第19讲 相似三角形（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第四章　三角形 第19讲　相似三角形 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 目录 1.比例线段和比例的基本性质 (1)比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段； 考点梳理 目录 (2)比例的基本性质 ①若＝，则ad＝　　　；＝(b，d≠0)； ②若＝＝…＝＝k(b，d，…，n≠0)，则＝　　(b＋d＋…＋n≠0). 考点梳理 bc k 目录 1.下列四组线段中，不成比例的是(　　) A.3，9，2，6　　　　　 B.1，2，3，9 C.1，2，4，8 D.1，，， 2.已知＝，则下列等式错误的是(　　) A.ad＝bc B.＝ C.＝ D.＝ 对点演练 B D 目录 3.如果＝，那么的值为 (　　) A.　　　 B.　　 C.　　　 D.－ 对点演练 B 目录 2.平行线分线段成比例定理(5年1考) (1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若l3∥l4∥l5，则＝； (2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段　　　　 . 考点梳理 成比例 目录 4.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝8，BD＝3，则DF的值是　　. 对点演练 第4题图 6 目录 5.如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，AC＝10，则AE的长为(　　) A.　　 B.4　　　 C.6　　　 D. 对点演练 第5题图 B 目录 3.黄金分割(5年1考) 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割.其中点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比. 考点梳理 目录 6.已知黄金分割比约为0.618.如图，点B为AC的黄金分割点(AB＞BC)，若AC＝100 cm，则BC的长约为(　　) A.42 cm B.38 cm C.62 cm D.70 cm 对点演练 B 目录 4.相似三角形的判定(5年4考) (1)两角对应　　　　的两个三角形相似(AA)； (2)两边对应　　　　，且　　　　的两个三角形相似(SAS)； (3)三边对应　　　　的两个三角形相似(SSS)； (4)　　　　于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 考点梳理 相等 成比例 夹角相等 成比例 平行 目录 7.如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件　　　　　　　　　　　　 ，使△ADE∽△ABC. 对点演练 ∠ADE＝∠B(答案不唯一) 目录 5.相似三角形的性质(5年4考) (1)对应角　　　　，对应边　　　　； (2)周长比等于　　 　　　　，面积比等于　　　　　　　　； (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于　　　　 . 考点梳理 相等 成比例 相似比 相似比的平方 相似比 目录 8.填空： (1)若两个相似三角形对应边的比为2∶3，则它们对应高线的比是　　　　 ；面积比为　　　　； (2)两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角的度数是40°，60°，那么另一个三角形的最大内角的度数是　　　度. 对点演练 2∶3 4∶9 80 目录 6.相似多边形 (1)定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫作相似多边形；相似多边形对应边的比叫作相似比； (2)性质： ①对应角　　　　，对应边　　　　； ②周长比等于　　　　　　　，面积比等于　　　　　　　　. 考点梳理 相等 成比例 相似比 相似比的平方 目录 9.如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，则∠α＝　　　　°，AB的长为　　　　. 对点演练 83 12 目录 7.图形的位似 (1)如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心； (2)性质： ①对应角相等，对应边之比等于位似比； ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 考点梳理 目录 10.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA∶OD＝2∶5，则△ABC与△DEF的周长比为　　　　. 对点演练 2∶5 重难点1 重难点2 重难点3 目录 重难突破·形成能力 重难点4 重难点1　平行线分线段成比例 目录 上一级 例1.如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝2∶3，EF＝9，则DE的长是(　　) A.4　　 B.6 C.7　　 D.12 B 目录 上一级 变式1.(2023·吉林)如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E.若AD＝2，BD＝3，则的值是(　　) A.　　 B. C.　　 D. A 重难点2　相似三角形的性质 目录 上一级 例2.(2023·重庆)若两个相似三角形周长的比为1∶4，则这两个三角形对应边的比是(　　) A.1∶2　　 B.1∶4　　 C.1∶8　　 D.1∶16 B 目录 上一级 变式2.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则∶的值是(　　) A.　　 B. C.　　 D. B 重难点3　相似三角形的判定 目录 上一级 例3.(2024·资阳)如图，在△ABC中，点D在边BC上.若∠BAD＝∠C，请证明：AB2＝BD·BC. 证明:∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴AB2＝BD·BC. 目录 上一级 变式3.(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于点D，BC的延长线与DH的延长线交于点E.求证：△AHD∽△EBD. 图1 证明:∵HD⊥AB于点D， ∴∠ADH＝∠EDB＝90°， ∴∠A＋∠AHD＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠AHD. 又∵∠ADH＝∠EDB＝90°， ∴△AHD∽△EBD. 目录 上一级 (2)如图2，A，B，C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上. ①请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA； 图2 解:如图2，点D是所求作的点. 目录 上一级 ②试证明上述结论：△ABD∽△CBA. 图2 证明:∵AB＝，BC＝5，BD＝1， ∴， ∴. ∵∠DBA＝∠ABC， ∴△ABD∽△CBA. 重难点4　位似 目录 上一级 例4.在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是(　　) A.(－2，1)　　　　　　　　　 B.(2，－1)　　 C.(－8，4)或(8，－4)　　　　　 D.(－2，1)或(2，－1) D 目录 上一级 变式4.(2023·遂宁)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC，△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为 (　　) A.(－1，0)　　 B.(0，0)　　 C.(0，1)　　 D.(1，0) A 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 必过题 目录 上一级 1.(2023·广东)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了(　　) A.黄金分割数　　 B.平均数　　 C.众数　　 D.中位数 A 目录 上一级 2.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. C 目录 上一级 3.(2023·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(1，0)，B(2，3)，C(－1，2)，若四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA'B'C'的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B'的坐标为　　　　. (4，6) 目录 上一级 4.(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.设AB＝36 cm，A'B'＝24 cm.小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为　　　　cm. 20 目录 上一级 5.(2024·广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 证明:∵BE＝3，EC＝6， ∴BC＝9. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°. ∵， ∴. 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF. 提升题 目录 上一级 6.(2023·东营)如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°，若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为 (　　) A.1.8　　 B.2.4　　 C.3　　 D.3.2 C 目录 上一级 7.(2023·广东)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为　　　　. 15 目录 上一级 8.(2023·上海)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD. (1)求证：DE＝AF； 证明:∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠ACF. 在△DAE和△ACF中， ∴△DAE≌△ACF(ASA)， ∴DE＝AF. 目录 上一级 (2)若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF·CE. 证明:∵△DAE≌△ACF， ∴∠AFC＝∠DEA， ∴180°－∠AFC＝180°－∠DEA，即∠AFB＝∠CED， 又∵∠ABF＝∠CDE， ∴△ABF∽△CDE， 目录 上一级 ∴， 由(1)已证DE＝AF， ∴， ∴AF2＝BF·CE. 培优题 目录 上一级 9.如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为　　　　　　　　(结果保留根号). (80－160)cm 目录 创新拓展·提升素养 目录 10.(综合运用)如图，在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，BC＝8 cm，点E是线段BC边上的一动点(不含B，C两端点)，连接AE，作∠AED＝∠B，交线段AB于点D. (1)求证：△BDE∽△CEA； 证明:∵∠BDE＝180°－∠BED－∠B， ∠CEA＝180°－∠BED－∠AED，∠AED＝∠B， ∴∠BDE＝∠CEA. ∵AB＝AC＝6 cm， ∴∠B＝∠C， ∴△BDE∽△CEA. 目录 (2)设BE＝x cm，AD＝y cm，请求y与x之间的函数关系式； 解:由(1)得△BDE∽△CEA， ∴. ∵AB＝AC＝6 cm，BC＝8 cm，BE＝x cm，AD＝y cm， ∴CE＝(8－x)cm，BD＝(6－y)cm， ∴， ∴y＝x2－x＋6(0 ＜ x ＜ 8). 目录 (3)点E在运动的过程中，△ADE能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由. 解:点E在运动的过程中，△ADE能构成等腰三角形.理由如下: ∵∠ADE是△BDE的外角， ∴∠ADE>∠B， ∵∠AED＝∠B， ∴∠ADE>∠AED， ∴AE≠AD， 当AE＝DE时， 可得△BDE≌△CEA(AAS)， 目录 ∴BE＝AC＝6 cm; 当DA＝DE时，∠BAE＝∠AED＝∠C， ∵∠B＝∠B， ∴△BAE∽△BCA， ∴，即， ∴BE＝ cm， ∴当△ADE是等腰三角形时，BE的长为6 cm或 cm. $$