专题14 不等式（下）（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题14 不等式（下） 全国联赛真题汇编 1．（2023·全国联赛A卷）设．在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数．设第行的总和为，第列的总和为，．求的最大值（答案用含的式子表示）． 2．（2023·全国联赛B卷）是否存在2023个实数，使得 证明你的结论． 3．（2022·全国联赛A卷）设是非负整数，同时满足以下条件： (1)存在正整数，使得，而当时； (2)； (3)． 求的最小可能值． 4．（2022·全国联赛A1卷）设实数满足，且 记．求的最小值与最大值． 5．（2022·全国联赛A2卷）对于和为1的九个非负实数，令 这里，表示中的较小者，表示中的较大者． 记的最大可能值为．当时，求的所有可能值． 6．（2022·全国联赛B卷）给定正实数．设，求 的最大值． 7．（2022·全国联赛B1卷）对任意三个两两不同的非负实数，定义 并设能取到的最小值为． (1)证明：当均为正数时，； (2)求所有非负实数组，使得． 各省预赛试题汇编 8．（2024·贵州预赛）求函数的最大值． 9．（2024·四川预赛）设复数满足：．求的最小值． 10．（2024·北京预赛）设是三个正数，求证： 11．（2024·福建预赛）已知非负实数的和为1，求证： 12．（2024·江西预赛）实数满足，求的最小值． 13．（2024·新疆预赛）设，且满足．求的最大值． 14．（2023·北京预赛）已知实数，求证：，其中． 15．（2023·东莞预赛）已知正数满足，求 的最小值． 16．（2023·福建预赛）若不等式对所有正实数都成立，求的最大值． 17．（2023·广西预赛）设函数在区间上有定义．若对任意的实数和任意的恒成立，则称函数为区间上的一个凸函数．例如，是上的一个凸函数． 设． 利用上述相关知识证明： (1)(Young不等式)； (2)(Hölder不等式)． 18．（2023·江西预赛）设．求证：，并确定等号成立的条件． 19．（2023·山东预赛）已知为正实数．证明：． 20．（2023·四川预赛）给定正整数．已知个正实数，满足： 求的最小值，其中． 21．（2023·浙江预赛）设整数，对于的任一排列，记，，求的值，并计算取到最小值时排列的数目． 22．（2023·重庆预赛）设，且，证明：，并指出其中“”号成立的条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题14 不等式（下） 全国联赛真题汇编 1．（2023·全国联赛A卷）设．在的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数．设第行的总和为，第列的总和为，．求的最大值(答案用含的式子表示)． 【答案】 【详解】记，设方格表为． 第一步：改变某个的值仅改变和，设第行中除外其余个数的和为，第列中除外其余个数的和为，则 当时，关于递增，此时可将调整到值不减．当时，关于递减，此时可将调整到值不减．因此，为求的最大值，只需考虑每个小方格中的数均为1或的情况． 第二步：设，只有有限多种可能，我们选取一组使得达到最大值，并且最小．此时我们有 (*) 事实上，若，而，则将改为后，行和及列和变为，则 与达到最大矛盾，故． 若，而，则将改为1后，不减，且变小，与的选取矛盾．从而(*)成立． 通过交换列，可不妨设，这样由(*)可知每一行中排在1的左边，每一行中的数从左至右单调不增．由此可知．因而只能，故每一行中的数全都相等(全为1或全为)． 第三步：由第二步可知求的最大值，可以假定每一行中的数全相等．设有行全为，有行全为．此时 我们只需求中的最大值． 因此 记上式右边为，则． 下面证明． 首先证明． 由于，故 再证明，等价于证明． 由于 只需证明，而，故结论成立． 由上面的推导可知当且仅当时成立，从而最大．故 2．（2023·全国联赛B卷）是否存在2023个实数，使得 证明你的结论． 【答案】不存在 【详解】记． 假设存在，使得． 不妨设，则将去掉绝对值后，的系数为，从而 当时，由基本不等式知 当时，由于在上单调增，故 从而 注意到，故 这意味者不存在满足条件． 3．（2022·全国联赛A卷）设是非负整数，同时满足以下条件： (1)存在正整数，使得，而当时； (2)； (3)． 求的最小可能值． 【答案】40940 【详解】解法1：当，时，符合题设三个条件，此时 下面证明这是最小可能值． 首先注意．否则，若，则，这与条件(3)矛盾． 根据条件(2)、(3)，有 当时， 故 当时，由及条件(1)可知，故 综上，所求最小值为40940． 解法2：对于满足题目条件的非负整数，可对应地取100个正整数，其中恰有个个个100(条件(2)保证恰好是100个数)．条件(1)、(3)分别转化为以下条件(A)、(B)： (A)存在正整数中不含大于的数，且1的个数，2的个数，的个数依次(非严格地)递增； (B)，即的平均值为． 注意到，故题目转化为：100个数满足条件(A)和(B)，求的最小值． 当取19个19，40个20，41个21时，． 下面证明的值至少为40940． 由于 故转化为考虑的最小值． 由知存在，也存在．设中有个，个及个．由条件(A)可知． 我们放宽条件(A)至条件(A’)：．在条件(A’)、(B)下，证明最小值仍是在19个19，40个20，41个21时取到． 由于满足的的取法只有有限种，选取平方和最小的一组． 若，注意到及，有 若，则．此时有，因为若，则的平均值不小于20．5，与条件(B)不符． 亦有．否则，假如，则由及知，可取一个和一个，替换为和，平均值不变，但，平方和变小，至多减少至多增加2，条件仍满足，与使得平方和最小矛盾． 又假如存在一个，则由知可取一个，将替换为和，类似可知平均值不变，平方和减小，且减少1，条件仍满足，与使得平方和最小矛盾． 所以个都等于19．但此时 与条件(B)矛盾． 所以当且仅当取19个19，40个20，41个21时，取得最小值，相应地，取到最小值40940． 4．（2022·全国联赛A1卷）设实数满足，且 记．求的最小值与最大值． 【答案】的最小值为，最大值为 【详解】先求的最小值．根据条件，得 当，且，即时， ①中各处不等式均取等，且此时，所以的最小值为． 再求的最大值．仅需考虑的情况(否则，若，则有)． 令，则． 由于 ② 即有． 当且，即时， ②中各处不等式均取等，所以的最大值为． 5．（2022·全国联赛A2卷）对于和为1的九个非负实数，令 这里，表示中的较小者，表示中的较大者． 记的最大可能值为．当时，求的所有可能值． 【答案】的所有可能值为中的一切实数 【详解】注意到 且 由①、②相加，得 由于①式等号成立当且仅当，②式等号成立当且仅当且，故③式等号成立(即①、②两式等号均成立)当且仅当 其中． 这样的显然存在，故的最大可能值． 当时，根据④，可设，其中满足，即．而 所以的所有可能值为中的一切实数． 6．（2022·全国联赛B卷）给定正实数．设，求 的最大值． 【答案】 【详解】首先证明：当时，有 不妨设，则，于是 故①得证． 于是 故 当时，等号成立． 因此，所求的最大值为． 7．（2022·全国联赛B1卷）对任意三个两两不同的非负实数，定义 并设能取到的最小值为． (1)证明：当均为正数时，； (2)求所有非负实数组，使得． 【答案】(1)证明见解析 (2)，其中 【详解】(1)不妨设，则将同时减去，得三个两两不同的非负实数，此时 而，从而． (2)设．由(1)知中有一个为零，不妨设，则 其中为两个不相等的正数． 假如，则，故，矛盾．所以． 设，则利用基本不等式得 等号成立当且仅当，即(从而)． 由轮换性，满足条件的所有非负实数组为，其中． 各省预赛试题汇编 8．（2024·贵州预赛）求函数的最大值． 【答案】9 【详解】由于， 显然单调递减，且， 则在区间(2，5)上单调递增，在区间(5，9)上单调递减， 于是． 所以的最大值为9． 9．（2024·四川预赛）设复数满足：．求的最小值． 【答案】 【详解】一方面，当均为实数时，， 即，当且仅当时取等号， 则当或时，； 另一方面，下证：， 由于旋转同一个角度，已知和结论不变， 因此，不妨设为实数， 设，，，其中， 则条件变为：，且，① 待证式变为：，即， 因此，只需证明：，② （反证法）假设结论不成立，即，从而， 在空间直角坐标系中，设，，，， 则，，由，得， 记在面上的投影为，则， 因此 ， 这里为向量与的夹角， 类似得，， 于是， 这与，矛盾， 则假设不成立，即有成立， 所以的最小值为． 10．（2024·北京预赛）设是三个正数，求证： 【答案】证明见解析 【详解】由于原不等式是齐次不等式，故我们可以不妨设． 此时有， 且． 故我们需要证明的不等式即为． 设，则，． 对，有，所以由Jensen不等式得． 这就得到，即． 11．（2024·福建预赛）已知非负实数的和为1，求证： 【答案】证明见解析 【详解】 等号成立时； 设，则 等号成立时； 于是， 等号成立时； 从而 显然上述等号不能同时成立，所以原不等式成立． 12．（2024·江西预赛）实数满足，求的最小值． 【答案】6400 【详解】 ，若，由柯西不等式得 等号成立时； 若，同理可得， 等号成立时(如)； 若，不妨设，则 ， 等号成立时； 若一正二负或一负二正时，不妨设，且， 此时． 综上，的最小值为6400． 13．（2024·新疆预赛）设，且满足．求的最大值． 【答案】 【解析】令 ．则 当且仅当 即 时，上式取等号． 所以， ，因此 当且仅当 时，上式取等号． 所以原代数式的最大值是． 14．（2023·北京预赛）已知实数，求证：，其中． 【答案】证明见解析 【详解】引理：若实数，则． 注意到， 设． 不妨设， 于是为逆序和，为乱序和，由排序不等式有 单调递减，所以引理成立． 依引理有，则只需证． 设， 不妨设， 于是为顺序和，为乱序和，由排序不等式有 ，所以原不等式成立． 15．（2023·东莞预赛）已知正数满足，求 的最小值． 【答案】3 【详解】 则有，等号成立时． 于是， 等号成立时．所以的最小值为3． 16．（2023·福建预赛）若不等式对所有正实数都成立，求的最大值． 【答案】 【详解】注意到 等号成立时．所以的最大值为． 17．（2023·广西预赛）设函数在区间上有定义．若对任意的实数和任意的恒成立，则称函数为区间上的一个凸函数．例如，是上的一个凸函数． 设． 利用上述相关知识证明： (1)(Young不等式)； (2)(Hölder不等式)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【详解】(1)先证明函数是凸函数． 设， ，且， 则． 过点作轴的垂线分别与线段和的图象交于点， 设， 于是 显然点在点的下方，所以，等号成立时当且仅当．由函数是凸函数及条件得 (2)记， 于是由Young不等式得，． 令求和得 ，所以Hölder不等式成立． 18．（2023·江西预赛）设．求证：，并确定等号成立的条件． 【答案】证明见解析，等号成立时 【详解】注意到 ，等号成立时． 于是， 等号成立时． 19．（2023·山东预赛）已知为正实数．证明：． 【答案】证明见解析 【详解】解法一：先证明． 原不等式 ． 由柯西不等式得 解法二：由抽屉原理知，中必有两数同时不小于0，或者同时不大于0， 不妨设为． 则． 于是 20．（2023·四川预赛）给定正整数．已知个正实数，满足： 求的最小值，其中． 【答案】 【详解】 等号成立时，当时， ，取， 得； 当时，取，于是， 得，即此时． 综上，的最小值为． 21．（2023·浙江预赛）设整数，对于的任一排列，记，，求的值，并计算取到最小值时排列的数目． 【答案】，取到最小值时排列的数目为 【详解】由于 ．(*) (1)当为偶数时，可以取到等号． 此时当且仅当，，即，等号成立时只有一种排列； (2)当为奇数时，(*)不可以取到等号． 事实上，若对所有的均有，则(否则，于是，矛盾)， 类似地，有，而，矛盾． 因此至少有一个满足． 将分成组，其中一组为，其余组均为． 等号成立时对于组， 有或者，； 对于组，有． 即，等号成立时排列的数目为． 22．（2023·重庆预赛）设，且，证明：，并指出其中“”号成立的条件． 【答案】见解析 【详解】由于 则 ，显然成立． 等号成立时 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$