第21讲 解直角三角形的应用（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第四章　三角形 第21讲　解直角三角形的应用 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 目录 1.仰角、俯角问题 (1)抬头看时，视线与水平线的夹角叫仰角， 图中人眼看点A的仰角＝30°； (2)低头看时，视线与水平线的夹角叫俯角， 图中人眼看点B的俯角＝70°. 考点梳理 目录 1.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为　　　　米. 对点演练 120 目录 考点梳理 2.方向角问题 以正南、正北方向为基准，向东或向西旋转一定角度来描述物体的运动 方向. (1)点A在O　　　　　　的方向上； (2)点B在O　　　　　　的方向上； (3)点C在O　　　　　　的方向上. 北偏东60° 东南 南偏西30° 目录 2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时B离灯塔P的距离是　　　　n mile. 对点演练 40 目录 3.坡角、坡度问题 (1)坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫作坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1∶m的形式； 考点梳理 目录 (2)把坡面与水平面的夹角α叫作坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝ ＝tan α. 目录 3.如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2∶1，若坝高AC为12 m，则迎水坡AB的长为　　　　m. 4.一个斜坡的坡度i＝1∶2，则坡角α的正切值为　　　　；若某人沿斜坡直线行进100米，则垂直高度上升了　　　　米. 对点演练 6 20 重难点1 重难点2 重难点3 目录 重难突破·形成能力 重难点1　仰角、俯角问题 目录 上一级 例1.(2024·雅安)在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)(　　) A.25 米　　 B.25米　　 C.25米　　 D.50米 A 目录 上一级 变式1.(2023·湖南)2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达点A时，从位于地面C处的雷达站测得A，C的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞船到达点B处，此时测得仰角为45°. (1)求点A离地面的高度AO； 解:在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∠ACO＝30°， AC＝8 km， ∴AO＝AC＝×8＝4 km. 目录 上一级 (2)求飞船从点A处到点B处的平均速度(结果精确到0.1 km/s，参考数据：≈1.73). 解:在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8 km， ∴OC＝AC＝4 km. 在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∠BCO＝45°， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°， ∴OB＝OC＝4 km， ∴AB＝OB－OA＝(4－4)km， ∴飞船从点A处到点B处的平均速度＝≈0.3(km/s). 重难点2　方向角问题 目录 上一级 例2.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时轮船与灯塔P的距离约为　　　海里(参考数据：sin 37°≈， cos 37°≈，tan 37°≈). 50 目录 上一级 变式2.(2023·营口)为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上，老师将学生分成甲、乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1 000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程(参考数据：≈1.41，≈2.45). 目录 上一级 解:如图，过点B作BD⊥AC于点D， 根据题意，得∠BAS＝20°，∠ACN＝25°，∠BCN＝55°， ∴∠BCA＝∠BCN－∠ACN＝30°， ∠SAD＝∠ACN＝25°， ∴∠BAD＝∠SAB＋∠SAD＝45°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDA＝∠BDC＝90°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°. 目录 上一级 ∵AB＝1 000米， ∴AD＝BD＝AB＝500 米. ∵在Rt△BDC中， ∠BCA＝30°，BD＝500 米， ∴BC＝2BD＝1 000 米， ∴DC＝BC·cos∠ACB＝500 米， ∴AC＝AD＋DC＝(500＋500)米， ∴AC－BC＝500＋500－1 000＝(500－500)米， 即AC－BC＝500－500≈520米. 答:甲组同学比乙组同学大约多走520米的路程. 重难点3　坡角、坡度的问题 目录 上一级 例3.如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5∶12.李老师乘扶梯从底端A以0.5 m/s的速度用时40 s到达顶端B，则李老师上升的垂直高度BC 为　　　　. m 目录 上一级 变式3.(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长(结果精确到米，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32). 解:如图，过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ADEF是矩形， 在Rt△DEC中，CD＝20米， ∠C＝18°， ∴DE＝CD·sin C＝20× sin 18°≈20×0.31＝6.2(米). ∴AF＝DE＝6.2米. 目录 上一级 ∵， ∴BF＝AF， ∴在Rt△ABF中，AB＝AF＝×6.2≈10(米). 答:斜坡AB的长约为10米. 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 必过题 目录 上一级 1.如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15 米，在实验楼顶部点B测得教学楼顶部点A的仰角是30°，底部点C的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　　　　　　米(结果保留根号). (15＋15) 目录 上一级 2.(2023·广东)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离(结果精确到0.1 m，参考数据sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192). 目录 上一级 解:如图，连接AB，作CD⊥AB于点D， ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴CD是边AB边上的中线，也是∠ACB的平分线， ∴AB＝2AD，∠ACD＝∠ACB＝50°， 在Rt△ACD中，AC＝10 m，∠ACD＝50°，sin∠ACD＝， ∴AD＝10×sin 50°≈10×0.766＝7.66 m ∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3 m. 答:A，B两点间的距离约为15.3 m. 目录 上一级 3.(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定. 根据以上信息回答下列问题(结果精确到0.1 m，参考数据≈1.73)： 目录 上一级 解:∵四边形PQMN是矩形， ∴∠Q＝∠P＝90°， 在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m， ∴AQ＝AB·sin∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°， ∴∠CBE＝30°， ∴BC＝ m， (1)求PQ的长； 目录 上一级 ∴AD＝ m. ∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°， ∴AP＝AD·cos∠PAD＝ m， ∴PQ＝AP＋AQ＝≈6.1 m， ∴PQ的长约为6.1 m. 目录 上一级 (2)该充电站有20个停车位，求PN的长. 解:在Rt△BCE中，BE＝＝3.2 m， 在Rt△ABQ中，BQ＝AB·cos∠ABQ＝2.7 m， ∵该充电站有20个停车位， ∴QM＝BQ＋20BE＝66.7 m. ∵四边形ABCD是矩形， ∴PN＝QM＝66.7 m. 提升题 目录 上一级 4.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10 m，到达点B，在B处测得树顶C的仰角高度为60°(A，B，D三点在同一直线上).请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732). 目录 上一级 解:∵∠CBD＝60°，∠CBD＝∠A＋∠ACB，∠A＝30°， ∴∠ACB＝∠CBD－∠A＝60°－30°＝30°. ∴∠A＝∠ACB. ∵AB＝10 m， ∴BC＝AB＝10 m， 在Rt△BCD中，CD＝BC·sin∠CBD＝10×＝5≈8.7 m. 答:这棵树CD的高度约为8.7米. 目录 上一级 5.如图，A，B两城市相距100 km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以点P为圆心，50 km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么(参考数据：≈1.732，≈1.414)？ 目录 上一级 解:如图，过点P作PC⊥AB，C是垂足.则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， ∴AC＝PC·tan 30°， BC＝PC·tan 45°. ∵AC＋BC＝AB， ∴PC·tan 30°＋PC·tan 45°＝100 km， ∴()＋1PC＝100， ∴PC＝50×(3－)≈50×(3－1.732)＝63.4 km>50 km. 答:森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修建的这条高速公路不会穿越保护区. 培优题 目录 上一级 6.(2023·达州)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示，秋千链子的长度为3 m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9 m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少(结果精确到0.1 m；参考数据：sin 26°≈0.44，cos 26°≈0.90，tan 26°≈0.49，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.20). 目录 上一级 解:如图，过点A作AD⊥MN于点D，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥ON于点F， 由题意，得四边形BMNF和四边形ENDA是矩形， ∴FN＝BM＝0.9 m，EN＝AD. ∵秋千链子的长度为3 m， ∴OB＝OA＝3 m. ∵∠BOC＝26°，BF⊥ON， ∴OF＝OB·cos 26°≈3×0.90＝2.7(m)， ∴ON＝OF＋FN＝2.7＋0.9＝3.6(m). 目录 上一级 ∵∠AOC＝50°，AE⊥ON， ∴OE＝OA·cos 50°≈3×0.64＝1.92(m)， ∴EN＝ON－OE＝3.6－1.92＝1.68(m)， ∴AD＝EN＝1.68 m≈1.7 m. ∴座板距地面的最大高度约为1.7 m. 目录 创新拓展·提升素养 目录 7.(2024·内蒙古)实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24 cm，BE＝AB，试管倾斜角∠ABG为12°. 目录 解:∵AB＝24 cm，BE＝AB， ∴BE＝8 cm， 由题意可知，BG⊥DE， 在Rt△BEG中，∠ABG＝12°， ∴BG＝BE·cos∠ABG＝8cos 12° cm. 答:试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度为8cos 12° cm. (1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度(结果用含非特殊角的三角函数表示)； 目录 (2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N(点C，D，N，F在一条直线上)，经测得：DE＝28 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度(结果用含非特殊角的三角函数表示). 目录 解:如图，过点B作BP⊥CF于点P，过点M作MQ⊥BP于点Q， 则四边形BPDG和四边形MNPQ都是矩形， ∴∠PBG＝90°，DP＝BG＝8cos 12° cm，BP＝DG，PQ＝MN＝8 cm，PN＝QM， 在Rt△BEG中，∠ABG＝12°，BE＝8 cm， ∴EG＝BE·sin∠ABG＝8sin 12° cm. ∵DE＝28 cm， ∴BP＝DG＝DE－EG＝cm， ∴BQ＝BP－PQ＝cm. 目录 ∵∠ABM＝147°，∠ABG＝12°，∠PBG＝90°， ∴∠MBQ＝45°， ∴Rt△BMQ是等腰直角三角形， ∴QM＝BQ＝ cm， ∴DN＝DP＋PN＝DP＋QM＝(8cos 12°＋20－8sin 12°)cm. 答:线段DN的长度为cm. $$