专题02 锐角的三角比（考点串讲，3个常考点+4种重难点题型+7个易错+押题预测）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

九年级数学上学期·期末复习大串讲 专题02 锐角的三角比 沪教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理+针对训练 四大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 七大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期末真题对应考点练 考点透视 【清单01】 锐角的三角比定义 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. 正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即 余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即 正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即 余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即 【清单02】 锐角的三角比性质 ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若， ，则 ③ 1 ┌ 450 450 ┌ 300 600 1 【清单03】特殊角的三角比 【清单04】锐角的三角比 【清单05】解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程. 【清单06】直角三角形的边角关系 中， 【清单07】解直角三角形的应用 （1）仰角与俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； （2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度，记作i，即 坡度表示形式： 坡面与水平面的夹角叫坡角，记为a；坡度i与坡角a的关系： A 题型剖析 C 易错易混 75°或15° 1.（2023秋•长宁区期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，BC=a，那么AC等于( ____ ) A.a•tanα B.a•cotα C. D. 【解析】____ B 押题预测 解：cot∠A= ，∴AC=BC•cotA=a•cotA， 故选：B． 28 2.（2023秋•浦东新区期末）小明沿着坡度i=1：2.4的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了 ____ 米． 【解析】解：设坡度的高为x米(x＞0)，则水平距离为：2.4x米， 则：x2+(2.4x)2=1302， 解得：x=50， 故答案为：50． 50 29 3.（2023秋•金山区期末）如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东60°的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东45°方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处 　　海里． 【解析】解：由题意可知：在Rt△ADB中，∠BAD=30°， AB=8海里，则BD= AB=4海里 海里， 在Rt△BDC中，∠DBC=45°， 则DC=BD=4海里，∴AC=AD+DC=(4 +4)海里， 故答案为：(4 +4)海里． 30 4.（2023秋•黄浦区期末）计算： ． 【解析】解：原式=2× + -( )2 = - -1- =- ． 31 5.（2023秋•松江区期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆AM，热气球沿着与AM的夹角为15°的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30°(AM、B、C在同一平面内)．求A、B之间的距离．(结果精确到1米， ≈1.414) 【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 由题意得：AC=200米，∠BAC=90°+15°=105°，∠C=30° ∴∠ABD=180°-∠BAC-∠C=45°， 在Rt△ACD中，∠C=30°， ∴AD= AC=100(米)， 在Rt△ABD中，AB= = =100 ≈141(米)， ∴A、B之间的距离约为141米． 32 考点1：求三角函数的值 1. (滨州中考)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( ) A．2＋eq \r(3)　　 B．2eq \r(3)　　 C．3＋eq \r(3)　　 D．3eq \r(3) 2．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接MD、ME.若∠EMD＝90°，则cosB的值为　 　. eq \f(\r(3)－1,2) 3. (株洲中考)如图，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM＝AN. (1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND； (2)线段MN与线段AD相交于T，若AT＝eq \f(1,4)AD，求tan∠ABM的值． (1)证明：∵AD＝AB，AM＝AN，∠AMB＝∠AND＝90°∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL)；　(2)由Rt△ABM≌Rt△AND易得，∠DAN＝∠BAM，DN＝BM，∵∠BAM＋∠DAM＝ 90°，∠DAN＋∠ADN＝ 90°，∴∠DAM＝∠AND，∴ND∥AM，∴△DNT∽△AMT，∴eq \f(AM,DN)＝eq \f(AT,DT)，∵AT＝eq \f(1,4)AD，∴ eq \f(AM,DN)＝eq \f(1,3)，∴tan∠ABM＝eq \f(AM,BM)＝eq \f(AM,DN)＝eq \f(1,3). 考点2：锐角三角函数在几何图形中的应用 4. (泰安中考)如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC＝eq \f(3,4)，点D是AC边上的动点 (不与点C重合)，过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为　 　. S＝－eq \f(3,25)x2＋eq \f(3,2)x 考点3：三角函数在实际中应用 5. (舟山中考)如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台 (矩形ABCD)靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK＝80° )，身体前倾成125°(∠EFG＝125°)，脚与洗漱台距离GC＝15cm (点D、C、G、K在同一直线上)． (1)此时小强头部E点与地面DK相距多少？ (2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？ (sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，eq \r(2)≈1.41，结果精确到 0.1) 解：(1)过点F作FN⊥DK于点N，过点E作EM⊥FN于点M.∵EF＋FG＝166，FG＝100，∴EF＝66，∵∠FGK＝80°，∴FN＝100·sin80°≈98，∵∠EFG＝125°，∴∠EFM＝180°－125°－10°＝45°，∴FM＝66·cos45°＝33eq \r(2)≈46.53，∴MN＝FN＋FM≈144.5.∴他头部E点与地面DK相距约144.5cm；　 (2)过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H.∵AB＝48，O为AB的中点，∴AO＝BO＝24，∵EM＝66·sin45°≈46.53，∴PH≈46.53，∵GN＝100·cos80°≈17，CG＝15，∴OH＝24＋15＋17＝56，OP＝OH－PH＝56－46.53＝9.47≈9.5，∴他应向前9.5cm. 6. (黔东南中考) 如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？ (结果取整数)(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(5)≈2.24) 解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，∵CD＝12米，∠DCE＝60°，∴DE＝CD·sin60°＝12×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3)米，CE＝CD·cos60°＝12×eq \f(1,2)＝6米．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE＝D′E′＝6eq \r(3)米．∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝eq \f(D′E′,tan39°)≈eq \f(6\r(3),0.81)≈12.8，∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8≈7(米)．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全． 题型一：构造单一直角三角形解实际问题 1．如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，求救援船航行的速度． 解：由题意可知∠BAC＝10°＋20°＝30°，∠ABC＝80°－20°＝60°，AB＝20，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝90°，∵sin∠ABC＝eq \f(AC,AB)， ∴AC＝AB·sin60°＝20×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3)，∴v＝10eq \r(3)÷eq \f(20,60)＝30eq \r(3)(海里/时)． 答：救援船航行的速度为30eq \r(3)海里/时． 题型二：构造背靠背直角三角形解实际问题 2．如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到1cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，eq \r(3)≈1.73)． 解：在Rt△ACO中，sin75°＝eq \f(OC,OA)＝eq \f(OC,40)≈0.97，解得OC≈38.8.在Rt△BCO中， tan30°＝eq \f(OC,BC)＝eq \f(38.8,BC)≈eq \f(1.73,3)，解得BC≈67. 答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67cm. 题型三：构造叠合式直角三角形解实际问题 3．(天津中考)如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD(结果取整数．参考数据：sin31 °≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)． 解：根据题意，∠CAD＝31°，∠CBD＝45°，∠CDA＝90°，AB＝30. ∵在Rt△ACD，tan∠CAD＝eq \f(CD,AD)，∴AD＝eq \f(CD,tan31°). ∵在Rt△BCD中，∠BCD＝∠CBD＝45°，∴BD＝CD.又AD＝BD＋AB，∴eq \f(CD,tan31°)＝30＋CD.∴CD＝eq \f(30×tan31°,1－tan31°)＝eq \f(30×0.60,1－0.60)＝45. 答：这座灯塔的高度CD约为45m. 题型四：构造直角三角形和矩形解实际问题 4．(宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高(结果保留根号)． 解：作CH⊥AB于H，则四边形HBDC为矩形，∴BD＝CH，由题意得，∠ACH＝30°，∠CED＝30°，设CD＝x米，则AH＝(30－x)米， 在Rt△AHC中，HC＝eq \f(AH,tan∠ACH)＝eq \r(3)(30－x)，则BD＝CH＝eq \r(3)(30－x)，∴ED＝eq \r(3)(30－x)－10，在Rt△CDE中，eq \f(CD,DE)＝tan∠CED， 即eq \f(x,30\r(3)－\r(3)x－10)＝eq \f(\r(3),3)，解得x＝15－eq \f(5\r(3),3). 答：立柱CD的高为(15－eq \f(5\r(3),3))米． 易错点1：不能正确理解三角函数的定义 1．在Rt△ABC中，如果各边长都缩小为原来的eq \f(1,2)，那么锐角A的正切值(　　) A．扩大为原来的2倍　 B．缩小为原来的eq \f(1,2) C．没有变化 D．不能确定 易错点2：忽略锐角三角函数定义的前提条件 2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，求sinB的值． 解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D.因为AB＝AC＝3，BC＝4，所以BD＝DC＝2. 在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2，根据勾股定理，得AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(5)， 所以sinB＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(\r(5),3). 易错点3：没弄清楚哪个角是直角 3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝5，求cosA. 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝5，AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(52＋42)＝eq \r(41)，所以cosA＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(5,\r(41))＝eq \f(5\r(41),41). 易错点4：忽略锐角的正(余)弦值的取值范围 4．已知sinα(α为锐角)是方程2x2－5x＋2＝0的根，求sinα的值． 解：解方程2x2－5x＋2＝0，得x1＝2，x2＝eq \f(1,2).因为0＜sinα＜1，所以sinα＝eq \f(1,2). 解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.因为sinB＝eq \f(AD,AB)，所以AD＝AB·sinB＝1×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(\r(2),4). 所以BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(12－\f(\r(2),4)2)＝eq \f(\r(14),4). 在Rt△ACD中，因为CD＝eq \r(AC2－AD2)＝eq \r(\r(2)2－\f(\r(2),4)2)＝eq \f(\r(30),4)， 所以BC＝CD＋BD＝eq \f(\r(30),4)＋eq \f(\r(14),4)＝eq \f(\r(30)＋\r(14),4). 易错点5：考虑不全面导致漏解 5．已知AD是△ABC的高，CD＝1，AD＝BD＝eq \r(3)，则∠BAC＝ . 6．已知在△ABC中，tanA＝eq \f(3,4)，AB＝5，BC＝4，那么AC的长等于 ________________. 4＋eq \r(7)或4－eq \r(7) 易错点6： “化斜为直”时辅助线作错 7．如图所示，在△ABC中，已知AB＝1，AC＝eq \r(2)，sinB＝eq \f(\r(2),4)，求BC的长． 易错点7：对俯角理解错误 8．(成都中考)2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力．如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度(结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)． 解：过点C作CE⊥AB于点E，由题意易知四边形CEBD为矩形， ∠ADB＝45°，∠ACE＝35°，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°， ∴AB＝BD＝20米，∴CE＝20米．在Rt△ACE中，∠ACE＝35°， tan∠ACE＝eq \f(AE,CE)≈0.70，∴AE＝20×0.70＝14(米)． ∴CD＝BE＝AB－AE＝20－14＝6(米)． 答：起点拱门的高度约为6米． $$