第12讲 反比例函数及其应用（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第三章　函数 第12讲　反比例函数及其应用 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 目录 1.反比例函数的定义 (1)形如　　　　　的函数称为反比例函数； (2)三种基本形式： ①y＝(k≠0)；②y＝k(k≠0)； ③xy＝k(k≠0). 考点梳理 y＝(k≠0) 目录 1.下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.y＝3x　 B.y＝2x2　 C.y＝　 D.y＝ 2.函数y＝(m＋1)是y关于x的反比例函数，则m＝　　　　. 对点演练 C 目录 考点梳理 2.反比例函数的图象和性质(5年4考) k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况 k＞0 图象经过第　　　象限(x，y同号) 每个象限内，函数y的值随x的增大而_________________　　 k＜0 图象经过第　　　象限(x，y异号) 每个象限内，函数y的值随x的增大而_________________　　 一、三 减小 二、四 增大 目录 3.(2024·重庆)反比例函数y＝－的图象一定经过的点是(　　) A　　　 B. C. D. 4.写出一个当x＜0时，y随x的增大而增大的反比例函数：_______________ 　　　　　　. 对点演练 B y＝－(答案 不唯一) 目录 5.(2024·天津)若点A，B，C都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是 (　　) A.x1＜x2＜x3 B.x1＜x3＜x2 C.x3＜x2＜x1 D.x2＜x1＜x3 6.已知反比例函数y＝的图象经过点(5，2)，则k＝　　　　. 7.(2024·北京)在平面直角坐标系中，若函数y＝的图象经过点和点，则y1＋y2的值是　　　　. 对点演练 B 0 目录 3.k的几何意义(5年3考) S△PAO＝S△PBO＝＝｜k｜. ＝｜xy｜＝｜k｜. 考点梳理 目录 8.如图，反比例函数图象过A(2，2)，AB⊥x轴于点B，则△OAB的面积为　　　　 . 对点演练 2 目录 4.反比例函数的应用(5年1考) (1)找出自变量与因变量之间的乘积关系； (2)设出函数表达式； (3)代入坐标求解函数表达式； (4)根据反比例函数的性质解决相关问题. 考点梳理 目录 9.某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p(Pa)与受力面积S(m2)之 间的函数关系如图所示，这一函数表达式为p＝　　　　. 对点演练 重难点1 重难点2 重难点3 目录 重难突破·形成能力 重难点4 重难点1　反比例函数的图象和性质 目录 上一级 例1.下列图象中，函数y＝kx＋k与y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) A. B. C. D. B 目录 上一级 变式1.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝(a，b是常数，ab≠0)的大致图象是(　　) A. B. C. D. A 目录 上一级 例2.关于反比例函数y＝，下列结论正确的是(　　) A.图象位于第二、四象限 B.图象与坐标轴有公共点 C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D.图象经过点(a，a＋2)，则a＝1 C 目录 上一级 变式2.已知点A(x1，－4)，B(x2，8)，C(x3，5)都在反比例函数y＝－的图象上，则下列关系式一定正确的是(　　) A.x1＜x3＜x2　　　　 B.x1＜x2＜x3　　 C.x3＜x2＜x1　　　 D.x2＜x3＜x1 C 重难点2　反比例函数k的几何意义 目录 上一级 例3.如图，点A在反比例函数y＝的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，点C在y轴上，若△ABC的面积为2，则k的值为(　　) A.－2　　 B.2　　 C.－4　　 D.4 C 目录 上一级 变式3.如图，点A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，延长AC至点B，使BC＝2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若△ABD的面积是6，则k＝　　　. 4 重难点3　反比例函数的应用 目录 上一级 例4.(2023·台州)科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时， h＝20 cm. (1)求h关于ρ的函数解析式； 解:设h关于ρ的函数解析式为h＝(k≠0)， 把ρ＝1，h＝20代入，得k＝1×20＝20. ∴h关于ρ的函数解析式为h＝. 目录 上一级 (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25 cm，求该液体的密度ρ. 解:把h＝25代入h＝，得25＝. 解得ρ＝0.8. 答:该液体的密度ρ为0.8 g/cm3. 目录 上一级 变式4.为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y(mg)是时间x(min)的正比例函数，喷雾完成后y是x的反比例函数(如图). (1)当x＞5时，求y关于x的函数解析式； 解:设反比例函数解析式为y＝(k≠0)， 将(5，8)代入，得k＝5×8＝40， ∴当x＞5时，y＝. 目录 上一级 (2)已知每立方米空气中含药量不低于4 mg时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于4 mg的时长. 解:设正比例函数解析式为y＝k1x(k1≠0)， 将(5，8)代入，得k1＝， ∴y＝x. 当0＜x≤5时，y＝x≥4，解得x≥， 当x＞5时，y＝≥4，解得x≤10， ∴≤x≤10，10－＝7.5 min. 答:空气中含药量不低于4 mg的时长为7.5 min. 24 重难点4　反比例函数与一次函数的综合 目录 上一级 例5.如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，5)，点B的坐标为(5，m). (1)根据图象，直接写出满足k1x＋b＞的x的取值范围； 解:由图象可知，x的取值范围是x＜－1或0＜x＜5. 解:∵点A(－1，5)在反比例函数y＝的图象上， ∴5＝，得k2＝－5， 故反比例函数的表达式为y＝－. ∵点B(5，m)在反比例函数y＝－的图象上， ∴m＝－＝－1， (2)求这两个函数的表达式； 目录 上一级 目录 上一级 ∴点B的坐标为(5，－1)， 将点A(－1，5)，B(5，－1)代入y＝k1x＋b， 得解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x＋4. 目录 上一级 (3)求△AOB的面积； 解:设直线y＝－x＋4与y轴交于点C， 当x＝0时，y＝4， ∴点C的坐标为(0，4)， ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC ＝×4×1＋×4×5 ＝12. 目录 上一级 (4)点P在线段AB上，且∶＝1∶2，求点P的坐标. 解:∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2， ∴S△AOP＝S△AOB＝×12＝4. ∵S△AOC＝×4×1＝2， ∴S△AOP＞S△AOC，S△COP＝S△AOP－S△AOC＝4－2＝2， ∵点P在线段AB上， ∴设点P的坐标为(m，－m＋4)(0＜m＜5). 目录 上一级 ∴S△COP＝×4×m＝2， ∴m＝1 ∴－m＋4＝－1＋4＝3， ∴点P的坐标为(1，3). 目录 上一级 变式5.如图，直线y＝－x＋5与反比例函数y＝(x＞0)的图象分别交于点A(m，4)和点B(8，n)，与坐标轴分别交于点C和点D. (1)求反比例函数的表达式； 解:∵点A(m，4)和点B(8，n)在直线y＝－x＋5上， ∴m＝2，n＝1，即A(2，4)，B(8，1)， 把A(2，4)代入y＝，得k＝8， ∴反比例函数的表达式为y＝. 目录 上一级 (2)观察图象，当x＞0时，直接写出关于x的不等式－x＋5＞的解集； 解:由图象可得，当x＞0时，－x＋5 ＞的解集为2＜x＜8. 目录 上一级 (3)若点P是x轴上一动点，当△ADP的面积是6时，求出点P的坐标. 解:直线AB的表达式为y＝－x＋5， 当y＝0时，x＝10， ∴点D的坐标为(10，0)， ∵△ADP的面积是6， ∴×4PD＝6， ∴PD＝3， ∴点P的坐标为(7，0)或(13，0). 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 必过题 目录 上一级 1.(2023·广东)某蓄电池的电压为48 V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I＝，当R＝12 Ω时，I的值为　A. 2.(2022·广东)点(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是(　　) A.y1　　 B.y2　　 C.y3　　 D.y4 4 D 提升题 目录 上一级 3.(2023·泰安)一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝(a，b为常数且均不等于0)在同一平面直角坐标系内的图象可能是(　　) A. B. C. D. D 目录 上一级 4.给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p(KPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示. (1)当气球内的气压超过150 KPa时，气球会爆炸.若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸(球体的体积公式V＝ πr3，π取3)； 目录 上一级 解:设函数关系式为p＝(k≠0)， 将点(0.04，120)代入， 得120＝， 解得k＝4.8. ∴p＝， ∴当p＝150时，V＝＝0.032， ∴×3r3＝0.032， 目录 上一级 解得r＝0.2， ∵k＝4.8＞0， ∴p随V的增大而减小， ∴要使气球不会爆炸，V≥0.032，此时r≥0.2. 答:气球的半径至少为0.2 m时，气球不会爆炸. 目录 上一级 (2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎.\ 解:由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎. 培优题 目录 上一级 5.(2021·广东)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P(1，m). (1)求m的值； 解:∵P(1，m)为反比例函数y＝图象上一点， ∴m＝＝4， ∴m的值为4. 目录 上一级 (2)若PA＝2AB，求k的值. 解:在y＝kx＋b中，令y＝0，即kx＋b＝0， ∴x＝－， ∴A－(，0)， 令x＝0，得y＝b， ∴B(0，b). ∵PA＝2AB. 目录 上一级 ∴由图象得，可分为以下两种情况， ①当点B在y轴正半轴时，b＞0， 如图，过P作PH⊥x轴于点H， ∴B1O∥PH， ∴△A1OB1∽△A1HP， ∴， ∴B1O＝PH＝×4＝2，， 即A1B1＝B1P，A1O＝OH， ∴b＝2， 目录 上一级 ∴A1O＝OH＝1， ∴＝1， 又∵k＞0， ∴k＝2; ②当点B在y轴负半轴时，b＜0， 如图，过P作PQ⊥y轴于点Q， ∵OA2∥PQ， ∴△A2OB2∽△PQB2， 目录 上一级 ∴， ∴A2O＝PQ＝， B2O＝B2Q＝OQ＝|b|＝2， ∵b＜0， ∴b＝－2. 又∵k＞0， ∴k＝6， 综上所述，k的值为2或6. 目录 创新拓展·提升素养 目录 6.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3.若点B，E在同一个反比例函数的图象上，求这个反比例函数的表达式. 解:如图，连接OB，OE. ∵四边形OABC是矩形， ∴OC＝AB＝3， 设正方形CDEF的边长为m， ∴CD＝CF＝EF＝m， ∵BC＝2CD， 目录 ∴BC＝2m， ∴B(3，2m)，E(3＋m，m)， 又∵B，E在同一个反比例函数的图象上， ∴3×2m＝(3＋m)m， 解得m＝3或m＝0(不合题意，舍去)， ∴B(3，6)， 设反比例函数的表达式为y＝(k≠0)， ∴k＝3×6＝18， ∴这个反比例函数的表达式是y＝. $$