专题02 函数的基本性质重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题02 函数的基本性质重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优） 题型一 函数奇偶性的定义与判断 题型二 由奇偶性求函数解析式 题型三 函数奇偶性的应用 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 由奇偶性求参数 题型六 由函数奇偶性解不等式 题型七 定义法判断或证明函数的单调性 题型八 求函数的单调区间 题型九 根据函数的单调性求参数值 题型十 利用函数单调性求最值或值域 题型十一 根据函数的最值求参数 题型十二 函数图象相关问题 题型十三 复合函数的单调性 题型十四 根据函数的单调性解不等式 题型十五 比较函数值的大小关系 题型十六 根据解析式直接判断函数的单调性 题型十七 函数不等式恒成立问题 题型十八 不同函数的最值问题 题型十九 奇偶函数对称性的应用 题型二十 函数奇偶性的综合应用 知识点01：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点02：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点04：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点05：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点06：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【经典例题一 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）函数的定义域为上任一点满足，则以下命题真命题的个数为（   ） ①一定是偶函数   ②一定是奇函数   ③可能是非奇非偶函数 ④若值域为，则一定是奇函数   ⑤的图形可能是个封闭的圆 ⑥若为偶函数，则值域为或 A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，其中，则关于函数的叙述中正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．的值域是 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论： ①若是奇函数或偶函数，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0； ②若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的奇函数与偶函数不存在； ③若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对； ④若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对．其中正确的是 .（填写序号）. 3．（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)． (2)． 【经典例题二 由奇偶性求函数解析式】 【例2】（2024·上海闵行·二模）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（      ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海闵行·期末）设函数是R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海崇明·二模）已知函数为奇函数，则 ． 3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知定义在上的函数为偶函数，且． (1)求的解析式； (2)判断并用单调性定义证明在的单调性． 【经典例题三 函数奇偶性的应用】 【例3】（24-25高一·上海·课堂例题）函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（24-25高一·上海·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，都有成立，则的值为（    ） A．2026； B．2022； C．2018； D．0． 2．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 3．（23-24高一上·上海·期末）设函数的表达式为（且） (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，证明：是一个常数； (3)在（2）的条件下，求的值． 【经典例题四 抽象函数的奇偶性】 【例4】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，对任何实数、，都有，且函数的最大值为，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）记，已知均是定义在实数集上的函数，设，有下列两个命题： ①若函数都是偶函数，则也是偶函数； ②若函数都是奇函数，则也是奇函数． 则关于两个命题判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知偶函数在上是严格减函数，.则不等式的解集为 . 3．（23-24高一·上海·假期作业）已知函数的定义域关于原点对称，且满足（1）（2）存在正常数，使得 求证：（1）是奇函数； （2）是周期函数，并且有一个周期为 【经典例题五 由奇偶性求参数】 【例5】（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数为偶函数，若，则a不可能为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知函数为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）记，求时的值； （2）是否存在正数，使函数是偶函数？若存在，求出正数，若不存在，请说明理由． 【经典例题六 由函数奇偶性解不等式】 【例6】 （23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义域为的函数满足条件：①对任意的，恒有；②；③，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海静安·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时的图象如图所示，那么的解集是 .    3．（2024高一·上海·专题练习）设函数(，且)． (1)若，判断的奇偶性和单调性； (2)若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； (3)若，且在上的最小值为-2，求实数的值． 【经典例题七 定义法判断或证明函数的单调性】 【例7】（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 1．（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 2．（24-25高一上·上海·期中）已知函数定义在上，且对任意的，，，都有，，则不等式的解集为 ． 3．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知函数为奇函数． (1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【经典例题八 求函数的单调区间】 【例8】（23-24高一上·上海静安·期中）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海杨浦·期中）判断下列选项中正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．若对于区间I上的函数，满足对于任意的，，，则函数在I上是增函数 C．已知时，，则 D．已知，则． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 3．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数、在数集D上都有定义，对于任意的，，当时，或成立，则称是在数集D上的限定函数． (1)试判断函数是否是函数在上的限定函数； (2)设是在区间上的限定函数且在区间上的值恒负，求证：函数在区间上是严格减函数； (3)设，试写出函数在上的限定函数，并利用（2）的结论，求在上的单调区间，并说明理由． 【经典例题九 根据函数的单调性求参数值】 【例9】（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若函数在上为单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）“”是“函数在上为严格增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（23-24高一上·上海青浦·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数． (1)若的最大值为0，求实数a的值； (2)设在区间上的最大值为，求的表达式； (3)令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围． 【经典例题十 利用函数单调性求最值或值域】 【例10】（23-24高一上·上海闵行·期末）设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（    ） A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一 C．的最大值为3 D．的最小值为3 1．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期末）田同学向肖老师请教一个问题：已知三个互不相同的实数，，满足和，求的取值范围.肖老师告诉他：函数在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数.根据肖老师的提示，可求得该问题中值范围是 . 3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)写出一个奇函数和一个偶函数，使； (2)对（1）中的.命题：函数在区间上是增函数；命题：函数是减函数；如果命题、有且仅有一个是真命题，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的取值范围. 【经典例题十一 根据函数的最值求参数】 【例11】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D． 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．   2．（23-24高一上·上海静安·期中）若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的“倒值区间”为 ． 3．（2024高一上·上海·专题练习）已知函数，若当时，函数都能取到最小值，求实数的取值范围. 【经典例题十二 函数图象相关问题】 【例12】 （23-24高一上·上海长宁·阶段练习）设函数的定义域是，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024高一上·上海·专题练习）已知函数则下列描述中正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数有最小值，无最大值 D．函数的图象是两条射线 2．（2024高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)作出，的图像； (2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示． 【经典例题十三 复合函数的单调性】 【例13】（2024高一·全国·专题练习）下列结论正确的是（    ） A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 1．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 3．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）设函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间的最大值和最小值． 【经典例题十四 根据函数的单调性解不等式】 【例14】（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海金山·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有. (1)求的值； (2)若，求x的取值范围. 【经典例题十五 比较函数值的大小关系】 【例15】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）已知，点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)设，试比较的大小，并说明理由； (2)若关于x的不等式在其定义域上恒成立，求实数m的取值范围. 【经典例题十六 根据解析式直接判断函数的单调性】 【例16】（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·山东·期中）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设函数，若，则 ． 3．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【经典例题十七 函数不等式恒成立问题】 【例17】（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海·期末）已知命题“对，都有 恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知 （1）若时，的两根为，则的最小值为 . （2）若时，恒成立，则的最小值为 . 3．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 【经典例题十八 不同函数的最值问题】 【例18】 （23-24高一上·上海静安·期中）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 2．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）若函数（常数），对于任意两个不同的、，当、时，均有（为常数，）成立，如果满足条件的最小正整数为，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是二次函数，且满足，，． (1)求函数的解析式，并证明在上单调递增； (2)设函数，，，求函数的最小值． 【经典例题十九 奇偶函数对称性的应用】 【例19】（23-24高一上·上海青浦·期末）在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（    ）． A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）若定义在上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·河北衡水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都有，且. (1)求证：； (2)判断奇偶性，并证明； (3)若，且在上单调递增，解关于的不等式. 【经典例题二十 函数奇偶性的综合应用】 【例20】（23-24高一上·上海嘉定·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数对都有，若的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．是周期为4的周期函数 D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于定义域为的函数，下述判断正确的是 ．（填序号） ①若函数是偶函数，则；②若，则函数是偶函数；③若，则函数不是偶函数． 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 1．（24-25高一上·上海·期中）已知在上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知为定义在R上的函数，则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．（24-25高一上·上海·期中）设奇函数的定义域为R，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海松江·期末）设函数与均是定义在上的函数，有以下两个命题：①若是周期函数，且是上的减函数，则函数必为常值函数；②若对任意的a，，有成立，且是上的增函数，则是上的增函数．则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 5．（2024·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数 是 上的严格增函数，则实数 的取值范围是 7．（23-24高一上·上海嘉定·期末）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值 . 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数，将向左平移个单位得到函数，将向上平移个单位得到函数，若的图像恒在的图像的上方，则正数的取值范围为 ． 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）“求方程的解”有如下解题思路：设，则是上的严格减函数，且，所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，可得不等式的解集为 ． 10．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面五个关于的命题：①是周期函数：②图象关于对称；③在上是增函数；④在上为减函数；⑤，其中的真命题是 ．（写出所有真命题的序号） 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，为常数． (1)若为偶函数，求的值； (2)设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围． 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的严格增函数，且满足． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 13．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）已知函数，. (1)求函数的定义域和的值域； (2)证明：为偶函数并判断的单调性和奇偶性； (3)求关于x的不等式的解集. 14．（24-25高一上·上海·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，若存在，使得，求的取值范围； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）新定义：对给定的奇函数，偶函数，若，则称为和的“奇偶函数”；对给定的奇函数，偶函数，若，则称为和的“偶奇函数” (1)若奇偶函数在上严格递增，求证：奇偶函数在上为严格增函数 (2)求证：一个函数是奇偶函数的充要条件是该函数是偶奇函数 (3)若，其中为奇偶函数，为偶奇函数，若在上严格递增，将向右平移一个单位得到，若恒成立，求：的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数的基本性质重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优） 题型一 函数奇偶性的定义与判断 题型二 由奇偶性求函数解析式 题型三 函数奇偶性的应用 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 由奇偶性求参数 题型六 由函数奇偶性解不等式 题型七 定义法判断或证明函数的单调性 题型八 求函数的单调区间 题型九 根据函数的单调性求参数值 题型十 利用函数单调性求最值或值域 题型十一 根据函数的最值求参数 题型十二 函数图象相关问题 题型十三 复合函数的单调性 题型十四 根据函数的单调性解不等式 题型十五 比较函数值的大小关系 题型十六 根据解析式直接判断函数的单调性 题型十七 函数不等式恒成立问题 题型十八 不同函数的最值问题 题型十九 奇偶函数对称性的应用 题型二十 函数奇偶性的综合应用 知识点01：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点02：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点04：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点05：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点06：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【经典例题一 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）函数的定义域为上任一点满足，则以下命题真命题的个数为（   ） ①一定是偶函数   ②一定是奇函数   ③可能是非奇非偶函数 ④若值域为，则一定是奇函数   ⑤的图形可能是个封闭的圆 ⑥若为偶函数，则值域为或 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由函数一对一或多对一的特征，函数在时是由第一或第四象限的部分点或弧组成，在时是由第二或第三象限的部分点或弧组成，再结合奇偶的定义及几何特征及值域的定义判断即可. 【详解】如图所示，函数的定义域为， 可得函数在时是由第一或第四象限的部分点或弧组成， 在时是由第二或第三象限的部分点或弧组成， 所以不一定是奇函数，也不一定偶函数，可能是非奇非偶函数， 故①②错，③对； 若函数值域为，依下图的特征，只能是一一对应关系才能满足， 结合下图轴对称与中心对称的特征，则必有， 故函数一定是奇函数，故④对； 由图可知的图形不可能是个封闭的圆，故⑤错误； 若函数是偶函数，只需有关于轴对称的弧或点即可， 故值域不一定是或，故⑥错. 故选：A. 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，其中，则关于函数的叙述中正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．的值域是 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义直接判断各选项. 【详解】因为， 所以， 所以为偶函数，B选项错误； ， 所以为偶函数，A选项正确，C选项错误； 又因为，所以， 所以值域不可能负数，D选项错误； 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论： ①若是奇函数或偶函数，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0； ②若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的奇函数与偶函数不存在； ③若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对； ④若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对．其中正确的是 .（填写序号）. 【答案】①③④ 【分析】利用奇偶性的定义即可判断①选项；通过举例，即可判断②选项；通过构造，即可判断③选项；通过构造，，即可判断④选项. 【详解】对于①，则， 当为奇函数时， 则即; 当为偶函数时，则即 即满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数， 其函数值为 0 ， 故①正确; 对于②，当时，不具有奇偶性， 满足的奇函数与偶函数存在， 故②错误； 对于③为奇函数时，令奇函数 偶函数则， 因为， 故存在无数对奇函数与偶函数， 满足， 故③正确; 对于④为偶函数，令奇函数， 偶函数 则， 因为，故存在无数对奇函数与偶函数， 满足.故④正确. 故答案为：①③④. 3．（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)． (2)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）先求函数的定义域，再求与的关系即可判断函数的奇偶性； 【详解】（1）令，， ， 所以， 所以函数为偶函数. （2）令， ，解得或， 所以，所以既有，又有， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 【经典例题二 由奇偶性求函数解析式】 【例2】（2024·上海闵行·二模）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性可得不等式等价于，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果. 【详解】因为为奇函数，所以等价于，即； 当时，，即，解得； 当时，，可得，所以， 解不等式，可得， 综上可得集合可表示为. 故选：D 1．（23-24高一上·上海闵行·期末）设函数是R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象的递减区间，分析可得答案. 【详解】根据题意，设，则， 所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 即时，，此时函数在上单调递减，在单调递增； 当时，，此时函数在上单调递增，在单调递减； 所以函数在上单调递减， 若，即，又由，且，必有时，， 解得：，所以不等式的解集为. 故选：. 【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下： （1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性； （2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系. 2．（2024·上海崇明·二模）已知函数为奇函数，则 ． 【答案】/ 【分析】考查分段函数奇偶性，先根据函数奇偶性求出函数解析式即可求出函数值. 【详解】令，则由题意为奇函数， 所以当时，， 此时， 故，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知定义在上的函数为偶函数，且． (1)求的解析式； (2)判断并用单调性定义证明在的单调性． 【答案】(1) (2)在单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用偶函数的定义和即可求解； （2）在单调递减，利用函数单调性定义，设，作差，整理变形即可证明. 【详解】（1）由题意，，∴，∴a＝0， ∵，∴b＝1，∴． （2）在单调递减，证明如下 设，， ∵，∴，，，， ∴，即，∴在单调递减． 【经典例题三 函数奇偶性的应用】 【例3】（24-25高一·上海·课堂例题）函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论. 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图像关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B 1．（24-25高一·上海·课堂例题）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，都有成立，则的值为（    ） A．2026； B．2022； C．2018； D．0． 【答案】D 【分析】利用条件求出周期，再根据奇函数得，即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 可得，， 所以， 所以，是周期为4得函数， 则. 故选：D 2．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】依题意不妨令，即可得，令，，即可得到在上单调递增，再由及奇偶性得到在上的取值情况，从而得到的解集. 【详解】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·期末）设函数的表达式为（且） (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，证明：是一个常数； (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出定义域，根据奇偶性的定义求解即可； （2）根据为奇函数，得到，进而求解； （3）利用（2）的结论，即，与首末等距离的两项相加即可. 【详解】（1）的定义域为，， ， 为上的奇函数； （2）由（1）知，为上的奇函数，即， 令取，则， ， ， 是一个常数； （3）由（2）知，， 令，则，即， 即. 【经典例题四 抽象函数的奇偶性】 【例4】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，对任何实数、，都有，且函数的最大值为，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令求得，令，可得，进而可得是上的奇函数，再由是奇函数，可得是奇函数，根据奇函数的最大值与最小值互为相反数即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，对任何实数、，都有， 令可得，解得， 令，可得， 所以，即， 所以函数是上的奇函数， 因为是上的奇函数，所以是上的奇函数， 所以，即，所以， 故选：A 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）记，已知均是定义在实数集上的函数，设，有下列两个命题： ①若函数都是偶函数，则也是偶函数； ②若函数都是奇函数，则也是奇函数． 则关于两个命题判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】对于①，根据偶函数的定义判断；对于②，举反例即可. 【详解】对于①，若函数都是偶函数，则，所以 ，所以也是偶函数；命题①正确； 对于②，若函数都是奇函数，如都是R上的奇函数， 而不是定义在R上的奇函数，命题②错误； 故选：B. 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知偶函数在上是严格减函数，.则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，且，所以， 又因为函数在上单调递减，且， 所以不等式可化为，解得：； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，解得：， 综上：原不等式的解集为：， 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·假期作业）已知函数的定义域关于原点对称，且满足（1）（2）存在正常数，使得 求证：（1）是奇函数； （2）是周期函数，并且有一个周期为 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）将和分别代入抽象表达式（1），即可判断与之间互为相反数，并判断函数是奇函数； （2）根据条件，结合抽象函数的关系以及周期的定义进行推导即可. 【详解】（1）不妨令， 则， 所以是奇函数； （2）若，， 所以， 则 ， 即， 所以， 所以是周期函数，是一个周期. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关抽象函数的应用以及函数奇偶性和周期性的判断和求解，正确解题的关键是熟练掌握定义并能熟练应用. 【经典例题五 由奇偶性求参数】 【例5】（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数为偶函数，若，则a不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数性质，列关系式确定的关系，由此确定的范围即可. 【详解】因为为偶函数， 所以恒成立，即恒成立， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 因为，所以， 故选：D 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知函数为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义求出的值，然后解得解集即可. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以，解得， 所以， 则由可得，即， 解得，即或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由定义域关于原点对称解得，再结合函数单调性与对称性，转化不等式为求解可得. 【详解】因为为偶函数，故即， 即为， 由为偶函数，则， 又在上严格增函数，且为偶函数， 故在上为严格减函数， 故，解得或. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）记，求时的值； （2）是否存在正数，使函数是偶函数？若存在，求出正数，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或； （2）. 【分析】（1）由，得到指数方程，换元转化为一元二次方程求解即可； （2）由偶函数的定义求解参数即可. 【详解】（1），求， 所以，所以， 令，则，解得或， 故或， 所以或. （2）若是偶函数，则， 即，所以，所以， 故当时，是偶函数. 【经典例题六 由函数奇偶性解不等式】 【例6】 （23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合函数的奇偶性确定函数的单调性，画出函数简图，讨论，，三种情况，解得答案. 【详解】任意的，有，则函数在上单调递增， 函数为定义在上的奇函数，故函数在上单调递增. ，故，又，画出函数简图，如图所示：    当时，，即，； 当时，，即，； 当时，不成立. 综上所述：. 故选：A 1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义域为的函数满足条件：①对任意的，恒有；②；③，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，利用函数的单调性、奇偶性，分类讨论解不等式. 【详解】因为，恒有， 所以在上恒成立，即在上单调递增， 因为，所以，即是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递减，又，所以， 对于不等式， 当时，，可得； 当时，，可得； 综上，不等式的解集是. 故选：A 2．（23-24高一上·上海静安·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时的图象如图所示，那么的解集是 .    【答案】 【分析】由图象结合奇函数性质分类讨论即可求解. 【详解】由题意，当时，或，， 所以， 所以的解集是. 故答案为：. 3．（2024高一·上海·专题练习）设函数(，且)． (1)若，判断的奇偶性和单调性； (2)若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； (3)若，且在上的最小值为-2，求实数的值． 【答案】(1)是奇函数且单调递减； (2)； (3)． 【分析】（1）利用函数奇偶性和单调性的定义即可判断和证明； （2）由解得，由（1）知为减函数且为奇偶函数，利用奇偶性和单调性可知原不等式等价于，利用二次函数恒成立即可求解； （3）由可得，，令，则根据其单调性可得，，对称轴为，分别讨论和时，的最小值即可求解． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称；又因为，所以是上的奇函数； 任取，，且， ， 因为，，所以，， 所以，， 所以， 所以在上单调递减， （2）即，所以， 因为，所以， 由（1）知在上单调递减的奇函数， 原不等式等价于， 所以，即恒成立， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是： （3），即， 解得：或（舍） 所以， 令，则在单调递增， 所以， ，对称轴为， 当时，，解得：或（舍） 当时，， 解得：不符合题意， 综上所述：． 【点睛】对于指数复合型函数求值域或最值，往往需要换元，转化为关于新元的二次函数，再利用二次函数的性质求最值，注意新元的取值范围． 【经典例题七 定义法判断或证明函数的单调性】 【例7】（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，对于：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得是的充分条件；对于，利用单调性的定义，据反例可得不是的充分条件；综合可得答案． 【详解】根据题意，对于：任意，，都有， 令，则有， 再令，有，变形可得， 则函数为奇函数； 设，有， 则有， 必有， 故函数是上的严格增函数， 则是的充分条件； 对于，例如，当，满足时，都有；但不是单调递增函数，故不是的充分条件； 故选：B． 1．（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解. 【详解】对于命题，令函数， 则，此时，当函数不是奇函数， 所以命题为假命题， 对于命题，当时，都有，即，不可能， 即当时，可得，满足增函数的定义，所以命题为真命题. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知函数定义在上，且对任意的，，，都有，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的结构构新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】不妨设，则， 所以， 设，则在上单调递减， 由， 又，则，， 即， 所以或. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知函数为奇函数． (1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减 (2) 【分析】（1）根据奇函数的含义可求得的值，根据函数单调性的定义法可求得单调性； （2）根据单调性以及奇函数性质可得，从而得到不等式，求解即可. 【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为R，则， 所以，即， 此时，满足，即为奇函数， ，定义域为R，对，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即函数在R上单调递减； （2）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又因为函数在R上单调递减， 所以，因为存在实数，使得， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【经典例题八 求函数的单调区间】 【例8】（23-24高一上·上海静安·期中）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的导数，根据导数的性质即可求解. 【详解】设，定义域为， 则，令， 所以函数的单调减区间是. 故选：A. 1．（23-24高一上·上海杨浦·期中）判断下列选项中正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．若对于区间I上的函数，满足对于任意的，，，则函数在I上是增函数 C．已知时，，则 D．已知，则． 【答案】D 【分析】取特殊值判断A,由函数单调性定义判断B，根据函数解析式判断C，根据配凑法求解析式判断D. 【详解】取，则，所以函数单调递减区间是错误，故A错误； 由可得，由函数的单调性定义知函数为减函数，故B错误； 由可得，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 【答案】（或） 【分析】根据复合函数的单调性求解. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减， 所以在上单调递增. 故答案为：（或） 3．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数、在数集D上都有定义，对于任意的，，当时，或成立，则称是在数集D上的限定函数． (1)试判断函数是否是函数在上的限定函数； (2)设是在区间上的限定函数且在区间上的值恒负，求证：函数在区间上是严格减函数； (3)设，试写出函数在上的限定函数，并利用（2）的结论，求在上的单调区间，并说明理由． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)证明见解析 (3)函数在上的限定函数为，的严格增区间是，的严格减区间是，理由见解析. 【分析】（1）根据限制函数的定义，即可得出结论； （2）对任意的，上恒为负值，所以，，根据限制函数的定义，推出，进而证出函数的单调性； （3）设，通过化简得，得到，然后推出，由，可得增区间，由，可得减区间． 【详解】（1）解：对任意， 因为， 所以在上的限制函数为． （2）证明：对任意的上恒为负值，所以，， 由于或成立， 所以，不妨设，则， 所以在上是严格减函数； （3）解：设， 则， 所以，即， 由，解得， 因而当，，严格减， 即的严格增区间是． 当时，，严格增， 即的严格减区间是． 故函数在上的限定函数为，的严格增区间是，的严格减区间是. 【经典例题九 根据函数的单调性求参数值】 【例9】（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）若函数在上为单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值符号后，结合二次函数的单调性求解． 【详解】，要使在上为单调函数， 则或，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 1．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）“”是“函数在上为严格增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】求出函数在区间上为增函数的的取值范围，结合与的关系求出答案 【详解】的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的真子集， 所以“”是“函数在区间上为严格增函数”的充分不必要条件.    故选：A 2．（23-24高一上·上海青浦·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上， 所以函数在上单调递增， 因为函数在区间上单调递增， 所以， 解得. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数． (1)若的最大值为0，求实数a的值； (2)设在区间上的最大值为，求的表达式； (3)令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数最值可得答案； （2）分类讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数可得最值； （3）利用对勾函数的最值问题，分情况讨论，结合单调性的可得答案. 【详解】（1）， 因为的最大值为0，所以， 所以或. （2）函数的对称轴为， 当，即时，在上是减函数，所以； 当，即时， 当时，是减函数，当时，是增函数， 所以； 当，即时，在上是增函数，所以， 所以. （3）由题意， 令可得，简图如下， 当时，即时，在是增函数， 所以，成立. 当时，即时， 在上是减函数，在上是增函数， 所以，解得，不成立； 当时，即时，在上是减函数， 所以，解得，不成立； 综上所述，. 【经典例题十 利用函数单调性求最值或值域】 【例10】（23-24高一上·上海闵行·期末）设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（    ） A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一 C．的最大值为3 D．的最小值为3 【答案】D 【分析】代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出b的值唯一，则A项错误；代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出a的值唯一，则B项错误；分、、三种情况，求出函数的解析式，得到函数的值域，分别求出的范围，即可判断C、D项. 【详解】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，故A项错误； 对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，故B错误； 对于C、D项， ①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以； ②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以； ③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或. 当时，即，此时有； 当时，即，则，此时有. 综上所述，. 故C项错误，D项正确. 故选：D. 1．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可求存在，使等式成立的实数的取值集合，求其补集即可. 【详解】由得，函数在上为增函数， ∴， 故当命题“存在，使等式成立”是假命题时，实数的取值范围为. 故选：D. 2．（23-24高一上·上海·期末）田同学向肖老师请教一个问题：已知三个互不相同的实数，，满足和，求的取值范围.肖老师告诉他：函数在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数.根据肖老师的提示，可求得该问题中值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可得：，，结合韦达定理和根的判别式可得，由，得，令，结合条件得到的单调性，从而得到值范围 【详解】由题和，，得， 所以，则，即， 又，所以由韦达定理得和为关于的方程的两个不等根， 所以，即，得， 再由，得，令， 根据题意可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，，，， 当时，，或，，不满足实数，，互不相同； 当时，，或，，不满足实数，，互不相同； 所以值范围是， 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)写出一个奇函数和一个偶函数，使； (2)对（1）中的.命题：函数在区间上是增函数；命题：函数是减函数；如果命题、有且仅有一个是真命题，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令中的为，然后解方程组求解； （2）求出命题，为真是的范围，再确定命题、有且仅有一个是真命题时的取值范围； （3）利用函数单调性求解即可. 【详解】（1）①， 则， 即②， 由①②得； （2）对于命题：函数在区间上是增函数， 则，解得或，且， 对于命题：函数是减函数，则，解得，且， 当真假时：，当假真时：， 所以如果命题、有且仅有一个是真命题，的取值范围是； （3）因为，此时， 所以，明显其在上单调递增， 所以. 即的取值范围为. 【经典例题十一 根据函数的最值求参数】 【例11】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数奇偶性计算求出a，接着代入化简得，令，构造函数，再分和两种情况求出，即可由求解m. 【详解】因为函数定义域为R，且是偶函数， 所以即， 故， 所以，所以， 所以 ， 令，由于，当且仅当即时等号成立， 则，令， 当即时，在上单调递增， 所以，符合题意； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 综上. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是根据偶函数定义和指数对数的运算性质求出a，进而化简函数，关键2是根据函数的结构特征构造二次函数求函数的最值，进而结合题设可计算得解. 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，由，画出的图象，结合图象得出实数的范围. 【详解】令，，则恒成立，即任意满足，作出的图象，由图可知. 故选：D    2．（23-24高一上·上海静安·期中）若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的“倒值区间”为 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可求出当的解析式，根据函数的单调性结合倒置区间的定义建立方程进行求解即可． 【详解】若，则，则， 由是奇函数，则，则，即，， 若，则满足，此时，而，此时方程的不成立， 若，时，函数的最大值为，此时应该，此时与矛盾， 则必有，此时函数为减函数，则， 整理得，解得，， 即在上的“倒值区间”为， 故答案为： 3．（2024高一上·上海·专题练习）已知函数，若当时，函数都能取到最小值，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据的符号分类讨论，利用绝对值的定义化简函数，根据题意列不等式求解即可. 【详解】当时，， 在上递减，上为常数函数，上递增， 此时，不论闭区间处于何区间，均有最小值， 同理：当时，， 在上递减，上为常数函数，上递增， 显然，此时函数能取到最小值， 当时，，其在时明显有最小值， 综上所述：的取值范围是. 【经典例题十二 函数图象相关问题】 【例12】 （23-24高一上·上海长宁·阶段练习）设函数的定义域是，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象，求出方程的实数解，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域是，满足，则， 且当时，， 当时，，则， 当时，，则， 且当时，， 则， 令，解得或，如下图所示： 因为对任意，都有，由图可知，， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 1．（2024高一上·上海·专题练习）已知函数则下列描述中正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数有最小值，无最大值 D．函数的图象是两条射线 【答案】B 【分析】画出函数图象即可求解. 【详解】函数的图象如下图所示： 由图可得：函数的图象无对称轴，故A选项错误； 函数的图象关于点对称，故B选项正确； 函数有最小值，有最大值，故C选项错误； 函数的图象是两条射线和一条线段，故D选项错误. 故选：B． 2．（2024高一上·全国·专题练习）定义为中的最小值，设，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分， 从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点， 即， 所以． 故答案为：2. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)作出，的图像； (2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据绝对值的性质去绝对值，即可得函数表达式，进而根据一次函数的性质作出图象即可， （2）根据的定义，即可结合函数图象求解. 【详解】（1） 图像如图． （2）函数的图像如图． 表达式为 【经典例题十三 复合函数的单调性】 【例13】（2024高一·全国·专题练习）下列结论正确的是（    ） A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 【答案】C 【分析】 根据反比例函数、二次函数以及分段函数的单调性，结合图形，依次判断即可求解. 【详解】 对A，由，解得或， 则函数的定义域为或，如图， 所以函数的单调增区间为，故A错误； 对B，， 函数的定义域为，所以在和上分别为减函数， 但不能说定义域内单调递减，故B错误； 对C，函数，如图， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为，故C正确； 对D，当时，函数的图象开口向下，对称轴为， 所以的单调减区间为， 又当时，为减函数，但中间不能用“”这个符号，故D错误. 故选：C 1．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再确定在上单调递增，结合复合函数单调性，即可求得答案. 【详解】由可得， 解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为， 故选：C 2．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围. 【详解】依题意，在区间上单调递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）设函数． (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的单调递增区间是；单调递减区间是 (3)； 【分析】（1）根据定义域的定义和一元二次不等式的解法求解即可 （2）根据复合函数的单调性求解即可 （3）根据函数单调性求最值即可 【详解】（1）由， 所以的定义域 （2）由（1）知的定义域， 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 （3）由（2）知在单调递增，在单调递减， 在区间的最大值为，又 所以在区间的最小值为， 故在区间的最大值为，最小值为， 【经典例题十四 根据函数的单调性解不等式】 【例14】（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 由，有，即. 故选：A. 1．（23-24高一上·上海金山·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 2．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，解之即可得解. 【详解】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用函数单调性的定义判断得在上单调递减，从而分类讨论即可得解. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有. (1)求的值； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用赋值法，令，得，就可解得； （2）由，从而将转化成，然后函数的单调性和定义域建立关系，解之即可. 【详解】（1）因为对于任意，有， 所以令，得， 所以； （2）设，则. 又因为当时，， 所以，即， 所以在定义域内为增函数. ，即时，原不等式可化为. 又因为在定义域上为增函数， 所以，解得或. 又因为，所以. 所以的取值范围为. 【经典例题十五 比较函数值的大小关系】 【例15】（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，分析单调性即可得结果． 【详解】由题意可知，可得， 构造函数，则是上的减函数. 故，即，由此得， 故选：C. 1．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）已知，点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的对称性和单调性求解即可. 【详解】二次函数，其图象的对称轴方程为， 而，所以，即， 当时，是单调增函数， 因为，所以，所以，即， 综上，． 故选：D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】由条件②可得，结合条件①可得；由条件③可得在单调递减,结合条件②可得在上单调递增，结合单调性可以得到函数值的大小顺序. 【详解】由条件②函数的图象关于直线对称，所以， 由①，可得， 因为，即， 所以，所以， 由③知，所以函数在上单调递减， 由条件②函数的图象关于直线对称， 所以在单调递增， 所以，即． 故答案为： 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)设，试比较的大小，并说明理由； (2)若关于x的不等式在其定义域上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明方法，可得答案； （2）由题意整理不等式，根据二次不等式恒成立，可得答案. 【详解】（1）， 理由如下: ， 因为 ， 则 ， 所以， 即 ， 所以，即 （2）因为函数，则不等式可化为， 化简可得对一切恒成立，所以，解得， 所以的取值范围为. 【经典例题十六 根据解析式直接判断函数的单调性】 【例16】（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数在各段的单调性，由，分和两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】因为，则当时，即在上单调递减， 当时，则在上单调递增， 又， 若，即或时，由，则， 即或，解得或， 若，即时，由， 可得，即，解得或（舍去）， 所以或，又， 所以或， 综上可得或，即. 故选：A 1．（23-24高一上·山东·期中）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性的定义知函数在在上为减函数，然后逐项分析即可. 【详解】根据题意，“对任意的，使得”， 则函数在上为减函数. 对于选项A，为二次函数，其开口向下且对称轴为， 所以在上递减，符合题意； 对于选项B，，因为在上递增，在上递增， 所以由单调性的性质知，在上递增，不符合题意； 对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意； 对于选项D，在上单调递增，不符合题意. 故选：A. 2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设函数，若，则 ． 【答案】 【分析】由分段函数各区间对应函数的单调性及已知条件求得，进而结合解析式求目标式函数值. 【详解】由在上递增且值域为，在上递增且值域为， 又，故，即，可得， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集，可得对应方程的解，进而可得参数值及函数解析式； （2）方法一：分离参数，根据函数单调性可得最值及参数范围；方法二：结合二次函数的最值情况分情况讨论可得参数范围. 【详解】（1）因为的解集是， 则的两根是和， 由根于系数关系可得， 解得， 所以； （2）方法一：关于的不等式在上有解，等价于，使得， 则，， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取到最大值，， 所以， 故的取值范围是； 方法二：由题知，即关于的不等式在上有解，令，等价于在区间上的最小值， 图象的对称轴是，根据二次函数图象对称轴和区间位置关系可知， ①当，即时，此时的最小值，则，解得； ②当，即时，的最小值，此时恒成立，所以得； ③当，即时，，则由，解得； 综上所述，的取值范围是. 【经典例题十七 函数不等式恒成立问题】 【例17】（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当，，明显函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是. 故选：D. 1．（23-24高一上·上海·期末）已知命题“对，都有 恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 2．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知 （1）若时，的两根为，则的最小值为 . （2）若时，恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】（1）依题意可得，列出韦达定理，则，结合二次函数的性质计算可得； （2）令解得，分析可得，从而得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）若时 ，， 方程，即，显然， 所以，， 则， 所以当时，取得最小值，且最小值为． （2），当时，恒成立， 由解得， 当时，；当时，； ∴当时，，当时，； ∴，∴， ，当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值是． 故答案为：； 3．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干函数的性质求解； （2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解. 【详解】（1）， 设 则. 由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 又当时，，当时，， 所以，即的值域为. （2）因为在上为减函数，故. 由题意，的值域是的值域的子集， . 【经典例题十八 不同函数的最值问题】 【例18】 （23-24高一上·上海静安·期中）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对二次函数进行配方，结合函数的性质可得的值域，进而得到的值域． 【详解】，故 所以函数的值域为， 故选：B． 1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【分析】将已知转化为关于的二次方程，根据，可求得最值. 【详解】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，. 故选：D 2．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）若函数（常数），对于任意两个不同的、，当、时，均有（为常数，）成立，如果满足条件的最小正整数为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知对任意的、且恒成立，且对任意的、且有解，进而可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 ， 因为，由可得， 由题意可得对任意的、且恒成立， 且对任意的、且有解， 即，即恒成立， 或有解， 因为、且，则， 若恒成立，则，解得； 若或有解， 则或，解得或； 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是二次函数，且满足，，． (1)求函数的解析式，并证明在上单调递增； (2)设函数，，，求函数的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用待定系数法即求，再利用单调性的定义可证； （2）令，则，，利用二次函数的性质分类讨论即求. 【详解】（1）设， ，， 即 ，解得， ，则. 证明：任取，，且 因为，则， 所以， ∴在上单调递增． （2）令，则由（1）知， 则，记， 当时，； 当时，； 当时，． 故． 【经典例题十九 奇偶函数对称性的应用】 【例19】（23-24高一上·上海青浦·期末）在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（    ）． A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】B 【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解. 【详解】因为，所以函数关于成轴对称， 所以区间与区间，区间与关于对称， 由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数， 又函数是偶函数，所以函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 故选：B 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）若定义在上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知有偶函数在上递减，在上递增，且，结合不等关系有即可求解集. 【详解】由题设，偶函数在上递减，在上递增，且， 由，则， 所以解集为. 故选：D 2．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令，根据已知结合单调性的定义可得出在上的单调性.根据奇函数的性质，即可得出在R上的单调性.将不等式化为，分以及，化简不等式，结合的单调性，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】令， 可得，， 由可得，， 即成立，所以在上为减函数. 又为R上的偶函数，所以， 所以，，为R上的奇函数. 又在上为减函数，，所以在R上为减函数. 由可得，. ①当时，不等式可化为， 即， 根据的单调性可得，， 整理可得，解得或，所以； ②当时，不等式可化为， 即， 根据的单调性可得，， 整理可得，解得，所以. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·河北衡水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都有，且. (1)求证：； (2)判断奇偶性，并证明； (3)若，且在上单调递增，解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2)偶函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）令即可证； （2）令并代入题设关系式，结合奇偶性定义即可证； （3）令得，再由偶函数性质确定区间单调性，应用奇偶、单调性解不等式求解集. 【详解】（1）令，则，得证； （2）为偶函数，证明：令，则， 因为定义域为R，所以函数为偶函数； （3）由题设，令得， 由（2）得：函数为偶函数，且在上递增，则在上递减， 所以，则，解得， 所以不等式的解集为. 【经典例题二十 函数奇偶性的综合应用】 【例20】（23-24高一上·上海嘉定·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，得到，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以越靠近对称轴函数值越小， 由得， 由于，所以，故， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，，此时， 在时单调递减，，此时， 则实数的取值范围为. 故选：A 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数对都有，若的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．是周期为4的周期函数 D． 【答案】D 【分析】由图象的平移可得是偶函数，从而判断B；对都有，取，可求得，进而得到成立，从而判断C；再由已知可得在上单调递减，结合偶函数的性质及周期性，从而判断D，最后判断A. 【详解】对于B，因为函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称，且定义域为， 故是偶函数，故B错误； 对于C，因为函数对都有， 所以取，可得， 又是偶函数，所以，从而可得， 则，故是周期为6的周期函数，故C错误； 对于D，因为是偶函数，且是周期为6的周期函数， 所以， ， 又对，当时，都有， 所以在上单调递减，则， 即，故D正确； 对于A，由在上单调递减，，可得，故A错误. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于定义域为的函数，下述判断正确的是 ．（填序号） ①若函数是偶函数，则；②若，则函数是偶函数；③若，则函数不是偶函数． 【答案】①③ 【分析】根据奇偶函数的定义和性质逐项判断即可. 【详解】①若函数是偶函数，则，则，故①正确； ②令，为定义在上的函数，且满足，但函数不是偶函数，故②错误； ③对于定义域为的函数，若，根据偶函数定义，则函数不是偶函数，故③正确， 故答案为：①③. 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)是增长函数 (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解； （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】（1）的定义域为，，，， 即，所以为区间上的增长函数； （2）依题意，，恒成立， 即在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数是增函数， 所以当时，， 所以，解得， 所以正整数的最小值为； （3）由题意可得：当时，， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，则， 故， 当时，，， 故为上的增长函数， 所以符合题意； 当时，则可得函数大致图象如图： 易知图象与轴交点为，， 而，， 因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上， 所以， 又因为当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述：当时，对均有成立， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决； （2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论. 1．（24-25高一上·上海·期中）已知在上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可； 【详解】由在上满足， 设，则，即在上为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知为定义在R上的函数，则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】举特殊函数说明充分性不成立，利用奇偶性的定义说明必要性成立，从而得解. 【详解】当既不是奇函数也不是偶函数时，取，满足条件， 当时，，则， 当或时，或，则， 此时对于任意，均有，即充分性不成立； 当存在，使得，则， 则既不是奇函数也不是偶函数，即必要性成立； 所以“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的必要非充分条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·期中）设奇函数的定义域为R，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，由已知可得函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化，求解即可． 【详解】令，因为是定义域为R的奇函数， 所以的定义域为，且是偶函数， 且， 因为对任意，都有， 即对任意，都有， 所以时，， 所以在上单调递减，所以在上上单调递增， 因为，所以，所以， 当时，不等式等价于，即， 所以，解得， 当时，不等式等价于，即， 所以，解得， 综上，原不等式的解集为． 故选：D． 4．（24-25高一上·上海松江·期末）设函数与均是定义在上的函数，有以下两个命题：①若是周期函数，且是上的减函数，则函数必为常值函数；②若对任意的a，，有成立，且是上的增函数，则是上的增函数．则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 【答案】A 【分析】用反证法判断命题①，用反例判断命题②． 【详解】①若是周期函数，设是它的正周期，即， 假设函数不是常值函数，设，且，又恒成立，因此， 取，其中是不大于的最大整数，则， 而， 所以，这是是减函数矛盾，所以不成立， 所以，即是常值函数，①是真命题； ②取，，则对任意的，，，满足， 但是减函数，②是假命题． 故选：A． 5．（2024·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数 是 上的严格增函数，则实数 的取值范围是 【答案】 【分析】由分段函数的两段均为严格增函数且临界点函数值满足的关系（左不大于右）可得． 【详解】由题易知是 上的严格增函数，则在上是增函数，必须有， 在时是增函数，最小值在时取得且最小值为， 由题意，解得， 故答案为：． 7．（23-24高一上·上海嘉定·期末）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值 . 【答案】 【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果. 【详解】由题意知，（）， 设，则， 因为，定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0， 故， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数，将向左平移个单位得到函数，将向上平移个单位得到函数，若的图像恒在的图像的上方，则正数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先通平移变换得到函数，，，然后根据其图象，由恒成立求解. 【详解】解：由左平移个单位得到函数； 由向上平移个单位得到函数； 在同一坐标系内作出函数，，的图象，如图所示： 因为的图像恒在的图像的上方， 由图象知；恒成立， 即 恒成立， 则，解得， 正数的取值范围为， 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）“求方程的解”有如下解题思路：设，则是上的严格减函数，且，所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，可得不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】不等式变形为：，引入函数，由函数的单调性转化为简单的不等式，求解即可. 【详解】不等式变形为：， 令，则， 考察函数，知为上的严格增函数， 所以由，得， 所以不等式，可化为，解得， 故答案为： 10．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面五个关于的命题：①是周期函数：②图象关于对称；③在上是增函数；④在上为减函数；⑤，其中的真命题是 ．（写出所有真命题的序号） 【答案】①②⑤ 【分析】由已知条件得到函数周期性判断命题①，结合周期性和对称性确定对称轴判断命题②；由已知单调区间，结合周期性和对称性判断命题③④；由周期性判断命题⑤. 【详解】定义域为，满足，则是周期函数，周期为2，命题①正确； 偶函数满足，所以图象关于对称，命题②正确； 为偶函数，在上是增函数，则在上是减函数，命题③错误； 在上是增函数，且周期为2，则在上为增函数，命题④错误； 周期为2，有，命题⑤正确. 故答案为：①②⑤ 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，为常数． (1)若为偶函数，求的值； (2)设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义，可得参数值； （2）由，可得，结合对勾函数单调性可得参数范围. 【详解】（1）由已知函数为偶函数， 则， 即恒成立， 化简可得，即， 又不恒为， 所以； （2）由以， 当时，， 此时， 又，则函数在上单调递减， 由在上单调递减， 所以， 解得，即. 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的严格增函数，且满足． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意赋值即可证明； （2）赋值可得，进而转化问题为，进而结合单调性及定义域求解即可. 【详解】（1）证明：由， 令，得. （2）令，则，即， 令，则， 由，则， 因为函数是定义在上的严格增函数， 所以，解得， 所以不等式的的解集为. 13．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）已知函数，. (1)求函数的定义域和的值域； (2)证明：为偶函数并判断的单调性和奇偶性； (3)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)函数的定义域为；函数的值域为； (2)证明见解析；函数在和上单调递减，是非奇非偶函数； (3)当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 【分析】（1）利用对数函数的定义列出不等式组计算即可求解函数的定义域；利用分离常数法即可求解函数的值域； （2）利用奇偶性的判断方法和步骤即可证明为偶函数；借助反比例函数可得函数的单调性，由的定义域即可判断其奇偶性； （3）分和两种情况结合对数函数的定义和单调性列出不等式组并计算求解不等式组即可得解. 【详解】（1）要使函数有意义， 则，所以函数的定义域为； 因为， 所以函数的值域为. （2）证明：由（1）知函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以， 所以函数为偶函数. 函数在和上单调递减，且是非奇非偶函数，理由如下： 由题函数定义域为，且， 所以函数是由反比例函数右移2个单位和上移1个单位得到的， 所以函数在和上单调递减； 因为函数定义域不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数. （3）， 当时，为减函数， 所以不等式解集满足， 所以不等式解集为； 当时，为增函数， 所以不等式解集满足， 所以不等式解集为. 综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 14．（24-25高一上·上海·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，若存在，使得，求的取值范围； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将解析式代入不等式后可得关于a的绝对值不等式，解不等式后再结合解集为，可得a的值. （2）将代入函数解析式，将不等式变形后可构造新函数，将不等式能成立问题转化为函数的最值问题后求出t的取值范围. （3）对a进行分类讨论，分析当a取不同取值范围时不等式的解集是否为R，进而求出a最终的取值范围. 【详解】（1）不等式的解集为， 所以的解集为， 由，可得，求得， 又因为解集为， 故有， 故． （2）当时，， 若存在，使得， 即存在，使得， 令， 故的最小值， 又， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 故， 故使有解的实数的范围为. （3）若恒成立， 则恒成立， 则或恒成立， 即或恒成立. ①当时，解得或， 不等式解集不为（舍）， ②当时，解得或， 不等式解集不为（舍）， ③当时， 解得或， 若不等式解集为， 则， 所以，解得， ④当时，解得或，解集不为（舍）， ⑤当时，解得或，解集不为（舍）， 综上所述，的取值范围是. 15．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）新定义：对给定的奇函数，偶函数，若，则称为和的“奇偶函数”；对给定的奇函数，偶函数，若，则称为和的“偶奇函数” (1)若奇偶函数在上严格递增，求证：奇偶函数在上为严格增函数 (2)求证：一个函数是奇偶函数的充要条件是该函数是偶奇函数 (3)若，其中为奇偶函数，为偶奇函数，若在上严格递增，将向右平移一个单位得到，若恒成立，求：的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，结合奇偶函数的定义以及函数单调性的定义代入计算，即可证明； （2）根据题意，由奇偶函数与偶奇函数的定义，分别证明充分性以及必要性，即可证明； （3）根据题意，结合（1）中的结论以及函数的单调性化简，再由一元二次不等式恒成立求解，即可得到结果. 【详解】（1）设为奇函数，为偶函数，则为奇偶函数， 因为在上严格递增，对于任意的，且， 则，且， 则， 则，即，即， 所以在上也严格递增，所以在上为严格增函数. （2）充分性：设为奇偶函数，其中为奇函数，为偶函数， 则， 令，则， 所以也是偶奇函数； 必要性：设为奇偶函数，其中为奇函数，为偶函数， 则， 令，则， 所以也是奇偶函数，即证. （3）由（1）可知，奇偶函数在上严格递增， 则在上也单调递增， 又将向右平移一个单位得到，则也在上单调递增， 由可得， 即在上恒成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$