第12讲 用相似三角形解决问题（2考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第12讲 用相似三角形解决问题 课程标准 学习目标 1 掌握相似三角形的判定和性质，能灵活运用其解决与三角形相似有关的几何证明、计算问题，如证明线段成比例、角相等，计算线段长度、图形面积等。 2 学会建立相似三角形模型解决实际问题，如测量物体的高度、宽度、距离等，体会数学与生活的密切联系，培养数学应用意识和实践能力。 3 通过用相似三角形解决问题的过程，进一步培养学生的逻辑推理能力、空间想象能力和创新思维能力，提升学生的数学素养。 1. 熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，能准确识别相似三角形中的对应边、对应角。 2. 能够根据已知条件灵活构造相似三角形，运用相似三角形的性质和判定进行推理和计算，解决复杂的几何问题。 3. 体会相似三角形在解决实际问题中的作用和价值，感受数学的实用性和趣味性，增强学习数学的自信心和积极性。 知识点一、平行投影 1.在平行光照射下，物体所产生的影子称为平行投影.（物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线） 2.太阳光可以看成是平行光. 3.在平行光的照射下，相同的时刻，相近的位置的不同物体的物高与影长成比例. 如：. 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等，利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 知识点二、中心投影 1.在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影，这个“点”就是中心. 2路灯、台灯、手电筒的光线可以看成是一个点发出的，看以看作是点光源. 3.在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例，同一物体离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长. 4.等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长. 5.等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 6.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 7.光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 题型01 物高问题 1．如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米（CE＝20米），他的影长AE＝2米，已知小明的身高DE＝1.8米，点E在AC上，且BC⊥AC，DE⊥AC，求信号发射塔的高度BC． 2．2024年8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏精细还原．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，其中飞虹塔是位于山西省洪洞县广胜寺景区非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米； 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝22米： 请你根据表格信息，求飞虹塔的高度AB． 3．清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（1469），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁AB的高度． 步骤一：在地面BC上取E、G两点，分别竖立高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔23m，并且清虚阁AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线； 步骤二：从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线． 请你根据以上数据，计算清虚阁AB的高度． 题型02 影长问题 1．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 2．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（　　） A．16.5m B．13.5m C．15m D．12m 3．小明测量旗杆AB高度，如图所示．他首先在旗杆的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE＝12米．然后小明沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端A，并测得ED＝3米，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），则旗杆AB的高为（　　） A．6.0米 B．6.2米 C．6.3米 D．6.4米 题型03 河宽问题 1．如图所示，为了测绘护城河宽度，在河对岸选定点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与D共线，A，C与E共线，且直线AB与河岸垂直，直线BC，DE均与直线AB垂直．设AD的长为x，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即PE＝20米）的点P处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在C，D两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即A，C，P三点共线，B，D，P三点共线）．已知电线杆A，B之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离CD为30米，则这条河的宽度为（　　） A．25米 B．30米 C．45米 D．50米 3．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝40m，DC＝20m，EC＝24m，则河宽AB为 　　． 题型04 三角形内接矩形问题 1．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120cm，高AD＝80cm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，则加工成的正方形零件的边长是（　　） A．48cm B．46cm C．42cm D．40cm 2．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝18cm，高AD＝12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周长为（　　）cm． A．15cm B．13cm C．26cm D．30cm 3．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为8cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　）cm． A．4.6 B．4.8 C．5 D．5.2 题型05 相似综合题 1．如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，正方形EFGH的四个顶点在△ABC的三边上． （1）如图1，AD为△ABC的高，交EF于点N，若BC＝60，AD＝40．设EF的长为x． ①直接写出AN的长（用含x的式子表示）； ②求正方形EFGH的边长． （2）如图2，若∠BAC＝90°，连接AH交EF于点P，连接AG交EF于点Q． ①求证：EH2＝BH•CG； ②直接写出EP，PQ，FQ之间的数量关系． 3．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）求出△BPQ是轴对称图形时t的值； （3）如图②，连接AQ、CP，若AQ垂直CP，直接写出t的值． 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD＝1.5cm，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝6m，BP＝8m，PD＝18m，那么该古城墙CD的高度是（　　）m． A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5 3．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．4 C． D．5 4．如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，身高1.6m的小明站在点P处，且OP＝2m．当小明向路灯移动0.5m时，影长的变化是（　　） A．伸长了0.2m B．伸长了0.1m C．缩短了0.2m D．缩短了0.1m 5．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　） A．cm B．5cm C．6cm D．7cm 6．如图，身高1.6m的某学生沿着树影BA由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得AB＝5m，CA＝1m，则树的高度为　 　m． 7．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝3m，树影BC＝4m，树与路灯的水平距离BP＝5m．则路灯的高度OP为　 　． 8．如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径AB，其中AD＝BC，，量得CD＝4cm，则AB＝ 　 　cm． 9．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝ 　 　． 10．如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE＝2.4米，若小宇的眼睛到地面的距离DE为1.6米，则假山AC高度为 　 　米． 11．如图，有一块面积为48cm2的待加工材料△ABC，BC＝12cm，将它加工成一个矩形零件EFGH，矩形一边上的两个顶点E，F落在BC上，另两个顶点H，G分别在AB，AC上． （1）求证：△AHG∽△ABC； （2）当矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？ 12．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 13．如图，直线MN一侧有一等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB，直线MN过顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂直分别为点EF，∠CAB的角平分AG交BC于点O，交MN于点G，连接BG，满足AG⊥BG，延长AC，BG交于点D． （1）证明：CE＝BF； （2）求证：AC+CO＝AB； （3）若BG＝2，求线段AO的长度． 14．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB的高度，设计了以下方案：在点C处放一面平面镜，从点C处后退到1m点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m放在F处（即FC＝4m），从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度ED、GH均为1.5m，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．求灯柱AB的高度．（平面镜的大小忽略不计） 15．已知正方形ABCD，E为对角线BD上一点． （1）如图1，连接AE，CE，求证：△ABE≌△CBE； （2）如图2，F是CE延长线上一点，CF交AB于点G，AF⊥AE．判断△FAG的形状并说明理由； （3）在第（2）的条件下，AE＝AF＝4，求的值． 16．如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF．点G，H分别是BD与AF，CE的交点． （1）求证：OG＝OH； （2）连接BE交AC于点P，连接PG，PH． ①如图2，若PG∥AB，求证：PH∥AD； ②如图3，若▱ABCD为菱形，且DE＝3AE，∠GPH＝60°，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 用相似三角形解决问题 课程标准 学习目标 1 掌握相似三角形的判定和性质，能灵活运用其解决与三角形相似有关的几何证明、计算问题，如证明线段成比例、角相等，计算线段长度、图形面积等。 2 学会建立相似三角形模型解决实际问题，如测量物体的高度、宽度、距离等，体会数学与生活的密切联系，培养数学应用意识和实践能力。 3 通过用相似三角形解决问题的过程，进一步培养学生的逻辑推理能力、空间想象能力和创新思维能力，提升学生的数学素养。 1. 熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，能准确识别相似三角形中的对应边、对应角。 2. 能够根据已知条件灵活构造相似三角形，运用相似三角形的性质和判定进行推理和计算，解决复杂的几何问题。 3. 体会相似三角形在解决实际问题中的作用和价值，感受数学的实用性和趣味性，增强学习数学的自信心和积极性。 知识点一、平行投影 1.在平行光照射下，物体所产生的影子称为平行投影.（物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线） 2.太阳光可以看成是平行光. 3.在平行光的照射下，相同的时刻，相近的位置的不同物体的物高与影长成比例. 如：. 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等，利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 知识点二、中心投影 1.在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影，这个“点”就是中心. 2路灯、台灯、手电筒的光线可以看成是一个点发出的，看以看作是点光源. 3.在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例，同一物体离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长. 4.等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长. 5.等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 6.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 7.光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 题型01 物高问题 1．如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米（CE＝20米），他的影长AE＝2米，已知小明的身高DE＝1.8米，点E在AC上，且BC⊥AC，DE⊥AC，求信号发射塔的高度BC． 【分析】先证明△DAE∽△BAC，根据对应边成比例即可求解， 【解答】解：∵AE＝2米，CE＝20米， ∴AC＝AE+CE＝2+20＝22米， ∵BC⊥AC，DE⊥AC， ∴∠DEA＝∠BCA＝90°， 又∵∠DAE＝∠BAC， ∴△DAE∽△BAC， ∴，即， ∴BC＝19.8米， 即信号发射塔的高度为19.8米． 【点评】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．2024年8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏精细还原．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，其中飞虹塔是位于山西省洪洞县广胜寺景区非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米； 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝22米： 请你根据表格信息，求飞虹塔的高度AB． 【分析】设BD＝x米，依据题意得：QB＝（3+x）米，PB＝（22+x）米，由题意易得△EFP∽△ABP，△CDQ∽△ABQ，然后根据相似三角形的性质可得 ，，进而问题可求解． 【解答】解：设BD＝x米，依据题意得：QB＝（3+x）米，PB＝（22+x）米， ∵∠EFP＝∠B＝90°，∠P＝∠P， ∴△EFP∽△ABP， ∴， ∵EF＝CD＝2米，PF＝4米， ∴， ∴AB， ∵∠CDQ＝∠B＝90°，∠CQD＝∠AQB， ∴△CDQ∽△ABQ， ∴， ∴， ∴AB， ∴， 解得：x＝54， 经检验：x＝54是原方程的解， ∴AB38（米）， 答：飞虹塔AB的高度为38米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 3．清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（1469），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁AB的高度． 步骤一：在地面BC上取E、G两点，分别竖立高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔23m，并且清虚阁AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线； 步骤二：从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线． 请你根据以上数据，计算清虚阁AB的高度． 【分析】根据垂直的定义得到∠ABD＝∠FED＝90°，∠ABD＝∠HGC＝90°，根据相似三角形的性质得到，，得到，求得BE＝23，于是得到结论． 【解答】解：∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC， ∴∠ABD＝∠FED＝90°，∠ABD＝∠HGC＝90°， ∴AB∥FE，AB∥GH， ∴△FED∽△ABD，△HGC∽△ABC， ∴，， ∴， 即， ∴2（27+BE）＝4（2+BE）， 解得，BE＝23， ∴， ∴AB＝25； 答：清虚阁AB的高度为25米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型02 影长问题 1．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 【分析】根据题意，画出示意图，易得：△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2＝ED•FD，代入数据可得答案． 【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m； ∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°， ∴∠ECD＝∠F， ∴△EDC∽△CDF， ∴，即DC2＝ED•FD＝2×8＝16， 解得CD＝4m． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 2．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（　　） A．16.5m B．13.5m C．15m D．12m 【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上边DF到地面的高度AC，即可求得树高AB． 【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D， ∴△DEF∽△DCB， ∴， ∵DE＝0.4m，EF＝0.3m，CD＝20m， ∴， ∴CB＝15m， ∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5（m）． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 3．小明测量旗杆AB高度，如图所示．他首先在旗杆的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE＝12米．然后小明沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端A，并测得ED＝3米，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），则旗杆AB的高为（　　） A．6.0米 B．6.2米 C．6.3米 D．6.4米 【分析】证明△ABE∽△CDE，则，即，计算求解即可． 【解答】解：∵∠AEB＝∠CED，∠ABE＝90°＝∠CDE， ∴△ABE∽△CDE， ∴，即， 解得，AB＝6.4， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型03 河宽问题 1．如图所示，为了测绘护城河宽度，在河对岸选定点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与D共线，A，C与E共线，且直线AB与河岸垂直，直线BC，DE均与直线AB垂直．设AD的长为x，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线的判定定理确定DE∥BC，再根据相似三角形的判定定理和性质求解即可． 【解答】解：∵直线BC，DE均与直线AB垂直， ∴DE∥BC． ∴△ADE∽△ABC． ∴． ∵AD的长为x， ∴AB＝AD+DB＝x+DB． ∴． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定定理． 2．学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即PE＝20米）的点P处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在C，D两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即A，C，P三点共线，B，D，P三点共线）．已知电线杆A，B之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离CD为30米，则这条河的宽度为（　　） A．25米 B．30米 C．45米 D．50米 【分析】延长PE交AB于点F，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得解． 【解答】解：延长PE交AB于点F，如解图所示． ∵PE⊥CD，AB∥CD， ∴PF⊥AB， 设这条河的宽度为x米． ∵AB∥CD， ∴△PBA∽△PDC， ∴， 依题意得，CD＝30米，AB＝75米， ∴， 解得x＝30， 即这条河的宽度为30米， 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝40m，DC＝20m，EC＝24m，则河宽AB为 　　． 【分析】求出△ABD和△ECD相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【解答】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC， ∴∠ABD＝∠ECD＝90°， 又∵∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）， ∴△ABD∽△ECD， ∴， 即：， 解得：AB＝48． 故答案为：48m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键． 题型04 三角形内接矩形问题 1．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120cm，高AD＝80cm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，则加工成的正方形零件的边长是（　　） A．48cm B．46cm C．42cm D．40cm 【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△APN∽△ABC，△BPQ∽△BAD，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长； 【解答】解：设正方形零件的边长为a 在正方形PMQN中，PN∥BC，PQ∥AD， ∴△APN∽△ABC，△BPQ∽△BAD ∴， ∴1 即：1 解得：a＝48 故选：A． 【点评】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 2．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝18cm，高AD＝12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周长为（　　）cm． A．15cm B．13cm C．26cm D．30cm 【分析】首先证明△AEH∽△ABC，然后根据相似三角形的性质得出，进而得出EH，EF的长，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形EFGH是矩形， ∴EH∥FG，EH＝GF，EF＝GH， ∴EH∥BC， ∵AD⊥BC， ∴AM⊥EH， ∴EF＝MD＝GH， ∵EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴， ∵矩形零件EFCH的长与宽的比为3：2， 设EH＝GF＝3x cm，EF＝GH＝MD＝2x cm，则AM＝（12﹣2x）cm， ∴， 解得：x＝3， ∴EH＝3x＝9，EF＝2x＝6， ∴矩形EFGH的周长为：2×（9+6）＝30cm． 故选：D． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 3．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为8cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　）cm． A．4.6 B．4.8 C．5 D．5.2 【分析】证明△AEF∽△ABC，设正方形零件EFHG的边长为x，则AI＝8﹣x，根据相似三角形的性质得方程，解方程即可． 【解答】解：∵四边形EFHG是正方形， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， 又∵AD⊥BC， ∴， 设正方形零件EFHG的边长为x cm，则AI＝（8﹣x）cm， ∴， 解得：x＝4.8， 即这个正方形零件的边长为4.8cm． 故选：B． 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 题型05 相似综合题 1．如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可； ②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC，进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，可得②不正确； ③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC＝∠DCE，结论③成立； ④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，所以∠ECG＝∠ECM+∠GCM∠BCD＝45°，由于EC⊥HP，则∠CHP＝45°，由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，则EH⊥CG；利用勾股定理可得EG2﹣EH2＝GH2；由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC＝∠EHC＝90°，所以E，M，H，C四点共圆，所以∠HMC＝∠HEC＝45°，通过△CMH≌△CDH，可得∠CDH＝∠CMH＝45°，这样，∠GDH＝45°，因为∠GHQ＝∠CHP＝45°，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2＝GQ•GD，从而说明④成立． 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°． 由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°． ∴∠BEP+∠AEG＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠AEG+∠AGE＝90°， ∴∠BEP＝∠AGE． ∵∠FGQ＝∠AGE， ∴∠BEP＝∠FGQ． ∵∠B＝∠F＝90°， ∴△PBE∽△QFG． 故①正确； ②过点C作CM⊥EG于M， 由折叠可得：∠GEC＝∠DCE， ∵AB∥CD， ∴∠BEC＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠GEC， 在△BEC和△MEC中， ， ∴△BEC≌△MEC（AAS）． ∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC． ∵CG＝CG， ∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL）， ∴S△CMG＝S△CDG， ∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH， ∴②不正确； ③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE， ∵AB∥CD， ∴∠BEC＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠GEC， 即EC平分∠BEG． ∴③正确； ④连接DH，MH，HE，如图， ∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG， ∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG， ∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM∠BCD＝45°， ∵EC⊥HP， ∴∠CHP＝45°． ∴∠GHQ＝∠CHP＝45°． 由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°， ∴EH⊥CG． ∴EG2﹣EH2＝GH2． 由折叠可知：EH＝CH． ∴EG2﹣CH2＝GH2． ∵CM⊥EG，EH⊥CG， ∴∠EMC＝∠EHC＝90°， ∴E，M，H，C四点共圆， ∴∠HMC＝∠HEC＝45°． 在△CMH和△CDH中， ， ∴△CMH≌△CDH（SAS）． ∴∠CDH＝∠CMH＝45°， ∵∠CDA＝90°， ∴∠GDH＝45°， ∵∠GHQ＝∠CHP＝45°， ∴∠GHQ＝∠GDH＝45°． ∵∠HGQ＝∠DGH， ∴△GHQ∽△GDH， ∴， ∴GH2＝GQ•GD， ∴GE2﹣CH2＝GQ•GD． ∴④正确； 综上可得，正确的结论有：①③④． 故选：C． 【点评】本题是相似形的综合题，考查了正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键． 2．如图，正方形EFGH的四个顶点在△ABC的三边上． （1）如图1，AD为△ABC的高，交EF于点N，若BC＝60，AD＝40．设EF的长为x． ①直接写出AN的长（用含x的式子表示）； ②求正方形EFGH的边长． （2）如图2，若∠BAC＝90°，连接AH交EF于点P，连接AG交EF于点Q． ①求证：EH2＝BH•CG； ②直接写出EP，PQ，FQ之间的数量关系． 【分析】（1）①由正方形的性质得出HE∥DN，∠ENH＝∠DHE＝90°，HE＝EF＝x，证出DN＝EF＝x，则可得出结论； ②证明△AEF∽△ABC，得出，则可得出答案； （2）①证明△BEH∽△FCG，得出，则可证出结论； ②证明△AEP∽△ABH，得出，同理，，则可得出结论． 【解答】（1）解：①∵四边形EFGH是正方形， ∴HE∥DN，∠ENH＝∠DHE＝90°，HE＝EF＝x， ∵AD为△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADH＝90°， ∴四边形ENDH为矩形， ∴EH＝DN， ∴DN＝EF＝x， ∴AN＝40﹣x； ②∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EF∥HG， ∴∠ANF＝∠ADC＝90°， ∵EF∥HG， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， 解得：x＝24， 答：正方形的边长为24． （2）①证明：∵正方形EFGH， ∴∠EHG＝∠FGH＝90°，EH＝FG， ∴∠EHB＝∠FGC＝90°， ∴∠B+∠BEH＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠BEH＝∠C， ∴△BEH∽△FCG， ∴， ∴EH•FG＝BH•CG， ∵EH＝FG， ∴EH2＝BH•CG； ②解：PQ2＝EP•FQ． 理由：∵EP∥BH， ∴△AEP∽△ABH， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵GH2＝EH2＝BH•CG， ∴PQ2＝EP•FQ． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）求出△BPQ是轴对称图形时t的值； （3）如图②，连接AQ、CP，若AQ垂直CP，直接写出t的值． 【分析】（1）根据勾股定理可得AB＝10cm，分两种情况：①△BPQ∽△BAC，②△BPQ∽△BCA，根据相似三角形的性质将BP＝5t cm，QC＝4t cm，AB＝10cm，BC＝8cm代入计算即可得； （2）由三角形是轴对称图形可得三角形是等腰三角形，再分三种情况：①当PB＝PQ时，过P作PH⊥BQ，则BHBQ＝（4﹣2t）cm，PB＝5t cm，根据平行线分线段成比例定理得到，进而即可求解；②当PB＝BQ时，列出式子即可求解；③当BQ＝PQ时，过Q作QG⊥AB于G，则BGPB＝（\frac{5}{2}）tcm，BQ＝（8﹣4t）cm，通过△BGQ∽△BCA，得到比例式进而即可求解； （3）设AQ，CP交于点N，过P作PM⊥BC于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得PM＝3t cm，BM＝4t cm，从而可得MC＝（8﹣4t）cm，再证出△ACQ∽△CMP，根据相似三角形的性质即可得． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB10（cm）； 分两种情况讨论： 当△BPQ∽△BAC时，， ∵BP＝5t cm，QC＝4t cm，AB＝10cm，BC＝8cm， ∴， 解得，t＝1； ②当△BPO∽△BCA时，， ∴， 解得，； ∴△BPQ与△ABC相似时，t＝1或； （2）∵△BPQ是轴对称图形， ∴△BPQ是等腰三角形， ①当PB＝PQ时，如图①﹣1，过P作PH⊥BQ， 则BHBQ＝（4﹣2t）cm，PB＝5t cm， ∵PH⊥BQ，AC⊥BC， ∴PH∥AC， ∴，即， 解得：； ②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t， 解得：； ③当BQ＝PQ时，如图②﹣2，过Q作QG⊥AB于G， 则BGPBt cm，BQ＝（8﹣4t）cm， ∵∠QBG＝∠ABC，∠BGQ＝∠BCA＝90°， ∴△BGQ∽△BCA， ∴即， 解得：； 综上所述：△BPQ是轴对称图形时t的值为：或或； （3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图②： 则PB＝5t cm，PM＝3t cm，MC＝（8﹣4t）cm， ∵AQ⊥CP， ∴∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM， ∵∠ACQ＝∠PMC， ∴△ACQ∽△CMP， ∴， ∴， 解得， ∴满足条件的t的值为． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD＝1.5cm，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵BC＝3cm，DE＝1cm ∴， 解得：AD， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝6m，BP＝8m，PD＝18m，那么该古城墙CD的高度是（　　）m． A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5 【分析】证明△ABP∽△CDP，推出可得结论． 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∵∠APB＝∠CPD， ∴△ABP∽△CDP， ∴， ∴， ∴CD＝13.5m， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 3．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．4 C． D．5 【分析】“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【解答】解：已知物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，设蜡烛火焰的高度是x cm， 由相似三角形的性质得， 解得， 即蜡烛火焰的高度是， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，解答本题的关键要明确：相似三角形对应高线的比等于相似比． 4．如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，身高1.6m的小明站在点P处，且OP＝2m．当小明向路灯移动0.5m时，影长的变化是（　　） A．伸长了0.2m B．伸长了0.1m C．缩短了0.2m D．缩短了0.1m 【分析】由题意可得AO∥CP，即得△BPC∽△BOA，得到，求出变化前后BP的长度即可判断求解． 【解答】解：如图，由题意可知，AO∥CP， ∴△BPC∽△BOA， ∴， ∴， ∴BP＝0.4m， 当小明向路灯移动0.5m时，BO＝2﹣0.5+BP＝1.5+BP， 由得：， ∴BP＝0.3m， ∴影长缩短了0.4﹣0.3＝0.1（m）， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键． 5．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　） A．cm B．5cm C．6cm D．7cm 【分析】证明△AEF∽△ABC，则，设正方形零件EFHG的边长为x，则AK＝10﹣x，根据相似三角形的性质得到，解方程即可． 【解答】解：∵四边形EFHG是正方形， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， 又∵AD⊥BC， ∴， 设正方形零件EFHG的边长为x cm，则AK＝（10﹣x）cm， ∴， 解得：， 即这个正方形零件的边长为． 故选：A． 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 6．如图，身高1.6m的某学生沿着树影BA由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得AB＝5m，CA＝1m，则树的高度为　8　m． 【分析】如图，利用相似三角形的判定与性质证明△ACD∽△ABE即可求解． 【解答】解：当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，标记D，E如图所示， ∵∠ACD＝∠ABE＝90°，∠DAC＝∠EAB， ∴△ACD∽△ABE， ∴， ∵学生的身高为1.6m， 依题意得：CD＝1.6m， ∵AB＝5m，CA＝1m， ∴， 解得BE＝8m， 故答案为：8． 【点评】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 7．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝3m，树影BC＝4m，树与路灯的水平距离BP＝5m．则路灯的高度OP为　　． 【分析】根据AB∥OP，得到△ABC∽△OPC，得到，代入相关数据即可求解． 【解答】解：∵OP⊥PC，AB⊥PC， ∴AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， ∵AB＝3，BC＝4，BP＝5， ∴PC＝BP+BC＝9， ∴： ∴， ∴路灯的高度OP为． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 8．如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径AB，其中AD＝BC，，量得CD＝4cm，则AB＝ 　12　cm． 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长． 【解答】解：∵AD，BC相交于O， ∴∠COD＝∠AOB， ∵， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∴， ∴AB＝4×3＝12（cm）， 故答案为：12． 【点评】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 9．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝ 　3cm　． 【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N， ∵CD∥AB， ∴△CDO∽ABO，即相似比为， ∴， ∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm）， ∴， ∴AB＝3cm， 故答案为：3cm． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质． 10．如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE＝2.4米，若小宇的眼睛到地面的距离DE为1.6米，则假山AC高度为 　14　米． 【分析】证明△ACB∽△DEB，则，即，计算求解即可． 【解答】解：∵镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E， ∴BC＝21米，∠ABC＝∠DBE， 又∵∠ACB＝90°＝∠DEB， ∴△ACB∽△DEB， ∴， ∵BE＝2.4米，DE＝1.6米， ∴， 解得：AC＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 11．如图，有一块面积为48cm2的待加工材料△ABC，BC＝12cm，将它加工成一个矩形零件EFGH，矩形一边上的两个顶点E，F落在BC上，另两个顶点H，G分别在AB，AC上． （1）求证：△AHG∽△ABC； （2）当矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？ 【分析】（1）利用相似三角形的判定定理解答即可； （2）过点A作AD⊥BC于点D，AD交HG于点M，利用三角形的面积公式求得AD的长，设HG＝x cm，HE＝y cm，则DM＝y cm， AM＝AD﹣DM＝（8﹣y）cm，利用相似三角形的性质列出比例式，得到x，y的关系式，利用矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半列出方程，将x，y的关系式代入，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形， ∴HG∥EF， ∴△AHG∽△ABC； （2）过点A作AD⊥BC于点D，AD交HG于点M，如图， ∵△ABC的面积为48cm2， ∴BC•AD＝48， ∵BC＝12cm， ∴AD＝8cm． ∵HG∥EF，AD⊥BC， ∴AM⊥HG， ∴HE＝MD＝GF． 设HG＝x cm，HE＝y cm，则DM＝y cm， ∴AM＝AD﹣DM＝（8﹣y）cm， 由（1）知：△AHG∽△ABC， ∴， ∴， ∴y． ∵矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半， ∴xy＝24． ∴x•24． 解得：x1＝x2＝6， ∴y4， ∴HG＝6cm，HE＝4cm， 答：矩形的长为6cm，宽为4cm． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． 12．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 【分析】先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB的长，最后由线段的差可得结论． 【解答】解：∵AD∥EG， ∴∠ADO＝∠EGF， ∵∠AOD＝∠EFG＝90°， ∴△AOD∽△EFG， ∴， ∵EF＝1.8米，FG＝2.4米，OD＝20米， ∴， ∴AO＝15米， 同理得△BOC∽△AOD， ∴，即， ∴BO＝12米， ∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）， ∴旗杆的高AB是3米． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定． 13．如图，直线MN一侧有一等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB，直线MN过顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂直分别为点EF，∠CAB的角平分AG交BC于点O，交MN于点G，连接BG，满足AG⊥BG，延长AC，BG交于点D． （1）证明：CE＝BF； （2）求证：AC+CO＝AB； （3）若BG＝2，求线段AO的长度． 【分析】（1）只要证明△AEC≌△CFB即可． （2）如图1中，作OK⊥AB于K．想办法证明AC＝AK，OC＝OK＝BK即可解决问题． （3）如图2中，在GA上取一点L，使得GL＝GB，连接BL．想办法求出AG，GO即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∠ACB＝90° ∴∠AEC＝∠CFB＝∠ABC＝90°， ∴∠EAC+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠EAC＝∠BCF， ∵AC＝BC， ∴△AEC≌△CFB（AAS）， ∴CE＝BF． （2）证明：如图1中，作OK⊥AB于K． ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝45°， ∵OK⊥AB， ∴∠OKB＝90°， ∴∠KOB＝∠KBO＝45°， ∴OK＝BK， ∵∠OAC＝∠OAK，∠ACO＝∠AKO＝90°， ∵AO＝AO， ∴△ACO≌△AKO（AAS）， ∴AC＝AK，CO＝OK， ∴OC＝OK＝BK， ∴AB＝AK+BK＝AC+CO． （3）解：如图2中，在GA上取一点L，使得GL＝GB，连接BL． ∵GL＝GB＝2， ∴BL＝2，∠GBL＝∠GLB＝45°， ∵∠LAB∠DAB＝22.5°，∠GLB＝∠LAB+∠LBA， ∴∠LAB＝∠LBA＝22.5°， ∴AL＝BL＝2， ∴AG＝2+2， 在GB上取一点T，使得GO＝GT，连接OT，设GO＝GT＝x． ∵∠TOB＝∠TBO＝22.5°， ∴OT＝BTx， ∴xx＝2， ∴x＝22， ∴GO＝22， ∴AO＝AG﹣OG＝2+2（22）＝4． 解法二：直接证明△ACO≌△CCD，则AO＝DB＝2BG＝4． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB的高度，设计了以下方案：在点C处放一面平面镜，从点C处后退到1m点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m放在F处（即FC＝4m），从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度ED、GH均为1.5m，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．求灯柱AB的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【分析】先证明△ABC∽△EDC得到AB＝1.5BC，再证明△ABF∽△GHF得到BF＝4+x，由此建立方程，求出BC的长即可求出AB的长． 【解答】解：∵∠ECD＝∠ACB，∠EDC＝∠ABC， ∴△ABC∽△EDC． ∴． ∵ED＝1.5m，CD＝1m， ∴． 设BC＝x m，则AB＝1.5x m， 同理可得△ABF∽△GHF， ∴． ∵AB＝1.5x m，BF＝BC+CF＝（4+x）m，GH＝1.5m，FH＝1.5m， ∴， 解得x＝8， ∴AB＝1.5x＝12（m）． 答：灯柱AB的高度为12m． 【点评】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意利用相似三角形的性质推出BF＝4+x是解题的关键． 15．已知正方形ABCD，E为对角线BD上一点． （1）如图1，连接AE，CE，求证：△ABE≌△CBE； （2）如图2，F是CE延长线上一点，CF交AB于点G，AF⊥AE．判断△FAG的形状并说明理由； （3）在第（2）的条件下，AE＝AF＝4，求的值． 【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝45°，根据SAS可证明△ABE≌△CBE（SAS）； （2）证明∠FAG＝∠AGF，得出FG＝AF，即△FAG 为等腰三角形； （3）证明△GAE∽△EAB，得出，证明△AFG∽△EBG，得出，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝45°， ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）； （2）解：△FAG为等腰三角形，理由如下： ∵AF⊥AE， ∴∠FAG+∠EAG＝90°， 由（1）知∠BCE＝∠BAE， ∵∠BCG+∠BGC＝90°， ∴∠BGC＝∠FAG， ∵∠BGC＝∠AGF， ∴∠FAG＝∠AGF， ∴FG＝AF， 即△FAG为等腰三角形． （3）解：∵AE＝AF＝4， ∴∠F＝∠AEF＝45°，EFAE＝4， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝45°， ∴∠AEG＝∠ABE， ∵∠GAE＝∠BAE， ∴△GAE∽△EAB， ∴， ∴AB•AG＝16， 由（2）知，AF＝FG＝4， ∴EG＝EF﹣FG＝44， ∴∠AGF＝∠BGE， ∵∠F＝∠GBE， ∴△AFG∽△EBG， ∴， ∴AG•BE＝AF•EG＝1616， ∴． 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定及性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 16．如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF．点G，H分别是BD与AF，CE的交点． （1）求证：OG＝OH； （2）连接BE交AC于点P，连接PG，PH． ①如图2，若PG∥AB，求证：PH∥AD； ②如图3，若▱ABCD为菱形，且DE＝3AE，∠GPH＝60°，求的值． 【分析】（1）可证得四边形AFCE是平行四边形，进而证明△AOG≌△COH，从而得出结论； （2）①由PG∥AB得出，进而得出，从而证得△AOD∽△POH，从而∠OAD＝∠OPH，从而PH∥AD； ②可证得△DEH∽△BCH，△AEP∽△CBP，从而，，进而得出，，设DH＝BG＝3a，则BH＝4a，从而得出AD＝BH+DH＝7a，可证得△PGH是等边三角形，从而AP＝OPOH，进而得出AC＝2OA＝4，从而得出． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF∥CE， ∴∠AGO＝∠CHO，∠OAG＝∠OCH， ∴△AOG≌△COH（AAS）， ∴OG＝OH； （2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵PG∥AB， ∴， 由（1）知：OG＝OH， ∴， ∵∠AOD＝∠POH， ∴△AOD∽△POH， ∴∠OAD＝∠OPH， ∴PH∥AD； ②解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD∥BC，BC＝AD，OA＝OC，OD＝OB， ∴△DEH∽△BCH，△AEP∽△CBP， ∴，， ∵DE＝2AE， ∴BC＝AD＝4AE， ∴，， ∴AP＝OP， 设DH＝BG＝3a，则BH＝4a， ∴AD＝BH+DH＝7a， ∴由（1）知：OG＝OH＝a， ∴PG＝PH， ∵∠GPH＝60°， ∴△PGH是等边三角形， ∴AP＝OPOH， ∴AC＝2OA＝4， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$