专题10 解析几何（中）（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题10 解析几何（中） 全国联赛真题汇编 1．（2023·全国联赛A卷）平面直角坐标系中，已知圆与轴、轴均相切，圆心在椭圆内，且与有唯一的公共点．则的焦距为_____． 2．（2023·全国联赛B卷）若双曲线的离心率为3，则双曲线的离心率为_____． 3．（2023·全国联赛A卷）平面直角坐标系中，抛物线为的焦点，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上(含端点)，记为线段的另一个三等分点．求点的轨迹方程． 4．（2023·全国联赛B卷）平面直角坐标系中，圆与轴、轴均相切，与椭圆有唯一的公共点，且的圆心位于内．试比较的直径与的焦距的大小． 各省预赛试题汇编 5．（2023·东莞预赛）已知双曲线为双曲线的一条渐近线，为双曲线的左、右焦点．若关于直线的对称点在圆上(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为_____． 6．（2023·福建预赛）已知双曲线的离心率为为右焦点，点在右支上，设为关于原点的对称点，且．若，则_____． 7．（2023·江西预赛）已知点，若直线，且直线与内(包括边界)点的最短距离等于直线与内(包括边界)点的最短距离，则直线的方程为_____． 8．（2023·江西预赛）设为双曲线与实轴的交点，为双曲线外一点，分别交双曲线于另一个点，过的切线相交于．若是一个正三角形，且面积为，则双曲线的方程为_____． 9．（2023·内蒙古预赛）设为函数的图象上在轴两侧的点，则在两点的切线与轴围成的区域面积的最小值为_____． 10．（2023·山东预赛）已知双曲线上第一象限内一点，直线与双曲线切于点，交的渐近线于两点(在第一象限)．若点与在同一条渐近线上，则的最小值为_____． 11．（2023·上海预赛）在平面直角坐标系中，曲线有两条互相平行的切线，若这两条切线的斜率均为1，且两条切线之间的距离为8，则实数的值为_____． 12．（2023·上海预赛）已知曲线的方程是，若过点的直线与曲线恰有三个不同的交点，则直线的倾斜角的取值范围是_____． 13．（2023·四川预赛）如图，将函数的图象画在矩形内，将与重合围成一个圆柱，则曲线在圆柱表面形成的曲线的离心率为_____． 14．（2023·苏州预赛）已知直线，则与所成角相等的直线的斜率为_____． 15．（2023·苏州预赛）已知椭圆，椭圆的公切线与轴交于点，则点的坐标为_____． 16．（2023·重庆预赛）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，若的内切圆圆心为(3, 1)，则外接圆的半径为_____． 17．（2023·东莞预赛）已知正内接于抛物线，点满足．是否存在定点，使得点到点的距离与点到轴的距离相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023·福建预赛）已知分别为椭圆的下顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于两点(异于点)． (1)若，求直线的方程； (2)设为直线的交点，求的值． 19．（2023·吉林预赛）已知椭圆经过点，且其焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆的下半部分相交于两个不同的点，连接分别交直线于两点．求证：为定值． 20．（2023·内蒙古预赛）设为椭圆上不同的两个点，直线分别与轴、轴交于．若是直线上任意一点，且直线的斜率存在且都不等于0．试问：直线斜率的倒数能否排成等差数列?若能，请给出证明；若不能，请说明理由． 21．（2023·上海预赛）已知抛物线与双曲线相交于点，抛物线与双曲线的公切线分别与抛物线、双曲线相切于点．求证：对于任意正实数的面积为与无关的常数，并求该常数． 22．（2023·四川预赛）已知抛物线的顶点是原点，焦点是．过直线上任意一点作抛物线的两条切线，切点分别为，求证：(1)直线过定点；(2)． 23．（2023·苏州预赛）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点． (1)若，求直线的方程； (2)求外心的轨迹方程． 24．（2023·新疆预赛）已知椭圆的离心率为，上下焦点为，右顶点为．过作垂直于的直线交椭圆于两点，且． (1)求的值． (2)过做椭圆的两条切线交于点，若交轴于交轴于，求的值． 25．（2023·浙江预赛）已知椭圆的上顶点与左顶点的距离为，离心率为为轴上一点． (1)求椭圆方程； (2)连接交椭圆于点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，求的取值范围． 26．（2023·重庆预赛）已知椭圆的离心率为，以其左顶点为圆心，为半径作圆，圆交椭圆于两点，且线段中点的横坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)圆交直线于两点，点在线段上，过点作椭圆的两条不同切线，求面积的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题10 解析几何（中） 全国联赛真题汇编 1．（2023·全国联赛A卷）平面直角坐标系中，已知圆与轴、轴均相切，圆心在椭圆内，且与有唯一的公共点．则的焦距为_____． 【答案】10 【详解】根据条件，可设圆心为，则有，解得或．因为在内，故． 椭圆在点处的切线为，其法向量可取为．由条件，也是圆的切线，故与平行，而，所以．又，解得．从而的焦距为． 2．（2023·全国联赛B卷）若双曲线的离心率为3，则双曲线的离心率为_____． 【答案】 【详解】设，则的离心率的离心率． 因此．由知，得． 3．（2023·全国联赛A卷）平面直角坐标系中，抛物线为的焦点，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上(含端点)，记为线段的另一个三等分点．求点的轨迹方程． 【答案】 【详解】设．不妨设，则． 易知．由于点位于线段上，故． 可设，则．此时有，且由不重合知，所以． 设，则，有． 注意到，故点的轨迹方程为． 4．（2023·全国联赛B卷）平面直角坐标系中，圆与轴、轴均相切，与椭圆有唯一的公共点，且的圆心位于内．试比较的直径与的焦距的大小． 【详解】的直径与的焦距相等 【详解】根据条件，可设圆心为，则由知，解得或．因为在内，故． 椭圆在点处的切线为，其法向量可取为． 由条件，也是圆的切线，故与平行，而，所以． 又，解得． 从而的焦距为．又的直径为，故的直径与的焦距相等． 各省预赛试题汇编 5．（2023·东莞预赛）已知双曲线为双曲线的一条渐近线，为双曲线的左、右焦点．若关于直线的对称点在圆上(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为_____． 【答案】2 【详解】如图，，则为直角三角形，且为正三角形，于是双曲线该渐近线的倾斜角为． 所以． 6．（2023·福建预赛）已知双曲线的离心率为为右焦点，点在右支上，设为关于原点的对称点，且．若，则_____． 【答案】 【详解】如图，设双曲线的左焦点， 则是矩形 于是． 利用双曲线的定义，有 从而， 同理可得． 所以． 7．（2023·江西预赛）已知点，若直线，且直线与内(包括边界)点的最短距离等于直线与内(包括边界)点的最短距离，则直线的方程为_____． 【答案】 【详解】如图，，于是． 则，所以． 8．（2023·江西预赛）设为双曲线与实轴的交点，为双曲线外一点，分别交双曲线于另一个点，过的切线相交于．若是一个正三角形，且面积为，则双曲线的方程为_____． 【答案】 【详解】 又，双曲线在点处的切线方程为 点代入双曲线方程得， 则有 于是，所以双曲线的方程为． 9．（2023·内蒙古预赛）设为函数的图象上在轴两侧的点，则在两点的切线与轴围成的区域面积的最小值为_____． 【答案】8 【详解】如图，设，其中， 则切线： 同理可得． 于是， 联立可得，因此 令， 则在(0，1)上上单调递减，在上单调递增， 于是． 所以区域面积的最小值为8． 10．（2023·山东预赛）已知双曲线上第一象限内一点，直线与双曲线切于点，交的渐近线于两点(在第一象限)．若点与在同一条渐近线上，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】如图，设，， 联立． 则点为线段的中点，于是由极化恒等式得 注意到，且在第一象限，因此，等号成立时． 综上，的最小值为． 11．（2023·上海预赛）在平面直角坐标系中，曲线有两条互相平行的切线，若这两条切线的斜率均为1，且两条切线之间的距离为8，则实数的值为_____． 【答案】5 【详解】，则过的切线方程为 同理可得另一条切线方程为．依题意， ． 12．（2023·上海预赛）已知曲线的方程是，若过点的直线与曲线恰有三个不同的交点，则直线的倾斜角的取值范围是_____． 【答案】 【详解】如图，曲线在点处的切线为． 考虑直线与相切时， 设， 则，代入点(1，0)得 于是． 结合图形知，直线的斜率的取值范围是， 所以直线的倾斜角的取值范围是． 13．（2023·四川预赛）如图，将函数的图象画在矩形内，将与重合围成一个圆柱，则曲线在圆柱表面形成的曲线的离心率为_____． 【答案】 【详解】设的中点为，圆柱的底面圆心为，则为圆的直径． 注意到圆柱的轴截面为正方形，点为曲线上一点，作，交于点，分别过作的平行线，交圆和于点，连接．易知平面平面平面是矩形． 设，于是点的轨迹是一个椭圆，且． 14．（2023·苏州预赛）已知直线，则与所成角相等的直线的斜率为_____． 【答案】 【详解】设直线的斜率为，则 ． 15．（2023·苏州预赛）已知椭圆，椭圆的公切线与轴交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【详解】如图，作变换则椭圆变换为圆， 圆． 设此时公切线方程为， 于是 或(舍去)， 从而． 则公切线方程为． 所以椭圆的公切线方程为． 16．（2023·重庆预赛）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，若的内切圆圆心为(3, 1)，则外接圆的半径为_____． 【答案】 【详解】如图，，则． 于是． 17．（2023·东莞预赛）已知正内接于抛物线，点满足．是否存在定点，使得点到点的距离与点到轴的距离相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，点 【详解】如图，设，，则， 同理可得． 由到角公式得 同理可得； 则 又，设为的重心， 于是 ． 即点的轨迹为抛物线，，则其焦点为，准线为轴． 所以存在点满足题意． 18．（2023·福建预赛）已知分别为椭圆的下顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于两点(异于点)． (1)若，求直线的方程； (2)设为直线的交点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】(1)如图，设，， 联立 则 同理可得．于是 所以直线的方程为． (2)，同理可得， 联立， 于是 ，从而． 所以． 19．（2023·吉林预赛）已知椭圆经过点，且其焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆的下半部分相交于两个不同的点，连接分别交直线于两点．求证：为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【答案】证明见解析 【详解】(1)，则椭圆的方程为． (2)设， 联立 设， 则， 令得， 同理可得． 于是 所以为定值． 20．（2023·内蒙古预赛）设为椭圆上不同的两个点，直线分别与轴、轴交于．若是直线上任意一点，且直线的斜率存在且都不等于0．试问：直线斜率的倒数能否排成等差数列?若能，请给出证明；若不能，请说明理由． 【答案】能，证明见解析 【详解】设， 联立 设， 同理可得． 于是 所以直线斜率的倒数能排成等差数列． 21．（2023·上海预赛）已知抛物线与双曲线相交于点，抛物线与双曲线的公切线分别与抛物线、双曲线相切于点．求证：对于任意正实数的面积为与无关的常数，并求该常数． 【答案】面积为常数，证明见解析 【详解】如图，联立． 设，则切线： 于是 设，则， 由于，从而． 注意到， 所以为常数． 22．（2023·四川预赛）已知抛物线的顶点是原点，焦点是．过直线上任意一点作抛物线的两条切线，切点分别为，求证： (1)直线过定点； (2)． 【答案】证明见解析 【详解】(1)易知抛物线的方程为． 设， 则， 代入点，有：， 同理可得：． 于是，所以直线过定点(0，2)． (2)联立． 由(1)知， 则， 注意到 ． 于是． 所以． 23．（2023·苏州预赛）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点． (1)若，求直线的方程； (2)求外心的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【详解】(1)如图，设， 联立 不妨设， 则，令，同理可得． 于是 所以直线的方程为． (2)由于 则为等腰三角形，其外心在直线上．且重合于椭圆的左顶点时，外心纵坐标趋于1；当重合于椭圆的上顶点时，外心纵坐标趋于负无穷．所以外心的轨迹方程为． 24．（2023·新疆预赛）已知椭圆的离心率为，上下焦点为，右顶点为．过作垂直于的直线交椭圆于两点，且． (1)求的值． (2)过做椭圆的两条切线交于点，若交轴于交轴于，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】(1)，连接，则为正三角形 于是， 联立 则有 ． 所以 (2)设，由(1)知椭圆的方程为， 则． 而， 于是． 又，因此 ， ， 所以． 25．（2023·浙江预赛）已知椭圆的上顶点与左顶点的距离为，离心率为为轴上一点． (1)求椭圆方程； (2)连接交椭圆于点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】(1)依题意，所以椭圆的方程为． (2)如图，设， 联立 则， 又，于是． 从而， 因此． 考虑， 则在上单调递减，在上单调递增， 于是． 综上，的取值范围为． 26．（2023·重庆预赛）已知椭圆的离心率为，以其左顶点为圆心，为半径作圆，圆交椭圆于两点，且线段中点的横坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)圆交直线于两点，点在线段上，过点作椭圆的两条不同切线，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】(1)如图，． 设， 则 ． 所以椭圆的方程为． (2)设，椭圆在点处的切线方程为，同理可得椭圆在点处的切线方程为．代入点得直线的方程为，则过定点，且． 易知，联立， 于是． 从而 关于单调递增，所以面积的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$