第13讲 二次函数及其应用（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第三章　函数 第13讲　二次函数及其应用 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 目录 1.二次函数的定义 形如　　　　　　　(a，b，c是常数，a　　0)的函数，叫作二次函数. 考点梳理 1.关于x的函数y＝(m＋1)是二次函数，则m的值为　　　　. 对点演练 y＝ax2＋bx＋c ≠ 2 目录 2.待定系数法求解析式(5年4考) (1)设合适的表达式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 常见如下： ①顶点在原点，可设y＝ax2； ②对称轴是y轴，可设y＝ax2＋c； ③顶点在x轴上，可设y＝a(x－h)2； ④抛物线过原点，可设y＝ax2＋bx； ⑤已知顶点坐标(h，k)，设y＝a(x－h)2＋k； ⑥已知抛物线与x轴的两交点坐标(x1，0)，(x2，0)，设y＝a； (2)代入图象上点的坐标，得方程(组)； (3)解方程(组)，求解系数和常数项，将所求的数值代入解析式. 考点梳理 目录 2.填空： (1)若抛物线和y＝2x2的图象开口方向、开口大小都相同，对称轴平行于y轴，顶点坐标为(－1，3)，则该抛物线的解析式为　　　　　　　　　； (2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋2过点A(－2，0)，B(1，0)，则该抛物线的解析式为　　　　　　　　. 对点演练 y＝2(x＋1)2＋3 y＝－x2－x＋2 目录 3.一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是(　　) A.y＝4x2＋3x－5　　 B.y＝2x2＋x＋5 C.y＝2x2－x＋5　　　　 D.y＝2x2＋x－5 对点演练 A 目录 3.二次函数的图象和性质(5年5考) 考点梳理 图象 开口 向_______ 向________ 对称轴 直线x＝_________________　　 顶点 坐标   上 下 － 目录 增减性 当x＞－时，y随x的增大而　　　 ；当x＜－时，y随x的增大而_________　　　 当x＞－时，y随x的增大而　　　 ；当x＜－时，y随x的增大而________　　　 最值 当x＝　　　时，y最小＝________　　　 当x＝　　　时，y最大＝________　　　　 增大 减小 减小 增大 － － 目录 4.二次函数y＝－3的顶点坐标是 (　　) A.　　 　 B. C. D. 5.对于二次函数y＝2(x－3)2＋1，下列说法中正确的是(　　) A.图象的开口向下 B.函数的最大值为1 C.当x＜3时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴为直线x＝－3 对点演练 B C 目录 6.抛物线y＝2x2－4x－1的开口向　　　　；对称轴为　　　　　；顶点坐标是　　　　. 7.(2024·凉山)抛物线y＝＋c经过，，三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是 (　　) A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y3＞y1 C.y3＞y1＞y2 D.y1＞y3＞y2 对点演练 上 直线x＝1 (1，－3) D 目录 4.二次函数的图象平移(5年2考) 注意：(1)二次函数的平移可看作顶点坐标的平移； (2)口诀：上　　　　下　　　　，左　　　　右　　　　. 考点梳理 加 减 加 减 目录 8.二次函数y＝－(x－1)2－2的图象向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，那么平移后的抛物线的函数解析式为　　　　　　　　　　. 对点演练 y＝－(x＋1)2＋1 目录 5.二次函数的应用(5年2考) (1)利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题.解决此类题的关键是通过题意，确定二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围； 考点梳理 目录 (2)几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论； (3)构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题. 目录 9.填空： (1)某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件.如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元，则y与x的函数关系式是　　　　　　　　　　　　　　　　　； 对点演练 y＝－10x2＋100x＋2 000(0≤x≤12) 目录 (2)如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形ABCD菜园，墙长为18米，设矩形ABCD菜园的面积为S(单位：平方米)，AB的长为x(单位：米)，则S关于x的函数关系式是　　　　　　　　，自变量x的取值范围是　　　　　　　　； 对点演练 第(2)题图 S＝－2x2＋60x 21≤x＜30 目录 (3)某涵洞是抛物线形，截面如图，现测得水面宽AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，在图中的平面直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函 数表达式是　　　　　　　　　. 对点演练 第(3)题图 y＝－x2 重难点1 重难点2 重难点3 目录 重难突破·形成能力 重难点1　二次函数的图象和性质 目录 上一级 例1.已知二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其中b＞0，c＞0，则该函数的图象可能为 (　　) A. B. C. D. C 目录 上一级 变式1.如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝ax＋b和抛物线y＝ax2＋bx＋c(c≠0)可能是 (　　) A. B. C. D. C 目录 上一级 例2.对于二次函数y＝－x2＋2x＋1的性质，下列说法正确的是(　　) A.当x＞0时，y随x增大而减小　　 B.抛物线与直线y＝x＋2有两个交点 C.当x＝2时，y有最小值3　　 D.与抛物线y＝－x2形状相同 D 目录 上一级 变式2.关于二次函数y＝(x－1)2＋5，下列说法正确的是(　　) A.函数图象的开口向下　　 B.函数图象的顶点坐标是(－1，5) C.该函数有最大值，最大值是5　　D.当x＞1时，y随x的增大而增大 例3.(2024·南通)将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. D D 目录 上一级 变式3.在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 (　　) A.y＝(x＋3)2＋2　　　　 B.y＝(x－1)2＋2　　 C.y＝(x－1)2＋4　　　　 D.y＝(x＋3)2＋4 B 重难点2　求抛物线的解析式 目录 上一级 例4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(1，5)，B(0，3)，C(－1，－3)三点. (1)求这个函数的解析式； 解:由题意把A(1，5)，B(0，3)，C(－1，－3)代入y＝ax2＋bx＋c， 得解得 ∴二次函数解析式为y＝－2x2＋4x＋3. 目录 上一级 (2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标. 解: y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x－1)2＋5， ∴顶点坐标是(1，5). 目录 上一级 变式4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2＋2mx＋m＋4(m≠0). (1)求抛物线的顶点坐标； 解:y＝mx2＋2mx＋m＋4 ＝m(x2＋2x＋1)＋4 ＝m(x＋1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(－1，4). 目录 上一级 (2)若抛物线与x轴的交点为A，B(点A在点B的左侧)，且AB＝4，求抛物线的解析式. 解:∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，且AB＝4(点A在点B的左侧)， ∴A(－3，0)，B(1，0)， 将B(1，0)代入y＝mx2＋2mx＋m＋4， 得m＋2m＋m＋4＝0， ∴m＝－1， ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. 重难点3　二次函数的应用 目录 上一级 例5.(2023·无锡)某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg，经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示. (1)求y关于x的函数表达式； 解:当22≤x≤30时，设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将点(22，48)，(30，40)代入， 得解得 ∴y＝－x＋70(22≤x≤30). 目录 上一级 当30＜x≤45时，设y关于x的函数表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，将点(30，40)，(45，10)代入， 得解得 ∴y＝－2x＋100(30＜x≤45)， ∴y＝ 目录 上一级 (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？[销售利润＝(销售价格－采购价格)×销售量] 解:设利润为w元， 当22≤x≤30时， w＝(x－20)(－x＋70)＝－x2＋90x－1 400＝－(x－45)2＋625， ∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大， ∴当x＝30时，w取得最大值，为400. 目录 上一级 当30＜x≤45时，w＝(x－20)(－2x＋100)＝－2x2＋140x－2 000＝－2(x－35)2＋450， ∵－2＜0， ∴当x＝35时，w取得最大值，为 450. ∵450＞400， ∴当销售价格为35元/kg时，利润最大，为450元. 目录 上一级 变式5.某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的边BC为x m(如图). (1)若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值； 解:∵BC＝x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍， ∴CD＝2x， ∴BD＝3x，AB＝CF＝DE＝(24－BD)＝8－x， 目录 上一级 依题意，得3x(8－x)＝36， 解得x1＝2，x2＝6(不合题意，舍去)， 此时x的值为2. 解:设矩形养殖场的总面积为S m2， 由(1)，得S＝3x(8－x)＝－3(x－4)2＋48， ∵墙的长度为10 m， ∴0＜3x≤10， ∴0＜x≤， ∵－3＜0， 目录 上一级 (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 目录 上一级 ∴当x＜4时，S随着x的增大而增大， ∴当x＝时，S有最大值，最大值为－3×(－4)2＋48＝， 即当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2. 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 必过题 目录 上一级 1.(2024·广东)若点，，都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　) A.y3＞y2＞y1　　 B.y2＞y1＞y3　　 C.y1＞y3＞y2　　 D.y3＞y1＞y2 2.(2023·广东)如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为(　　) A.－1　　 B.－2 C.－3　　 D.－4 A B 目录 上一级 3.(2023·兰州)已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是 (　　) A.对称轴为直线x＝－2　　　　　　 B.顶点坐标为(2，3)) C.函数的最大值是－3　　　　 D.函数的最小值是－3 C 目录 上一级 4.(2023·贵州)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则点P(a，b)所在的象限是(　　) A.第一象限　　 B.第二象限 C.第三象限　　 D.第四象限 D 5.(2021·广东)把抛物线y＝2x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　　　　　　　. y＝2x2＋4x 提升题 目录 上一级 6.(2024·广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.(题中“元”为人民币) 目录 上一级 解:设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意，得w＝ ＝－50x2＋50x＋300 ＝－50＋312.5， ∵－50＜0， ∴当x＝时，w有最大值，最大值为312.5， ∴5－＝4.5. 答:当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元 目录 上一级 7.(2021·广东)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现当猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒. (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； 解:设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价(a－10)元. 依题意，得. 解得a＝40， 目录 上一级 经检验，a＝40是方程的解，且符合题意. 40－10＝30(元). 答:猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元. 目录 上一级 (2)设猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65)，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数解析式并求最大利润. 解:由题意，得当x＝50时，每天可售100盒. 当猪肉粽每盒售价为x元时，每天可售出[100－2(x－50)]盒.每盒的利润为(x－40)元， ∴y＝(x－40)·[100－2(x－50)] ＝－2x2＋280x－8 000 ＝－2(x－70)2＋1 800， 目录 上一级 ∵50≤x≤65，－2＜0， ∴当x＝65时，y取最大值，为1 750. ∴y关于x的函数解析式为y＝－2x2＋280x－8 000(50≤x≤65)，且最大利润为1 750元. 目录 上一级 8.(2023·兰州)一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离 为7 m. (1)求y关于x的函数表达式； 解:由题意得抛物线的对称轴为直线x＝1，经过点(0，10)，(3，7)，设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 目录 上一级 ∴解得 ∴y关于x的函数表达式为y＝－x2＋2x＋10. 目录 上一级 (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长. 解:令y＝0，则－x2＋2x＋10＝0， 解得x＝1＋(负值已舍去)， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1＋)m. 培优题 目录 上一级 9.二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值 如表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 m … y … －19 －12 －7 －4 －3 －4 －7 n －19 … (1)这个二次函数的表达式为　　　　　　　　，顶点坐标是　　　　　； (2)表中的m＝　　　　，n＝　　　　； y＝－x2－2x－4 (－1，－3) 3 －12 目录 上一级 (3)若P(x1，y2)，Q(x2，y2)是这个函数图象上的两点，且x1＜x2＜－1，则y1 　　　　y2(填“＞”“＜”或“＝”)； (4)写出这个函数的一条性质. 解:当x＞－1时，y随x的增大而减小，当x＜－1 时，y随x的增大而增大，或函数图象关于直线x＝－1轴对称等(答案不唯一). ＜ 目录 创新拓展·提升素养 目录 10.(2021·广东)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形 的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝.这个公式也被称为海伦－秦九韶公式.若p＝5，c ＝4，则此三角形面积的最大值为(　　) A.　　 B.4　　 C.2　　 D.5 C $$