第7讲 一元二次方程及其应用（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第二章　方程与不等式(组) 第7讲　一元二次方程及其应用 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 目录 考点梳理 1.一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有　　　未知数，且未知数的最高次数是　的　　　方程； (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a　　0). 一个 2 整式 ≠ 目录 对点演练 1.填空： (1)方程2x2－3x－5＝0的二次项系数是　 ，一次项系数是　　，常数项是　　　 ； (2)若关于x的方程(m＋3)x｜m＋1｜＋4x－2＝0是一元二次方程，则m的值是　　 ； (3)将方程2x(x－1)＝3(x－5)化为一般形式为　　　　　　　　. 2 －3 －5 1 2x2－5x＋15＝0 目录 考点梳理 2.一元二次方程的解法(5年4考) (2)求根公式为x＝　　　　　　　　　，(　　　　　　)； (1)一元二次方程解法 直接开平方法 配方法 因式分解法 公式法 　 b2－4ac≥0 (3)解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用配方法和公式法. 目录 对点演练 2.解方程： (1)y2＋2y－99＝0；　 (y＋11)(y－9)＝0， 解得y1＝－11，y2＝9; 目录 (2)3x2＋2x－3＝0. ∵a＝3，b＝2，c＝－3， ∴Δ＝b2－4ac＝4＋36＝40＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝. 目录 考点梳理 3.根的判别式(5年2考) (1)根的判别式：Δ＝　　　　； (2)根的个数判断： 根的情况 b2－4ac 不相等 相等 没有 目录 对点演练 3.关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0(a＜0)根的情况是(　　) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.不能确定 4.若关于x的方程2x2＋4x＋c＝0没有实数根，则c的值可能为(　　) A.0　　　 B.1　　　 C.2　　　 D.3 C D 目录 考点梳理 4.根与系数的关系 (1)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个根分别为x1，x2，则 x1＋x2＝　　　，x1x2＝　　； (2)在运用根与系数的关系解题时，注意前提条件是Δ＝b2－4ac≥0. －　 　 目录 对点演练 5.填空： (1)已知x1，x2是一元二次方程x2－6x＝2的两根，则x1＋x2＝　　，x1x2＝　 　　 ； (2)已知α，β是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则α2＋β2＝　　. 6 －2 10 目录 考点梳理 5.一元二次方程的应用 列一元二次方程解决应用题中的常见问题： (1)数字问题：个位数字为a，十位数字是b，则这个两位数表示为10b＋a； (2)增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100％.如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a(1＋x)；第二次增长后为a(1＋x)2，即原数×(1＋增长百分率)2＝后来数； 目录 (3)形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长；②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式，建立等量关系，列一元二次方程；③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程； (4)运动问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解. 目录 对点演练 6.填空： (1)某文具店二月销售签字笔40支，三月、四月销售量连续增长，四月销售量为90支，设月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______________； (2)某女子冰球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛(即所有参赛队在比赛中 均能相遇一次)，若单循环比赛总共进行了45场，则一共有多少支队伍参加 比赛？设一共有x支队伍参加比赛，根据题意，可列方程为____________； 40(1＋x)2＝90 x(x－1)＝45 (3)如图，在一块长30 m，宽20 m的矩形田地上，修建一横两竖同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，使种植蔬菜的面积为道路面 积的3倍.设道路的宽为x m，可列方程是　　　　　　　　　　　　　　. 目录 (30－2x)(20－x)＝30×20× 重难点1 重难点2 重难点3 目录 重难突破·形成能力 例1.解方程：(x＋1)(x－1)＝1. 重难点1　解一元二次方程 目录 上一级 解：x2－1＝1， x2＝2， 解得x1＝，x2＝－. 变式1.解方程：2x(x－1)＋x＝1. 解：2x(x－1)＋x－1＝0， (x－1)(2x＋1)＝0， 解得x1＝1，x2＝－. 例2.(2023·贵州)若关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个相等的实数 根，则k的值是　　. 变式2.(2024·南通)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根.请写出一个满足题意的k的值：　　　　　　　. 重难点2　根的判别式与韦达定理 目录 上一级 　 0(答案不唯一) 例3.(2024·乐山)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0两根为x1，x2，且＋＝3，则p的值为(　　) A.－　　 B.　　 C.－6　　 D.6 变式3.(2023·黄冈)已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2＋2x1＋2x2＝1，则实数k＝　　　　. 目录 上一级 A －5 例4.已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋3m－1＝0. (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 目录 上一级 证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4(3m－1) ＝4(m－1)2＋1 ＞ 0， ∴方程总有两个不相等的实数根. (2)若方程有两个实数根x1，x2，且(x1－1)(x2－1)＝6，求m的值. 目录 上一级 解：∵方程有两个实数根x1，x2， ∴x1x2＝3m－1，x1＋x2＝－2m－1. ∵(x1－1)(x2－1)＝6， ∴x1x2－x1－x2＋1＝6，即x1x2－(x1＋x2)＋1＝6， ∴3m－1－(－2m－1)＋1＝6， 解得m＝1. 变式4.已知关于x的一元二次方程x2－3x－k＋1＝0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； 目录 上一级 解：∵方程x2－3x－k＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝9－4(－k＋1)＞0， 解得k＞－， ∴k的取值范围为k＞－. (2)是否存在实数k，使得＋＝3？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由. 目录 上一级 解：不存在，理由如下: ∵x1＋x2＝3，x1x2＝－k＋1， ∴＝(x1＋x2)2－2x1x2＝3， ∴32－2(－k＋1)＝3，解得k＝－2. ∵k＞－， ∴k的值不存在. 例5.某公司今年8月份的生产成本为100万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，10月份的生产成本为81万元，假设该公司每个月生产成本的下降率相同. (1)求该公司每个月生产成本的下降率； 重难点3　一元二次方程的应用 目录 上一级 解：设该公司每个月生产成本的下降率为x， 由题意，得100(1－x)2＝81， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)， 答：该公司每个月生产成本的下降率为10%. (2)预测11月份该公司的生产成本是否会跌破70万元？并说明理由. 目录 上一级 解：预测不会跌破70万元.理由如下: 81×(1－10%)＝72.9(万元)， 72.9＞70. 答：该公司11月份的生产成本不会跌破70万元. 变式5.如图是一张长20 cm、宽12 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为x cm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒. (1)这个无盖纸盒的长为　　　　　cm，宽为　　　　　cm(用含x的式子 表示)； 目录 上一级 (20－2x) (12－2x) (2)若要制成一个底面积是180 cm2的无盖长方体纸盒，求x的值. 目录 上一级 解：依题意，得(20－2x)(12－2x)＝180， 整理，得x2－16x＋15＝0， 解得x1＝1，x2＝15(不合题意，舍去). 答： x的值为1. 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 1.(2022·广东)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝　　. 2.(2024·广东)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝　　. 3.(2021·广东)若一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c为常数)的两根x1，x2满足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为_________________ ______. 必过题 目录 上一级 1 1 x2－4＝0(答案不 唯一) 4.(2019·广东)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是(　　) A.x1≠　 B.－2x1＝0　　 C.x1＋x2＝2　　 D.x1·x2＝2 5.(2018·广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为(　　) A.m＜　　 B.m≤　　 C.m＞　　 D.m≥ 目录 上一级 D A 6.(2023·聊城)若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的取值范围是 (　　) A.m≥－1　　 B.m≤1　　 C.m≥－1且m≠0　　 D.m≤1且m≠0 7.(2024·巴中)已知方程x2－2x＋k＝0的一个根为－2，则方程的另一个根为　　. 提升题 目录 上一级 D 4 8.(2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其它材料制成)，则BC的长为(　　) A.5 m或6 m　　 B.2.5 m或3 m　　 C.5 m　　 D.3 m 目录 上一级 C 9.(2024·广州)定义新运算：a⊗b＝例如：－2⊗4＝(－2)2－4＝0，2⊗3＝－2＋3＝1.若x⊗1＝－，则x的值为　　　　. 培优题 目录 上一级 －或 目录 创新拓展·提升素养 10.阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点. 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10. (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为　　，前15行的点数之和为　　，那么前n行的点数之和为　　　　　； 目录 36 120 n (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和 　 　 (填“能”或“不能”)为500； 目录 不能 解析：由题意，得n＝500， 整理，得n2＋n－1 000＝0， ∴Δ＝12－4×＝4 001. ∵±不是整数， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能为500. 故答案为：不能. (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，……，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 目录 解：前n行的点数之和为2＋4＋6＋…＋2n＝＝2(1＋2＋3＋…＋n)＝2×n＝n， 由题意得n＝420， 解得n1＝20，n2＝－21(不合题意，舍去)， ∴一共能摆放20排. $$