第26讲 点、线与圆的位置关系（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第六章　圆 第26讲　点、线与圆的位置关系 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 考点梳理 1.点与圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d. 点与圆的位置关系 目录 ＜ ＝ ＞ 目录 对点演练 1.已知☉O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为(　　) A.d≤5　 B.d＝5 C.d＞5　 D.0≤d＜5 D 考点梳理 2.直线与圆的位置关系(5年1考) 目录 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 　　　　个 　　　　个 　　　　个 数量关系 d　　　　r d　　　　r d　　　　r 0 1 2 ＞ ＝ ＜ 对点演练 2.直线l与☉O的圆心的距离记为d，☉O的半径记为r. (1)若r＝3，☉O与直线l相切，则d＝　　　； (2)若d＝2，☉O与直线l相离，则r的取值范围是　　　　　　； (3)若r＝，☉O与直线l相交，则d的取值范围是　　　　　　. 目录 3 0＜r＜2 0≤d＜ 考点梳理 3.切线的性质与判定(5年4考) (1)切线的性质定理：圆的切线　　　　于过切点的半径； (2)切线的判定定理：经过　　　　的外端并且　　　　于这条　　　　的直线是圆的切线. 目录 对点演练 3.如图，AB为☉O的直径，AB＝1 cm，BC＝ cm，当AC＝　　 cm时，直线AC与☉O相切. 垂直 半径 垂直 半径 1 目录 考点梳理 4.切线长定理(5年1考) (1)切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫作这点到圆的切线长； (2)定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长　　　　，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如图，PA，PB分别切☉O于点A，B，则有PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB . 相等 对点演练 4.如图，P为☉O外一点，PA，PB分别切☉O于A，B两点，若PA＝6，则PB＝　　　　. 目录 5.如图，PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，则∠OPB＝　　　　°. 6 30 目录 考点梳理 5.三角形的外接圆与内切圆(5年1考) (1)如图1，☉O是△ABC的外接圆，则圆心O是三角形　　　　　　　的交点，∠BOC和∠A的数量关系为　　　　　　　； 图1 三条垂直平分线 ∠BOC＝2∠A (2)如图2，☉I是△ABC的内切圆，则圆心I是三角形　　　　　　　的交点，∠BIC和∠A的数量关系为　　　　　　　　　　　. 图2 目录 三条角平分线 ∠BIC＝90°＋∠A 对点演练 6.如图，☉O是△ABC的内切圆，若∠A＝58°，则∠BOC＝　　　　°. 目录 7.如图，已知点O为△ABC的外心，∠BAC＝80°，则∠BOC＝　　　　°. 119 160 重难点1 重难点2 重难点3 目录 重难突破·形成能力 重难点4 例1.(2024·广州)如图，在☉O中，弦AB的长为4，点C在☉O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与☉O的位置关系是(　　) A.点P在☉O上　　 B.点P在☉O内　　 C.点P在☉O外　　 D.无法确定 重难点1 点、直线与圆的位置关系 目录 上一级 C 变式1.☉O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与☉O相切时，m的值为　　　　. 目录 上一级 4 例2.(2024·福建)如图，已知点A，B在☉O上，∠AOB＝72°，直线MN与☉O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于(　　) A.18°　　 B.30°　　 C.36°　　 D.72° 重难点2 切线的性质 目录 上一级 A 变式2.(2023·海南)如图，AB为☉O的直径，AC是☉O的切线，点A是切点，连接BC交☉O于点D，连接OD，若∠C＝40°，则∠AOD＝　　　　_________度. 目录 上一级 100 证明:如图，连接OC，则OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA. ∵点C是的中点， ∴， 例3.(2024·东营)如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，点E在☉O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为D，DC的延长线交AB的延长线于点F. (1)求证：CD是☉O的切线； 重难点3 切线的判定 目录 上一级 目录 上一级 ∴∠OAC＝∠DAC， ∴∠OCA＝∠DAC， ∴OC∥AD. ∵AE⊥CD， ∴CD⊥OC. 又∵OC是☉O的半径， ∴CD是☉O的切线. 解:∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°－∠ABC＝30°， ∴∠DAC＝30°.∵CD＝， ∴AD＝CD＝3. ∵∠F＝90°－＝30°， ∴AF＝2AD＝6. (2)若CD＝，∠ABC＝60°，求线段AF的长. 目录 上一级 证明:如图，连接OD， ∵点D为的中点，∴OD⊥BC. ∵DF∥BC，∴DF⊥OD. 又∵OD是☉O的半径， ∴DF是☉O的切线. 变式3.(2024·巴中)如图，△ABC内接于☉O，点D为的中点，连接AD，BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F. (1)求证：DF是☉O的切线； 目录 上一级 证明:∵点D为的中点， ∴， ∴∠CBD＝∠BAD. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE. ∵∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠DBE＝∠CBD＋∠CBE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE. (2)求证：BD＝ED； 目录 上一级 解:如图，连接CD， ∵DE＝5，BD＝DE，∴BD＝5. ∵，∴CD＝BD＝5. ∵BC∥DF，∴∠ACB＝∠F，. 又∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠F. ∵四边形ABDC为☉O的内接四边形， (3)若DE＝5，CF＝4，求AB的长. 目录 上一级 目录 上一级 ∴∠ABD＋∠ACD＝180°＝∠ACD＋∠DCF， ∴∠DCF＝∠ABD， ∴△DAB∽△FDC， ∴，即， ∴AB＝. 例4.(2024·泸州)如图，EA，ED是☉O的切线，切点为A，D，点B，C在☉O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　) A.56°　　 B.60° C.68°　　 D.70° 重难点4 切线长定理 目录 上一级 C 变式4.如图，四边形ABCD是☉O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　　　　. 目录 上一级 48 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 证明:如图，连接BO并延长，交AD于点H，连接OD， ∵AB＝BD，OA＝OD，∴BO垂直平分AD， ∴BH⊥AD，AH＝DH.∵BE为☉O的切线， ∴HB⊥BE.∵AC为☉O的直径， ∴∠ADC＝90°，∴四边形BHDE为矩形， ∴DE⊥BE. 1.(2024·深圳)如图，在△ABD中，AB＝BD，☉O为△ABD的外接圆，BE为☉O的切线，AC为☉O的直径，连接DC并延长交BE于点E. (1)求证：DE⊥BE； 必过题 目录 上一级 解:由(1)知四边形BHDE为矩形，BH⊥AD，AH＝DH， ∴AH＝DH＝BE＝5， ∴BH＝＝5. 设☉O的半径为r，则OA＝OB＝r，OH＝BH－OB＝5－r， 在Rt△AOH中，由勾股定理，得r2＝52＋， 解得r＝3， 即☉O的半径为3. (2)若AB＝5，BE＝5，求☉O的半径. 目录 上一级 2.(2020·广东)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是☉O的直径，CO平分∠BCD. (1)求证：直线CD与☉O相切； 提升题 目录 上一级 证明:如图1，过点O作OE⊥CD于点E. ∵AD∥BC，∠DAB＝90°， ∴∠OBC＝90°，即OB⊥CB. 又∵CO平分∠BCD，OE⊥CD， ∴OE＝OB， 即OE是☉O的半径，∴直线CD与☉O相切. 解:如图2，连接BE，AE，延长AE交BC延长线于点F. 由圆周角定理，得∠APE＝∠ABE， ∵AB是☉O的直径，AB⊥AD， AB⊥BC， ∴∠AEB＝90°，AD，BC都是☉O的切线， 由切线长定理，得CE＝BC＝2，DE＝AD＝1. ∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠CFE. (2)如图2，记(1)中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2.求tan∠APE的值. 目录 上一级 目录 上一级 又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE∽△FCE，∴. 设AE＝a(a>0)，则EF＝2a， ∵∠BAE＋∠ABE＝∠FBE＋∠ABE＝90°，∴∠BAE＝∠FBE. 又∵∠AEB＝∠BEF＝90°， ∴△ABE∽△BFE，∴，即， 解得BE＝a.在Rt△ABE中，tan∠ABE＝， 则tan∠APE＝tan∠ABE＝. 3.(2023·广东)综合探究：如图1，在矩形ABCD中(AB＞AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'，连接AA'交BD于点E，连接CA'. (1)求证：AA'⊥CA'； 培优题 目录 上一级 证明:∵点A关于BD的对称点为A'， ∴点E是AA'的中点，∠AEO＝90°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴O是AC的中点， 目录 上一级 ∴OE是△ACA'的中位线， ∴OE∥A'C， ∴∠AA'C＝∠AEO＝90°， ∴AA'⊥CA'. 证明:如图2，设CD与☉O相切于点G，连接OG并延长， 交AB于点F，则∠OGC＝90°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AO＝BO＝CO＝DO， ∴∠OCG＝∠OAF，∠OGC＝∠OFA＝90°. 又∵AO＝CO， ∴△OCG≌△OAF(AAS)， (2)以点O为圆心，OE长为半径作圆. ①如图2，☉O与CD相切，求证：AA'＝CA'； 目录 上一级 目录 上一级 ∴OG＝OF. ∵OE，OG为☉O的半径， ∴OG＝OE， ∴OE＝OF. 又∵∠AEO＝90°，即OE⊥AE，OF⊥AB， ∴AO是∠EAF的平分线，即∠OAE＝∠OAF. 设∠OAE＝∠OAF＝x，则∠OCG＝∠OBF＝x， 又∵∠AEB＝90°，即△AEB是直角三角形， ∴∠EAB＋∠ABE＝90°，即2x＋x＝90°， 目录 上一级 解得x＝30°，∴∠OAE＝30°，即∠A'AC＝30°， 在Rt△A'AC中，∠A'AC＝30°，∠AA'C＝90°， ∴AC＝2CA'， ∴AA'＝CA'. 解:如图3，设A'C 与☉O相切于点H，连接OH， ∵☉O与CA'相切， ∴OE＝OH，∠A'HO＝90°. ∵∠AA'C＝∠A'EO＝∠A'HO＝90°， ∴四边形A'EOH是矩形. 又∵OE＝OH， ∴四边形A'EOH是正方形， ∴OE＝OH＝A'H. ②如图3，☉O与CA'相切，AD＝1，求☉O的面积. 目录 上一级 目录 上一级 又∵OE是△ACA'的中位线， ∴OE＝A'C， ∴A'H＝CH＝A'C， ∴OH＝CH. 又∵∠A'HO＝90°， ∴∠OCH＝45°. 又∵OE∥A'C， ∴∠AOE＝∠OCH＝45°. 目录 上一级 又∵∠AEO＝90°， ∴△AEO是等腰直角三角形， AE＝OE， 设AE＝OE＝r，则AO＝DO＝r， ∴DE＝DO－OE＝r－r＝(－1)r. 在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，AD＝1，即r2＋(－1)2r2＝12， ∴r2＝， ∴☉O的面积为πr2＝π. 目录 创新拓展·提升素养 目录 4.为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4 cm，则这张光盘的半径是　　　　cm(精确到0.1 cm.参考数据：≈1.73). 6.9 $$