第2讲 整式与因式分解（课件PPT）-【思而优·中考突破】2025年中考数学总复习（广东专用）

25版·数学课件 第一章　数与式 第2讲　整式与因式分解 第一部分　考点突破 01 知识盘点·夯实基础 03 课堂过关·实战检验 目录 02 重难突破·形成能力 04 创新拓展·提升素养 目录 知识盘点·夯实基础 考点梳理 1.代数式 (1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把　　　或表示数的　　　连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式； (2)求代数式的值：用具体数值代替代数式中的　　　　，计算得出结果，叫作求代数式的值. 数 字母 字母 目录 对点演练 1.填空： (1)学校操场原有盆栽a盆，校庆活动增加50％，现有盆栽　　　　盆； (2)小明买单价为p元的商品n件，给卖家q元，应找回　　　　元； (3)某件商品原价为b元，先打八折，再降价10元，则现在的售价是 ____________元. 目录 1.5 a (q－pn) (0.8b－10) 考点梳理 2.整式的分类(单项式、多项式) (1)单项式：表示数字与字母　　　　的代数式，单独的一个　　　　或一个　　　　也叫单项式；其中的数字因数叫作单项式的　　　　，所有字母的指数的　　　　叫作单项式的　　　　； (2)多项式：几个单项式的　　　；多项式中的每一项叫作多项式的　　，次数　　　　的项的次数为该多项式的次数； (3)整式：　　　　和　　　　统称为整式. 目录 积 数 字母 系数 和 次数 和 项 最高 单项式 多项式 对点演练 2.下列各式：①，②0，③，④，⑤s＝πr2，⑥－， ⑦b2－4ac，⑧m，⑨＋1，其中单项式是　　　　　　，多项式是_____，整式是　　　　　　 　 (填序号). 3.单项式－a2b的系数是　　　　，次数是　　. 4.多项式x2＋2x＋8是　　　次　　项式. 目录 ①②④⑧ ③⑦ ①②③④⑦⑧ － 3 二 三 考点梳理 3.整式的加减(5年2考) (1)同类项：所含　　　　相同并且相同字母的　　　　也相同的项叫作同类项；所有的　　　　项都是同类项； (2)整式的加减运算法则：先去括号，再　　　　　　. 对点演练 5.若单项式2xym＋1与单项y3是同类项，则m－n＝　　. 6.如果单项式3xmy与－5x3yn可以合并，那么m＋n＝　　. 7.化简：3a＋b＋2(a－2b)＝　　　　　. 目录 字母 指数 常数 合并同类项 －1 4 5a－3b 考点梳理 4.幂运算法则(5年2考) a 目录 am＋n amn anbn am－n 对点演练 8.计算： (1)－a4·a3＝　　　； (2)(－2a3)2＝　　　； (3)x5·x÷x2＝　　　； (4)(－p3)2－2p6＝　　　. 9.若ax＝3，ay＝2，则ax－y＝　　　；a2x＋y＝　　　. 目录 －a7 4a6 x4 －p6 18 考点梳理 5.整式的乘除运算(5年2考) (1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别　　　　；②只有一个字母的照抄； (2)单项式×多项式：m(a＋b)＝　　　　； (3)多项式×多项式：(m＋n)(a＋b)＝　　　　　　　　　； (4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别　　　　； (5)多项式÷单项式：①多项式的　　　　除以单项式；②商相加； 目录 相乘 ma＋mb ma＋mb＋na＋nb 相除 每一项 (6)乘法公式： ①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝　　　　　； ②完全平方公式：(a±b)2＝　　　　　　； (7)常用的完全平方公式变形： ①a2＋b2＝－2ab； ②a2＋b2＝＋2ab； ③＝＋4ab； ④＝－4ab. 目录 a2－b2 a2±2ab＋b2 对点演练 10.计算： (1)2x·5x2＝　　　； (2)(－3a2b)2·(－b2)2＝　　　　； (3)－4a2(3a－1)＝　　　　　　； (4)(x＋3)(x－5)＝　　　　　　； (5)10ab3÷(－5ab)＝　　　　； (6)(8a2－4ab)÷(－4a)＝　　　　　； (7)(－2a＋3)2＝　　　　　　　； (8)(2x＋1)(2x－1)－x(4x－1)＝　　　. 目录 10x3 9a4b6 －12a3＋4a2 x2－2x－15 －2b2 －2a＋b 4a2－12a＋9 x－1 11.计算： (1)(a－3)(a＋3)＝　　　　； (2)(　　　　)＝9m2－(　　)2； (3)＝　　　　　； (4)(－x－3y)2＝　　　　　　　. 12.若x2＋2mx＋1是完全平方式，则常数m的值是　　　. 目录 a2－9 3m－2n 2n 4x2－2x＋ x2＋6xy＋9y2 ±1 考点梳理 6.因式分解常用方法(5年2考) (1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝　　　　　　　； (2)公式法：a2－b2＝　　　　　　　； a2±2ab＋b2＝　　　　. 注意：因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的 形式. 目录 m(a＋b＋c) (a＋b)(a－b) (a±b)2 对点演练 13.因式分解： (1)x2－2 030x＝　　　　　　； (2)1－4y2＝　　　　　　　； (3)ax2－9a＝　　　　　　　； (4)3x3－6x2＋3x＝　　　　　　. 目录 x(x－2 030) (1－2y)(1＋2y) a(x－3)(x＋3) 3x(x－1)2 重难点1 重难点2 重难点3 目录 重难突破·形成能力 重难点4 重难点5 例1.(2024·内蒙古)下列运算正确的是(　　) A.＝9x3 B.＝x2－4 C.＝4a2b4 D.3a＋4b＝7ab 变式1.(2024·巴中)下列运算正确的是(　　) A.3a＋b＝3ab　　 B.a3·a2＝a5　　 C.a8÷a2＝a4　　 D.＝a2－b2 重难点1　整式的运算 目录 上一级 C B 例2.因式分解： (1)3a2b＋6a＝　　　　　； (2)25b2－9＝　　　　　　　　； (3)a2－5(2a－5)＝　　　　　； (4)2m3－8m＝　　　　　　　　； (5)x3y－6x2y＋9xy＝　　　　　. 重难点2　因式分解 目录 上一级 3a(ab＋2) (5b＋3)(5b－3) (a－5)2 2m(m＋2)(m－2) xy(x－3)2 变式2.因式分解： (1)3x2－3x＝　　　　　； (2)－2x2＋18＝　　　　　　　； (3)y＋2xy＋x2y＝　　　　　； (4)a2(a－b)＋25(b－a)＝　　　　　　　　　. 目录 上一级 3x(x－1) －2(x＋3)(x－3) y(1＋x)2 (a－b)(a＋5)(a－5) 例3.(2023·常德)若a2＋3a－4＝0，则2a2＋6a－3的结果是(　　) A.5　　 B.1　　 C.－1　　 D.0 变式3.(2023·南通)若a2－4a－12＝0，则2a2－8a－8的值为(　　) A.24　　 B.20　　 C.18　　 D.16 重难点3　求代数式的值 目录 上一级 A D 例4.已知a＋b＝4，ab＝－5，求： (1)a2＋b2的值为　　　；(2)a－b的值为　　　. 变式4.已知x＋＝，求x－的值. 目录 上一级 26 ±6 解：∵x＋， ∴＝5， ∴－4x·＝5－4＝1， 即＝1，解得x－＝±1， ∴x－的值为±1. 例5.(2024·济宁)先化简，再求值：x(y－4x)＋(2x＋y)(2x－y)，其中x＝，y＝2. 重难点4　整式的化简求值 目录 上一级 解： 原式＝xy－4x2＋4x2－y2＝xy－y2， 当x＝，y＝2时， 原式＝×2－22＝1－4＝－3. 变式5.(2024·甘肃)先化简，再求值：÷2b，其中a＝2，b＝－1. 目录 上一级 解：原式＝÷2b ＝÷2b ＝÷2b ＝2a＋b， 当a＝2，b＝－1时，原式＝2×2＋＝3. 例6.(2023·恩施)观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系： －2，4，－8，16，－32，64，…① 0，7，－4，21，－26，71，…② 根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为　　　　；取每行数的第2 023个数，则这两个数的和为　　　　　　　. 重难点5　规律题 目录 上一级 1 024 －22 024＋2 024 变式6.(2023·十堰)用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱 形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为________　　　　(用含n的式子表示). 目录 上一级 6n＋6 必过题 提升题 培优题 目录 课堂过关·实战检验 1.(2024·广东)下列计算正确的是(　　) A.a2·a5＝a10　　 B.a8÷a2＝a4 C.－2a＋5a＝7a　　 D.＝a10 2.(2023·深圳)下列运算正确的是(　　) A.a3·a2＝a6　　 B.4ab－ab＝4 C.(a＋1)2＝a2＋1　　 D.(－a3)2＝a6 必过题 目录 上一级 D D 3.(2023·广东)因式分解：x2－1＝　　　　　　. 4.(2022·广东)单项式3xy的系数为　. 5.(2020·广东)已知x＝5－y，xy＝2，计算3x＋3y－4xy的值为　　. 6.(2020·广东)若3xmy与－5x2yn是同类项，则m＋n＝　　. 7.(2020·广东)分解因式：xy－x＝　　　　. 目录 上一级 (x＋1)(x－1) 3 7 3 x(y－1) 8.(2024·南充)先化简，再求值：(x＋2)2－÷x，其中x＝－2. 目录 上一级 解：原式＝ ＝x2＋4x＋4－x2－3 ＝4x＋1， 当x＝－2时，原式＝4×(－2)＋1＝－7. 9.(2024·广西)如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　) A.0　　 B.1　　 C.4　　 D.9 10.(2021·广东)已知9m＝3，27n＝4，则32m ＋ 3n的结果是(　　) A.1　　 B.6　　 C.7　　 D.12 提升题 目录 上一级 D D 11.(2023·云南)按一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，a5，…，第n个单项式是(　　) A.　　 B.　　 C.an　　 D. 12.(2023·凉山)已知y2－my＋1是完全平方式，则m的值是　　. 目录 上一级 C ±2 13.(2019·广东)如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是　　　　(结果用含a，b代数式表示). 目录 上一级 14.(2021·广东)若x＋＝且0＜x＜1，则x2－＝　　　　. a＋8b － 15.【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数吗？” 【计算验证】(1)计算：32－1＝　　；52－1＝　　；72－1＝　　　；以上计算结果均　　　(填“是”或“不是”)8的倍数； 培优题 目录 上一级 8 24 48 是 解：任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数.证明如下: 由题意得奇数为2n＋1， 则有(2n＋1)2－1＝(2n＋1＋1)(2n＋1－1)＝2n(2n＋2)＝4n(n＋1)， 又∵n，n＋1是两个连续的整数， ∴其中必有一个是2的倍数， ∴(2n＋1)2－1能被8整除. 【解决问题】(2)设奇数为2n＋1(n为整数)，请你先试着回答老师提出的问题，再“论证”你的结论； 目录 上一级 【拓广延伸】(3)任意奇数的平方加上1后都一定是　　的倍数. 目录 上一级 2 解析:设奇数为2n＋1， 则有(2n＋1)2＋1＝4n2＋4n＋2＝2(2n2＋2n＋1)， ∴任意奇数的平方加上1后一定是2的倍数. 目录 创新拓展·提升素养 16.(教材改编)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数等等. (1)根据上面的规律，的展开式为　　　　　　　　　　　　　； 目录 a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 (2)①的展开式中共有　　　项，所有项的系数之和为　　； ②推测的展开式中共有　　　　项，所有项的系数之和为　　. 目录 10 29 2n $$