（负值已舍去）， 所以，又是的反函数，所以， 则，令，解得， 所以的定义域为，令， 则，所以为奇函数， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：B 题型17 对数函数的应用 58．（23-24高二上·贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质可求得溶液甲的值与溶液乙的值的差. 【详解】由题意可知，溶液甲的值与溶液乙的值的差为 . 故选：C. 59．（2023·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论. 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 60．（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为 ；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是 . 【答案】 【分析】由得，，利用对数的运算化简可得；根据题意列方程组解出，，从而，再利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】①由题知，， 当时，有， 整理得，， 因为，所以. ②由题知，，即， 解得，， 所以. 由，得，， 因为函数为上的增函数，所以， 故火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是. 故答案为：；. $$