精品解析：云南省腾冲市第八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

腾冲市第八中学2024--2025学年上学期高一期中考试 数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 若集合，则集合的真子集有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求集合的元素个数，进而求真子集的个数. 【详解】由题意可知，集合，共个元素， 所以集合的真子集有(个). 故选：C. 2. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用单调性定义可判断AB；利用奇偶性定义可判断CD. 【详解】对于B，定义域为，在上不具备单调性，故B错误； 对于A，，且，则． ，且，，，， ，即， 在上单调递增，所以A错误； 对于C，定义域为，关于原点对称， ，． 是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 3. 幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得或. 故选：B. 4. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得、，再由充分、必要性定义确定条件间的关系. 【详解】由，得，即， 由，得，即. 推不出，但能推出， 是的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可； 【详解】由在上满足， 设，则，即在上为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 7. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 8. 如果关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对二次项系数进行分类讨论，然后由一元二次不等式与二次函数的关系建立不等式组求解即可得到答案. 【详解】当即时，有，不等式成立； 当即时，由题可得，解之得：； 综上，. 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立的问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查分类讨论思想，属于常考题. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 不等式的解集是 C. 命题“”的否定是“或” D. 已知集合，若，则实数的集合为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A；直接解分式不等式判断B；特称命题的否定判断C；考虑时，可得时成立即可判断D. 【详解】对于A，若，可得，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，根据特称命题的否定，可得命题“，”的否定是“，或”，故C正确； 对于D，因为，当时，则成立，故D错误； 故选：AC. 10. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由指数函数性质可判断A；例举法可判断B；同时除以可判断C；去绝对值并结合对数函数可判断D. 【详解】因为，对A，为减函数，所以，A项正确； 对B，，则，故B项错误； 对C，，因为，所以同时除以有，故C项正确； 对D，因为，所以，又，所以，对数函数为增函数，所以，D项正确. 故选：ACD 11. 已知实数，满足，下列判断正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值1 【答案】AB 【解析】 【分析】根据可分析出的最值；根据结合的范围可求的最值. 【详解】即， 因为，所以，所以， 当，此时，当，此时或， 所以的最大值为，最小值为，故CD错误； 因为，所以， 所以， 当时，，当时，， 所以的最大值为，最小值为，故AB正确； 故选：AB. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知幂函数的图象过点，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数，根据题意，幂函数的图象过点，代入计算即可求解. 【详解】设函数，又因为幂函数的图象过点， 所以，解得：，所以函数， 故答案为：. 13. 若在上的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合二次函数性质分析求解. 【详解】由题意可得：，开口向上，对称轴为， 且， 若在上的值域为，则， 所以的范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，且方程的实数解个数为，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象如图，方程的实数解的个数等于直线与图象的交点个数，即可得解. 【详解】因为， 当时，，函数在上单调递减，上单调递增， ，， 当时，，函数在上单调递增． 所以，当直线与函数的图象只有一个交点时，， 则的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知函数． （1）写出函数的定义域及奇偶性； （2）请判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为，奇函数 （2） 单调递增，证明：任取， ，因为，所以，，，所以，即，所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性定义进行判断； （2）作出判断，并利用函数单调性的定义进行证明 （3）分离参数得到对任意恒成立，求得函数在的最小值，即可得到的取值范围 【小问1详解】 定义域为，因为，所以为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，变形为，即， 由（2）知，在上单调递增，所以，所以. 16. （1）计算； （2）计算. 【答案】（1）5；（2）0 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算即可； （2）利用对数运算法则计算可得结果. 【详解】（1）原式 （2）原式. 17. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）35（台），最大利润为2050（万元）． 【解析】 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果. 【小问1详解】 由题意可得， 所以． 【小问2详解】 当时，，对称轴方程， 且二次函数开口向下，故当时，取最大值，（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即（万元）， 因为， 故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）． 18. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求在R上的解析式； （2）判断的单调性，并解不等式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意根据奇函数的定义以及当时，，可以求出当时的表达式，从而即可进一步求解. （2）首先根据时，单调递增，从而得到在上是单调增函数，再结合奇函数性质即可将表达式等价转换，解一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 设，则，当时，， 因为，所以，即， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 时，单调递增， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以在上是单调增函数， 不等式可化为， 所以，即，解得或. 所以不等式的解集为或. 19. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市第八中学2024--2025学年上学期高一期中考试 数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 若集合，则集合的真子集有（ ）个 A. B. C. D. 2. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 是奇函数 D. 是偶函数 3. 幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如果关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 不等式的解集是 C. 命题“”的否定是“或” D. 已知集合，若，则实数的集合为 10. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知实数，满足，下列判断正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值1 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知幂函数的图象过点，则_________. 13. 若在上的值域为，则的取值范围是________. 14. 已知函数，且方程的实数解个数为，则的取值范围为_______. 四、解答题 15. 已知函数． （1）写出函数的定义域及奇偶性； （2）请判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 16. （1）计算； （2）计算. 17. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 18. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求在R上的解析式； （2）判断的单调性，并解不等式． 19. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $