精品解析：江苏省常州市天宁区第二十四中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024年12月九年级数学随堂作业 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知一组数据：2、4、3、4、7，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 4，4 B. 4，3 C. 5，4 D. 5，3 3. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 4. 用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于( ) A. 3 B. 5 C. D. 5. 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(3，0)，C为平面内的动点，且满足∠ACB=90°，D为直线y=x上的动点，则线段CD长的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高数据的平均数都为1.92米，方差分别为=1.78，=0.15，则身高较整齐的球队为________队(填“甲”或“乙”)． 10. 已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β=_____． 11. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是_____________． 12. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了______．（结果保留） 13. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为__． 14. 如图，以原点为圆心的圆，交轴于、两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内⊙O上的点，若，则______． 15. 如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________． 16. 如图，在中，，，垂足为D，以为直径的交于点E，连接，交于点F，连接．已知，，则___． 三．解答题（17、18、19、20每题10分，21题12分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮面向全国青少年进行太空科普授课．航天员演示了四个太空实验： A．球形火焰实验； B．奇妙“乒乓球”实验； C．动量守恒实验； D．又见陀螺实验． （1）若小明从以上个实验中随机选取个实验的录像进行回看，则所选的是实验的概率是____________； （2）若小明从以上个实验中随机选取个实验的录像进行回看，求小明选择和这个实验的概率． 19. 如图，四边形内接于，为直径，平分，且的延长线于点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 20. 图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图．图2为其示意图，支撑杆垂直于地面，，斜杆连接在支撑杆顶端处，，其中的长度可通过斜杆的滑动来进行调节，斜杆还可以绕着点旋转，且与支撑杆的夹角为． （1）当时，求话筒到地面的高度； （2）落地式话筒可以根据使用者的身高需要调节的长度和夹角的度数，某运动员使用落地式话筒的适合高度是，请问该话筒的高度能否满足这名运动员的需要，并说明理由．（参考数据：） 21. 如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为、，经过、、三点的圆的圆心为，过点的直线与的公共点是、，与轴交于点，与轴交于点，连接、、．已知． （1）的直径为______，点的坐标为_______； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）若是线段上的动点，与的一个内角相等，写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年12月九年级数学随堂作业 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． 【详解】解：， 故选A 2. 已知一组数据：2、4、3、4、7，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 4，4 B. 4，3 C. 5，4 D. 5，3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数和中位数的定义，正确理解平均数和中位数的定义是解答本题的关键，根据平均数和中位数的定义即可求得答案． 【详解】解：它们的平均数是， 数据按从小到大排列为：2，3，4，4，7，故中位数是4， 故选A． 3. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值． 【详解】解：由，可设， 则． 所以． 故选：C 4. 用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于( ) A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长=底面圆周长即可求得答案. 【详解】设底面半径为R，则底面周长＝2Rπ，半圆的弧长＝×2π×5＝2πR， ∴R＝， 故选D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，涉及了圆的周长公式，弧长公式等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 5. 如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示： ∵正六边形内接于， ∴∠COD= =60°，则∠COE=120°， ∴∠CME= ∠COE=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键． 6. 如图是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理及其推论，可分别求出，，即可求的度数． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(3，0)，C为平面内的动点，且满足∠ACB=90°，D为直线y=x上的动点，则线段CD长的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取AB的中点E，过点E作直线y=x的垂线，垂足为D，求出DE长即可求出答案． 【详解】解：取AB的中点E，过点E作直线y=x的垂线，垂足为D， ∵点A（1，0），B （3，0）， ∴OA=1，OB=3， ∴OE=2， ∴ED=2×=， ∵∠ACB=90°， ∴点C在以AB为直径的圆上， ∴线段CD长的最小值为−1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理等知识，确定C，D两点的位置是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高数据的平均数都为1.92米，方差分别为=1.78，=0.15，则身高较整齐的球队为________队(填“甲”或“乙”)． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故身高较整齐的球队为乙队． 故答案为：乙． 10. 已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β=_____． 【答案】75° 【解析】 【详解】试题分析：已知|sinα﹣|+ =0，可得sinα=，tanβ=1，据特殊角三角函数值可得α=30°，β=45°，所以α+β=75°． 考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根． 11. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用坡度比的实际问题，解决本题的关键是准确掌握坡度比的计算方式．坡度比为，即坡角的正切值，直接根据坡度比求得的长度，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：迎水坡的坡比是， ， ， ， 在直角中， ， 故答案为：． 12. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，根据砝码被提起的长度等于径为圆心角为的弧长，即可求解． 【详解】解：依题意，砝码被提起的长度为， 故答案为：． 13. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，再根据正切的定义计算即可． 【详解】解：由图可得：，， ∵为直径 ∴在中， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，正切定理，熟悉掌握正切的比值关系是解题的关键． 14. 如图，以原点为圆心的圆，交轴于、两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内⊙O上的点，若，则______． 【答案】75°##75度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中． 连接．利用同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半即可求出，然后求出，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出． 【详解】解：如图，设圆与y轴负半轴交于点E，连接， ∵，， ， ∵， ， 又∵， ， 故答案为：． 15. 如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 先根据三角形内心的定义得到是和的角平分线，结合平行线的性质可证明，于是得到，故此可得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵点O是的内心， ∴分别是和的角平分线． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴的周长， 故答案为：12． 16. 如图，在中，，，垂足为D，以为直径的交于点E，连接，交于点F，连接．已知，，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考同弧所对的圆周角相等、等角的余角相等、解直角三角形等知识，连接，可得，由，，可求，进而可求，在中求即可． 【详解】解：连接， 为直径， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ，， ， 在中，， ， ， 在中，． 故答案为：． 三．解答题（17、18、19、20每题10分，21题12分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算和实数的运算，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值，零指数幂，属于基础题． （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，然后根据0次幂和绝对值的意义化简计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮面向全国青少年进行太空科普授课．航天员演示了四个太空实验： A．球形火焰实验； B．奇妙“乒乓球”实验； C．动量守恒实验； D．又见陀螺实验． （1）若小明从以上个实验中随机选取个实验的录像进行回看，则所选的是实验的概率是____________； （2）若小明从以上个实验中随机选取个实验的录像进行回看，求小明选择和这个实验的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了由概率公式求概率，树状图法或列表法求概率，解题的关键是数形结合． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，得到所有等可能的结果数和所求的结果数，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明从以上个实验中随机选取个实验的录像进行回看，所选的是实验的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明选择和这个实验的结果有种， 小明选择和这2个实验的概率为：． 19. 如图，四边形内接于，为直径，平分，且的延长线于点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：直线与相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查本切线的判定，垂径定理，勾股定理，角平分线的定义，相似三角形的判定及性质． （1）连接，由角平分线定义，平行线的性质推出，由切线的判定定理即可证明； （2）证明，得到，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是的直径，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图．图2为其示意图，支撑杆垂直于地面，，斜杆连接在支撑杆顶端处，，其中的长度可通过斜杆的滑动来进行调节，斜杆还可以绕着点旋转，且与支撑杆的夹角为． （1）当时，求话筒到地面的高度； （2）落地式话筒可以根据使用者的身高需要调节的长度和夹角的度数，某运动员使用落地式话筒的适合高度是，请问该话筒的高度能否满足这名运动员的需要，并说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2）该话筒的高度能满足这名运动员的需要，理由： 依题意，当，点重合时，，点离地面最高， 此时如图所示，过点作，于点， ∴ ∴ ∴筒到地面的高度为 ∵某运动员使用落地式话筒的适合高度是， ∴该话筒的高度能满足这名运动员的需要． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键； （1）过点作，于点，得出，进而根据筒到地面的高度为，即可求解； （2）依题意，当，点重合时，，点离地面最高，此时如图所示，过点作，于点，进而根据（1）的方法，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作，于点， ∵ ∴, 又， ∴筒到地面的高度为； 【小问2详解】 略 21. 如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为、，经过、、三点的圆的圆心为，过点的直线与的公共点是、，与轴交于点，与轴交于点，连接、、．已知． （1）的直径为______，点的坐标为_______； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）若是线段上的动点，与的一个内角相等，写出的长度． 【答案】（1），； （2） （3）的长度为或或5． 【解析】 【分析】（1）连接，求出，可得的直径为，而M为中点，知； （2）连接，由，得，故，设，即，可解得；用待定系数法得直线所对应的函数表达式为； （3）设，由 ，可得；分三种情况：①当时，连接，求出，可得，故；②当时，证明，得，求得，可得；③当时，由，有，求得，． 【小问1详解】 解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为 ∴ ∴的直径为 ∵M为中点， ∴，即. 故答案为：，； 【小问2详解】 解：连接，如图： ∵ ∴ ∴ 设， ∵，， ∴，，， ∴， 解得， ∴； 设直线所对应的函数表达式为，把，代入，得 ， 解得， ∴直线所对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设 ∵ ，； ∴ 解得或， ∴； ①当时，连接 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图： ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴； ③当时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及圆的性质及应用，待定系数法，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $