专题13 等式与方程（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题13 等式与方程 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）若实数满足，则的值为_____． 【答案】4049 【详解】． 2．（2023·全国联赛A卷）若正实数满足，，则的值为_____． 【答案】20 【详解】因为，所以 3．（2023·全国联赛A卷）设为正数，．若为一元二次方程的两个根，且是一个三角形的三边长，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】由条件知，比较系数得，故，从而 由于，故．此时显然．因此，是一个三角形的三边长当且仅当，即，即，结合，解得． 令，则．显然当时连续且严格递增，故的取值范围是，即． 4．（2023·全国联赛B卷）若实数满足，则的值为_____． 【答案】 【详解】由于，故，两边约去得． 所以． 5．（2022·全国联赛A2卷）若正数满足，则的值为_____． 【答案】 【详解】令，则由条件知 解得．从而． 6．（2022·全国联赛B1卷）解方程：． 【答案】或 【详解】显然．原方程等价于． 当时，方程化为，即，舍去． 当时，方程化为，即，得． 当时，方程化为，即，得． 综上，原方程的解为或． 7．（2023·全国联赛A卷）求出所有满足下面要求的不小于1的实数：对任意，总存在，使得． 【答案】 【详解】记． 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求． 假如，则当时，对任意，均有 若同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求． 以下考虑的情形．为便于讨论，先指出如下引理。 引理：若，且，则． 事实上，当时，． 当时，．引理得证． 下证对任意，可取，使得 ① 若，则取，此时 其中，且，故由引理知． 若，则取，此时 其中，且，故由引理知． 注意到，当时，可取，使得(例如，当时取，当，同理，可取，使得．此时 ② 根据①、②，存在一个介于之间的实数，及一个介于之间的实数，使得，满足要求． 综上，实数满足要求当且仅当． 8．（2023·全国联赛B卷）求出所有满足下面要求的不小于的实数：对任意，总存在，使得． 【答案】实数满足要求当且仅当 【详解】当时，对任意，取，则，且，满足要求． 当时，取，则对任意，有 不满足要求． 当时，取，则对任意，有，不满足要求．15分 当时，对任意，取，则，且，满足要求． 综上，实数满足要求当且仅当． 各省预赛试题汇编 9．（2023·吉林预赛）下列关于方程的根的论断中，正确的是 A．方程没有负实数根 B．方程没有有理根 C．方程有两个实数根 D．方程只有一个实数根 【答案】D 【详解】 显然是原方程的一个根； 若，则，矛盾． 于是原方程只有一个实数根，故选． 10．（2022·贵州预赛）双曲线上格点(横纵坐标均为整数的点)的个数为 A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】A 【详解】， 注意到与奇偶性相同，此方程无整数解．所以选． 11．（2022·吉林预赛）关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，所以选． 12．（2022·吉林预赛）满足且的正整数组共有_____组． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】显然，当时， ，矛盾．于是． 当时，无解； 当时， 有3组解； 当时， 有2组解．所以选． 13．（2024·广东预赛）已知，则_____． 【答案】11 【详解】，且函数单调递增， 令，则，于是． 所以． 14．（2024·广西预赛）方程的正整数解为 ． 【答案】 【详解】． 令，．则由可知在上单调递减， 从而在上单调递减， 由可得，． 因此，所求的正整数解为． 15．（2023·北京预赛）设实数满足则_____． 【答案】 【详解】 ． 16．（2023·东莞预赛）若整数满足，则这样的整数对(x, y)有_____对． 【答案】29 【详解】 当时，，不合题意． 所以满足题意的整数对(x, y)有对． 17．（2023·福建预赛）若正整数满足，则_____． 【答案】16或10 【详解】 当时，． 显然，且模3余2，则 当时，则 综上，或． 18．（2023·贵州预赛）设，且满足，则所有正整数对(a, b)的个数为_____． 【答案】7 【详解】 显然时，符合题意． 所以满足题意的正整数对(a, b)有7对． 19．（2023·江西预赛）已知关于的方程有四个不同的实根，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】如图，设的切线为， ， 则切线 于是， 结合图形知的取值范围是． 20．（2023·内蒙古预赛），且满足，则_____． 【答案】 【详解】由于函数为奇函数，且在上单调递增，则依题意， 21．（2023·内蒙古预赛）设满足为任意实数，则_____． 【答案】0 【详解】由于，则至少有一个为0．不妨设， 所以． 22．（2023·山东预赛）已知关于的方程的三个非零实数根成等比数列，则的值是_____． 【答案】0 【详解】设方程的三个实数根分别为，由韦达定理得： 所以． 23．（2023·浙江预赛）已知关于的方程存在四个不同的实根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】依题意， ． 如图所示，在同一坐标系内作函数的图象，粗线(红、蓝实线)部分为函数的图象，其与直线最多只有三个交点．所以实数的取值范围为． 24．（2023·浙江预赛）已知，且， 则_____． 【答案】0 【详解】不妨设，则 注意到， 于是 所以． 25．（2022·重庆预赛）已知为正实数，且满足，则_____． 【答案】或 【详解】 ， 两式相加，得或 26．（2022·广西预赛）已知．设， 则的整数部分为_____． 【答案】14996 【详解】在所给不等式中令得， 于是 由于， 而 ，显然成立，所以的整数部分是14996． 27．（2022·广西预赛）若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”．“完美长方体”的体积的最大值为_____． 【答案】120 【详解】设“完美长方体”的长、宽、高为，不妨设， 于是． 若，则； 若，则； 若，则． 综上，“完美长方体”的体积的最大值为120． 28．（2022·新疆预赛）设，且，若，则的值为_____． 【答案】20 【详解】注意到，且， 于是 ， 从而，经检验，只有满足题意． 由，所以． 29．（2022·新疆预赛）设都是正整数，且，则的个位数字是_____． 【答案】2 【详解】设，则 于是， ． 从而的个位数字为2，8，0，2，8，0，2，8，所以的个位数字是2． 30．（2022·四川预赛）已知正实数满足，则的值为_____． 【答案】 【详解】 ，所以． 31．（2022·甘肃预赛）若，则_____． 【答案】0 【详解】设， 所以． 32．（2022·北京预赛）若方程仅有一个实根，则满足条件的的最大值等于_____． 【答案】4 【详解】时，，于是仅当时，原方程有一个实根．所以满足条件的的最大值等于4． 33．（2022·北京预赛）满足的所有正实数的整数部分之和是_____． 【答案】5 【详解】设 原方程以为主元，则 于是； 从而，即所有正实数的整数部分之和是5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题13 等式与方程 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）若实数满足，则的值为_____． 2．（2023·全国联赛A卷）若正实数满足，，则的值为_____． 3．（2023·全国联赛A卷）设为正数，．若为一元二次方程的两个根，且是一个三角形的三边长，则的取值范围是_____． 4．（2023·全国联赛B卷）若实数满足，则的值为_____． 5．（2022·全国联赛A2卷）若正数满足，则的值为_____． 6．（2022·全国联赛B1卷）解方程：． 7．（2023·全国联赛A卷）求出所有满足下面要求的不小于1的实数：对任意，总存在，使得． 8．（2023·全国联赛B卷）求出所有满足下面要求的不小于的实数：对任意，总存在，使得． 各省预赛试题汇编 9．（2023·吉林预赛）下列关于方程的根的论断中，正确的是 A．方程没有负实数根 B．方程没有有理根 C．方程有两个实数根 D．方程只有一个实数根 10．（2022·贵州预赛）双曲线上格点(横纵坐标均为整数的点)的个数为 A．0 B．4 C．8 D．12 11．（2022·吉林预赛）关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 12．（2022·吉林预赛）满足且的正整数组共有_____组． A．4 B．5 C．6 D．7 13．（2024·广东预赛）已知，则_____． 14．（2024·广西预赛）方程的正整数解为 ． 15．（2023·北京预赛）设实数满足则_____． 16．（2023·东莞预赛）若整数满足，则这样的整数对(x, y)有_____对． 17．（2023·福建预赛）若正整数满足，则_____． 18．（2023·贵州预赛）设，且满足，则所有正整数对(a, b)的个数为_____． 19．（2023·江西预赛）已知关于的方程有四个不同的实根，则的取值范围是_____． 20．（2023·内蒙古预赛），且满足，则_____． 21．（2023·内蒙古预赛）设满足为任意实数，则_____． 22．（2023·山东预赛）已知关于的方程的三个非零实数根成等比数列，则的值是_____． 23．（2023·浙江预赛）已知关于的方程存在四个不同的实根，则实数的取值范围为_____． 24．（2023·浙江预赛）已知，且， 则_____． 25．（2022·重庆预赛）已知为正实数，且满足，则_____． 26．（2022·广西预赛）已知．设， 则的整数部分为_____． 27．（2022·广西预赛）若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”．“完美长方体”的体积的最大值为_____． 28．（2022·新疆预赛）设，且，若，则的值为_____． 29．（2022·新疆预赛）设都是正整数，且，则的个位数字是_____． 30．（2022·四川预赛）已知正实数满足，则的值为_____． 31．（2022·甘肃预赛）若，则_____． 32．（2022·北京预赛）若方程仅有一个实根，则满足条件的的最大值等于_____． 33．（2022·北京预赛）满足的所有正实数的整数部分之和是_____． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$