第14讲 二次函数的综合运用（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第三章　函数 第14讲　二次函数的综合运用 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 目录 1.二次函数与一元二次方程的关系(5年3考) 考点梳理 抛物线与x轴的交点 ax2＋bx＋c＝0 Δ＝b2－4ac 两个交点 有两个不相等的实数根 Δ＞0 一个交点 有两个相等的实数根 Δ＝0 没有交点 没有实数根 Δ＜0 特别地，抛物线与x轴的交点关于对称轴对称 目录 1.二次函数y＝2x2－3x－c(c＞0)的图象与x轴的交点情况是(　　) A.有1个交点　　　　 B.有2个交点 C.无交点　　　 D.无法确定 2.已知抛物线y＝x2－4x－5交x轴于A，B两点，则AB长为　　　　. 对点演练 B 6 目录 2.二次函数与不等式的关系(5年1考) (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围； (2)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴下方对应点的横坐标的取值范围. 考点梳理 目录 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(3，0)，对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是　　　　　　　 . 对点演练 x＜－1或x＞3 目录 3.二次函数与一次函数(5年2考) (1)求抛物线与直线的交点坐标 方法：联立方程组求解. (2)两个函数y1，y2比较大小： y1＞y2，是指y1比y2图象高的部分； y1＝y2，是指y1与y2图象等高的部分； y1＜y2，是指y1比y2图象低的部分. 考点梳理 目录 4.如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是(　　) A.－1＜x＜3　　　　 B.x＞－1或x＜3 C.－3＜x＜1　　　　 D.x＜－3或x＞1 对点演练 C 目录 4.二次函数的系数与图象(5年1考) 考点梳理 a 决定抛物线的开口方向及开口大小 a＞0，开口向　　　　； a＜0，开口向______　　　 b 决定对称轴直线x＝－的位置(左同右异) a，b同号，对称轴在　　　　左侧； a，b异号，对称轴在　　　　右侧； 特别地，当b＝0时，对称轴为_______　　　 上 下 y轴 y轴 y轴 目录 c 决定抛物线与y轴 　　　的位置 c＞0，交点在正半轴； c＝0，抛物线过原点； c＜0，交点在负半轴 b2－ 4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0，　　　　个交点； b2－4ac＝0，　　　　个交点； b2－4ac＜0，　　　交点 交点 2 1 没有 目录 5.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②b2－4ac＜0；③b＝2a.其中错误的是　　　　. 对点演练 ①②③ 目录 6.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③9a＋3b＋c＞0；④b2＞4ac；⑤当x＝1时，y有最大值；⑥当0＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小.其中正确的有(　　) A.①②④ B.②③⑤ C.④⑤⑥ D.②④⑤ D 重难点1 重难点2 目录 重难突破·形成能力 重难点1　二次函数与方程、不等式的联系 目录 上一级 例1.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线x＝－1，下列四个结论：①abc＜0；②4a－2b＋c＜0；③3a＋c＝0；④当－3＜x＜1时，ax2＋bx＋c＜0.其中正确的结论有 (　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 D 目录 上一级 变式1.(2024·眉山)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①bc＜0；②3a＋2c＜0；③ax2＋bx≥a＋b；④若－2＜c＜－1，则－＜a＋b＋c＜－.其中正确结论的个数是(　　) A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4 C 重难点2　二次函数的综合 目录 上一级 例2.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0))，B(5，0)，C(0，－5)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线交直线BC于点E. (1)求此二次函数的解析式及点D的坐标； 解:∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点 A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－5)， ∴解得 目录 上一级 ∴二次函数的解析式为y＝x2－4x－5. ∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9， ∴顶点D的坐标为(2，－9). 目录 上一级 (2)连接CD，求三角形CDE的面积； 解:设直线BC的解析式为y＝kx＋m(k≠0)， ∵B(5，0)，C(0，－5)， 解得 ∴直线BC的解析式为y＝x－5， ∵DE⊥x轴交直线BC于点E，D(2，－9)， ∴当x＝2时，y＝2－5＝－3， ∴E(2，－3)， ∴DE＝－3－(－9)＝6， ∴三角形CDE的面积为DE×(xD－xC)＝×6×2＝6. 目录 上一级 (3)当ax2＋bx＋c＞0时，x的取值范围是　　 　　　　. x＜－1或x＞5 目录 上一级 变式2.如图，二次函数的图象与x轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D. (1)请直接写出点D的坐标； 解:点D的坐标为(－2，3). 解析:∵二次函数的图象与x轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点， ∴对称轴是直线x＝＝－1. 又∵点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点， ∴D(－2，3). 目录 上一级 (2)求二次函数的解析式； 解:设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)代入， 得解得 所以二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3. 目录 上一级 (3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围. 解:由图象可得，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜－2或x＞1. 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 必过题 目录 上一级 1.(2020·广东)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a＋c＜0；④5a＋b＋2c＞0，正确的有 (　　) A.4个　　 B.3个 C.2个　　 D.1个 B 目录 上一级 2.(2024·四川)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②－＞0；③当－1＜x＜3时，y＜0.其中所有正确结论的序号是(　　) A.①②　　 B.①③ C.②③　　 D.①②③ D 提升题 目录 上一级 3.(2024·扬州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点. (1)求b，c的值； 解:二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点， ∴解得 ∴b的值为－1，c的值为2. 目录 上一级 (2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标. 解: ∵A(－2，0)，B(1，0)， ∴AB＝1－(－2)＝3， 设P， ∴S△PAB＝AB·＝6， ∴＝4， ∴n＝±4. 目录 上一级 由(1)可知二次函数解析式为y＝－x2－x＋2，且点P在该二次函数的图象上， ∴当－x2－x＋2＝4时，Δ＝1－8＝－7<0，无解，舍去; 当－x2－x＋2＝－4时，x1＝－3，x2＝2. ∴点P的坐标为(2，－4)，(－3，－4). 目录 上一级 4.(2022·广东)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A，AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q. (1)求该抛物线的解析式； 解:∵点A(1，0)，AB＝4， ∴点B的坐标为(－3，0)， 将点A(1，0)，B(－3，0)代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. 目录 上一级 (2)求△CPQ面积的最大值，并求此时点P的坐标. 解: ∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， ∴顶点C的坐标为(－1，－4)， 由B(－3，0)，C(－1，－4)得直线BC的解析式为y＝－2x－6， 由A(1，0)，C(－1，－4)得直线AC的解析式为y＝2x－2， ∵PQ∥BC， ∴设直线PQ的解析式为y＝－2x＋n，与x轴交点P， ∵点P在线段AB上， ∴－3＜＜1， 目录 上一级 ∴n的取值范围为－6＜n＜2， 由得Q， 则S△CPQ＝S△CPA－S△APQ ＝×4－× ＝－＋2， ∵－＜0， ∴当n＝－2，即点P的坐标为(－1，0)时，S△CPQ最大，最大值为2. 培优题 目录 上一级 5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点，且对任意实数x，都有4x－12≤ax2＋bx＋c≤2x2－8x＋6.求该二次函数的解析式. 解:令4x－12＝2x2－8x＋6，解得x1＝x2＝3， 当x＝3时，4x－12＝2x2－8x＋6＝0， ∴y＝ax2＋bx＋c 必过 (3，0)， 将(－1，0)，(3，0)代入y＝ax2＋bx＋c， 得解得 目录 上一级 ∴y＝ax2－2ax－3a， 即4x－12≤ax2－2ax－3a， 即可看成二次函数y＝ax2－2ax－3a与一次函数y＝4x－12仅有一个交点，且整体位于y＝4x－12的上方， ∴a＞0， ∴4x－12＝ax2－2ax－3a有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即[－(2a＋4)]2－4a(12－3a)＝0， ∴16(a－1)2＝0， ∴a＝1， ∴b＝－2，c＝－3， ∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x－3. 目录 创新拓展·提升素养 目录 6.已知A(－3，－2)，B(1，－2)，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点(点C在D的右侧).下列结论：①c≥－2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为－5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝.其中正确的是(　　) A.①③　　 B.②③　　 C.①④　　 D.①③④ D 目录 解析:∵点A，B的坐标分别为(－3，－2)和(1，－2)， ∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，－2)， 又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c)， ∴c≥－2(顶点在y轴上时取“＝”)，故①正确; ∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上， ∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误; 若点D的横坐标最小值为－5，此时对称轴为直线x＝－3， 根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1＋2＝3，故③正确; 令y＝0，则ax2＋bx＋c＝0， 目录 设该方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴CD2＝(x1－x2) 2＝(x1＋x2) 2－4x1x2 ＝(－) 2－4×， 根据顶点坐标公式，＝－2， ∴＝－8，即＝8， ∴CD2＝×8＝， 目录 ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD＝AB＝1－(－3)＝4， ∴＝42＝16，解得a＝，故④正确. 综上所述，正确的结论有①③④. 故选:D. $$