精品解析：广东省佛山市南海外国语高级中学2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试题

广东省佛山市南海外国语高级中学2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试题 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式、对数不等式得集合，根据交集运算即可. 【详解】由解得，由，得， 所以， 所以. 故选：B. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要各件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出、中的不等式，即可得出结论. 【详解】由可得，解得，即， 由可得，解得，即. 因此，是的充要条件. 故选：C. 3. 已知，命题p：，是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于p为假命题，所以命题p的否定为真命题，根据特称命题的否定，可转化为不等式恒成立问题，可得答案. 【详解】命题p的否定：，.因为p为假命题，所以命题p的否定为真命题，故. 故选：C. 4. 已知奇函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性改变自变量的符号，利用单调性脱掉函数记号，即可求解 【详解】因为为奇函数，所以， 所以原不等式可化为， 即，因为单调递增，且， 所以，解得. 故选：C 5. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润（单位:10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图）；则要使营运的年平均利润最大，每辆客车应营运（ ） A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象上的已知点，结合待定系数法求得函数解析式，表示出年平均利润，利用基本不等式即可求解. 【详解】由图可知，二次函数的图象的顶点为，过点，开口向下， 因此，设二次函数的解析式为， 所以，解得，即， 则营运的年平均利润， 当且仅当，即时，有最大值；即每辆车营运5年时，年平均利润最大. 故选：C. 6. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 则当精确度为时，方程的近似解可取为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二分法结合零点存在定理即可判断选项. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内， 结合选项可知，方程的近似解可取为． 故选：C 7. 小明出国旅游，当地时间比北京时间晩一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于是晚一个小时，所以需要把表调慢，即按逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为． 【详解】由题意，小明需要把表调慢一个小时，即将表的时针逆时针旋转弧度. 故选：B. 8. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为万元，则多出的部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）.如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是（ ）万元. A. 15 B. 25 C. 30 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据奖励方案，得到奖金关于销售利润的分段函数解析式，进而分析得小江的销售利润即可得解. 【详解】由题意知，当时，； 当时，； 所以 当时，，故小江销售利润， 所以，解得， 所以小江的销售利润是20万元. 故选：D. 9. 设，则a，b，c大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定，再判断出，最后确定，进而比较出大小即可. 【详解】因为，所以. 故选B. 10. 已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数的图象，数形结合可得，且，所以，结合二次函数的单调性即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图所示： ， 令，解得或， 令，解得或， 存在实数，满足，且， 所以，且， 则， 又，图象对称轴为， 所以在上单调递减，则. 所以的取值范围是. 故选：B. 二、多选题（本题共4小题，每小题6分，共24分） 11. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将化为同底的对数，再对前两个选项计算后判断大小，对于C选项可直接利用对数函数的单调性判断，D选项由基本不等式即可判断． 【详解】由题意可得. 对于A，，所以A正确: 对于B，，所以B正确: 对于C，因为，所以，所以，C正确; 对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，所以取不到等号，所以，所以D错误. 故选：ABC. 12. 若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】ABC 【解析】 【分析】研究函数在上的单调性，利用单调性求最值，注意需要分类讨论． 【详解】函数的对称轴方程为. 当时，函数在上单调递减，时取最大值时取最小值，解得. 当时，最小值为，而，由对称性可知. 所以实数的值可能为2，3，4. 故选：ABC. 13. 如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量与净化时间（月）的近似函数关系：且的图象.以下说法中正确的是（ ） A. B. 第4个月时，剩留量就会低于； C. 每月减少有害物质质量都相等; D. 剩留量为时，所经过的时间分别是，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求函数的解析式，再根据选项，代入函数值，即可判断选项. 【详解】由于函数的图象经过点，，得，故函数的关系式为.故A正确. 当时，，故B正确； 当时，，减少，当时，，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故C不正确； 分别令，解得，，故D正确. 故选：ABD 14. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ） A. B. 直线为函数图象的一条对称轴 C. 函数在区间上存在2个零点 D. 若在区间上的根为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法及偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性及单调性即可求解. 【详解】令，得，则，又函数是偶函数，故，故A正确； 根据A可得，所以，又，所以，故直线是函数图象的一条对称轴，故B正确； 由的周期为4，，且当时，是减函数，可得函数在区间上存在3个零点，故C不正确；易得函数的图象关于直线对称，故，即，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 15. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，可解得的值，进而可解分式不等式. 【详解】由题意可知，且1和2是方程的两根， 所以解得所以，即为， 可化为，即，解得. 所以所求不等式的解集是. 故答案为：. 16. 如图，扇形AOB的面积是，它的周长是20cm，求扇形的圆心角的弧度数为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】借助扇形周长与面积公式计算即可得. 【详解】设弧AB长为，扇形半径为， 由题意，得，解得或， 若，此时，不符，故舍去； 若，此时，符合要求. 故答案为：. 17. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则整数m的值为_____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的奇偶性及单调性求出即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，解得， 所以可取， 当时，为奇函数，图象关于原点对称， 当时，为偶函数，图象关于轴对称， 当时，为奇函数，图象关于原点对称， 故. 故答案为：2. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.当时，函数的解析式为_____________，不等式的解集为_____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用函数是奇函数即可求出当时，函数的解析式；由函数是奇函数化简可得，画出函数的图象，结合图象即可得出答案． 【详解】由奇函数，得， 当时，，故，故当时，； 由，得， 故或， 如图所示，画出函数的图象， 由图易得的解集为的解集为， 故不等式的解集为. 故答案为：；. 四、解答题（本题共2小题，共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步.） 19. 已知函数是对数函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，不等式的解集非空，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的值，根据复合函数的单调性即可求出的单调区间， （2）,，不等式的解集非空，转化为求出的最小值即可． 【小问1详解】 由题中可知解得. 所以的解析式为， 因为， 所以解得，即的定义域为， 由于， 令， 则由对称轴可知在上单调递增，在上单调递减. 又因为在上单调递增， 故的单调递增区间为，单调递减区间为 【小问2详解】 不等式的解集非空， 所以 由（1）知在上单调递增，在上单调递减，又， 所以， 所以，解得.所以实数的取值范围. 20. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求a、b的值； （2）证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义，利用且，列出关于、的方程组并解之得； （2）根据函数单调性的定义，任取实数、，通过作差因式分解可证出：当时，，即得函数在上为减函数； （3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为：对任意的都成立，结合二次函数的图象与性质，可得的取值范围． 【小问1详解】 由已知 ，所以，解得 ，此时定义域是为奇函数. 所以 小问2详解】 由（1）得， 任取实数、，且 则 ，可得，且 ，即，函数在上为减函数； 【小问3详解】 不等式化为， 是奇函数，则有， 是减函数，所以 所以恒成立，易知最小值是 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省佛山市南海外国语高级中学2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试题 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要各件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，命题p：，是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知奇函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润（单位:10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图）；则要使营运的年平均利润最大，每辆客车应营运（ ） A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 6. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 则当精确度为时，方程的近似解可取为（    ） A B. C. D. 7. 小明出国旅游，当地时间比北京时间晩一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 8. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为万元，则多出的部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）.如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是（ ）万元. A. 15 B. 25 C. 30 D. 20 9. 设，则a，b，c大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题6分，共24分） 11. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 若函数定义域为，值域为，则实数的值可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 13. 如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量与净化时间（月）的近似函数关系：且的图象.以下说法中正确的是（ ） A. B. 第4个月时，剩留量就会低于； C. 每月减少的有害物质质量都相等; D. 剩留量为时，所经过的时间分别是，则. 14. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ） A. B. 直线为函数图象的一条对称轴 C. 函数在区间上存在2个零点 D. 若在区间上的根为，则 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 15. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_____________. 16. 如图，扇形AOB面积是，它的周长是20cm，求扇形的圆心角的弧度数为_____________. 17. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则整数m的值为_____________. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.当时，函数的解析式为_____________，不等式的解集为_____________. 四、解答题（本题共2小题，共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步.） 19. 已知函数是对数函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，不等式解集非空，求实数的取值范围. 20. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求a、b的值； （2）证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$