专题10 解析几何（下）（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题10 解析几何（下） 全国联赛真题汇编 1．（2022·全国联赛A卷）在平面直角坐标系中，椭圆为上的动点，为两个定点，其中的坐标为．若的面积的最小值为1、最大值为5，则线段的长为_____． 2．（2022·全国联赛A1卷）在平面直角坐标系中，圆(其中为实数)的一条直径为，其中，则的值为_____． 3．（2022·全国联赛A2卷）在平面直角坐标系中，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交于两点．若，则的值为_____． 4．（2022·全国联赛B卷）在平面直角坐标系中，以抛物线的焦点为圆心作一个圆，与的准线相切，则圆的面积为_____． 5．（2022·全国联赛B1卷）在平面直角坐标系中，圆的方程为，则圆的面积为_____． 6．（2022·全国联赛A卷）在平面直角坐标系中，双曲线．对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意直线，，均有，则称为“好点”．求所有好点所构成的区域的面积． 7．（2022·全国联赛A1卷）在平面直角坐标系中，设一条动直线与抛物线相切，且与双曲线交于左、右两支各一点．求的面积的最小值． 8．（2022·全国联赛A2卷）已知及其边上的一点满足：，，且以、为焦点可以作一个椭圆同时经过、两点，求的离心率． 9．（2022·全国联赛B卷）在平面直角坐标系中，是双曲线的两个焦点，上一点满足．求点到的两条渐近线的距离之和． 10．（2022·全国联赛B1卷）在平面直角坐标系中，轴正半轴上的两个动点满足，抛物线上一点满足，过点作的切线，记点到直线的距离为．求的最小值，并求出当取到最小值时数量积的值． 各省预赛试题汇编 11．（2022·贵州预赛）如图，是离心率都为的椭圆，点分别是的右顶点和上顶点，过两点分别作的切线．若直线的斜率分别为，则的值为 A． B． C． D． 12．（2022·贵州预赛）（多选）如图，分别是Rt两直角边上的动点，是线段的中点，则以下结论正确的是 A．当的面积为定值时，点的轨迹为双曲线的一支 B．当为定值时，点的轨迹为一圆弧 C．当为定值时，点的轨迹为不含端点的线段 D．当的周长为定值时，点的轨迹为抛物线 13．（2022·重庆预赛）已知圆和在第一象限内的公共点为，过点的直线分别交圆于两点，且，则直线的斜率为_____． 14．（2022·广西预赛）设，直线与双曲线相交于两点．若，则_____． 15．（2022·新疆预赛）已知椭圆的左、右焦点为，点在直线上，当取最大值时，的值为_____． 16．（2022·浙江预赛）已知的顶点坐标，它的内切圆圆心为．设圆经过两点，且与圆交于两点，若过点所作两圆的切线垂直，则圆的半径为_____． 17．（2022·江西预赛）若一直线被另外两条直线与所截得的线段中点恰好是坐标原点，则直线的方程为_____． 18．（2022·江西预赛）若椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好组成一个正三角形的三顶点，且椭圆的焦点到椭圆的最短距离为，则的方程是_____． 19．（2022·福建预赛）已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线交于两点(点在第一象限)，且，若的面积为，则的内切圆半径为_____． 20．（2022·甘肃预赛）圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线，切点分别为，则直线必过定点，那么定点的坐标为_____． 21．（2022·苏州预赛）已知双曲线的左、右焦点为，离心率为，若过的直线与圆相切于点，且与双曲线的右支交于点，则_____． 22．（2022·重庆预赛）设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于两点． (1)若都在双曲线的左支上，求面积的最小值； (2)是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 23．（2022·新疆预赛）如图，已知内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点． 求证：(1)边所在直线与抛物线相切； (2)四点共圆． 24．（2022·四川预赛）如图所示，是一个矩形，分别是的中点，以某动直线为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为．过作垂直于交直线于点，设点的轨迹是曲线． (1)建立恰当的直角坐标系，求曲线的方程； (2)是上一点，，过点的直线交曲线于两点，且，求实数的取值范围． 25．（2022·浙江预赛）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过且斜率为正整数的直线交于，交于．若，求的值． 26．（2022·福建预赛）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，且的外接圆半径为． (1)求椭圆的方程； (2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点在轴的两侧)，记直线，的斜率分别为．已知，求的面积的取值范围． 27．（2022·甘肃预赛）如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点． (1)当直线的方程为时，求抛物线的方程； (2)当正数变化时，记分别为的面积，求的最小值． 28．（2022·苏州预赛）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设点在直线上，过的两条直线分别交于和两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和． 29．（2022·吉林预赛）已知椭圆经过点．能否在椭圆上找到两个点满足：的三边所在直线的斜率成等差数列，且边与边所在直线均与圆相切．如果存在，求出相应的的值；如果不存在，说明理由． 30．（2022·贵州预赛）函数的图象酷似教师批改作业时所画的“对勾”，所以我们常称为“对勾函数”．其图象是双曲线，其渐近线方程为(即轴)与． (1)求的顶点的坐标与离心率； (2)求的焦点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题10 解析几何（下） 全国联赛真题汇编 1．（2022·全国联赛A卷）在平面直角坐标系中，椭圆为上的动点，为两个定点，其中的坐标为．若的面积的最小值为1、最大值为5，则线段的长为_____． 【答案】 【详解】显然直线与椭圆不能相交，设的方程为． 设动点，则到直线的距离． 注意到线段的长度固定，根据题意，当变化时，的最大值与最小值之比为5，特别地，不能为0，故其值恒正或恒负． 由于的最大值为正，所以最小值也为正，故，得． 从而的最小值为． 由于的最小值为1，故，得． 2．（2022·全国联赛A1卷）在平面直角坐标系中，圆(其中为实数)的一条直径为，其中，则的值为_____． 【答案】860 【详解】易知的圆心(即的中点)为的半径为，故圆的方程为，即． 所以． 3．（2022·全国联赛A2卷）在平面直角坐标系中，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交于两点．若，则的值为_____． 【答案】 【详解】由条件知．设，由知，故，进而． 由对称性，不妨设，则直线的方程为，代入的方程，消去并化简可得的二次方程，其两根之积为． 因此． 4．（2022·全国联赛B卷）在平面直角坐标系中，以抛物线的焦点为圆心作一个圆，与的准线相切，则圆的面积为_____． 【答案】 【详解】抛物线的焦点与准线的距离为3，故圆的半径． 所以圆的面积为． 5．（2022·全国联赛B1卷）在平面直角坐标系中，圆的方程为，则圆的面积为_____． 【答案】 【详解】易知． 设圆的半径为，则，于是圆的面积为． 6．（2022·全国联赛A卷）在平面直角坐标系中，双曲线．对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意直线，，均有，则称为“好点”．求所有好点所构成的区域的面积． 【答案】4 【详解】设为好点，考虑需满足的充要条件． 对任意直线，设的倾斜角为，则的参数方程可写为 ① 将①代入的方程，整理得关于的方程 ② 根据条件，②有两个不同的实数解，这等价于，且判别式．化简得 ③ 当的倾斜角满足③时，由①中参数的几何意义及的定义，可知 其中(因不在上)． 当与交于轴异侧两点时，由双曲线的性质知．此时显然满足③，且．当且仅当时，取到最小值，这里直线． 当与交于轴同侧两点时，要求满足③且．根据题意，对任意这样的(如果这样的存在)，均有 即，而这等价于．换言之，需满足：对任意，③都不成立，即对任意，均有 ④ 在④中令，分别得，由此可知 反之，当时，注意到当时有，故 即④成立． 因此，为好点当且仅当． 于是所有好点对应的区域为．所求面积为． 7．（2022·全国联赛A1卷）在平面直角坐标系中，设一条动直线与抛物线相切，且与双曲线交于左、右两支各一点．求的面积的最小值． 【答案】 【详解】设与相切于点(显然不为原点，否则为轴，与无交点)． 由对称性，不妨设为第一象限内上一点，坐标为，其中，则切线的方程为，即 代入的方程，整理得关于的方程 的横坐标为该方程的两解，记为，则，且 根据题意有，而，故． 注意到的截距为，故有 令，则．利用基本不等式，得 当(即)时，取到最小值． 8．（2022·全国联赛A2卷）已知及其边上的一点满足：，，且以、为焦点可以作一个椭圆同时经过、两点，求的离心率． 【答案】 【详解】由椭圆定义可知(都等于椭圆的长轴长)，结合，，得 由余弦定理及互补，可知 即 不妨设，则上式可化简为，解得椭圆的焦距． 所以椭圆的离心率． 注：由斯特瓦尔特定理可直接得． 9．（2022·全国联赛B卷）在平面直角坐标系中，是双曲线的两个焦点，上一点满足．求点到的两条渐近线的距离之和． 【答案】 【详解】易知的坐标为的两条渐近线的方程分别为与． 设点到两条渐近线的距离之和为，则 由于，故，即 又由在上可知．从而解得． 注意到，故，即所求距离之和为． 10．（2022·全国联赛B1卷）在平面直角坐标系中，轴正半轴上的两个动点满足，抛物线上一点满足，过点作的切线，记点到直线的距离为．求的最小值，并求出当取到最小值时数量积的值． 【答案】的最小值为，此时 【详解】设． 由于，可设，其中在上，故． 切线的方程为，即． 点到直线的距离为． 利用基本不等式，可知． 当，即时，取到最小值． 此时． 各省预赛试题汇编 11．（2022·贵州预赛）如图，是离心率都为的椭圆，点分别是的右顶点和上顶点，过两点分别作的切线．若直线的斜率分别为，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设分别与切于点，则 ，同理，． 由于，设代入椭圆方程得． 于是，所以选． 12．（2022·贵州预赛）（多选）如图，分别是Rt两直角边上的动点，是线段的中点，则以下结论正确的是 A．当的面积为定值时，点的轨迹为双曲线的一支 B．当为定值时，点的轨迹为一圆弧 C．当为定值时，点的轨迹为不含端点的线段 D．当的周长为定值时，点的轨迹为抛物线 【答案】ABC 【详解】设，则．对于选项，，点的轨迹为双曲线的一支，正确； 对于选项，，正确； 对于选项，，正确； 对于选项， ，点的轨迹为双曲线的一支，错误． 综上，所以选． 13．（2022·重庆预赛）已知圆和在第一象限内的公共点为，过点的直线分别交圆于两点，且，则直线的斜率为_____． 【答案】5 【详解】如图，分别为的中点，易知， 设， 则， 依题意，或． 结合图形，应舍去．所以直线的斜率为5． 14．（2022·广西预赛）设，直线与双曲线相交于两点．若，则_____． 【答案】 【详解】设，联立 ．依题意，， ． 所以． 注：本题是一个错题，解出的直线与双曲线没有交点． 15．（2022·新疆预赛）已知椭圆的左、右焦点为，点在直线上，当取最大值时，的值为_____． 【答案】 【详解】如图，当经过的圆与直线相切于点时，最大． 设直线与轴交于点， 由圆幂定理得． 又． 16．（2022·浙江预赛）已知的顶点坐标，它的内切圆圆心为．设圆经过两点，且与圆交于两点，若过点所作两圆的切线垂直，则圆的半径为_____． 【答案】 【详解】如图，在上，设． 两圆方程相减，得． 联立，由射影定理得，于是．所以圆的半径为． 17．（2022·江西预赛）若一直线被另外两条直线与所截得的线段中点恰好是坐标原点，则直线的方程为_____． 【答案】 【详解】设与的交点为，则有 所以直线的方程为． 18．（2022·江西预赛）若椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好组成一个正三角形的三顶点，且椭圆的焦点到椭圆的最短距离为，则的方程是_____． 【答案】 【详解】依题意，所以的方程是． 19．（2022·福建预赛）已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线交于两点(点在第一象限)，且，若的面积为，则的内切圆半径为_____． 【答案】1 【详解】由焦半径公式， 于是．设， 联立． 则，从而． 又， 所以． 20．（2022·甘肃预赛）圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线，切点分别为，则直线必过定点，那么定点的坐标为_____． 【答案】 【详解】直线过圆心．设， 则， 代入得， 所以直线过定点． 21．（2022·苏州预赛）已知双曲线的左、右焦点为，离心率为，若过的直线与圆相切于点，且与双曲线的右支交于点，则_____． 【答案】4 【详解】如图，，， 由双曲线定义得， ，其中． 由，， 于是，所以． 22．（2022·重庆预赛）设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于两点． (1)若都在双曲线的左支上，求面积的最小值； (2)是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为． 【详解】(1)如图，， 联立方程组 设，则有 所以当时，面积的最小值为． (2)设存在满足题意，于是， ． 此时，所以存在点使得为定值． 23．（2022·新疆预赛）如图，已知内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点． 求证：(1)边所在直线与抛物线相切； (2)四点共圆． 【答案】证明见解析 【详解】(1)设，直线与抛物线切于点， 则，于是． 联立． 又，同理． 从而． 联立． 结合式，由于 所以边所在直线与抛物线相切． (2)由(1)知，，若，则 ，矛盾．于是． 又，则 同理，， 所以当时，四点共圆；当时，易证，此时也有四点共圆． 24．（2022·四川预赛）如图所示，是一个矩形，分别是的中点，以某动直线为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为．过作垂直于交直线于点，设点的轨迹是曲线． (1)建立恰当的直角坐标系，求曲线的方程； (2)是上一点，，过点的直线交曲线于两点，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】(1)连接，由是线段的垂直平分线得，即点到点的距离与点到直线的距离相等，于是点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的一段抛物线． 以的中点为原点，平行于的直线为轴，直线为轴建立直角坐标系如图，由于，所以曲线的方程为． (2)，设， 联立方程组． 则． 所以． 25．（2022·浙江预赛）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过且斜率为正整数的直线交于，交于．若，求的值． 【答案】 【详解】如图，，设，其中． 联立 联立 于是 ． 由于，只有满足题意． 所以． 26．（2022·福建预赛）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，且的外接圆半径为． (1)求椭圆的方程； (2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点在轴的两侧)，记直线，的斜率分别为．已知，求的面积的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】(1)，设，则 ， 所以椭圆的方程为． (2)设直线， 联立方程组 则，依题意，有， ， ， ． 于是直线过定点，从而 当时．所以的面积的取值范围是． 27．（2022·甘肃预赛）如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点． (1)当直线的方程为时，求抛物线的方程； (2)当正数变化时，记分别为的面积，求的最小值． 【答案】(1)； (2)当． 【详解】(1)，抛物线上点处的切线方程为 ，于是． 当时，． 所以的方程是． (2)联立．延长交轴于点， 则， 等号成立时，所以的最小值为． 28．（2022·苏州预赛）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设点在直线上，过的两条直线分别交于和两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和． 【答案】(1)； (2)0． 【详解】(1)． (2)设(为参数)， 代入的方程得 同理可得，．于是 ． 所以直线的斜率与直线的斜率之和为0． 29．（2022·吉林预赛）已知椭圆经过点．能否在椭圆上找到两个点满足：的三边所在直线的斜率成等差数列，且边与边所在直线均与圆相切．如果存在，求出相应的的值；如果不存在，说明理由． 【答案】存在， 【详解】代入点得，则． 如图，设切线方程为，则，于是． 结合图形可知，的三边所在直线的斜率成等差数列． 联立． 于是，以代，可得， 从而． 所以． 30．（2022·贵州预赛）函数的图象酷似教师批改作业时所画的“对勾”，所以我们常称为“对勾函数”．其图象是双曲线，其渐近线方程为(即轴)与． (1)求的顶点的坐标与离心率； (2)求的焦点坐标． 【答案】(1)，离心率 (2) 【详解】(1)以的平分线作为轴建立新的坐标系，如图所示．由对称性，曲线在新的坐标系下为双曲线的标准图象． 注意到， 则双曲线的 联立． 所以的顶点坐标为，离心率． (2)． 而， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$