专题14 不等式（上）（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题14 不等式（上） 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛B卷）设为实数，若一元二次不等式的解集为(1, 5)，则一元二次不等式的解集为_____． 2．（2022·全国联赛B卷）不等式的解集为_____． 各省预赛试题汇编 3．（2024·广东预赛）已知是正整数，且，则的最小值是_____． 4．（2024·贵州预赛）设，则的最小值为_____． 5．（2024·四川预赛）已知，若，则的最大值为 ． 6．（2024·北京预赛）对于，若非零实数满足，且使最大，则的最小值为 ． 7．（2024·福建预赛）对于实数，记为中的最大者，例如：，．若非负实数满足，则的最小值为_____． 8．（2024·福建预赛）若是的一个排列，则的最大值为_____． 9．（2024·江西预赛）正实数满足，则的最大值为_____． 10．（2024·浙江预赛）设实数，且或，则的最小值为 ． 11．（2024·广西预赛）若正实数，满足，则的最大值为 ． 12．（2024·内蒙古预赛）设，，是实数，满足，，，的取值范围为 ． 13．（2024·上海预赛）若正实数满足，则的最小值是 ． 14．（2023·福建预赛）若正实数满足． 则的最大值为_____． 15．（2023·广西预赛）设为正整数，对任意充分小的正数，若是的一个充分必要条件，则和的关系是_____． 16．（2024·上海预赛）若3个整数满足，则这样的有序整数组共有 组． 17．（2023·吉林预赛）若不等式对满足的正实数均成立，则实数的最大值为_____． 18．（2023·内蒙古预赛）若，且，则的最大值为_____． 19．（2023·内蒙古预赛），则的最小值为_____． 20．（2023·山东预赛）已知，则的最小值是_____． 21．（2023·上海预赛）给定正实数，对任意正实数，记，则的最大值为_____．(注：表示实数中的较小者) 22．（2023·浙江预赛）已知为正整数，若存在正整数对(a, b)满足 则可能值的个数为_____． 23．（2023·浙江预赛）设个正数满足为 中的最大值，则的最小可能值为_____． 24．（2023·重庆预赛）若实数满足，则的最大值与最小值的和为_____． 25．（2022·重庆预赛）若不等式对任意正实数都成立，则实数的最小值为_____． 26．（2022·广西预赛）设为正整数，若对所有正整数成立，则_____． 27．（2022·四川预赛）已知实数满足，则的取值范围为_____． 29．（2022·江西预赛）若，满足，则函数的最大值是_____． 30．（2022·福建预赛）已知，且，则的最大值为_____． 31．（2022·苏州预赛）已知正实数满足，且，则的最大值为_____． 32．（2022·北京预赛）已知是3个大于等于1的实数，那么 的最小值写成最简分数后的分子分母之和为_____． 33．（2022·北京预赛）对实数，不超过 的最小值的最大整数为_____． 33．（2022·广西预赛）已知都是正数，且． 求证：． 34．（2022·新疆预赛）(1)若实数满足，证明：； (2)若2023个实数满足， 求的最大值． 35．（2022·四川预赛）对任意正实数及任意正实数，求证： 36．（2022·江西预赛）设为正实数，满足．证明：． 27．（2022·福建预赛）如果对于任意的整数，不等式恒成立，求最大常数． 37．（2022·贵州预赛）正数满足，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题14 不等式（上） 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛B卷）设为实数，若一元二次不等式的解集为(1, 5)，则一元二次不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】，因为的解集为(1，5)，所以方程的两 2．（2022·全国联赛B卷）不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】移项通分可得，等价于，易知解集为． 根为1，5，由韦达定理得．则，解得． 各省预赛试题汇编 3．（2024·广东预赛）已知是正整数，且，则的最小值是_____． 【答案】6102 【详解】 则，其中． 于是， 所以的最小值是． 4．（2024·贵州预赛）设，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为． 5．（2024·四川预赛）已知，若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，， 解得或， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为． 6．（2024·北京预赛）对于，若非零实数满足，且使最大，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 由柯西不等式得，， 当最大时，有，所以，， 所以， 当，即时，上式取得最小值． 7．（2024·福建预赛）对于实数，记为中的最大者，例如：，．若非负实数满足，则的最小值为_____． 【答案】36 【详解】设，则，等号成立时所以的最小值为36． 8．（2024·福建预赛）若是的一个排列，则的最大值为_____． 【答案】5000 【详解】记，则，其中，，且．则． 显然是两个的排列，当取最大值时， 此时． 等号成立时，可令，其中，满足题意． 所以的最大值为5000． 9．（2024·江西预赛）正实数满足，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】 则， 于是，等号成立时． 所以的最大值为． 10．（2024·浙江预赛）设实数，且或，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】令，则，，， 当时，，即， 当时，，即， 当，，时，， 所以的最小值为． 11．（2024·广西预赛）若正实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】10 【详解】设，． 则，， 所以，所以， 故． 从而的最大值为10． 12．（2024·内蒙古预赛）设，，是实数，满足，，，的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 所以，即，，又， 所以由韦达定理得和是关于的方程：的两个根， 所以，整理有：，解得， 又，所以，所以，， 令，，，， 令，解得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 当时，，，， 所以，， 所以的取值范围为． 13．（2024·上海预赛）若正实数满足，则的最小值是 ． 【答案】9 【详解】解析一：， 则，等号成立时． 所以的最小值是9． 解析二：， 则， 等号成立时所以的最小值是9． 14．（2023·福建预赛）若正实数满足． 则的最大值为_____． 【答案】 【详解】我们有 注意到， 同理可得， 所以， 等号成立时． 15．（2023·广西预赛）设为正整数，对任意充分小的正数，若是的一个充分必要条件，则和的关系是_____． 【答案】 【详解】，所以． 16．（2024·上海预赛）若3个整数满足，则这样的有序整数组共有 组． 【答案】14 【详解】由 （1）或2时，，此时共有6组; （2）或2时，，此时共有4组; （3）或2时，，此时共有4组． 综上，满足题意的有序整数组共有14组． 17．（2023·吉林预赛）若不等式对满足的正实数均成立，则实数的最大值为_____． 【答案】 【详解】 ， 等号成立时 所以实数的最大值为． 18．（2023·内蒙古预赛）若，且，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】，等号成立时． 所以的最大值为． 19．（2023·内蒙古预赛），则的最小值为_____． 【答案】 【详解】． 设， 则，取时等号成立． 所以的最小值为． 20．（2023·山东预赛）已知，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】由于， 同理可得．三式相加得 等号成立时．所以的最小值为． 21．（2023·上海预赛）给定正实数，对任意正实数，记，则的最大值为_____．(注：表示实数中的较小者) 【答案】 【详解】固定，则的最大值为，等号成立时． 所以当时，的最大值为． 22．（2023·浙江预赛）已知为正整数，若存在正整数对(a, b)满足 则可能值的个数为_____． 【答案】4 【详解】注意到 由于，于是． 所以共4个值． 23．（2023·浙江预赛）设个正数满足为 中的最大值，则的最小可能值为_____． 【答案】 【详解】设， ，则． 于是． 因此， 等号成立时． 所以的最小可能值为． 24．（2023·重庆预赛）若实数满足，则的最大值与最小值的和为_____． 【答案】3 【详解】设，则 ． 若，此时或； 若，由， 则． 于是的最大值与最小值分别为，其和为3． 25．（2022·重庆预赛）若不等式对任意正实数都成立，则实数的最小值为_____． 【答案】 【详解】由柯西不等式得， 等号成立时．所以实数的最小值为． 26．（2022·广西预赛）设为正整数，若对所有正整数成立，则_____． 【答案】3 【详解】时有，不合题意；下面证明：时，． 时结论成立；假设时结论成立，即． 则时，， 则时结论也成立． 从而由归纳法原理，时，； 时，，不合题意；下面证明：且时，． ． 综上，满足题意的． 27．（2022·四川预赛）已知实数满足，则的取值范围为_____． 【答案】 【详解】作出曲线如图所示，其渐近线为， 于是曲线夹在两直线和之间． 而表示曲线上的点(x，y)到直线距离的2倍， 所以的取值范围为． 28．（2022·江西预赛）若，满足，则函数的最大值是_____． 【答案】 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以函数的最大值是． 29．（2022·福建预赛）已知，且，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】，记 ，于是， 等号成立时．所以的最大值为． 30．（2022·苏州预赛）已知正实数满足，且，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】， 又， 等号成立时，于是．所以的最大值为． 31．（2022·北京预赛）已知是3个大于等于1的实数，那么 的最小值写成最简分数后的分子分母之和为_____． 【答案】11 【详解】 同理可得， 三式相加得， 所以原式最小值的最简分数的分子分母之和为11． 32．（2022·北京预赛）对实数，不超过 的最小值的最大整数为_____． 【答案】92378 【详解】考虑一般情况．我们把集合划分为：， 其中． 显然的元素个数为，记，则 由于 ，而，于是 记，所以 当或时，取可使上式取等号(此时)： 综上，的最小值为，本题结果为． 33．（2022·广西预赛）已知都是正数，且． 求证：． 【答案】证明见解析 【详解】依题意，是的三边长，由于 ． 于是原不等式等价于． 而 等号成立时是正三角形，即．所以原不等式成立． 34．（2022·新疆预赛）(1)若实数满足，证明：； (2)若2023个实数满足， 求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】(1)由对称性，不妨设，则，再由柯西不等式得， 等号成立时．所以． (2)由知可以取，也可以取．而中必有两数非异号，不妨设为． 则 ． 由柯西不等式得 ， 等号成立时 可取． 所以的最大值为． 35．（2022·四川预赛）对任意正实数及任意正实数，求证： 【答案】证明见解析 【详解】设，则 于是． 考虑函数，其中． 则， 则函数单调不减，即． 所以，等号成立时． 36．（2022·江西预赛）设为正实数，满足．证明：． 【答案】证明见解析 【详解】，同理可得 所以． 27．（2022·福建预赛）如果对于任意的整数，不等式恒成立，求最大常数． 【答案】3 【详解】取得． 下证：对一切整数均成立． 由于， 注意到二次函数的对称轴为， 而，，即除了外，对其余整数均成立． 当时，注意到是整数，则 从而证明了对任意整数均成立． 综上，最大常数． 37．（2022·贵州预赛）正数满足，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明： 设， 单调递增，且， 于是单调递减，从而． 综上，不等式成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$