第5讲 简易方程（二）（2）-2024-2025学年五年级数学寒假自学课（沪教版）

第5讲 简易方程（二）（2） 课前导入 【思考】同学们，这题该怎么列方程，试着做一下？ 知识点精讲 知识点一 路程问题 内容 相遇问题 等量关系一般为：甲行的路程 + 乙行的路程 = 相遇的路程。 追及问题 等量关系一般为：甲行的第一段路程 + 甲行的第二段路程 = 乙一共行驶的路程。 【注意】 等量关系中的甲和已可以替换为任意交通工具、人或动物。比如火车和高铁等。 两地相距360千米，甲乙两辆货车从两地相对开出，经过3小时后相遇，已知甲货车每时行驶55千米，乙货车每时行驶千米，不正确的方程为（    ）。例1 A． B． C． D． 甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑270米，乙每分钟跑230米，经过( )分甲第一次追上乙。例2 从西宁站到拉萨站全长1956千米。两列火车相向同时出发，经过12小时相遇。已知快车平均每小时行驶90千米，慢车平均每小时行驶多少千米？设慢车平均每小时行x千米，则下列方程错误的是（    ）。练1 A．12×（90＋x）＝1956 B．90＋x＝1956÷12 C．12×90＋12x＝1956 D．12×90＋x＝1956 甲、乙两车同时从A城开往B城。3小时后，乙车超过甲车22.5千米，甲车平均每小时行75千米，乙车平均每小时行( )千米。练2 知识点精讲 知识点二 盈亏问题 内容 盈亏问题 两次取的个数和次数不同，但总数相同。 【注意】 根据总数不变，列出方程。 箱子里有同样数量的乒乓球和羽毛球。每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取了m次后，乒乓球没有了，羽毛球还剩16个，下列方程错误的是（    ）。例1 A．5m－3m＝16 B．5m－16＝3m C．5m＋3m＝16 D．3m＋16＝5m 箱子里有同样数量的苹果和梨。小东每次从这个箱子里取出5个苹果和2个梨，取了几次后，苹果没有了，梨还剩18个。箱子里原来有( )个梨。例2 有一盒同样数量的铅笔和钢笔，每次取出4支铅笔和2支钢笔，取了几次以后，铅笔没有了，钢笔还剩8支，那原来铅笔和钢笔各( )支。练1 有红、蓝积木一堆，红积木的块数是蓝积木的2倍，每次取出红积木4块，蓝积木3块，取若干次后，蓝积木取尽而红积木还有32块，这堆积木共有多少块？练2 一、选择题 1．客车和货车分别从相距480千米的甲、乙两地同时相对开出，客车每小时行驶65千米，货车每小时行驶x千米，4小时后相遇。下列方程中错误的是（    ）。 A．65×4＋4x＝480 B．4x＝（480－65）×4 C．65＋x＝480÷4 D．（65＋x）×4＝480 2．客车和货车同时分别从甲、乙两地出发，相向而行，客车每小时行驶85千米，货车每小时行驶75千米。x小时后两车相遇，甲、乙两地相距（    ）千米。 A．75x B．85x C．10x D．160x 3．聪聪从家到学校要走720米，他每分钟走b米，根据这两个条件能求出聪聪行走的（    ）。 A．路程 B．速度 C．时间 D．无法确定 二、填空题 4．有若干个梨和若干个人，若每人分6个梨，则多出12个；若每人分7个梨，则少11个，那么共有( )人。 5．两列火车从相距600km的两地同时相向开出。甲车每时行驶230km，乙车每时行驶170km。经过( )时两车相遇。 6．小巧和小亚在学校长300米环形跑道上，从同一地点同时同向出发，小巧每分钟跑40米，小亚每分钟跑50米，( )分钟后小亚追上小巧。 三、判断题 7．方程的两边同时乘或除以一个数，等式仍然成立。( ) 8．小胖看一本书210页的书，前5天平均每天看18页，剩下的页数平均每天看15页，还要几天可以看完？设：还要x天可以看完。列出方程：210－15x＝5×18。( ) 9．已知圆圆家和学校相距800米，她从家到学校走了10分钟，她每分钟走多少米？这道题求路程。( ) 四、解答题 10．苹果个数是梨子的2倍，梨子每人分3个，余2个；苹果每人分7个，少6个。那么人数、苹果数和梨数分别是多少？ 11．动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。问猴山有猴多少只？共买来多少个桃？ 12．果篮里装有相同个数的香蕉和橙子。每次取出2根香蕉和4个橙子，取了若干次后，橙子没有了，香蕉还剩下6根。一共取了几次？橙子原来有多少个？（列方程解决问题） 13．小胖早上步行从家出发去学校，速度为80米/分，小胖出发900米后，爸爸发现小胖语文书没带，以每分钟200米的速度去追。请问爸爸几分钟后能追上小胖？（列方程解决问题） 14．图书馆新到一批图书，要平均放在几个新书架上，如果每个书架放60本，那么还缺2个书架；如果每个书架放68本，那么正好放完，一共有几个新书架？这批图书共有多少本？ 15． 某次一万米长跑比赛，运动员跑到离起点5000米处后再沿原路返回到起点，即完成比赛。同时出发后，甲以平均每分钟325米的速度一路领先，乙平均每分钟跑300米。按此计算，比赛开始多久甲乙在途中相遇？（方程解） 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点一： B例1 【分析】由题意可知，本题的等量关系式：①客车所行的路程＋货车所行的路程＝两地之间的距离；②速度之和×相遇时间＝两地路程；③货车所行的路程＝两地之间的距离－客车所行的路程；由此分别列方程解答即可。 【详解】A．符合等量关系式①，此方程正确； B．等量关系错误，此方程不正确； C．符合等量关系式②，此方程正确； D．符合等量关系式③，此方程正确； 故答案为：B 【点睛】本题主要考查列方程解决实际问题的能力，关键是要分析题意、找准等量关系式。 10例2 【分析】根据题意可知，甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行，相当于两人在直线上相距400米，从同一地点出发，同向而行，根据速度差×追及时间＝路程差，设经过x分甲第一次追上乙，列方程为（270－230）x＝400，然后解出方程即可。 【详解】解：设经过x分甲第一次追上乙。 （270－230）x＝400 40x＝400 40x÷40＝400÷40 x＝10 经过10分甲第一次追上乙。 【点睛】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 D练1 【分析】根据题意，速度和×相遇时间＝路程和，路程和÷相遇时间＝速度和，快车行驶的路程＋慢车行驶的路程＝总路程，据此逐项分析。 【详解】A．12×（90＋x）＝1956的等量关系是：速度和×相遇时间＝路程和，符合题意，正确； B．90＋x＝1956÷12的等量关系是：速度和＝路程和÷相遇时间，符合题意，正确； C．12×90＋12x＝1956的等量关系是：快车行驶的路程＋慢车行驶的路程＝总路程，符合题意，正确； D．12×90＋x＝1956的等量关系是：快车行驶的路程＋慢车的速度＝总路程，不符合题意，方程错误。 故答案为：D 82.5练2 【分析】速度×时间＝路程，设乙车平均每小时行x千米，根据乙车速度×时间－甲车速度×时间＝22.5千米，列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设乙车平均每小时行x千米。 3x－75×3＝22.5 3x－225＝22.5 3x－225＋225＝22.5＋225 3x＝247.5 3x÷3＝247.5÷3 x＝82.5 乙车平均每小时行82.5千米。 知识点二： C例1 【分析】根据四个选项的不同方程，得出相应的等量关系，看是否符合题意，找出错误的方程。 【详解】A．5m－3m＝16，等量关系：取了m次的乒乓球的数量－取了m次的羽毛球的数量＝羽毛球还剩的数量，符合题意，方程正确； B．5m－16＝3m，等量关系：取了m次的乒乓球的数量－羽毛球还剩的数量＝取了m次的羽毛球的数量，符合题意，方程正确； C．5m＋3m＝16，等量关系：取了m次的乒乓球的数量＋取了m次的羽毛球的数量＝16，不符合题意，方程错误； D．3m＋16＝5m，等量关系：取了m次的羽毛球的数量＋羽毛球还剩的数量＝取了m次的乒乓球的数量，符合题意，方程正确。 故答案为：C 30例2 【分析】根据“箱子里有同样数量的苹果和梨”可得等量关系：每次取出苹果的个数×取的次数＝每次取出梨的个数×取的次数＋梨还剩下的个数；据此列出方程，并求解。 【详解】解：设取了次。 5＝2＋18 5－2＝2＋18－2 3＝18 3÷3＝18÷3 ＝6 梨： 2×6＋18 ＝12＋18 ＝30（个） 箱子里原来有30个梨。 【点睛】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。 16练1 【分析】假设取了n次，每次取出4支铅笔，最后铅笔没有了，说明铅笔的总支数为（4×n）支，铅笔和钢笔的数量相同，则钢笔也是4n支，每次取2支钢笔，则n次取了（2×n）支钢笔，用钢笔的数量减去取了的钢笔数量等于还剩下钢笔的数量，据此列出方程，求出取的次数，再乘4，即可求出原来铅笔和钢笔各多少支。 【详解】解：设取了n次， 4×n－2×n＝8 （4－2）n＝8 2n＝8 n＝8÷2 n＝4 4×4＝16（支） 即原来铅笔和钢笔各16支。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把取的次数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 144块练2 【分析】根据题意取的次数相同，得出数量间的相等关系：（红积木块数－32）÷4＝蓝积木块数÷3，设蓝积木有x块，红积木有2x块，列方程并解方程即可。 【详解】解：设蓝积木有x块，则红积木有2x块。 （2x－32）÷4＝x÷3 4x＝6x－96 2x＝96 x＝48 48×2＝96（块） 96＋48＝144（块） 答：这堆积木共有144块。 【点睛】解题的关键是弄清题意，找出应用题中的等量关系列出方程。 1．B 【分析】根据路程＝速度×时间，用客车行驶的速度×4，求出4小时客车行驶的路程；用货车的速度×4，求出4小时货车行驶的路程，客车行驶的路程＋货车行驶的路程＝甲、乙两地相距的距离；或用（客车行驶的速度＋货车行驶的速度）×行驶的时间＝甲、乙两地的距离；或客车行驶的速度＋货车行驶的速度＝甲、乙两地的路程÷时间；列方程：65×4＋4x＝480；或（65＋x）×4＝480；65＋x＝480÷4，据此解答。 【详解】根据分析可知，客车和货车分别从相距480千米的甲、乙两地同时相对开出，客车每小时行驶65千米，货车每小时行驶x千米，4小时后相遇。方程中错误的是4x＝（480－65）×4。 故答案为：B 2．D 【分析】根据路程＝速度×时间，分别求出客车x小时行驶的路程，货车x小时行驶的路程；再把客车行驶的路程＋货车行驶的路程，就是甲、乙两地相距的距离，据此解答。 【详解】85x＋75x＝160x（千米） x小时后两车相遇，甲、乙两地相距（160x）千米。 故答案为：D 3．C 【分析】根据路程＝速度×时间，已知路程是720米，速度是每分钟b米，用720÷b即可求出从家到学校需要走多久，据此选择即可。 【详解】根据这两个条件能求出聪聪行走的时间。 故答案为：C 4．23 【分析】人数不变，梨的数量如何分，梨的数量也不变。即可以设有x人，根据数量关系式：每个人分得梨的个数×人数＋多出的个数＝梨的数量＝每个人分得梨的个数×人数－少的个数。列出方程得出解。 【详解】解：设有x个人。 6x＋12＝7x－11 7x－6x＝12＋11 x＝23 则共有23个人。 5．1.5 【分析】根据题意可得等量关系：（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间＝两地的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设经过x时两车相遇。 （230＋170）x＝600 400x＝600 400x÷400＝600÷400 x＝1.5 经过1.5时两车相遇。 6．30 【分析】根据题意小巧和小亚在学校长300米环形跑道上，从同一地点同时同向出发，说明时间一样，小亚比小巧多跑一圈，就是扣圈了，路程差就是300米。再用路程差÷速度差即可解答。 【详解】300÷（50－40） ＝300÷10 ＝30（分） 故答案为：30分。 【点睛】解答此题答关键是弄清题意，从同一地点同时同向出发，时间相同，用路程差÷速度差即可解答。 7．× 【分析】等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式的值不变。据此解答。 【详解】原题干没有0除外，所以不对。原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查了等式的性质，要熟练掌握。 8．√ 【详解】解：设还要x天可以看完，根据关系式：这本书的页数－后x天看的页数＝前5天看的页数。 列方程为：210－15x＝5×18。 故答案为：√ 9．× 【分析】圆圆加和学校的距离800米是路程，走了10分钟是是时间，每分钟所走的米数是速度，据此解答。 【详解】已知的是路程和时间，要求的是速度。 故判断错误。 【点睛】熟练掌握速度、时间、路程之间的关系并灵活应用是解答本题的关键。 10．10个人；32个梨；64个苹果 【分析】设人数为未知数，根据梨子和苹果的分配情况表示出各自的总数，根据数量关系列方程求解。 【详解】解：设总共有x个人； 答：有10个人；有32个梨；有64个苹果。 【点睛】本题相当于是两次分配数量不一致的盈亏问题，对于此类问题，列方程求解比较简单。 11．24只；152个 【分析】设出猴子的总数，表示出桃子的数量，根据两次分配桃子的数量不变，列方程求解。 【详解】解：设猴山上有x只猴； 答：猴山上有24只猴；共买来152个桃。 【点睛】本题是盈亏问题中较为复杂的类型，第二次分配，大猴和小猴所分到的数量不一样，用算术方法求解不是很方便，可以考虑列方程求解。 12．3次；12个 【分析】设取出x次，根据“每次取出的个数×次数＝取出的总个数”分别求出取出橙子的个数和取出的个香蕉数，进而根据“取出香蕉的个数＋6＝取出橙子的个数”列出方程，求出取出的次数，用“每次取出橙子的个数×取出的次数”求出橙子有多少个即可。 【详解】解：设取出x次。 橙子个数：（个） 答：一共取了3次，橙子原来有12个。 13．7.5分钟 【分析】设爸爸x分钟后能追上小胖；爸爸每分钟200米，x分钟走200x米；小胖速度为80米/分，x分钟走80x米，再加上900米就是小胖走的路程，爸爸走的路程＝小胖走的路程，列方程：200x＝900＋80x，解方程，即可解答。 【详解】解：设爸爸x分钟后能追上小胖。 200x＝900＋80x 200x－80x＝900 120x＝900 x＝900÷120 x＝7.5 答：爸爸7.5分钟后能追上小胖。 14．15个；1020本 【分析】设一共有x个新书架，如果每个书架放60本，那么还缺2个书架，即每个书架放60本，需要（x＋2）个书架，根据每个书架放的本数×书架个数＝总本数，列出方程求出x的值是新书架个数，通过新书架个数再求出图书总本数即可。 【详解】解：设一共有x个新书架。 60×（x＋2）＝68x 60x＋120＝68x 60x＋120－60x ＝68x－60x 8x＝120 8x÷8＝120÷8 x＝15 68×15＝1020（本） 答：一共有15个新书架，这批图书共有1020本。 15．16分钟 【分析】因为甲要先跑了5000米再折返回来才能与乙相遇，两名运动员跑的总距离为2×5000米，根据时间×速度＝路程，据此列出方程解答即可。 【详解】解：设比赛开始x分钟后甲乙在途中相遇， 325x＋300x＝5000×2 625x＝10000 625x÷625＝10000÷625 x＝16 答：比赛开始16分钟后甲乙在途中相遇。 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$