专题15 多项式（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题15 多项式 各省预赛试题汇编 1．（2024·北京预赛）设多项式，其中． 记为的正整数根的个数（含重根）．若无负整数根，的最大值是 ． 2．（2024·福建预赛）设，其中，，若，则_____． 3．（2024·广西预赛）已知四次多项式的四个根中有两个根的乘积是-253，则实数 ． 4．（2022·浙江预赛）已知为5次多项式，若为的三重根，为的三重根，则的表达式为_____． 5．（2024·江西预赛）是否存在实数和2024次的实系数多项式与满足对任意实数，都有，请说明理由． 6．（2024·浙江预赛）设，均为整系数多项式，且．若对无穷多个素数，存在有理根，证明：必存在有理根． 7．（2023·浙江预赛）设为整系数多项式，令．已知为有限集，求． 8．（2022·浙江预赛）设满足，对任意成立． (1)若为整系数多项式，证明任意项的次数为奇数； (2)构造满足条件的非多项式映射． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题15 多项式 各省预赛试题汇编 1．（2024·北京预赛）设多项式，其中． 记为的正整数根的个数（含重根）．若无负整数根，的最大值是 ． 【答案】10 【详解】当时，，所以的整数根只能是， 注意到，满足条件， 此时的次数为，且展开式后任两项的指数不同，因此每项的系数为， 且1是的10重根，不为的根，即此时，理由如下： 记，其中， ， 容易归纳证明：是一个所有系数属于的多项式， 再证明即为最大值， 设，则，令，则， 由知，，同时，矛盾， 故的最大值为10． 2．（2024·福建预赛）设，其中，，若，则_____． 【答案】 【详解】由于， 则． 所以． 3．（2024·广西预赛）已知四次多项式的四个根中有两个根的乘积是-253，则实数 ． 【答案】 【详解】设四个根分别是，，，，不妨设．由韦达定理可得 由（4）有． 于是由（3）式得．（5） 由（1）（5）可得，．于是， ． 4．（2022·浙江预赛）已知为5次多项式，若为的三重根，为的三重根，则的表达式为_____． 【答案】 【详解】依题意，和均为的二重根，而是一个4次多项式， 于是． 代入，代入． 所以． 5．（2024·江西预赛）是否存在实数和2024次的实系数多项式与满足对任意实数，都有，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【详解】假设存在满足条件的实数和实系数多项式与，记，则，由代数基本定理知至多有个互异的实数根． 依题意，对任意实数 另一方面， 设，则在区间上单调递增，令，得于是． 经检验，． 记，即， 显然数列中的每一项满足，矛盾． 所以不存在满足条件的实数和实系数多项式与． 6．（2024·浙江预赛）设，均为整系数多项式，且．若对无穷多个素数，存在有理根，证明：必存在有理根． 【答案】证明见解析 【详解】记的有理根为，． 由，得到，所以有界． 若子列，则必有．下证可为有理数． 设，；，，， 由得到．记，为整数． （1）若有无穷多个素数满足，此时，所以存在无穷多个素数． （2）若有无穷多个素数满足，此时．因此存在整数， 所以存在无穷多个素数满足，为整数．从而． ①若，则； ②若有界，则． 所以为有理数．证毕． 7．（2023·浙江预赛）设为整系数多项式，令．已知为有限集，求． 【答案】，其中为非零整数 【详解】，其中为非零整数． 对的次数归纳证明，只需证明当的次数非零时，其常数项为零． 此时，则满足同样的条件． 设，且． 记，令，其中， 则对所有的素数． 由知当时， 若的常数项非零，则当充分大时， ，从而． 所以为常数，与的次数非零矛盾． 8．（2022·浙江预赛）设满足，对任意成立． (1)若为整系数多项式，证明任意项的次数为奇数； (2)构造满足条件的非多项式映射． 【答案】(1)证明见解析； (2)见解析． 【详解】(1)设．取素数， )， 则对均有， 从而． 由于上式对满足的素数都成立， 即有无穷多个质因数，于是． 所以任意项的次数为奇数． (2)构造满足条件，并且的映射即可． 引理：设为正整数，则同余方程组①有解当且仅当． 引理证明:对归纳，当时，方程组等价于有解，这又等价于，得证． 设时结论成立，下证时结论也成立．首先， 有解，考虑方程组② 此时． 由， 所以，由归纳假设②有解， 从而同余方程组①有解．下面用归纳法构造满足， 的映射． 设已构造好，考虑同余方程组 因为，由引理知存在大于的解，取为即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$