第18讲 特殊三角形（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第四章　三角形 第18讲　特殊三角形 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 目录 1.等腰三角形的性质与判定(5年5考) 注意：“三线合一”是指等腰三角形顶角的　　　　、底边上的　　　　、底边上的　　互相重合.这条线所在直线也是等腰三角形的对称轴. 考点梳理 等腰三角形 等边对等角 等角对等边 平分线 中线 高 目录 1.已知△ABC是等腰三角形.若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是　　　　　　 . 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，则下列结论中错误的是 (　　) A.∠BAC＝∠C B.BD＝CD C.∠BAD＝∠CAD D.∠B＝∠C 对点演练 40°或100° A 目录 2.等边三角形的性质与判定(5年1考) (1) 考点梳理 (2)等边三角形的面积公式 ①S等边△ABC＝BC·AD； ②S等边△ABC＝AB2. 等边三角形 60° 60° 等腰 目录 3.一个等腰三角形的一边长为4 cm，有一个角为60°，则这个等腰三角形的周长是　　cm. 4.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，AB＝5 cm，则DC的长为　　　　. 5.边长为6 cm的等边三角形面积是　 　　cm2. 对点演练 12 9 目录 3.直角三角形的性质和判定(5年5考) (1)性质： ①两锐角互余. 即∠A＋∠B＝　　　　； ②30°角所对的直角边等于斜边的　　　　.即若∠B＝30°，∠C＝90°，则 AC＝　　　　； ③斜边上的中线长等于斜边的　　　　.即若CD是中线，则CD＝　　　　； ④勾股定理：两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即　　　　　　　； 考点梳理 90° 一半 AB 一半 AB a2＋b2＝c2 目录 (2)判定： ①有一个角是直角的三角形是直角三角形； ②勾股定理的逆定理：若　　　　　　，则 △ABC是直角三角形. 考点梳理 a2＋b2＝c2 目录 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，则∠B的度数为　　　　. 7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6 cm，则BC＝　　　　. 8.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，若BD＝2，则AC的长为　　　　. 对点演练 第8题图 70° 3 cm 4 目录 9.如图，在平面直角坐标系中有两点A(3，0)和B(0，2)，则AB的长是　　　　 . 对点演练 第9题图 重难点1 重难点2 重难点3 目录 重难突破·形成能力 重难点1　等腰三角形的性质和判定 目录 上一级 例1.(2023·眉山)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为(　　) A.70°　　 B.100°　　 C.110°　　 D.140° C 目录 上一级 变式1.(2023·吉林)如图，在△ABC中，AB＝AC.分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E.若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为　　　　度. 55 目录 上一级 例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点M.求证：BM＝CM. 证明:∵AB＝AC， ∴∠EBC＝∠DCB. ∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°. 又∵BC＝CB， ∴△BEC≌△CDB(AAS)， ∴∠BCM＝∠CBM， ∴BM＝CM. 目录 上一级 变式2.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E. (1)求证：∠EBD＝∠EDB； 证明:∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD. ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB. 目录 上一级 (2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由. 解:CD＝ED，理由如下: ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC. ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC， 目录 上一级 ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴CD＝BE， 由(1)，得∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE， ∴CD＝ED. 重难点2　直角三角形和等腰直角三角形 目录 上一级 例3.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是　　　　. 76 目录 上一级 变式3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若AC＝8，BC＝6，则BF的长为 (　　) A.2　　 B.2.5　　 C.3　　 D.4 B 目录 上一级 例4.把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，若BC＝4，AB＝2，则△ACF的面积为　　　　. 10 目录 上一级 变式4.如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(　　) A.30°　　 B.45°　　 C.60°　　 D.90° B 重难点3　等边三角形的性质和判定 目录 上一级 例5.如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于　　　度. 60 目录 上一级 变式5.如图，等边△ABC的边长为4，则点A的坐标为　　　　，面积是　　　　 . (0，2) 4 目录 上一级 例6.下列三角形，不一定是等边三角形的是(　　) A.有两个角等于60°的三角形　　 B.有一个外角等于120°的等腰三角形 C.三个角都相等的三角形　　 D.边上的高也是这边的中线的三角形 D 目录 上一级 变式6.如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E. (1)求证：△ADE是等边三角形； 证明:∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°. ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°. ∴△ADE是等边三角形. 目录 上一级 (2)求证：AE＝AB. 证明:∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC. ∵BD⊥AC， ∴AD＝DC， ∴AD＝AC. ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD. ∴AE＝AB. 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 必过题 目录 上一级 1.已知等边三角形ABC的边长为3＋，则△ABC的周长是　　　　. 2.(2024·济南)如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝　　　　. 9＋3 65° 目录 上一级 3.(2023·新疆)如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝　　　°. 52 目录 上一级 4.(2023·武威)如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC的度数为 (　　) A.20°　　 B.25°　　 C.30°　　 D.35° C 提升题 目录 上一级 5.(2020·广东)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三 角形. 证明:在△BDF和△CEF中， ∴△BDF≌△CEF(AAS)， ∴BF＝CF， ∴∠FBC＝∠FCB. 目录 上一级 又∵∠ABE＝∠ACD， ∴∠FBC＋∠ABE＝∠FCB＋∠ACD. 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形. 目录 上一级 6.(2023·广东)【综合与实践】 主题：制作无盖正方体形纸盒. 素材：一张正方形纸板. 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒. 目录 上一级 猜想与证明： (1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系； 解:∠ABC＝∠A1B1C1. 目录 上一级 (2)证明(1)中你发现的结论. 证明:如图1，连接AC， 设小正方形边长为1， 则AC＝BC＝， AB＝， ∵AC2＋BC2＝5＋5＝AB2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°. 目录 上一级 ∵A1C1＝B1C1，A1C1⊥B1C1， ∴△A1B1C1为等腰直角三角形， ∴∠A1B1C1＝45°， ∴∠ABC＝∠A1B1C1. 培优题 目录 上一级 7.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线. 实践与操作：(1)利用尺规作∠B的平分线BE，交AC于点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母)； 解:如图，BE即为所求. 目录 上一级 猜想与证明：(2)试探究线段AD与BE的数量关系，并证明结论. 解:AD＝BE.证明如下: ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC. ∵BE是∠ABC的平分线， ∴CE＝AC. ∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BC， 目录 上一级 ∴CD＝CE. ∵∠C＝∠C， ∴△BCE≌△ACD(SAS)， ∴AD＝BE. 目录 创新拓展·提升素养 目录 8.(综合运用)已知△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作等边△ADE. (1)如图①，点D在线段BC上移动时，直接写出∠BAD和∠CAE的大小关系； 解:∠BAD＝∠CAE. 解:∠DCE＝60°，不发生变化.理由如下: 如图②，∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， 目录 (2)如图②③，当点D在线段BC(或CB)的延长线上移动时，猜想∠DCE的大小是否发生变化.若不变，请求出其大小；若变化，请说明理由. 目录   ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴∠B＝∠ACE＝60°， ∴∠DCE＝180°－∠ACB－∠ACE＝60°. 目录 如图③，∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， AD＝AE，AB＝AC， ∴∠ABD＝120°，∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， 目录 ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴∠ACE＝∠ABD＝120°， ∴∠DCE＝∠ACE－∠ACB＝120°－60°＝60°. $$