专题10 解析几何（上）（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题10 解析几何（上） 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）设为椭圆的焦点，在上取一点(异于长轴端点)，记为的外心，若，则的离心率的最小值为_____． 【答案】 【详解】取的中点，有，故． 记，则 故由条件知，即． 由柯西不等式知(当时等号成立)． 所以的离心率． 当时，的离心率取到最小值． 2．（2024·全国联赛B卷）在椭圆中，为焦点，为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，若，则的离心率为_____． 【答案】 【解析】如图，因为，所以，所以，所以，即，整理得，即，解得(负解舍去)． 3．（2024·全国联赛A卷）在平面直角坐标系中，双曲线的右顶点为．将圆心在轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点，圆心距为，求的所有可能的值． 【答案】 【详解】考虑以为圆心的好圆． 由与的方程消去，得关于的二次方程 根据条件，该方程的判别式，因此． 对于外切于点的两个好圆，显然在轴上．设的半径分别为，不妨设的圆心分别为，则有 两式相减得，而，故化简得． 进而，整理得① 由于，而①可等价地写为，即，所以． 4．（2024·全国联赛B卷）在平面直角坐标系中，将圆心在轴上，且与双曲线的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．是否存在常数及轴上的一个定点，满足：若两个好圆外切于点，则它们的圆心距？ 【答案】 【解析】设好圆：，联立，消去得， 则． 设两个相切好圆 则，由于在①上，代入整理得． 设， ，即，则， 从而． 所以存在常数，定点满足题意． 各省预赛试题汇编 5．（2024·江苏预赛）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，且在圆上，点为直线与直线的交点，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】依题意，设，其中． 则，联立． 于是 等号成立时．所以的最大值为． 6．（2024·四川预赛）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 【答案】3 【详解】如图所示，    得到圆心； 得到圆心； 由于，所以两圆相离，因为为上的动点，， 所以要使取得最大值，只需最大即可， 因为，则的最大值为． 7．（2024·福建预赛）已知为双曲线的右顶点，过点斜率为的直线分别与双曲线交于另外两点，其中．若点满足，则的面积为_____． 【答案】 【详解】设，联立 设， 则 ，即直线恒过定点． 于是 从而． 8．（2024·江西预赛）平面上同时和三直线相切的所有圆的半径的乘积为_____． 【答案】36 【详解】如图，为直角三角形，， 易知， 所以． 9．（2024·浙江预赛）在平面直角坐标系上，椭圆的方程为，为的左焦点；圆的方程为，为的圆心．直线与椭圆和圆相切于同一点．则当最大时，实数 ． 【答案】 【详解】因为在椭圆上，所以直线的方程为，即． 由圆的性质可知，直线与直线垂直， 所以圆心坐标满足，即圆心坐标轨迹方程为，记此直线为． 要使最大，则过定点和定点所作的圆与直线相切于． 设直线与轴相交于点．由切割线定理可知，， 即有 将代入上式解得（不合，舍去）或 于是解得 10．（2024·广西预赛）已知椭圆 的焦点为，，M为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】如图： 令，，， 则，． 在和中， 由余弦定理可得，． 故．（1） 在，中，由余弦定理可得 （2） 由可得．（3） 由（2）（3）可得，从而． 代入（1）可得，． 因此． 11．（2024·内蒙古预赛）是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：直线与椭圆必相交，且斜率不为0， 设直线， 联立方程，消去x得，因为直线所过定点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点， 则， 可得， 则面积， 令，则，可得， 因为在内单调递增，则， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 12．（2024·重庆预赛）若点关于直线对称的点在圆上，则 ． 【答案】 【详解】注意点在圆上，且关于直线对称的点必然在圆上， 因为联立两圆方程解得：， 圆与圆仅有唯一公共点， 因此对称点只能是．因为，， 由余弦定理可得：， 所以，因此． 13．（2024·广东预赛）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，的准线经过的左顶点． (1)求的方程； (2)已知点为的左焦点，是上的一点(异于左、右顶点)，外接圆的半径为，内切圆的半径为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】(1) ， 则． 所以的方程为． (2)如图，的三边分别为，的面积为， 则 设，则， ，由上面结论得， 注意到，所以． 14．（2024·江苏预赛）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点．已知在轴上存在点，使得为定值，求点的坐标． 【答案】 【详解】设， 联立． 则 为定值，于是 ． 所以点的坐标为，此时． 15．（2024·四川预赛）已知为正实数，若曲线与椭圆交于两个不同的点，求证：直线的斜率． 【答案】证明见解析 【详解】设，其中． 由对数不等式：若，，则． 取，，得． ． ．① 将和相减，得 ， ．② 再将和相加，得．③ 注意到：时，由知， 结合①、②、③，知 ， ，即，解得． 16．（2024·福建预赛）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点(点在第一象限)，且． (1)求椭圆的离心率； (2)若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)(3, 1)． 【详解】(1)设， 依题意，，， 在和中， (2)由(1)得， 则． 于是，椭圆的方程为． 又，所以点的坐标为(3, 1)． 17．（2024·吉林预赛）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上．圆的圆心为坐标原点，过点且倾斜角为的直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)过圆上任意一点作圆的切线，与椭圆交于两点，均有成立．判断椭圆是否过定点?说明理由． 【答案】(1) (2)椭圆必过定点，理由见解析． 【详解】（1）设圆． 过，倾斜角为的直线方程为． 又直线与圆相切． 所以，即． 所以圆的方程为． （2）设椭圆． 又过点的圆的切线方程为． 联立 得． 设 则 所以． 由，得． 即，又． 所以． 所以． 所以． 又上式对任意的均成立． 故． 所以椭圆必过定点． 17．（2024·江西预赛）双曲线的左右顶点的距离为是右支上不重合的两动点且满足是相应直线的斜率)，求动直线经过的定点的坐标． 【答案】(6, 0) 【详解】如图，由对称性，设， 联立 设， 则 ，所以动直线经过的定点的坐标为(6，0)． 18．（2024·内蒙古预赛）已知双曲线，直线与双曲线的左右支分别相交于，两点，双曲线在，两点处的切线相交于点，求面积的最小值． 【答案】9 【详解】 设，将与双曲线方程联立， 整理可得， 由于与双曲线左右两支相交于两点，于是有， 由，可得， 因此 ， 设，故点所对应的切点弦为， 即为，故可得，， 故， 令，代入上式有， 令，设，则， 当时，；当时，． 故最大值为， 因此三角形面积的最小值为． 19．（2024·新疆预赛）如图，为双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上．设的平分线与轴、轴分别交于点和点，且当时，． （1）求的取值范围； （2）设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）延长与交于点． 当时，，且为中点， 所以 则，所以双曲线的方程为：． 则， 由点在的平分线上知． 由，点在双曲线右支，及． 则， 故． （2）由（1）知，令， 故点．则， 与双曲线方程联立消去得：． ，设，则 ， 因为，令，所以， 此函数随着的增大而增大， 由得，当且仅当时，． 20．（2024·上海预赛）在平面直角坐标系中，已知椭圆，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点． 若动点满足，求的最大值． 【答案】 【详解】如图，记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为， 因为点在以线段为直径的圆上，则 又，，即当点位于椭圆上时，取得最大值． 令，则点在椭圆上． 易知，等号成立时当且仅当． 于是椭圆上的点，除点外均在椭圆的内部． 综上所述，的最大值为． 21．（2024·上海预赛）求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆． 【答案】或4 【详解】当时，正三角形、正方形均能内接于椭圆(如图所示)． 下面证明:当时，不存在椭圆的内接正边形． 设椭圆的方程为，正边形的外接圆方程为 （1）若，联立 ，这是一个关于的二次方程，它至多有两个实数根， 再由得方程组至多有4组实数解． （2）若，则 于是 因此， 这是一个关于的4次方程，它至多有4个实数根， 再由得方程组(**)至多有4组实数解． 综上，椭圆与正边形的外接圆至多有4个公共点，即当时，不存在椭圆的内接正边形． 所以满足题意的正整数． 22．（2024·重庆预赛）已知抛物线：，动线段在直线上(在右侧)，且．过作的切线，取左边的切点为．过作的切线，取右边的切点为．当时，求点的横坐标． 【答案】点的横坐标为0． 【详解】 设，， 注意， 从而当时，，所以， 因为，所以， 可得切线的方程为， 即，同理可得切线的方程为， 由题设中，的要求，可设，， 将代入切线的方程，得， 即， 可求得， 这里取较小的根是因为为左边的切点， 同理可求得， 于是， 所以， 整理得，所以， 故点的横坐标为0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题10 解析几何（上） 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）设为椭圆的焦点，在上取一点(异于长轴端点)，记为的外心，若，则的离心率的最小值为_____． 2．（2024·全国联赛B卷）在椭圆中，为焦点，为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，若，则的离心率为_____． 3．（2024·全国联赛A卷）在平面直角坐标系中，双曲线的右顶点为．将圆心在轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点，圆心距为，求的所有可能的值． 4．（2024·全国联赛B卷）在平面直角坐标系中，将圆心在轴上，且与双曲线的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．是否存在常数及轴上的一个定点，满足：若两个好圆外切于点，则它们的圆心距？ 各省预赛试题汇编 5．（2024·江苏预赛）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，且在圆上，点为直线与直线的交点，则的最大值为_____． 6．（2024·四川预赛）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 7．（2024·福建预赛）已知为双曲线的右顶点，过点斜率为的直线分别与双曲线交于另外两点，其中．若点满足，则的面积为_____． 8．（2024·江西预赛）平面上同时和三直线相切的所有圆的半径的乘积为_____． 9．（2024·浙江预赛）在平面直角坐标系上，椭圆的方程为，为的左焦点；圆的方程为，为的圆心．直线与椭圆和圆相切于同一点．则当最大时，实数 ． 10．（2024·广西预赛）已知椭圆 的焦点为，，M为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为 ． 11．（2024·内蒙古预赛）是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为 ． 12．（2024·重庆预赛）若点关于直线对称的点在圆上，则 ． 13．（2024·广东预赛）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，的准线经过的左顶点． (1)求的方程； (2)已知点为的左焦点，是上的一点(异于左、右顶点)，外接圆的半径为，内切圆的半径为，求的取值范围． 14．（2024·江苏预赛）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点．已知在轴上存在点，使得为定值，求点的坐标． 15．（2024·四川预赛）已知为正实数，若曲线与椭圆交于两个不同的点，求证：直线的斜率． 16．（2024·福建预赛）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点(点在第一象限)，且． (1)求椭圆的离心率； (2)若的面积为，求点的坐标． 17．（2024·吉林预赛）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上．圆的圆心为坐标原点，过点且倾斜角为的直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)过圆上任意一点作圆的切线，与椭圆交于两点，均有成立．判断椭圆是否过定点？说明理由． 17．（2024·江西预赛）双曲线的左右顶点的距离为是右支上不重合的两动点且满足是相应直线的斜率)，求动直线经过的定点的坐标． 18．（2024·内蒙古预赛）已知双曲线，直线与双曲线的左右支分别相交于，两点，双曲线在，两点处的切线相交于点，求面积的最小值． 19．（2024·新疆预赛）如图，为双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上．设的平分线与轴、轴分别交于点和点，且当时，． （1）求的取值范围； （2）设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的取值范围． 20．（2024·上海预赛）在平面直角坐标系中，已知椭圆，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点． 若动点满足，求的最大值． 21．（2024·上海预赛）求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆． 22．（2024·重庆预赛）已知抛物线：，动线段在直线上(在右侧)，且．过作的切线，取左边的切点为．过作的切线，取右边的切点为．当时，求点的横坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$