第28讲 尺规作图（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第七章　尺规作图及图形变换 第28讲　尺规作图 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 考点梳理 1.作一条线段等于已知线段 已知：线段a. 求作：线段AB，使AB＝a. 作法： (1)作一条直线l； (2)在l上任取一点A，以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧，交直线l于点B. 线段AB即为所求作的线段. 目录 作图演示 图示： 目录 考点梳理 2.作一个角等于已知角 已知：∠AOB. 求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB. 作法： (1)在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q； (2)作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧，交EG于点D； (3)以点D为圆心，PQ长为半径画弧，交第(2)步中所画弧于点F； (4)作射线EF. ∠DEF即为所求作的角. 目录 作图演示 图示： 目录 考点梳理 3.作已知角的平分线(5年1考) 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线OP. 作法： (1)以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点N，M； (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径在角的内部画弧，两弧交于点P； (3)作射线OP. 射线OP即为所求作的角平分线. 目录 作图演示 图示： 目录 考点梳理 4.作线段的垂直平分线(5年1考) 已知：线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线MN. 作法： (1)分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点M，N； (2)过点M，N作直线. 直线MN即为线段AB的垂直平分线. 目录 作图演示 图示： 目录 考点梳理 5.经过一点作已知直线的垂线(5年1考) (1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 已知：直线l和l上一点O. 求作：直线l的垂线，使它经过点O. 作法： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于A，B两点； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点M，N； ③作直线MN. 直线MN即为所求作的垂线； 目录 (2)经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线l和l外一点M. 求作：直线l的垂线，使它经过点M. 作法： ①在直线l的另一侧取点P； ②以点M为圆心，MP长为半径画弧，分别交直线l于A，B两点； ③分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点N； ④作直线MN. 直线MN即为所求作的垂线. 目录 目录 作图演示 图示(1)： 图示(2)： 考点梳理 6.过圆外一点作圆的切线 已知：点P是☉O外一定点. 求作：☉O的过点P的切线. 作法： (1)连接PO； (2)作线段PO的垂直平分线MN，交PO于点C； (3)以点C为圆心，PC长为半径作圆，分别交☉O于点A，B； (4)作直线PA，PB. 直线PA，PB即为所求作的切线. 目录 目录 作图演示 图示： 重难点1 重难点2 重难点3 目录 重难突破·形成能力 重难点4 重难点5 例1.如图，已知线段a，b.按如下步骤完成尺规作图：①作射线AM；②在射线AM上截取AD＝DB＝a；③在线段AB上截取BC＝b，则AC的长是(　　) A.2a＋b　　 B.2a－b　　 C.a＋b　　 D.b－a 重难点1 作线段等于已知线段 目录 上一级 B 目录 上一级 变式1.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＞AD. (1)尺规作图：延长BC，并在延长线上截取CF＝AD，连接AF交CD于点E(保留作图痕迹，不写作法)； 解:如图所示: 解:∵CF＝AD，CF＝3， ∴AD＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CF，BC＝AD＝3，AB＝CD， ∴∠D＝∠ECF， 在△ADE和△FCE中， 目录 上一级 (2)若CF＝3，CE＝2，求平行四边形ABCD的周长. 目录 上一级 ∴△ADE≌△FCE(AAS)， ∴DE＝CE＝2， ∴AB＝CD＝4， ∴平行四边形ABCD的周长为3＋3＋4＋4＝14. 例2.(2023·新疆)如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D.若AC＝3，BC＝4，则CD的长为(　　) A.　　 B.1　　 C.　　 D.2 重难点2 作已知角的平分线 目录 上一级 C 变式2.如图，在△ABC中，∠B＝90°. (1)在AB上找一点E，使得点E到BC，AC的距离相等(尺规作图，保留痕迹)； 目录 上一级 解:如图，点E即为所求. ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ECB＝30°. ∵∠B＝90°， ∴∠A＝90°－30°＝60°. (2)若∠BCE＝15°，求∠A的度数. 目录 上一级 例3.如图，在平行四边形ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是(　　) A.AE＝CF　　 B.DE＝BF C.OE＝OF　　 D.DE＝DC 重难点3 作线段的垂直平分线 目录 上一级 D 变式3.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°. (1)在BC边上求作点D，连接AD，使得AD＝BD(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； 目录 上一级 解:如图，点D即为所求. (2)在(1)所作的图形中，当AC＝4，BC＝8时，求sin∠ADC的值. 目录 上一级 解:设AD＝x，则BD＝x，CD＝8－x， 在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2， 即42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5， ∴AD＝5， ∴sin∠ADC＝. 例4.请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是(　　) A.SAS　　 B.ASA　　 C.AAS　　 D.SSS 重难点4 作一个角等于已知角 目录 上一级 D 变式4.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点. (1)请用尺规作图法，在△ABC内，求作DE∥BC，DE交AC于点E(不要求写作法，保留作图痕迹)； 目录 上一级 解:如图，DE即为所作. (2)在(1)的条件下，若＝2，求的值. 解: ∵DE∥BC， ∴＝2. 例5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4.以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，大于DC的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为(　　) A.5　　 B.6　　 C.7　　 D.8 目录 上一级 重难点5 过一点作已知直线的垂线 B 变式5.如图，已知锐角三角形ABC. (1)求作：△ABC的高AD(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)； 目录 上一级 解:如图，AD即为所求. ∵cos B＝，∴可设BD＝3k，AB＝5k， ∵AD为△ABC的高，即∠ADB＝90°， ∴AD2＋BD2＝AB2， 即22＋(3k)2＝(5k)2， 解得k1＝，k2＝－(不合题意，舍去)， ∴BD＝.又∵BC＝4，∴CD＝BC－BD＝4－. (2)在(1)的条件下，若BC＝4，AD＝2，cos B＝，求DC的长. 目录 上一级 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 1.如图，在菱形ABCD中，∠A＝45°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点M，连接BM，BD，则∠MBD的度数为　　　　. 必过题 目录 上一级 22.5° 2.(2024·广东)如图，在△ABC中，∠C＝90°. (1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)； 目录 上一级 解:如图，AD即为所作. 目录 上一级 (2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作☉D.求证：AB与☉D相切. 证明:如图，作DE⊥AB于点E， ∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB， ∠ACB＝90°，即DC⊥AC， ∴DE＝DC， ∴DE为☉D的半径. 又∵DE⊥AB于点E， ∴AB与☉D相切. 3.(2023·广东)如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°. (1)实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE(保留作图痕迹，不要求写作法)； 目录 上一级 解:如图，DE即为所求作的高. ∵AD＝4，∠DAB＝30°，DE是AB边上的高， ∴cos∠DAB＝， ∴AE＝AD·cos∠DAB＝4×＝2. 又∵AB＝6， ∴BE＝AB－AE＝6－2， 即BE的长为6－2. (2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长. 目录 上一级 解:如图，连接BD， ∵点D在BC的垂直平分线上， ∴BD＝CD，∴C△ABD＝AB＋AD＋BD ＝AB＋AD＋DC ＝AB＋AC. ∵AB＝CE，∴C△ABD＝AC＋CE＝AE＝1， 故△ABD的周长为1. 4.(2021·广东)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB. (1)若AE＝1，求△ABD的周长； 目录 上一级 设AD＝x， ∴BD＝3x. ∵BD＝CD， ∴AC＝AD＋CD＝4x， 在Rt△ABD中， AB＝＝2x. ∴tan∠ABC＝. (2)若AD＝BD，求tan∠ABC的值. 目录 上一级 5.已知：△ABC.尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O(只保留作图痕迹，不写作法和证明). 提升题 目录 上一级 解:如图，点O为所求. 6.尺规作图：如图，AD为☉O的直径. (1)(实践与操作)求作：☉O的内接正六边形ABCDEF(要求：在所给圆中作图，不写作法，保留作图痕迹)； 目录 上一级 解:如图即为所求作. (2)(应用并计算)在(1)中已画出的图形上连接DF，已知☉O的半径为4，求DF的长. 目录 上一级 解:如图，在☉O中，连接OF. ∵正六边形ABCDEF内接于☉O， ∴， ∴∠AOF＝60°，∴∠ADF＝∠AOF＝30°. ∵AD为☉O的直径，☉O的半径为4， ∴∠AFD＝90°，AD＝8， ∵cos∠ADF＝cos 30°＝，∴DF＝4. 解:补全图形如图，连接OA，OB， 7.下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程. 已知：如图1，☉O和☉O外一点P. 求作：过点P的☉O的切线. 培优题 目录 上一级 目录 上一级 作法：如图2， ①连接OP，作线段OP的中点M； ②以M为圆心，MP的长为半径作圆，交☉O于点A，B； ③作直线PA和PB，直线PA，PB即为所求作☉O的切线. 请在图2中补全图形，并完成下面的证明. 证明：连接OA，如图2， 目录 上一级 由作法可知，OP为☉M的直径， ∴∠OAP＝90°(　　　　　　　　　　　　　　　　)(填推理的依据)， ∴OA⊥PA， ∵点A在☉O上， ∴直线PA是圆的切线(__________________________________________________ _____)(填推理的依据)，同理，直线PB也是圆的切线. 直径所对的圆周角是直角 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线 目录 创新拓展·提升素养 8.(教材改编)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置(保留作图痕迹，不要求写出画法). 目录 解:连接A，B两点，作AB的垂直平分线，作两直线交角的角平分线，交点有两个. (1)作两条公路夹角的平分线OD和OE; (2)作线段AB的垂直平分线FG; 则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置. 目录 $$