第11讲 一次函数及其应用（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第三章　函数 第11讲　一次函数及其应用 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 目录 1.一次函数的概念 (1)一次函数表达式：y＝　　　　(k　　0)； 正比例函数表达式：y＝　　　　(k　　0)； (2)图象形状：一条　　　　. 考点梳理 1.已知函数y＝(m－1)－5是一次函数，则m的值是 (　　) A.±1　　 B.－1　　 C.1　　 D.2 对点演练 kx＋b ≠ kx ≠ 直线 B 目录 2.与坐标轴的交点(5年3考) (1)一次函数图象与坐标轴的交点坐标： ①与x轴的交点是　　　　； ②与y轴的交点是　　　　； (2)正比例函数的图象恒过点　　　　. 考点梳理 (0，b) (0，0) 目录 2.直线y＝－4x＋3与x轴的交点坐标为　　　　. 3.已知直线y＝kx＋4，该直线与两坐标轴围成的三角形面积为8，那么k的值是　　　　. 对点演练 ±1 目录 3.一次函数的图象与性质(5年1考) 考点梳理 函数 系数符号 大致图象 经过象限 图象性质 y＝kx (k≠0) k＞0 _________ y随x的增大而_____　　  k＜0 　　 _________ y随x的增大而______　　 一、三 增大 二、四 减小 目录 函数 系数符号 大致图象 经过象限 图象性质 y＝kx＋b(k≠0) k＞0，b＞0   　_______________　 y随x的增大而______　　 k＞0，b＜0   　_______________　 一、二、三 一、三、四 增大 目录 函数 系数符号 大致图象 经过象限 图象性质 y＝kx＋b(k≠0) k＜0，b＞0   _______________ y随x的增大而______　　 k＜0，b＜0   _______________ 一、二、四 二、三、四 减小 目录 4.已知一次函数y＝kx＋4的图象经过点(1，y1)，(2，y2)，且y1＜y2，它的图象可能是(　　) 对点演练 A. B. C. D. B 目录 5.一次函数y＝(1－k)x＋k2－1的图象经过原点，则y随x的增大而　　　(填 “增大”或“减小”) . 6.已知一次函数y＝2x＋b(b为常数)的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是　　　　　　　(写出一个即可). 7.已知直线y＝(1－3m)x＋(2m－1)经过第二、三、四象限，则m的取值范围 为　　　 　. 对点演练 增大 2(答案不唯一) ＜m ＜ 目录 4.确定一次函数解析式(5年5考) 常用方法：　　　　法，其一般步骤为： ①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)； ②代：将已知点的坐标代入，解方程或方程组； ③解：求出k与b的值，得到函数表达式. 注意：对于直线y1＝k1x＋b1和直线y2＝k2x＋b2，若k1＝k2，则两直线平行；若k1k2＝－1，则两直线垂直. 考点梳理 待定系数 目录 8.已知一次函数y＝kx＋b的图象过点(0，－2)，且y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的函数解析式：　　　　　　　　　　　. 9.与直线y＝2x平行且过点(1，3)的直线解析式为　　　　　　. 10.(2024·上海)若正比例函数y＝kx的图象经过点(7，－13)，则y的值随x的增大而　　　　(填“增大”或“减小”). 11.在y＝kx＋b中，当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝4，则k＝　　　，b＝　 . 对点演练 y＝－x－2(答案不唯一) y＝2x＋1 减小 2 0 目录 5.一次函数与方程(组)或不等式的联系(5年1考) (1)与方程(组)的关系 一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标的值⇔方程kx＋b＝0的解； 一次函数y1＝k1x＋b1的图象与y2＝k2x＋b2的图象交点的横、纵坐标的值⇔方程组的解； 考点梳理 (2)与不等式的关系 不等式kx＋b＞0的解集⇔函数y＝kx＋b的图象位于x轴的上方对应的x取值范围； 不等式kx＋b＜0的解集⇔函数y＝kx＋b的图象位于x轴的下方对应的x取值范围； 不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集⇔函数y1＝k1x＋b1的图象位于函数y2＝k2x＋b2的图象上方对应的x取值范围； 不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集⇔函数y1＝k1x＋b1的图象位于函数y2＝k2x＋b2的图象下方对应的x取值范围. 目录 12.填空： (1)如图是一次函数y＝kx＋b的图象，则关于x的不等式kx＋b＜0的解集为　　　　 ； 对点演练 x ＞ 2 目录 (2)在平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝－x＋b的图象如图所示，则方程kx＝－x＋b的解为　　　　； 对点演练 x＝1 目录 (3)如图，直线y＝2x＋1和y＝kx＋3相交于点A，则关于x的不等式kx ＋3≤2x＋1的解集为　　　　. 对点演练 x≥ 目录 6.一次函数的应用(5年2考) (1)文字型：根据文字描述，应用基本关系式(路程＝速度×时间、总价＝单价×数量、利润＝售价－进价等)，用含 x 的式子表示 y ，即可得到 y 与 x 的函数关系式； 考点梳理 目录 (2)图象型：从图象中选取两个点(一般是图象与坐标轴的交点，图象的起点、终点、转折点)，代入一次函数解析式，列方程组求解即可. 若图象为分段函数或多条直线，需分别设出每一段或每一条直线的函数解析式，分段函数注意自变量 x 的取值范围； (3)表格型：根据表格中提供的数据，选择两组代入一次函数解析式中，列方程组求解. 目录 13.某弹簧的长度与所挂物体质量之间的关系如下表： 对点演练 所挂物体的质量/千克 0 1 2 3 4 弹簧的长度/厘米 10 10.4 10.8 11.2 11.6 若所挂物体的质量用x表示，弹簧的长度用y表示，则y与x满足的关系式为　　　　　　 . y＝0.4x＋10 目录 对点演练 14.(2024·上海)某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1 000万元，当投入90万元时，销售额为 5 000万元，则投入80万元时，销售额为　　　　万元. 4 500 重难点1 重难点2 重难点3 目录 重难突破·形成能力 重难点4 重难点1　一次函数的图象和性质 目录 上一级 例1.在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3的图象是 (　　) A. B. C. D. D 目录 上一级 变式1.在一次函数y＝kx＋b中，y随x的增大而减小，且kb＜0，则在平面直角坐标系内它的大致图象是 (　　) A. B. C. D. A 目录 上一级 例2.对于一次函数y＝－2x＋4，下列说法错误的是 (　　) A.y随x的增大而减小　　 B.图象与y轴交点为(0，4) C.图象经过第一、二、四象限　　 D.图象经过点(1，3) 变式2.已知点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在一次函数y＝－(m2＋1)x－1(m为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 (　　) A.y1＜y2＜y3　　　　 B.y3＜y2＜y1 C.y2＜y3＜y1　　　　 D.y3＜y1＜y2 D B 重难点2　求一次函数解析式 目录 上一级 例3.在平面直角坐标系内有三点A(－1，4)，B(－3，2)，C(0，6). (1)求过其中两点的直线的函数表达式(选一种情形作答)； 解:设A(－1，4)，B(－3，2)两点所在直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， ∴解得 ∴直线AB的解析式为y＝x＋5(答案不唯一). (2)判断A，B，C三点是否在同一直线上，并说明理由. 解:当x＝0时，y＝5≠6， ∴点C(0，6)不在直线AB上，即点A，B，C三点不在同一条直线上. 目录 上一级 变式3.已知y是关于x的一次函数，且当x＝－4时，y＝9；当x＝6时， y＝－1. (1)求这个一次函数的解析式； 解:设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 把x＝－4，y＝9；x＝6，y＝－1分别代入， 得解得 ∴这个一次函数的解析式为y＝－x＋5. 目录 上一级 (2)当x＝时，求函数y的值； 解:当x＝时，y＝－＋5＝. (3)当－3＜y≤2时，求自变量x的取值范围. 解:∵－3＜y≤2， ∴－3＜－x＋5≤2， 解得3≤x<8， ∴当－3＜y≤2时，自变量x的取值范围为3≤x<8. 重难点3　一次函数与方程(组)、不等式的联系 目录 上一级 例4.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋b与直线y＝－3x＋6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是(　　) A.　　 B. C.　　 D. B 目录 上一级 变式4.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx＋n的图象与y＝kx＋b的图象交于点P(－1，2)，则不等式mx＋n＞kx＋b的解集为　　　　. x ＞ －1 重难点4　一次函数的应用 目录 上一级 例5.某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A，B两型客车(每种型号的客车至少租用一辆).A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元.若5辆A型车和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客340人. (1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ 解:设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人、y人，由题意，得解得 答:每辆A型车、B型车坐满后各载客40人、55人. 目录 上一级 (2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5 500元，并将全校420人载至目的地.该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 解:设租用A型车m辆，则租用B型车(10－m)辆， 由题意，得 解得5≤m≤8， ∵m为正整数， ∴m可以取5，6，7，8， ∴共有4种租车方案 . 目录 上一级 设总租金为w元， 则w＝500m＋600(10－m)＝－100m＋6 000. ∵－100 ＜ 0， ∴w随着m的增大而减小， ∴当m＝8时，w最小， 此时10－m＝2， ∴租8辆A型车，2辆B型车最省钱. 目录 上一级 (3)在这次活动中，学校除租用A，B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地.下图是两车离开学校的路程s(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数图象.根据图象信息，求甲、乙两车第一次相遇后，当t为何值时，两车相距25千米. 目录 上一级 解:设s甲＝kt(k≠0)，s乙＝k1t＋b(k1≠0).由题意，得甲车的函数图象经过(4，300)，乙车的函数图象经过(0.5，0)，(3.5，300)两点. ∴s甲＝75t，s乙＝100t－50， ∴s乙－s甲＝25，即100t－50－75t＝25，解得t＝3， 或300－75t＝25，解得t＝， ∴在甲、乙两车第一次相遇后，当t的值为3或时，两车相距25千米. 目录 上一级 变式5.1号探测气球从海拔10 m处出发，以1 m/min的速度竖直上升.与此同时，2号探测气球从海拔20 m处出发，以a m/min的速度竖直上升.两个气球都上升了1 h.1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2(单位：m)与上升时间x(单位：min)之间的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题： (1)a＝　　　　，b＝　　　　； 30 解:由(1)可得y1与y2函数图象的交点坐标为(20，30)， 设y1＝k1x＋10(k1≠0)，y2＝k2x＋20(k2≠0)， 将(20，30)分别代入，得30＝20k1＋10，30＝20k2＋20， 解得k1＝1，k2＝， ∴y1＝x＋10，y2＝x＋20. 目录 上一级 (2)请分别求出y1，y2与x之间的函数关系式； 解:由题意可得y1－y2＝5或y2－y1＝5， 当y1－y2＝5时，x＋10－x＋20＝5， 解得x＝30; 当y2－y1＝5时，x＋20－(x＋10)＝5， 解得x＝10， ∴当上升10 min或30 min时，两个气球的海拔竖直高度差为5 m. 目录 上一级 (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5 m？ 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 必过题 目录 上一级 1.(2020·广州)一次函数y＝－3x＋1的图象过点(x1，y1)，(x1＋1，y2)，(x1＋2，y3)，则(　　) A.y1＜y2＜y3　　 B.y3＜y2＜y1　　 C.y2＜y1＜y3　　 D.y3＜y1＜y2 2.若一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是 (　　) A.b＜0　　 B.a－b＞0　　 C.a2＋b＞0　　 D.a＋b＞0 B C 目录 上一级 3.(2024·广东)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是(　　) A. B. C. D. B 目录 上一级 4.(2023·无锡)将函数y＝2x＋1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是(　　) A.y＝2x－1　　 B.y＝2x＋3　　 C.y＝4x－3 D.y＝4x＋5 A 目录 上一级 5.(2023·广东)已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)与点(2，5)，求该一次函数的表达式. 解:∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(2，5)， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y＝2x＋1. 提升题 目录 上一级 6.(2023·巴中)一次函数y＝(k－3)x＋2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是(　　) A.k＞0　　 B.k＜0　　 C.k＞3　　 D.k＜3 7.已知直线y＝kx＋b，若k＋b＝－5，kb＝6，那么该直线不经过第　象限. D 一 目录 上一级 8.(2022·广东)物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)满足函数关系y＝kx＋15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系. (1)求y与x的函数关系式； 解:由表格可把x＝2，y＝19代入y＝kx＋15， 得2k＋15＝19， 解得k＝2， ∴y与x的函数关系式为y＝2x＋15. x 0 2 5 y 15 19 25 目录 上一级 (2)当弹簧长度为20 cm时，求所挂物体的质量. x 0 2 5 y 15 19 25 解:把y＝20代入y＝2x＋15， 得2x＋15＝20， 解得x＝2.5. 答:当弹簧长度为20 cm时，所挂物体的质量为2.5 kg. 培优题 目录 上一级 9.如图，直线l1的函数解析式为y＝－2x＋4，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C. (1)求直线l2的函数解析式； 解:设直线l2的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 将A(5，0)，B(4，－1)代入， 得解得 ∴直线l2的函数解析式为y＝x－5. 目录 上一级 (2)求△ADC的面积； 解:联立两直线解析式组成方程组， 得解得 ∴点C的坐标为(3，－2). 当y＝－2x＋4＝0时，x＝2， ∴点D的坐标为(2，0). ∴S△ADC＝AD·|yC|＝×(5－2)×2＝3. 解:存在.理由如下: ∵△ADP面积是△ADC面积的2倍， ∴|yP|＝2|yC|＝4， 当y＝x－5＝－4时，x＝1，此时点P的坐标为(1，－4)， 当y＝x－5＝4时，x＝9，此时点P的坐标为(9，4). 综上所述，在直线l2上存在点P(1，－4)或(9，4)，使得△ADP面积是△ADC面积的2倍. 目录 上一级 (3)在直线l2上是否存在点P，使得△ADP面积是△ADC面积的2倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 目录 创新拓展·提升素养 目录 10.如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数.下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值. (1)当输入的x值为1时，输出的y值为　　　　； 输入x … －6 －4 －2 0 2 … 输出y … －6 －2 2 6 16 … 8 目录 (2)求k，b的值； 输入x … －6 －4 －2 0 2 … 输出y … －6 －2 2 6 16 … 解:将(－2，2)，(0，6)代入y ＝kx＋b(k≠0)， 得解得 解:令y＝0，由y＝8x，得0＝8x， 解得x＝0＜1(舍去)， 由y＝2x＋6，得0＝2x＋6， ∴x＝－3＜1， ∴当输出的y值为0时，输入的x值为－3. 目录 (3)当输出的y值为0时，求输入的x值. 输入x … －6 －4 －2 0 2 … 输出y … －6 －2 2 6 16 … $$