专项9 全等三角形的运用与证明-【王朝霞系列丛书】2024-2025学年八年级上册数学期末试卷精选（华东师大版）河南专版

期末复习第2步·攻专项 王朝 专项9 全等三角形的运用与证明 锁定期末高频考点，快速掌握 满分：50分得分： 1.(6分)如图，小明想知道一堵墙上点A到地面的高度AO,AO⊥OD,但又没有直接测量的 工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地 面的夹角∠ABO: 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠OCD=∠ABO,标记此时直杆的底端点D: 第三步：测量 的长度，即为点A到地面的高度AO. 请说明小明这样测量的理由 2.设题新角度开放性试题(8分)如图，在△ABC和△DEB中，点D在边AB上，下面有四个条 件：①BD=CA,②DE=AB,③DE∥AC,④∠ABC=∠E. (1)从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，一共可组成 个真命题： (2)请你选择其中一个真命题，写出已知和求证，并给出证明. E 解：在△ABC和△DEB中，点D在边AB上， 已知： 求证： B 期末复习第2步攻专项 3.〔新安县)(9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=AD (1)尺规作图：作∠A的平分线交CD于点E,过点B作CD的垂线，垂足为点F: (不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，求证：△CBF≌△ACE. 河南专版数学八年级上册华师 29 4.〔唐山市改编〕(9分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E是BC上一点，BE=CD,EF∥AD交 AB于点F,交CA的延长线于点P,CH∥AB交AD的延长线于点H. (1)求证：△APF是等腰三角形； (2)猜想AB与PC之间的数量关系，并证明你的猜想. 5.〔汝阳县〕(9分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在 AC上，BD=DF.求证： (1)CF=EB; (2)AB AF+2EB. 期末复习第2步 6.〔唐河县](9分)已知等边三角形ABC,D为BC上一点，连结AD. 攻专项 (1)如果E是AC上一点，且CE=BD,连结BE交AD于点P,如图1，求出∠APE的大小： (2)将(1)中AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF,连结BF交AC于点Q,如图2，用等式表 示线段AQ和CD的数量关系为 B D B D 图1 图2 30 河南专版数学八年级上册华师得BC=√BF2+CF2=√85m (3分) 示，.BP=AB=5cm.1=5. 在Rt△ACF中，由勾股定理， ②当AB=AP时，如图④所示，∠ACB=90°， 得AC=√AF2+CF2=25m. ∴点C为BP中点.BP=2BC=8cm.1=8. CE=AC-BC=(25-√85)m,即男子需向右移 ③当BP=AP时，如图⑤所示.AP=BP=tcm, ∴.CP=(4-t)cm.:在Rt△ACP中，AC=3cm, 动的距离CE为(25-√85)m. (6分) AP2=AC2+CP2,2=32+(4-t)2 (2)该男子将船从A处移动到岸边点F的位时，需 收绳4C-CF=25-7=18m). 解得1=空 ∴所需要的收绳时间为18÷0.5=36(s). 综上所述，当△ABP为等腰三角形时，1的值为5,8 36>30. :.该男子不能在30s内将船从A处移动到岸边点 或 F的位置 (10分) 4.解：(1)根据勾股定理，得 BC=√AB2-AC2=V52-32=4(cm). ∴.BC边的长为4cm (4分) 图③ 图④ (2)连结AP.根据题意，得BP=tcm. 当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当 ∠APB为直角时，如图①所示，此时点P与点C 重合。 图⑤ ∴.BP=BC=4cm. 专项9全等三角形的运用与证明 .1=4 (6分) 1.解：0D (2分) 理由：：在△AOB与△DOC中，∠AOB=∠COD= 90°，∠AB0=∠OCD,AB=CD, C(P) ∴.△AOB≌△D0C.∴.OA=OD (6分) 图① 图2 2.解：(1)3 (2分) ②当∠BAP为直角时，如图②所示。 (2)已知：BD=CA,DE∥AC,∠ABC=∠E. 此时∠ACP=180°-∠ACB=90°，CP=BP-BC= 求证：DE=AB. (4分) (t-4)cm. 证明：DE∥AC, 在RL△ACP中，AP=AC+CP ∴∠BDE=∠CAB. 在RL△BAP中，AP=BP-AB ,BD=CA,∠E=∠ABC, ∴AC+CP2=BP-AB2,即32+(1-4)P=2-53 ∴.△DEB≌△ABC. 解得1：空 ∴DE=AB. (8分) 综上所述，当△ABP为直角三角形时.1的值为4 [或已知：DE=AB,DE∥AC,∠ABC=∠E. 或空 (9分) 求证：BD=CA. (4分) 证明：：DE∥AC, (3)当△ABP为等腰三角形时.1的值为5,8或 8 ·∠BDE=∠CAB. (12分) :DE=AB,∠E=∠ABC 【解析】根据题意，得BP=tcm.当△ABP为等腰 △DEB≌△ABC. 三角形时，分三种情况：①当AB=BP时，如图③所 ..BD=CA. (8分) 河南专版数学 八年级上册华师 8 或已知：BD=CA.DE=AB,DE∥AC (2):DC=DE,AD=AD,∠C=∠AED=90°， 求证：LABC=∠E. (4分) ∴，Rt△ACD≌Rt△AED, (6分) 证明：DE∥AC, ∴AC=AE. .∠CAB=∠BDE. .CF=EB. CA BD.AB=DE. ..AB=AE EB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+ .∴.△ABG≌△DEB 2EB. (9分) ∴.∠ABC=∠E (8分月 6.解：(1)△ABC是等边三角形， 3.解：(1)所作图如图所示 (4分) ∴.AB=BC,∠ABC=∠C=60°. ,BD=CE,.△ABD≌△BCE. (3分) B ∴，LBAD=∠CBE..∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE +∠ABP=∠ABC=60° (6分) (2)AQ=2CD (9分) (2)证明：AD=AC,AE平分∠CAD,AE⊥CD. 【解析】由旋转的性质，得∠DAF=120°，AF=AD. (6分) ∠APE=60°，∴∠APE+∠DAF=180. BF⊥CD,∠ACB=90°， .AF∥BE.∴.∠F=∠EBQ △ABID≌△BCE,AD=BE .∠ACB=∠BFC=∠AEC=90. ∴.AF=AD=BE. .∠BCF+∠ACD=∠CAE+∠ACD. :∠AQF=∠BQE,∴.△AQF≌△EQB. .LBCF=∠CAE. :BC=AC,.△CBF≌△ACE. (9分) 40=0.40=4证 4.解：(1)证明：，EF∥AD. .BD CE.BC =AC,.CD=AE. ∠BAD=∠PFA,∠CAD=∠P (2分) AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD. AQ-CD. .∠PFA=∠P 专项10全等三角形的综合探究 ∴AF=AP,即△APF是等腰三角形 (4分) 1.解：(1)∠PEQ=∠CAB全等三角形的对应角相等 (2)AB=PC. (5分) (2分) 证明：CH∥AB,∴.∠B=∠BCH,∠BAD=∠H. (2)△EFC是等边三角形 (3分) EF∥AD,∠BAD=∠BFE. 理由如下：△ABC是等边三角形 ∴.∠BFE=H. ∴∠C=∠CAB=60 .BE=CD,∴△BEF≌△CDH. 根据作图步骤知∠PEQ=∠CAB..∠PEQ=60° ∴.BF=CH (7分) .∠EFC=180°-∠C-∠PEQ=60 由(I)知∠BAD=∠CAD,AF=AP :.△EFC是等边三角形 (5分) .∠CAD=∠H. (3)EF=BC+AD. (8分) ..AC CH...AC=BF. 【解析】连结ED, .AB=AF+BF,PC=AP+AC. △EFC是等边三角形，EF=EC .'.AB PC. (9分) ∴.点E在线段FC的垂直平分线上 5.证明：(1)∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥ :FD=CD,点D在线段FC的垂直平分线上 AB,∴∠C=∠AED=∠DEB=90°，DC=DE.(2分) ∴，ED垂直平分FC.∴∠FED=∠CED. DF=BD,.Rt△CDF≌Rt△EDB.CF=EB. LCEF=∠BAC,∴AD∥EF (4分) .∠FED=∠ADE..∠CED=∠ADE. 河南专版数学八年级 上册华师