专题2.1 直线与圆的位置关系（6大知识点5大考点16类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.1 直线与圆的位置关系（6大知识点5大考点16类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点一】直线和圆的三种位置关系 　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 【知识点二】直线与圆的位置关系的判定 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么： （1） 直线和圆相交; （2）直线和圆相切; （3）直线和圆相离; 【知识点三】切线的性质 （1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 【知识点四】切线的判定 （1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【知识点五】切线长定理 1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等. 【知识点六】三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形的内心：角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 考点与题型目录 【考点1】直线与圆的位置关系 【题型1】判断直线与圆的位置关系.............................................2 【题型2】直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离或半径的取值范围...............3 【考点2】切线的性质与判定 【题型3】切线概念的辨析+补充条件使直线为圆的切线............................3 【题型4】切线的性质定理.....................................................4 【题型5】切线的证明.........................................................5 【题型6】切线的性质与判定综合...............................................5 【考点3】切线长定理 【题型7】利用切线长定理求解.................................................6 【题型8】利用切线长定理证明.................................................7 【考点4】三角形的内切圆 【题型9】三角形内切圆与外接圆综合...........................................8 【题型10】圆的外切四边形模型................................................9 【题型11】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系............................9 【题型12】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系...........................10 【考点5】圆与综合问题 【题型13】圆的综合问题——圆内知识综合.....................................11 【题型14】圆的综合问题——圆与三角形综合...................................12 【题型15】圆的综合问题——圆与四边形综合...................................13 【题型16】圆的综合问题——圆与函数综合.....................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】判断直线与圆的位置关系 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在等边中，D为边上一点，且，连接，，若以点A为圆心，r为半径作圆． (1)当半径时，求与的位置关系；(2)当半径时，求与的位置关系． 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交或相离 D．相切或相交 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 ． 【题型2】直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离或半径的取值范围 【例2】（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    【变式】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画圆，若的边与有两个公共点，则r的取值范围为 ．    【题型3】切线概念的辨析+补充条件使直线为圆的切线 【例3】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【变式1】下列命题中，假命题是（　　） A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线 C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【变式2】（2021·广东揭阳·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【题型4】切线的性质定理 【例4】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是圆O的切线，切点为B，交圆O于点C，且． (1)求的度数； (2)设圆O的半径为6，求图中阴影部分面积（结果保留与根号）． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是的切线，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆云阳·阶段练习）如图，是的切线，切点为点H，连接分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且，若的半径长为2，且，则的长为 ． 【题型5】切线的证明 【例5】（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式1】（2024·江苏徐州·一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 【变式2】（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 【题型6】切线的性质与判定综合 【例6】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（　　）    A． B．3 C． D． 【变式2】（22-23九年级下·山西长治·阶段练习）如图，是的直径，弦平分，连接，过点D作的切线交于点E，若，，则的长为 ．    【题型7】利用切线长定理求解 【例7】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，、分别与相切于点A、B，的延长线交于点C，连接，． (1)若，则 ． (2)若，，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，是的切线，点是切点，分别交于两点，若，则的度数（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，的周长为32．若与三边分别相切于点E，F，D，则的长为 ．    【题型8】利用切线长定理证明 【例8】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，点O为圆心，为半圆的直径，在上取一点C，延长至点D，连接，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 【变式1】（24-25九年级下·全国·期中）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（   ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 【变式2】（2024·河南商丘·一模）如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为 ． 【题型9】三角形内切圆与外接圆综合 【例9】（2024·上海·模拟预测）如图，是圆O直径，弦，垂足为D，圆O周长为， (1) ，求内切圆的面积；(2)，求证：． 【变式1】（24-25九年级上·天津河北·期中）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接．若，，则点O到的距离为 ，的值为 ． 【题型10】圆的外切四边形模型 【例10】（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【变式1】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【题型11】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例11】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r    四者之间的关系是 （     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为 ． 【题型12】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例12】（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【变式1】（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 【题型13】圆的综合问题——圆内知识综合 【例13】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若为直径，如图2，求的值； (3)若，且，求的值． 【变式】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，AB为的直径，C为上一点，D为弧BC的中点，连接AD、BC相交于E，过点B作的切线交AD的延长线于F； (1)求证：； (2)过点D作，垂足为H，求证：； (3)延长DH交于G，连接CG，交AD于N，，求的半径． 【题型14】圆的综合问题——圆与三角形综合 【例14】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式1】（2024·山东淄博·一模）如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式2】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，为的弦，D为的中点，交于点F．若，则的值为 ． 【题型15】圆的综合问题——圆与四边形综合 【例15】（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，．   (1)求证：；(2)若，，求的面积． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则三分之二的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·安徽淮南·期末）如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则： （1）当四边形是正方形时， ； （2）当的一边与相切时，的长为 ． 【题型16】圆的综合问题——圆与函数综合 【例16】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【变式1】（19-20九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度逆时针匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（） A．B．C． D． 【变式2】（2021·福建泉州·二模）已知顶点为的抛物线交轴于点，且与直线交于不同的两点、（、不与点重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）若， ①试说明：直线必过定点； ②过点作，垂足为点，求点到点的最短距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 直线与圆的位置关系（6大知识点5大考点16类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点一】直线和圆的三种位置关系 　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 【知识点二】直线与圆的位置关系的判定 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么： （1） 直线和圆相交; （2）直线和圆相切; （3）直线和圆相离; 【知识点三】切线的性质 （1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 【知识点四】切线的判定 （1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【知识点五】切线长定理 1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等. 【知识点六】三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形的内心：角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 考点与题型目录 【考点1】直线与圆的位置关系 【题型1】判断直线与圆的位置关系.............................................2 【题型2】直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离或半径的取值范围...............4 【考点2】切线的性质与判定 【题型3】切线概念的辨析+补充条件使直线为圆的切线............................6 【题型4】切线的性质定理.....................................................9 【题型5】切线的证明........................................................12 【题型6】切线的性质与判定综合..............................................15 【考点3】切线长定理 【题型7】利用切线长定理求解................................................19 【题型8】利用切线长定理证明................................................22 【考点4】三角形的内切圆 【题型9】三角形内切圆与外接圆综合..........................................26 【题型10】圆的外切四边形模型...............................................31 【题型11】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系...........................33 【题型12】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系...........................35 【考点5】圆与综合问题 【题型13】圆的综合问题——圆内知识综合.....................................41 【题型14】圆的综合问题——圆与三角形综合...................................47 【题型15】圆的综合问题——圆与四边形综合...................................52 【题型16】圆的综合问题——圆与函数综合.....................................58 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】判断直线与圆的位置关系 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在等边中，D为边上一点，且，连接，，若以点A为圆心，r为半径作圆． (1)当半径时，求与的位置关系；(2)当半径时，求与的位置关系． 【答案】(1)相离 (2)相切 【分析】题目主要考查直线与圆的位置关系，根据等边三角形的性质求出点到直线的距离是解题的关键 （1）根据等边三角形的性质得出，再由勾股定理确定，然后与半径比较即可； （2）根据（1）中结果，与半径比较即可． 解：（1）∵等边中，D为边上一点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 当半径时， ∵， ∴与的位置关系是相离； （2）当半径时， ∵， ∴与的位置关系是相切． 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交或相离 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据圆半径与圆心到直线的距离的关系“，相离；，相切；，相交”进行判定即可求解． 解：， ∴， 解得，， ∵d、r是方程的两个根， 当时，直线和的位置关系是相交； 当时，直线和的位置关系是相离； 故选：C ． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 ． 【答案】相切或相交/相交或相切 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件可知点在上，则可知直线与相切或相交，即可得到答案，由条件判断出点在圆上是解题的关键． 解：，， ， 点在直线上，， ∴点O到直线l的距离， 直线与相切或相交， 故答案为：相切或相交． 【题型2】直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离或半径的取值范围 【例2】（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    【答案】，或. 【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解本题的关键．与轴相切，即圆心到轴的距离等于的半径，也就是圆心的纵坐标y为，把y代入中，即可求出符合题意的圆心的坐标． 解：与轴相切，设圆心到x轴的距离为d， ，即点的纵坐标y为； 当时，即，解得：， 点的坐标为或； 当时，即，解得：， 点的坐标为； 综上，符合题意点的坐标为，或． 【变式】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画圆，若的边与有两个公共点，则r的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本量主要考查了直线与圆的位置关系，当和射线相切时，边与有一个公共点，此为临界点，r取最小值；当经过点A时，r取最大值．由此可得结论． 解：当与相切时，如图，   ， 又∵，且， 是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴； 当经过点A时，如图，    此时r取最大值，最大值为4， 综上可知，若的边与有两个公共点，则r的取值范围． 故答案为：． 【题型3】切线概念的辨析+补充条件使直线为圆的切线 【例3】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【变式1】（19-20九年级下·甘肃兰州·阶段练习）下列命题中，假命题是（　　） A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线 C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【答案】A 【分析】根据圆的切线的定义以及性质对各项进行判断即可． 解：A、经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；可能经过圆心，故本选项错误； B、圆的切线的判定定理：经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线；故本选项正确，故不符合题意； C、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确，故不符合题意； D、经过切点且垂直于切线的直线为圆的直径，所以它经过圆心；故本选项正确，故不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题考查了判断命题真假的问题，掌握圆的切线的定义以及性质是解题的关键． 【变式2】（2021·广东揭阳·一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点拨】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【题型4】切线的性质定理 【例4】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是圆O的切线，切点为B，交圆O于点C，且． (1)求的度数； (2)设圆O的半径为6，求图中阴影部分面积（结果保留与根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了扇形面积公式、切线的性质、勾股定理等知识 ，得出阴影部分的面积为是解题关键． （1）如图：连接，直接利用切线的性质得到，然后推导是等边三角形，得到的度数即可解答； （2）利用勾股定理得，再根据即可解答． 解：（1）如图：连接． 是圆O的切线，切点为B， ， 又， ． ， ， ， 是等边三角形， ， 的度数为． （2）圆O的半径为6，， ， 中，， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是的切线，是切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆中求角度，涉及切线性质、圆周角定理及四边形内角和为等知识，连接，如图所示，由切线性质得到，再由圆周角定理得到，最后由四边形内角和为计算即可得到答案，熟记切线性质、圆周角定理及四边形内角和是解决问题的关键． 解：连接，如图所示： 是的切线， ， ， ， ， 在四边形中，，，则由四边形内角和为可得， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆云阳·阶段练习）如图，是的切线，切点为点H，连接分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且，若的半径长为2，且，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接、，根据切线的性质，得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半和三角形内角和定理，得到，，利用勾股定理求出，然后利用圆周角定理得到，从而得到，推出，即可求出的长． 解：连接、， 是的切线，切点为点H， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题是圆和三角形的综合题，考查了切线的性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 【题型5】切线的证明 【例5】（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识； （1）由等腰三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，则，证出，则可得出结论； （2）由勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 解：（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：设的半径为， 在中，， ， ， ， 即， 解得，， ． 【变式1】（2024·江苏徐州·一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三点共圆，切线的判定，含的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作图，理解当P运动到圆上时，最大；过的中点Q作于P，由含的直角三角形的性质，可推出三点共圆，可证与圆Q相切于P，进而推出此时最大，再由勾股定理求解即可； 解：过的中点Q作于P，则， Q是的中点，， ， ， ，， ， ， 三点在以Q为圆心的圆上， ， 与圆Q相切与P， 此时最大， 在中，， 故选：． 【变式2】（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． 【题型6】切线的性质与判定综合 【例6】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）如图，连接，由与相切于点D，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，进而结论得证； （2）设⊙O的半径为r，则，，由，，得到，即，解得，从而，由（1）知，得到，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 解：（1）证明：连接， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）解：设⊙O的半径为r，则，， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， 即，解得， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（　　）    A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理．根据题意连结、OQ，当时，线段最短，即线段最短，再根据勾股定理求解即可． 解：如答图，连结、OQ．   是的切线， ， ， 当时，， 线段最短，即线段最短． ，， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式2】（22-23九年级下·山西长治·阶段练习）如图，是的直径，弦平分，连接，过点D作的切线交于点E，若，，则的长为 ．    【答案】1 【分析】过点O作于点F，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，特殊角的函数值计算即可． 解：过点O作于点F， ∵弦平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，    ∴； ∵，过点D作的切线交于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：1． 【点拨】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质是解题的关键． 【题型7】利用切线长定理求解 【例7】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，、分别与相切于点A、B，的延长线交于点C，连接，． (1)若，则 ． (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，证明，得出，根据即可得出． （2）过B作于E，根据等积法得出，求出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 解：（1）证明：如图，连接， ∵、分别与相切于点A、B， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过B作于E， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， 在中，． 【点拨】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，勾股定理，三角形面积的计算，全等三角形的判定和性质，求角的正切值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定． 【变式1】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，是的切线，点是切点，分别交于两点，若，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，全等三角形的判定和性质，根据切线性质和切线长定理可得，，， 进而可得，，即得，，得到，再利用四边形的内角和求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，连接， ∵是的切线，点是切点， ∴，，，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，的周长为32．若与三边分别相切于点E，F，D，则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，灵活运用切线长定理是解决问题的关键．先根据切线的性质得到，则利用的周长为32得到，则，然后证明为等边三角形，从而得到的长． 解：∵与三边分别相切于点E，F，D， ∴， ∵的周长为32． ∴， 即， ∴， 而， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：4． 【题型8】利用切线长定理证明 【例8】（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，点O为圆心，为半圆的直径，在上取一点C，延长至点D，连接，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，根据等边对等角得出，结合已知可得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据切线的判定和切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理即可得出结论． 解：（1）证明：连接，如图， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴是的切线， 又是的切线， ∴， 在中，，，， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， 解得， 即． 【变式1】（24-25九年级下·全国·期中）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（   ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 【答案】B 【分析】此题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 如图所示，连接，证明四边形是正方形，设步，根据切线长定理，得到步，步，利用勾股定理求出，然后构建方程求解即可． 解：如图所示，连接，，． ∵，是的切线， ∴，． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 设步，则步，步， ∵，，是的切线， ∴步，步． ∵步， ∴步． ∴． ∴． 故选：B． 【变式2】（2024·河南商丘·一模）如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为 ． 【答案】/ 【分析】连接，圆周角定理得到，利用切线长定理得到为等边三角形，进而得到，利用解直角三角形得到，作，证明，利用相似三角形的性质求解，即可解题． 解：连接， ∵是的直径， ， ∵切于点A，切于点B， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 作， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了切线的性质、切线长定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点；熟练掌握切线的性质和相似三角形的性质和判定是解题的关键． 【题型9】三角形内切圆与外接圆综合 【例9】（2024·上海·模拟预测）如图，是圆O直径，弦，垂足为D，圆O周长为， (1) ，求内切圆的面积；(2)，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了垂径定理、内切圆、圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． （1）连接，证明，则是等边三角形，得到，点O是的内心，求出，即可得到内切圆的面积； （2）连接，根据（1）中的结论求出，即可证明． 解：（1）解：连接， ∵是圆O直径，圆O周长为， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵是圆O直径，弦， ∴，垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，点O是的内心， ∴， ∴ ∴内切圆的面积为； （2）如图，连接， ∵是等边三角形， ， ∴，， ∴， ∵点O是的内心， ∴， ∴ ∴． 【变式1】（24-25九年级上·天津河北·期中）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接．若，，则点O到的距离为 ，的值为 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交于点P，则垂直平分，在中，根据勾股定理可得，设的半径为r，则，在中，根据勾股定理可得；根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到四边形是平行四边形，继而得到，然后根据，可得，自跟进，可得，即可求解． 解：连接，并延长交于点P，则垂直平分， ∵， ∴， 在中，， ∴， 设的半径为r，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 即点O到的距离为； ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； 【点拨】本题主要考查了三角形外接圆和外心、平行四边形的判定、平行线分线段成比例、圆周角定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 【题型10】圆的外切四边形模型 【例10】（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】见解析. 【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 解：∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【点拨】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 【变式1】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点拨】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 【变式2】（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 【答案】62° 【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可． 解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【点拨】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键． 【题型11】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例11】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【答案】30 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r    四者之间的关系是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．切于E，切于F，切于D，得出正方形推出，根据切线长定理结合三角形的周长求出，即可求出答案． 解：如图，切于E，切于F，切于D，连接， 则，， ∴四边形是正方形， ∴， 由切线长定理得：， ∵直角三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r， ∴， 即的周长是 ， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】连接、．由已知条件可得出，，结合已知条件证明四边形是正方形，由正方形的性质可得出， 根据切线长定理可得，，进而可得出，，，最后利用勾股定理列出方程求解即可． 解：连接、． ∵内切于， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴．． ∵内切于， ∴，， ∵，， ∴，， 在中， 即． 解得：，（舍去）， 故的半径为1． 故答案为：1． 【点拨】本题考查了三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理是解题的关键． 【题型12】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例12】（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 解：（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 【变式1】（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质可得，由三角形的内角和定理可得，等量代换即可判断选项B；根据切线长定理可设设，，，由，，，可列出方程组，求解即可判断选项C；过点C作于点H，根据勾股定理得到，构造方程可求出，得到，设的半径为r，即，根据即可求出的半径，从而判断选项D；由，得到，用反证法即可证得不成立，从而判断选项A． 解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∵，，， 设，，， ∴，解得， ∴，，，故C选项正确； 过点C作于点H， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 连接，，，， 设的半径为r，即， ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∴， ∴，解得：， ∴，故D选项正确； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 若成立， 则，这与矛盾， ∴不成立，故A选项错误． 故选：A 【点拨】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 【答案】 【分析】（）连接，由，利用等面积法即可求解； （）利用等面积法求出三角形的周长，再根据切线长定理进行转换即可求解； 本题考查了三角形的内切圆与内心，解直角三角形，切线长定理，解题的关键是作出辅助线，利用三角形等面积法进行求解． 解：（）连接， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：； （）∵的面积为， ∴， ∴即， ∴， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴， ， ， ， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【题型13】圆的综合问题——圆内知识综合 【例13】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若为直径，如图2，求的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，再根据同一个圆中，相等的圆心角所对的弦相等即可证明； （2）延长到点E，使得，连接，由四点共圆，可得，则，再由直径所对的圆周角为，得，，再由勾股定理可得，即可得出的值． （3）由题意可得，设，得出，证出，，再由求出，再由得出，即可得出结论． 解：（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长到点E，使得，连接， ∵四点共圆， ∴， ∵， ∴； 又由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴，； ∵为直径， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ， ． （3）解：由题可知：，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 且，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得（负值已舍去）， ∵，， ∴， ∴， ∴， 【点拨】本题考查了圆的综合性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 【变式】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，AB为的直径，C为上一点，D为弧BC的中点，连接AD、BC相交于E，过点B作的切线交AD的延长线于F； (1)求证：； (2)过点D作，垂足为H，求证：； (3)延长DH交于G，连接CG，交AD于N，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等弧所对应的圆周角相等求出，再根据切线性子定理以及直径所对应的圆周角为直角，推出，从而证明． （2）根据等弧所对应的圆周角相等推出，根据垂径定理推出，利用证明和全等，推出，从而证明． （3）根据等弧所对应的圆周角相等推出，再根据垂径定理逆定理推出，推出，从而证明，再利用圆内接四边形对角互补推出相等，证明和求出长度，再利用正切求出对应比例值，从而求出长度，即可求解的半径． 解：（1）证明：连接AC， 为的直径， ， ， 切于点B， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：连接OC，OD交BC于点M， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：连接AC、AG、DC，作的延长线于 ， ， ， 直径， ， ． ． ． ． ． ． 在和中， ． ． ， 在和中， ， ， ． 在中，． ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题是圆综合题，涉及到的知识点有圆周角定理、垂径定理、切线的性质、利用正切值概念求边长以及全等三角形的判定．解题的关键能否利用已知条件作对辅助线． 【题型14】圆的综合问题——圆与三角形综合 【例14】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)的长为 【分析】（1）连接，证明，得到，即可求证； （2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长即可． 解：（1）如图，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点晴】本题主要考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解决此题的关键． 【变式1】（2024·山东淄博·一模）如图，是的直径，半径，为上一动点，为的中点，连接．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理得到，可得点在以为直径的上，结合的半径为2，易得的半径为1，当点、、三点共线时，最长，利用勾股定理计算即可． 解：连接，如下图， ∵是的直径，为的中点， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵的半径为2， ∴的半径为1， 当点、、三点共线时，最长， 连接并延长，交于点， 故当点与点重合时，最长， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握垂径定理和圆的性质是解题的关键． 【变式2】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，为的弦，D为的中点，交于点F．若，则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题主要考查等弧所对的圆心角相等，三角形相似的判定与性质，圆周角定理，熟知圆周角定理是解题的关键． 连接，过点A作于点E，首先根据D为的中点，得出，再由平行线的性质得出，再由圆周角定理得出，根据勾股定理求出的长，并由等面积法求出的长，最后根据相似三角形的性质即可得出． 解：连接，过点A作于点E． 是的中点， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 的面积为， ， ． 故答案为：． 【题型15】圆的综合问题——圆与四边形综合 【例15】（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，．   (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】（1）连接，根据切线的性质，则，则，根据点是的中点，等弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的判定和性质，即可； （2）连接，根据平行四边形的判定，得四边形是平行四边形，根据，则平行四边形是菱形，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，得，；根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一边，得，再根据圆的面积公式，即可． 解：（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：．    【点拨】本题考查圆，三角形，菱形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，圆的切线，等边三角形的性质，菱形的判定和性质． 【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则三分之二的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接，由矩形的性质可得，，推出，证明，得到，推出，即当、、共线时，取最小值，最小值为，最后根据勾股定理求出，即可求解． 解：根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接， 矩形中，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 当、、共线时，取最小值，最小值为， ， 故选:B． 【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，线段和最短问题，解题的关键是正确作出辅助线． 【变式2】（23-24九年级上·安徽淮南·期末）如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则： （1）当四边形是正方形时， ； （2）当的一边与相切时，的长为 ． 【答案】 【分析】（1）先利用对称的性质得到，则可判断四边形为矩形，再根据圆周角定理，由为直径得到，则，由于点与点关于对称，则于，如图，设，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，接着利用正方形的性质得，则，所以，解得，于是得到； （2）当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则，先证明，得到，同时有，，设，则，，所以，在中，可表示出，，然后根据30度的直角三角形得，即，解方程求出即可得到的长． 解：（1）∵点与点关于对称，点与点关于点对称， ∴，， ∵点与点关于对称，点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵为直径， ∴， 在中， ∵， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴于，如图， 设， 在中， ∵，则， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 而， ∴，解得， ∴； 故答案为：； （2）当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则， ∵四边形为矩形， ∴，， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，， ∴， 在中，，， ∵， ∴，则， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题属于几何综合题，考查了圆周角定理、切线的性质和矩形的判定与性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，正方形的性质等，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【题型16】圆的综合问题——圆与函数综合 【例16】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 解：（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点拨】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 【变式1】（19-20九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度逆时针匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】当点P逆时针旋转时，在运动到B点之前，PB越来越小，过了B点PB越来越长，而PB最大等于直径长为2，所以可以直接选出对应图像． 解：当点P在如图位置时，PB的长小于PA， ∵OA=1，OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴PA= ，∴PB<PA<； 当P运动到点B时，PB=0，然后过了点B后PB逐渐增大，最大时PB为直径长即为2； 由此可知A项图像最符合题意， 故答案为：A． 【点拨】此题考查有关圆上的动点问题，可以根据运动轨迹来判断线段长度的变化，找出PB的最大值和最小值是解题关键点，难度一般． 【变式2】（2021·福建泉州·二模）已知顶点为的抛物线交轴于点，且与直线交于不同的两点、（、不与点重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）若， ①试说明：直线必过定点； ②过点作，垂足为点，求点到点的最短距离． 【答案】（1）；（2）①见解析；②． 【分析】（1）利用待定系数法解题； （2）①设，，，过点、向轴作垂线，垂足分别为、，顶点，证明，根据相似三角形的对应边成比例解得，设直线，联立，得一元二次方程，由根的判别式解得，再结合根与系数的关系解得，，代入中解题即可； ②根据90°角所对的弦是直径，解得点在以为直径的圆上，设圆心为点，则点，根据勾股定理解得的长，连接、，由三角形的三边关系解题即可． 解：（1）把点代入，得：， ∴， ∴； （2）如图： ①法一：依题意可设，，，过点、向轴作垂线，垂足分别为、，顶点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即，得， 设直线，联立，得， 则， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴，即， ∴（舍去）或， 当，即时，，令，则， ∴直线必过定点； 法二：前面同法一，可得：， 设直线，联立，得， 则， ∴， ∴，， ∵点与点在抛物线上， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 化简，得， ∴， ∴，解得：， 将代入，得：，令，则， ∴直线必过定点； ②∵点，点，点， ∴． ∵， ∴点在以为直径的圆上，设圆心为点，则点， ∴， 如图，连接、，则， 当且仅当点在线段上时，上式取“＝”号． ∴的最小值为． 【点拨】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、一次函数与二次函数综合、二次函数与一元二次方程、90°角所对的弦是直径、三角形三边关系、勾股定理等知识，是重要考点，难度大，掌握相关知识是解题关键． 1 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