专题06 一次函数（考点串讲）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

七年级新鲁教版（2024）数学上册期末考点大串讲 串讲06 一次函数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 六大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期末真题对应考点练 考点透视 1.函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 2.函数的关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 3.函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 4.函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 5.函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 6.一次函数的概念 一般地，形如y=kx+b（k，k是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当b＝0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k，b的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 7.一次函数的图象与性质 8.待定系数法求一次函数的表达式 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立条件确定两个关于k，b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x，y的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y=kx+b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.   9.一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 题型剖析 题型一 函数的定义 例1．下列关系式中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 例2．下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（　　） D D B 举一反三 1．下列变量之间的关系不是函数关系的是（　　） A．一天的气温和时间 B．中的y与x的关系 C．速度一定，汽车行驶的路程与时间之间的关系 D．正方形的周长与面积 B 题型二 求自变量的取值范围 例1．函数的自变量x的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D．且 例2．下列函数中，自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． B B 举一反三 1. 题型三 从函数图象中获取信息 例1．小明和小张是邻居，某天早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小张比小明晚出发5分钟，乘公共汽车到学校．如图是他们从家到学校已走的路程y（米）和小明所用时间x（分钟）的函数图像．则下列说法中不正确的是（    ） A．小张乘坐公共汽车后7：48与小明相遇 B．小张到达学校时，小明距离学校400米 C．小明家和学校距离1000米 D．小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为80米/分 A 举一反三 1．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知乙先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论中正确的个数是（    ） ①乙的速度为4米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点80米； ③甲到达终点时，乙距离终点还有80米； ④甲、乙两人之间的距离为60米时，甲出发的时间为72秒和82秒． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 题型四 正比例函数的图象与性质 举一反三 题型五 一次函数的图象与性质 例　已知一次函数y=(m+1)x+m-3，解答下列问题： (1)若该一次函数为正比例函数，则m的值是　3　.  (2)若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是　-1<m<3　.  (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是该一次函数的图象上的两点，且当x1<x2时，y1>y2，则m的取值范围是　m<-1　.  　3　 　-1<m<3　 　m<-1　 A.第一、二、三象限　　B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限　　D.第二、三、四象限 (4)无论m为任何实数，该一次函数的图象总经过的定点坐标是　(-1，-4)　，不可能同时经过 ( B )  　(-1，-4)　 B 举一反三 1.已知一次函数y=kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是 ( B ) A.(-1，2) B.(1，-2) C.(2，3) D.(3，4) B 2.已知一次函数y=kx+b过点A(1，-2)和点B，且y随x的增大而增大，则点B的坐标可以是 ( B ) A.(-1，3) B.(-1，-3) C.(1，-3) D.(2，-3) B 题型六 一次函数的应用 例1.一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示，若这辆汽车每千米的耗油量相同，则当油箱中剩余的油量为35 L时，该汽车已行驶的路程为 ( A ) A.150 km B.165 km C.125 km D.350 km A 举一反三 1.在一次实验中，教师把一根弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度y(cm)随所挂物体的质量x(kg)有以下对应关系，则表格中m的值为 ( A ) A.20 B.19.5 C.19 D.18 x/kg 0 1 2 3 … 6 7 y/cm 8 10 12 14 … m 22 A 易错易混 易错题型一——一次函数的性质应用 1.写出一个y与x之间的函数关系式　 　,使它满足:①它的图象经过点(3,6);②y随x增大而减小.  2.若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点(2,m),则m的值为　 　.  (示例)y=-x+9 5 易错题型二——一次函数与行程问题 1.中国人逢山开路,遇水架桥,靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹.雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路,被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一,全长240 km.一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安,如图,线段OM表示货车离西昌距离y1(km)与时间x(h)之间的函数关系,线段AN表示轿车离西昌距离y2(km)与时间x(h)之间的函数关系,则货车出发　 　h后与轿车相遇.  1.8 【解】画出平面直角坐标系，并标出主要建筑 C (3，2)的位置如图所示. (2)求出标志点 A 与主要建筑 C 的图上距离. 【解】 AC ＝ ＝ . 易错题型三——一次函数解析式的求解 1.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标系原点,A(3,0),B(3,1),C(0,1),将△OAB沿直线OB折叠,使得点A落在点D处,OD与BC交于点E,则OD所在直线的解析式为( ) C 易错题针对训练 1.象棋起源于中国,中国象棋文化历史悠久.如图是某次对弈的残图,如果建立平面直角坐标系,使棋子“帅”位于点 (-2,-1)的位置,棋子“马”位于点(1,2)的位置,那么在同一坐标系下,经过棋子“帅”和“马”所在的点的直线的函数解析式为( ) A.y=x+1 B.y=x-1 C.y=2x+1 D.y=2x-1 A 押题预测 练习&巩固 1.[2023年烟台市7年级上册期末] 在平面直角坐标系中，若直线y=x＋2是由直线y=x－2沿x轴向左平移m个单位长度得到的，则m的值为( 　D　) A.0 B.2 C.3 D.4 2. [2023年济宁市7年级上册期末] 生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为( ) A.y=7.5x＋0.5 B.y=7.5x－0.5 C.y=15x D.y=15x＋45.5 A 尾长x(cm) 6 8 10 体长y(cm) 45.5 60.5 75.5 3． [2023年泰安市7年级期中 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)与点(2，5)，求该一次函数的表达式． 解：把点(0，1)，(2，5)分别代入y＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝2x＋1. 4. [2023年济宁市7年级上册月考] 将函数y＝2x＋1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　A　） A． y＝2x－1 B． y＝2x＋3 C． y＝4x－3 D． y＝4x＋5 A 5. [2023年临沂市7年级上册月考] A B C D C 已知函数y=kx的图象如图所示，那么函数y=kx－k的图象大致是( 　　) A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x $$