第15讲 线、角、相交线与平行线（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第四章　三角形 第15讲　线、角、相交线与平行线 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 目录 1.常见的基本事实或公理 (1)直线的基本事实：经过两点有且只有　　　　直线； (2)线段的基本事实：两点之间，　　　　最短； (3)垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有　　　　直线与已知直线垂直； ②垂线段　　　　； (4)平行公理及其推论： ①经过直线外一点，有且只有　　　　直线与已知直线平行； ②平行于同一条直线的两直线　　　　　　. 考点梳理 一条 线段 一条 最短 一条 平行 目录 1.当我们在教室中排课桌时，有时在最前和最后的课桌旁拉一根长绳，沿着长绳排列能使课桌排的更整齐，这样做的数学道理是(　　) A.两点之间，线段最短 B.垂线段最短 C.点动成线 D.两点确定一条直线 对点演练 D 目录 2.如图，小华的家在点P处，他想尽快到达公路边，他选择沿线段PC去公路边，这一选择用到的数学知识是(　　) A.两点确定一条直线 B.两点之间直线最短 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短 对点演练 D 目录 2.角 (1)定义：由有公共端点的两条射线组成的图形； (2)角的度量：1°＝　　　　'，1'＝　　　″，1°＝　　　　″. 考点梳理 60 60 3 600 目录 3.填空： (1)25°45'＋62°19'＝　　　　； (2)34°26'－25°33'＝　　　　； (3)38°15'＝　　　　°； (4)53°12'36″＝　　　　°； (5)120.76°＝　　　　度　　　　分　　　　秒. 对点演练 88°4' 8°53' 38.25 53.21 120 45 36 目录 3.余角和补角(5年5考) (1)余角：∠1与∠2互余，则∠1＋∠2＝　　　　； (2)补角：∠1与∠2互补，则∠1＋∠2＝　　　　； (3)性质：同角(或等角)的余角　　　　； 同角(或等角)的补角　　　　. 考点梳理 90° 180° 相等 相等 目录 4.(1)已知∠A＝52°，则∠A的余角是　　　度，补角是　　　　度； (2)已知一个角的余角是27°，则这个角的补角是　　　　度. 5.“因为∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠C＝90°，所以∠B＝∠C”这一推理的依据是　　　　　　　　　　. 对点演练 38 128 117 同角的余角相等 目录 4.角平分线(5年5考) (1)定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线； (2)性质：角平分线上的点到这个角的　　　　的距离相等； (3)判定：在一个角的内部，到角的　　　　距离相等的点在这个角的平分线上. 考点梳理 两边 两边 目录 6.如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是(　　) A.PD＝PE B.PE＝OE C.∠DPO＝∠EOP D.PD＝OD 对点演练 A 目录 5.线段垂直平分线(5年3考) (1)定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线(简称中垂线)； (2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段　 　　　的距离相等； (3)判定：到一条线段　 　　　距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 考点梳理 两个端点 两个端点 目录 7.如图，OC是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定正确的是(　　) A.AC＝AO B.AC＝BC C.AC＝OC D.OC＝OA 对点演练 B 目录 6.相交线、平行线(5年5考) 考点梳理 三线八角 (1)同位角：形如“F”； (2)内错角：形如“Z”； (3)同旁内角：形如“U” 对顶角、邻补角 性质：对顶角　　　　，邻补角之和为______　　　　 平行线 平行线的性质与判定： ①同位角　　　　，两直线平行，反之，也成立； ②内错角　　　　，两直线平行，反之，也成立； ③同旁内角　　　　，两直线平行，反之，也成立 相等 180° 相等 相等 互补 目录 8.如图，直线AB和直线CD相交于点O，若∠AOC＝40°，则∠BOD等于 (　　) A.140°　　　　　　 B.60° C.40°　　 D.160° 对点演练 第8题图 C 目录 9.(2024·内江)如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，若∠EFD＝64°，则∠BEF的大小是(　　) A.136° B.64° C.116° D.128° 第9题图 C 目录 10.如图，下列条件中，不能判断AD∥BC的是 (　　) A.∠1＝∠4　　 B.∠3＝∠2 C.∠D＝∠5 D.∠B＋∠BAD＝180° B 目录 7.命题与证明 (1)概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫作命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；命题写成“如果……，那么……”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论； (2)证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例证明命题不成立就可以了. 考点梳理 目录 11.下列命题为真命题的有(　　) ①内错角相等；②无理数都是无限小数；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行. A.0个　　 B.1个　　 C.2个　　 D.3个 12.将命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果……，那么……”的形式，可写为_________________________________________ 　　　　　，它是　　　　命题(填“真”或“假”). 对点演练 B 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 假 重难点1 重难点2 重难点3 目录 重难突破·形成能力 重难点1　平行线的性质 目录 上一级 例1.如图1，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是(　　) A.70°　　 B.50°　　 C.40°　　 D.140° 图1 A 目录 上一级 变式1.将一副三角尺按图2所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为(　　) A.55°　　 B.65°　　 C.70°　　 D.75° 图2 C 重难点2　平行线的判定 目录 上一级 例2.如图3，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是(　　) A.∠2＝90°　　 B.∠3＝90°　　 C.∠4＝90°　　 D.∠5＝90° 图3 C 目录 上一级 变式2.如图4，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是(　　) A.∠3＝∠4　　　　　　 B.∠1＋∠5＝180° C.∠1＝∠2　　　　　　 D.∠1＝∠4 图4 C 重难点3　角平分线与垂直平分线 目录 上一级 例3.如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则＝　　　　. 图5 1 目录 上一级 变式3.如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　　　　. 图6 3 目录 上一级 例4.如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于D，E两点，则△ACE的周长等于 (　　) A.12　　 B.14　　 C.16　　 D.17 图7 D 目录 上一级 变式4.如图8，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG.则∠EAG的度数为 (　　) A.15°　　 B.20°　　 C.25°　　 D.30° 图8 B 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 必过题 目录 上一级 1.(2024·广东)如图，一把直尺、两个含30°角的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为(　　) A.120°　　 B.90°　　 C.60°　　 D.30° 第1题图 C 目录 上一级 2.(2023·广东)如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD的度数为(　　) A.43°　　 B.53°　　 C.107°　　 D.137° 第2题图 D 目录 上一级 3.(2022·广东)如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝40°，则∠2等于(　　) A.30°　　 B.40°　　 C.50°　　 D.60° 第3题图 B 目录 上一级 4.(2024·深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为 (　　) A.40°　　 B.50°　　 C.60°　　 D.70° 第4题图 B 目录 上一级 5.如图，已知AB∥CD，若∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是 (　　) A.30°　　 B.40°　　 C.50°　　 D.60° 第5题图 B 目录 上一级 6.如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝42°，则∠BDC的度数为(　　) A.42°　　 B.84°　　 C.90°　　 D.96° 第6题图 B 提升题 目录 上一级 7.下列命题中，是真命题的是 (　　) A.同角的余角互补　　 B.同位角相等 C.两点之间线段最短　　 D.三角形的一个外角大于任何一个内角 C 目录 上一级 8.一个角的度数比它的余角的度数大30°，则这个角的度数是 (　　) A.35°　　 B.45°　　 C.60°　　 D.65° 9.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过.如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐角∠B是150°，第三次拐角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是　　　　. C 150° 目录 上一级 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°. (1)求∠BAD的度数； 解:∵AD∥BC， ∴∠B＋∠BAD＝180°. ∵∠B＝80°， ∴∠BAD＝100°. 目录 上一级 (2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.求证：AE∥DC. 证明:∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝50°. ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE＝50°. ∵∠BCD＝50°， ∴∠AEB＝∠BCD， ∴AE∥DC. 培优题 目录 上一级 11.(1)问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠BEC＝∠B＋∠C.请证明； 解:如图①，过点E作EF∥AB， ∴∠B＝∠BEF. ∵AB∥DC，EF∥AB， ∴EF∥DC， ∴∠C＝∠CEF. ∵∠B＋∠C＝∠BEF＋∠CEF， ∴∠BEC＝∠B＋∠C. 目录 上一级 (2)拓广探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B＋∠C＝360°－∠BEC； 证明:如图②，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD∥AB， ∴∠C＋∠CEF＝180°，∠B＋∠BEF＝180°， ∴∠B＋∠C＝360°－(∠BEF＋∠CEF)， 即∠B＋∠C＝360°－∠BEC. 目录 上一级 (3)解决问题：如图③，AB∥DC，E，F，G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系. 解:∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4. 目录 创新拓展·提升素养 目录 12.【综合探究】 射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2. 目录 (1)如图2，有两块平面镜AB，BC，入射光线DO1经过两次反射，得到反射光线O2E，若∠B＝90°.求证：DO1∥O2E； 证明:∵∠B＝90°，∠B＋∠2＋∠3＝180°， ∴∠2＋∠3＝90°. ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°. ∵∠1＋∠DO1O2＋∠2＝180°，∠3＋∠O1O2E＋∠4＝180°， ∴∠DO1O2＋∠O1O2E＝180°， ∴DO1∥O2E. 目录 (2)如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1＝36°，∠B＝120°，若要使EO1∥O3F，则∠C为多少度？ 解:如图3，过点O2作O2M∥O1E， ∵∠1＝∠2＝36°，∠B＝120°， ∴∠3＝180°－36°－120°＝24°， ∴∠4＝∠3＝24°. ∵∠1＝∠2＝36°， ∠1＋∠EO1O2＋∠2＝180°， 目录 ∴∠EO1O2＝108°， 同理，∠O1O2O3＝132°. ∵O2M∥O1E， ∴∠EO1O2＋∠O1O2M＝180°， ∴∠O1O2M＝72°， ∴∠MO2O3＝∠O1O2O3－∠O1O2M＝60°. 目录 ∵O2M∥O1E，EO1∥O3F， ∴O2M∥O3F， ∴∠MO2O3＋∠O2O3F＝180°， ∴∠O2O3F＝120°， ∴∠5＝∠6＝×(180°－∠O2O3F)＝30°， ∴∠C＝180°－∠4－∠5＝126°. $$