专题03 对数函数重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题03 对数函数的性质、定义与图像重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优） 题型一 对数函数的概念判断与求值 题型二 对数函数的解析式 题型三 判断对数型函数的图象形状 题型四 根据对数型函数图象判断参数的范围 题型五 对数型函数图象过定点问题 题型六 对数函数图象的应用 题型七 求对数函数的定义域 题型八 求对数型复合函数的定义域 题型九 求对数函数在区间上的值域 题型十 求对数型复合函数的值域 题型十一 根据对数函数的值域求参数值或范围 题型十二 研究对数函数的单调性 题型十三 对数型复合函数的单调性 题型十四 对数函数单调性的应用 题型十五 求对数函数的最值 题型十六 根据对数函数的最值求参数或范围 题型十七 对数函数最值与不等式的综合问题 题型十八 由对数(型)的单调性求参数 题型十九 由对数函数的单调性解不等式 题型二十 比较对数式的大小 知识点1 对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 注：一个函数是对数函数，必须是形如y＝logaxa＞0且a≠1的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x. 知识点2 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负. (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 注：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式. 知识点3 求函数值域或最大（小）值的常用方法 (1)直接法,根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域. (2)配方法,当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的形如y＝a[f（x）]2＋bf（x）＋c，求函数值域问题时，可以用配方法. (3)单调性法,根据在定义域或定义域的某个子集上的单调性，求出函数的值域. (4)换元法,求形如y＝logaf（x）型函数值域的步骤：①换元，令u＝f（x），利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象，求出y的取值范围. 知识点4 对数函数的图象 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势， 又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴. 知识点5 有关对数函数图象间的变换规律 (1)一般地，函数y＝f(x＋a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度，再沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称. 注：1.已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下： y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b． 2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下： y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|． 以上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y． 知识点6 比较对数值大小的常用方法 (1)底数相同、真数不同时，用对数函数的单调性来比较. (2)底数不同、真数相同时，用对数函数的图象与底数的关系来比较，也可用换底公式转化为底数相同的对数来比较. (3)当底数和真数都不同时，则寻求中间值作为媒介进行比较. (4)对于多个对数的大小比较，应先根据每个对数的结构特征以及它们与“0”和“±1”的大小情况进行分组，再比较各组对数值的大小. (5)当底数与1的大小关系不明确时，要对底数分情况讨论. 知识点7 对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式b＝logaab，再借助y＝logax的单调性求解. (3)形如logaf(x)>logag(x)（f（x），g（x）>0，a>0且不等于1）的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 知识点8 对数型复合函数的单调性 若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0<a<1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 知识点9 反函数 （1）反函数的定义 一般地，设、分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，其中是自变量，是的函数， 习惯上改写成（）的形式. （2）反函数的性质 ①为反函数的两个函数图象关于直线对称； ②若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之成立。 知识点10 对数函数性质的综合应用 (1)常见的命题方式,对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大（小）值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算. (2)解此类问题的基本思路,首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路. 【经典例题一 对数函数的概念判断与求值】 【例1】（2024·上海·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 1．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知函数，若（其中），则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·上海闵行·模拟预测）已知函数，则 . 3．（24-25高一上·全国·课前预习）将化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间内的每一个的值，是否都有唯一的实数与之对应？能否看作是关于的函数？ 【经典例题二 对数函数的解析式】 【例2】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为对数函数，，则 ， ． 3．（23-24高一上·上海徐汇·期末）设为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)若函数，求与两个函数图像的交点坐标． 【经典例题三 判断对数型函数的图象形状】 【例3】（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数且关于 x 的方程有且只有一个实根，且实数 a 的取值范围是 . 3．（23-24高一上·上海·假期作业）作出下列函数的大致图像： (1)； (2)； (3)； (4). 【经典例题四 根据对数型函数图象判断参数的范围】 【例4】（23-24高一上·上海长宁·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解为 . 3．（23-24高一上·上海静安·期末）已知函数，且点在函数的图象上. (1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； (2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【经典例题五 对数型函数图象过定点问题】 【例5】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）函数（，且）的图象经过定点P，则点P的坐标为（   ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是 ． 3．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知函数. (1)在给定的坐标系中作出在上的图象； (2)若函数（，且），且当时，的图象始终在的图象上方，求的取值范围. 【经典例题六 对数函数图象的应用】 【例6】（2024·上海奉贤·三模）已知函数，存在使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）利用函数图像解不等式：的解集是 . 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立． (1)函数，其中，判断是否属于集合？说明理由； (2)设函数，其中（且），若函数的图像与的图像有公共点，证明：． (3)求证函数（且）不属于集合． 【经典例题七 求对数函数的定义域】 【例7】（24-25高一上·上海嘉定·期中）关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海普陀·期末）已知实数x、y满足，则的最小值为 ． 3．（24-25高一上·上海静安·期中）设函数定义域为，函数定义域为． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【经典例题八 求对数型复合函数的定义域】 【例8】（2024高一上·上海·专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海长宁·阶段练习）如图，已知函数的图象关于坐标原点O对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数． (1)若该函数的定义域为，求实数的范围； (2)若该函数的值域为，求实数的范围． 【经典例题九 求对数函数在区间上的值域】 【例9】（24-25高一上·上海虹口·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海徐汇·一模）已知函数，对任意实数，方程有解，则的取值范围是 . 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求m的取值范围． 【经典例题十 求对数型复合函数的值域】 【例10】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中值域为正实数的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·上海黄浦·三模）已知，设，则函数的值域为 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中（且）的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)令，求的最小值及取最小值时x的值． 【经典例题十一 根据对数函数的值域求参数值或范围】 【例11】（24-25高一上·上海黄埔·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则 . 3．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径： (1)已知函数的值域为，求：实数a的取值范围； (2)求证：对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素，则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 【经典例题十二 研究对数函数的单调性】 【例12】（23-24高一上·上海长宁·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 2．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知定义在上的函数满足，且当时，，请写出符合上述条件的一个函数 ． 3．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知为定义在区间上的偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)在给出的坐标系中画出函数的图象，写出函数的单调区间，并指出单调性. 【经典例题十三 对数型复合函数的单调性】 【例13】（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知，若在上单调，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海奉贤·开学考试）函数的单调递增区间为 . 3．（23-24高一上·上海长宁·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间： (2)若的值域为，求实数a的取值范围． 【经典例题十四 对数函数单调性的应用】 【例14】（24-25高一上·上海嘉定·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海虹口·模拟预测）直线与函数分别交于两点，且，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·上海奉贤·模拟预测）设函数．若且，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）利用对数函数的单调性来估算对数的第一位小数的值． 【经典例题十五 求对数函数的最值】 【例15】（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知函数，则有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数的最大值是 3．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知，，m为实数， (1)当时，求函数的最大值； (2)求函数的最大值的解析式. 【经典例题十六 根据对数函数的最值求参数或范围】 【例16】（2024高一·全国·竞赛）若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 2．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 3．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 【经典例题十七 对数函数最值与不等式的综合问题】 【例17】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·四川成都·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，当时，，则的取值范围为 . 3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数. (1)求函数的最大值，并求出取得最大值时的值； (2)若关于的不等式对于能成立，求正实数的取值范围. 【经典例题十八 由对数(型)的单调性求参数】 【例18】（24-25高一上·浙江·开学考试）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·广西贵港·期中）已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列不等式，确定底数a的取值范围： (1)； (2)． 【经典例题二十九 由对数函数的单调性解不等式】 【例19】（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·全国·课堂例题）若，则实数x的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若，求满足的x的取值范围； (2)若对任意，恒成立，求a的取值范围． 【经典例题二十 比较对数式的大小】 【例20】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知是函数图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（     ） ①；②；③；④. A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏扬州·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为 （用“＜”连接）． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列不等式，比较正数m及n的大小： (1)； (2)（且）； (3)（，，）． 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）以下四个命题中，真命题的个数为（   ） ①函数最小值为3；    ②若，则； ③不等式的解集为． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，若实数满足，且，则下列说法不正确的是（  ） A． B．不存在最小值，但是存在最大值 C． D．对于任意符合条件的，都有 4．（24-25高一上·上海·期中）定义“正对数”： ，现有四个命题： ①若，，则；      ②若，，则； ③若，，则；   ④若，，则； 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一·上海·课堂例题）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（    ）(参考数据：) A．2026年； B．2027 年； C．2028年； D．2029 年． 6．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知 的值域为，则的取值范围为 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，则 ． 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数，其中，如果不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 9．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，，且，下列结论正确的有 ．（填序号） ①；②；③；④． 11．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； 12．（24-25高一上·上海·期中）已知全集为R，集合  集合  B=. (1)求集合A，B及A∩B: (2)若C={}， 且满足A∪C=A， 求实数的取值范围. 13．（24-25高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． (1)当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； (2)当时，证明：具有“性质”； (3)如果函数具有“性质”，求实数的取值范围． 14．（24-25高一上·上海·期中）已知， 函数 (1)当时，解不等式 (2)设 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. (3)设，若对任意的， 在区间上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围. 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数的简图； 1 2 4 (2)根据（1）的结果，若，试猜想的值，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 对数函数的性质、定义与图像重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优） 题型一 对数函数的概念判断与求值 题型二 对数函数的解析式 题型三 判断对数型函数的图象形状 题型四 根据对数型函数图象判断参数的范围 题型五 对数型函数图象过定点问题 题型六 对数函数图象的应用 题型七 求对数函数的定义域 题型八 求对数型复合函数的定义域 题型九 求对数函数在区间上的值域 题型十 求对数型复合函数的值域 题型十一 根据对数函数的值域求参数值或范围 题型十二 研究对数函数的单调性 题型十三 对数型复合函数的单调性 题型十四 对数函数单调性的应用 题型十五 求对数函数的最值 题型十六 根据对数函数的最值求参数或范围 题型十七 对数函数最值与不等式的综合问题 题型十八 由对数(型)的单调性求参数 题型十九 由对数函数的单调性解不等式 题型二十 比较对数式的大小 知识点1 对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 注：一个函数是对数函数，必须是形如y＝logaxa＞0且a≠1的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x. 知识点2 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负. (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 注：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式. 知识点3 求函数值域或最大（小）值的常用方法 (1)直接法,根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域. (2)配方法,当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的形如y＝a[f（x）]2＋bf（x）＋c，求函数值域问题时，可以用配方法. (3)单调性法,根据在定义域或定义域的某个子集上的单调性，求出函数的值域. (4)换元法,求形如y＝logaf（x）型函数值域的步骤：①换元，令u＝f（x），利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象，求出y的取值范围. 知识点4 对数函数的图象 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势， 又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴. 知识点5 有关对数函数图象间的变换规律 (1)一般地，函数y＝f(x＋a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度，再沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称. 注：1.已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下： y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b． 2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下： y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|． 以上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y． 知识点6 比较对数值大小的常用方法 (1)底数相同、真数不同时，用对数函数的单调性来比较. (2)底数不同、真数相同时，用对数函数的图象与底数的关系来比较，也可用换底公式转化为底数相同的对数来比较. (3)当底数和真数都不同时，则寻求中间值作为媒介进行比较. (4)对于多个对数的大小比较，应先根据每个对数的结构特征以及它们与“0”和“±1”的大小情况进行分组，再比较各组对数值的大小. (5)当底数与1的大小关系不明确时，要对底数分情况讨论. 知识点7 对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式b＝logaab，再借助y＝logax的单调性求解. (3)形如logaf(x)>logag(x)（f（x），g（x）>0，a>0且不等于1）的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 知识点8 对数型复合函数的单调性 若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0<a<1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 知识点9 反函数 （1）反函数的定义 一般地，设、分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，其中是自变量，是的函数， 习惯上改写成（）的形式. （2）反函数的性质 ①为反函数的两个函数图象关于直线对称； ②若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之成立。 知识点10 对数函数性质的综合应用 (1)常见的命题方式,对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大（小）值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算. (2)解此类问题的基本思路,首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路. 【经典例题一 对数函数的概念判断与求值】 【例1】（2024·上海·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】首先根据其为奇函数，从而得，解出值，再根据其周期计算即可. 【详解】因为在上的奇函数，所以，解得， 所以， 因为，所以的周期为6， 所以. 故选：D. 1．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知函数，若（其中），则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算法则以及基本不等式求解. 【详解】， 由，，即， ，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 2．（2024·上海闵行·模拟预测）已知函数，则 . 【答案】-2 【分析】由函数解析式，直接代入求解. 【详解】因为， 所以 故答案为：-2 3．（24-25高一上·全国·课前预习）将化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间内的每一个的值，是否都有唯一的实数与之对应？能否看作是关于的函数？ 【答案】答案见解析 【分析】根据指数函数与对数函数的互化即可判断. 【详解】函数的对数式为， 对于任意，都有唯一的实数与之对应， 且是关于的函数． 【经典例题二 对数函数的解析式】 【例2】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】代入点的坐标求出的值，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则. 故选：C 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据点求得对数函数为，再代入点运算即可. 【详解】设对数函数为（且）， 代入点可得，则，解得， 所以， 代入点可得，则， 可得，所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为对数函数，，则 ， ． 【答案】 【分析】设且，根据求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设且，则，即，解得， 所以， 所以． 故答案为：， 3．（23-24高一上·上海徐汇·期末）设为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)若函数，求与两个函数图像的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇偶性的定义，再解方程得出a的值； （2）由，再解对数方程得出交点坐标. 【详解】（1）因为为奇函数，所以对定义域内的任意都成立， 所以，即， 整理得，求解并验证得或（舍）. （2）由得，整理得，解得，则交点纵坐标y = -2， 即与两个函数图像的交点坐标为.. 【经典例题三 判断对数型函数的图象形状】 【例3】（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每个选项中函数的单调性求出实数的取值范围，再由函数（且）的图象与轴的交点，求出的取值范围，观察的范围能否一致，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，合乎题意； 对于B选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，不合乎题意； 对于C选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意； 对于D选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意. 故选：A. 1．（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 2．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数且关于 x 的方程有且只有一个实根，且实数 a 的取值范围是 . 【答案】a≤-1 【分析】关于x的方程f（x）+x+a=0有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=﹣x-a的图象只有一个交点， 结合图象即可求得． 【详解】关于x的方程f（x）+x+a=0有且只有一个实根⇔y=f（x） 与y=﹣x-a的图象只有一个交点，画出函数的图象如右图， 观察函数的图象可知当-a≥1时，y=f（x）与y=﹣x-a的图象 只有一个交点，即有a≤-1． 故答案为a≤-1 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象性质，但要注意函数的图象的分界点，考查利用图象综合解决方程根的个数问题． 3．（23-24高一上·上海·假期作业）作出下列函数的大致图像： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据对数函数的图象，通过平移和翻折变化画出图象即可. 【详解】（1）的图象可由的图象向左平移个单位得到， （2）的图象可由的图象先根据轴对称，再向右平移个单位得到， （3）的图象可由的图象先根据轴对称，再向右平移个单位得到， （4）的图象由组成，其中的图象可由的图象根据轴对称得到， 【经典例题四 根据对数型函数图象判断参数的范围】 【例4】（23-24高一上·上海长宁·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可． 【详解】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， 故选：． 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解为 . 【答案】/ 【分析】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集. 【详解】 因为经过， 所以时，令， 当时，可得， 所以的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海静安·期末）已知函数，且点在函数的图象上. (1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； (2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)，图象见解析 (2) 【分析】（1）先根据点在函数的图象上求出，再分段画出函数的图象； （2）将问题转化为直线与函数的图象有两个公共点，在同一坐标系中作出图象，利用图象进行求解. 【详解】（1）解：因为点在函数的图象上， 所以，解得， 即， 其图象如图所示： （2）解：将化为， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以直线与函数的图象有两个公共点， 在同一坐标系中作出直线与函数的图象（如图所示）， 由图象，得，即， 即的取值范围是. 【经典例题五 对数型函数图象过定点问题】 【例5】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数和对数函数的性质求解即可； 【详解】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得， 所以， 故选：B. 1．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）函数（，且）的图象经过定点P，则点P的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据恒过定点，令，求出点P的坐标. 【详解】令，则，此时， 所以图象经过定点P，则点P的坐标为， 故选：A. 2．（23-24高一上·上海·期中）已知函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是 ． 【答案】9 【分析】根据对数函数图象与性质求出点的坐标，再借助“1”的妙用求出最小值作答. 【详解】函数中，当，即时，恒有，因此点， 而点A在一次函数的图象上，则，又，， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值9. 故答案为：9 3．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知函数. (1)在给定的坐标系中作出在上的图象； (2)若函数（，且），且当时，的图象始终在的图象上方，求的取值范围. 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）运用零点分段法去掉绝对值符号后可画图；（2）函数必定是单调函数，故我们只需讨论函数递增还是递减，然后结合图像可得. 【详解】（1）当时，，当时，， 在上的图象如图所示. （2）由题意得的图象过定点. 当时，在上单调递增，所以，得. 当时，在上单调递减，所以， 得，即. 综上，的取值范围为. 【经典例题六 对数函数图象的应用】 【例6】（2024·上海奉贤·三模）已知函数，存在使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分a≤0和a＞0两种情况讨论即可得到答案． 【详解】， 当a≤0时，当x＞0时，， f(x)如图： f(x)≥0恒成立，不满足题意； 当a＞0时，， f(x)如图： 当时，． 故选：D． 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，即可得解. 【详解】如图所示，设，，的中点为， 点在的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即， 故选：B 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）利用函数图像解不等式：的解集是 . 【答案】 【分析】画出函数，的图像，根据图像得到答案. 【详解】画出函数，的图像，如图所示： 当时，，根据图像知：当时， 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立． (1)函数，其中，判断是否属于集合？说明理由； (2)设函数，其中（且），若函数的图像与的图像有公共点，证明：． (3)求证函数（且）不属于集合． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合的定义及性质直接判断； （2）根据集合的定义直接证明； （3）根据集合的定义直接证明. 【详解】（1）对于非零常数， ，， 因为对任意，不能恒成立， 所以. （2）因为函数（且）的图像与函数的图像有公共点， 所以方程组：有解， 消去得， 显然不是方程的解， 所以存在非零常数，使． 于是对于有， 故； （3）假设属于集合，则存在非零常数使得对一切，恒成立 取时， 此时矛盾，所以假设错误，原结论成立． 【经典例题七 求对数函数的定义域】 【例7】（24-25高一上·上海嘉定·期中）关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义域可得定义域，后结合对数函数性质可得答案. 【详解】因的定义域是，则定义域为. 则定义域满足. 故选：A 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质及对数运算求解即可. 【详解】无论为何值，函数为偶函数，则. 要使函数为奇函数， 则为奇函数， 所以， 即， 整理得， 则，所以， 则，解得. 当时，，显然无意义，舍去； 当时，， ，即，解得或， 则的定义域为， 且为奇函数， 此时也为奇函数. 故选：. 2．（23-24高一上·上海普陀·期末）已知实数x、y满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定等式可得，再借助“1”的妙用计算作答. 【详解】因实数x、y满足，则，且， 则有，即，且， 因此，，当且仅当，即时取“=”， 由解得：， 所以当时，取最小值. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海静安·期中）设函数定义域为，函数定义域为． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求出集合，再求交集可得答案； （2）由题意可得，根据包含关系列不等式组可得答案. 【详解】（1）由得，所以， 若，由得， 解得，所以， 所以； （2）， 若“”是“”的充分不必要条件，则， 因为，所以， 由可得， 所以， 因为，所以，解得. 所以实数的取值范围是． 【经典例题八 求对数型复合函数的定义域】 【例8】（2024高一上·上海·专题练习）下列四组函数中，表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数的定义判断即可． 【详解】对于A选项：因为，与的对应关系不同，所以不是同一函数，故A选项错误； 对于B选项：因为与的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数，故B选项正确； 对于C选项：因为的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，故C选项错误； 对于D选项：因为的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，故D选项错误. 故选：B． 1．（24-25高一上·上海长宁·阶段练习）如图，已知函数的图象关于坐标原点O对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象得为奇函数，有，再由图象得函数的定义域为，结合图象即可判断各选项. 【详解】由题意得为奇函数，即，定义域为， A，由定义域为，不符合，错误； B，由定义域为，且， 但趋向于，趋向于，不符合图象，错误； C，由定义域为，且， 但在上恒成立，不符合图象，错误； D，由定义域为，且，符合图象，正确. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先分别求出条件表示的集合，再由p是q的必要不充分条件，可得集合是集合的真子集，从而可求出实数的取值范围 【详解】由，得，记为， 由，得，且， 当时，， 因为p是q的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集，则，所以； 当时，，显然满足题意； 当时，， 则集合是集合的真子集，则，所以； 综上所述，实数的取值范围为， 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数． (1)若该函数的定义域为，求实数的范围； (2)若该函数的值域为，求实数的范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）转化为恒成立，求解即可； （2）转化为，计算即可. 【详解】（1）由题意知需使恒成立，只要，得； （2）要使函数的值域是，需真数能取尽一切正数，只要，得或． 【经典例题九 求对数函数在区间上的值域】 【例9】（24-25高一上·上海虹口·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解的值域，结合的值域为，分析的单调性、值域即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，故， 又因为的值域为， 则的值域包含， 所以，解得. 故选：D. 1．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的图象和性质可得当时的值域，进而可得当时，的值域，分类讨论指数的取值范围即可. 【详解】因为当时，，， 设的值域为， 若函数的值域为，则当时，， 令，设的值域为，则当时，， 当时，，不符合题意， 当时，是开口向下的抛物线，有最大值，不符合题意， 当时，是开口向上的抛物线，对称轴， 所以，只需，解得， 综上实数的取值范围是， 故选：B 2．（2024·上海徐汇·一模）已知函数，对任意实数，方程有解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知的值域为R，由对数函数的性质及分段函数形式确定在上的单调性和界点值范围，即可得参数范围. 【详解】由题设的值域为R，而在上递增，且值域为， 所以在上的一次函数也递增，且， 则. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，由换元法结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）令，由，可得， 则， 当时，， 当时，， 即，所以. 即函数值域为. （2）令，由可得， 则对于恒成立， 即， 所以在恒成立， 即，， 又，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即m的取值范围为. 【经典例题十 求对数型复合函数的值域】 【例10】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得，即可得到不等式，解得即可. 【详解】解：因为，所以，所以，即， 由，则，即， 因为对于任意，存在，使得， 所以，则，解得，即. 故选：A 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中值域为正实数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐个求解函数的值域进行判断 【详解】对于A，因为，所以，所以函数的值域为，所以A错误， 对于B，因为，所以函数的值域为，所以B错误， 对于C，因为，所以函数的值域为，所以C正确， 对于D，因为，则，所以函数的值域为，所以D错误. 故选：C 2．（2024·上海黄浦·三模）已知，设，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】确定函数的定义域，化简可得的表达式，换元令，可得，结合二次函数的性质即得答案. 【详解】由题意得，则，即的定义域为， 故， 令，则， 函数在上单调递增，故， 故函数的值域为， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中（且）的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)令，求的最小值及取最小值时x的值． 【答案】(1) (2)时，取得最小值1． 【分析】（1）将和代入解析式中得到方程组，然后求解即可； （2）求出，利用对数的运算整理得到，然后利用基本不等式求解即可． 【详解】（1）由已知，得， 解得， 故； （2）由于 ， ， 故． 于是，当时，取得最小值1． 【经典例题十一 根据对数函数的值域求参数值或范围】 【例11】（24-25高一上·上海黄埔·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的性质，可得内函数的值域，再分类讨论，当时利用二次函数的图像与性质进行求解即可. 【详解】当时，，由有解，可得函数的值域为，因此满足题意； 当时，要使函数的值域为， 则，解得或， 所以. 故选：D. 1．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，由可确定A；对于B，由能取到所有正数可确定集合B；对于CD，由AB选项分析，结合交集，并集定义可判断选项正误. 【详解】A选项，的定义域为,则. 当时，，解得，故定义域不是R，不满足题意； 当时，由.故要想的定义域为R， 实数的取值范围为，故，A错误； B选项，的值域为，则能取到所有正数. 当时，能取到所有正数，满足要求， 当时，要想能取到所有正数， 需且，解得， 综上，，故，故В错误； CD选项，所以，故C错误，D正确. 故选：D 2．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则 . 【答案】 【分析】先分析的单调性，然后对进行分类讨论或，结合单调性以及可求得结果. 【详解】因为在上单调递减，且， 当时，在上单调递减， 因为函数的定义域和值域都是， 所以，这与矛盾，不符合题意； 当时，在上单调递增， 因为函数的定义域和值域都是， 所以，则，因为， 所以， 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径： (1)已知函数的值域为，求：实数a的取值范围； (2)求证：对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素，则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知函数的值域的子集，利用二次函数的性质列不等式，求解即可； （2）利用作差法比较的大小，即可证明两个函数图像的位置关系，过程中利用了对数运算的性质和换底公式. 【详解】（1）令，由函数的值域为，得； 当时，，不符合题意； 当时，由二次函数的性质得，解得， 则实数a的取值范围是. （2）由题意，， 因为，所以，则； ①当时，在区间上，则，即， 在区间上，则，即， 故函数在点左侧低于，在点右侧高于成立； ②当时，在区间上，则，即， 上，则，即， 故函数在点左侧低于，在点右侧高于成立； 综上所述，对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素， 则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 【经典例题十二 研究对数函数的单调性】 【例12】（23-24高一上·上海长宁·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质逐个选项判断即可. 【详解】对A，在上单调递减，在上单调递增，故A正确； 对B，在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对C，在上单调递增，故C错误； 对D，在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：A 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 【答案】D 【分析】通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关. 【详解】函数， 当时，，单调递增. 当时，单调递增. 则且，，的单调性都为单调递增. 所以函数的单调性与无关. 故选：D 2．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知定义在上的函数满足，且当时，，请写出符合上述条件的一个函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由，可得对数函数具有此性质，从而可得答案. 【详解】对于函数， ， 且当时，也成立， 所以函数满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 3．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知为定义在区间上的偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)在给出的坐标系中画出函数的图象，写出函数的单调区间，并指出单调性. 【答案】(1) (2)作图见解析，单调增区间是，单调减区间是 【分析】（1）按偶函数的定义即可求解； （2）按偶函数的对称性即可作图，再由图得单调性. 【详解】（1）设，则， 由已知， 又为定义在区间上的偶函数，得，所以. （2）由（1）可得函数图象如图所示. 所以的单调增区间是，单调减区间是 【经典例题十三 对数型复合函数的单调性】 【例13】（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数，因为，解得． 所以函数的定义域为，且，． 因为函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减，函数单调递增， 所以由复合函数的单调性知函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减, 故选：A 1．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知，若在上单调，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数和二次函数复合的函数的单调性求解即可. 【详解】令函数， 该函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，要使在上单调，则在上单调， 且时，，故，解得或. 故选：D 2．（24-25高一上·上海奉贤·开学考试）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据对数型函数的定义域，结合对数型函数的单调性的性质进行求解即可. 【详解】由，或， 二次函数的对称轴为， 因为函数是正实数集上的增函数， 所以当函数单调递增时，则有， 所以函数的单调递增区间为， 故答案为： 3．（23-24高一上·上海长宁·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间： (2)若的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2). 【分析】（1）先求出对数型函数的定义域，然后由复合函数的单调性原理求解即可； （2）对进行分类讨论，结合一元二次函数的开口方向与判别式求解的取值范围即可. 【详解】（1）当时，， 由，由于，所以， 所以的定义域为：， 的对称轴为：， 所以在上单调递减，在上单调递增； 在整个定义域上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若的值域为，则对能取到全部正实数， ①当时，即， 若，不符合题意； 若，，符合题意； ②当时，由题意得：， 解得， 综上： 【经典例题十四 对数函数单调性的应用】 【例14】（24-25高一上·上海嘉定·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数，的单调性，判断的大小关系. 【详解】设，易知在上单调递增. 且，，所以； 设，易知在上单调递增. 且，，所以. 综上：. 故选：B 1．（2024·上海虹口·模拟预测）直线与函数分别交于两点，且，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性及得，代入化解即可. 【详解】由题意可知，定义域为， 函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递减， 则， 所以， 解得， 所以. 故选：B. 2．（2024高一上·上海奉贤·模拟预测）设函数．若且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得且，从而，，利用对勾函数的单调性求解． 【详解】由， ，， 所以，， 得且， 从而，． 令，．则单调递减，无最大值且． 因此，，即的取值范围是． 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）利用对数函数的单调性来估算对数的第一位小数的值． 【答案】3 【分析】利用对数函数的单调性进行估算. 【详解】因为函数在 上单调递增， 所以，所以. 下面比较与的大小： 因为，，所以. 接下来比较与的大小： 就是比较与的大小，因为，所以问题转化为比较与的大小， 因为，，所以； 接下来比较与的大小： 就是比较与的大小，因为，所以问题转化为比较与的大小， 因为，，所以 综上可知：. 所以对数的第一位小数的值为3. 【经典例题十五 求对数函数的最值】 【例15】（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上的单调性可求其最大值. 【详解】因为，则函数在上为减函数，则. 故选：A. 1．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知函数，则有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】B 【分析】利用双勾函数的单调性求出的最小值，再利用对数函数的单调性可求得函数的最大值，即可得出结论. 【详解】解：，令，，， 任取、且，则，， 所以， 则，所以函数在上单调递增， 故当时，， 所以， 又因为函数为减函数，故. 故选：B. 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数的最大值是 【答案】 【分析】由对数函数的单调性和二次函数的知识可得答案. 【详解】由对数函数的单调性可得当取得最小值时，函数取得最大值， 所以当时，. 故答案为： 3．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知，，m为实数， (1)当时，求函数的最大值； (2)求函数的最大值的解析式. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由对数的运算结合二次函数的单调性得出函数的最大值； （2）令，讨论对称轴，由二次函数的单调性确定函数的最大值的解析式. 【详解】（1）， 当时，. 当，即时，函数的最大值是. （2），令，. 则 讨论对称轴. 若，即时，在上单调递减，. 若，即时，在上单调递增， 在上单调递减，即. 若，即时，在上单调递增，. 综上，. 【经典例题十六 根据对数函数的最值求参数或范围】 【例16】（2024高一·全国·竞赛）若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则在上取得最小值为，根据题意有且，求解即可. 【详解】令，则， 故当时，在上取得最小值为， 又因为函数在上的最大值是2， 所以且，即，解得． 故选：C. 1．（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 2．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 3．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定函数的定义域，结合复合函数的单调性的判断，即可求得答案； （2）令，分和两种情况讨论，根据函数单调性结合最值，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以，解得， 即函数的定义域为， ， 因为在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即得的单调递增区间为； （2）由（1）令，则，， 当时，函数在上单调递增，函数不存在最小值，故舍去； 当时，函数在上单调递减，， 所以，解得，符合题意，故. 【经典例题十七 对数函数最值与不等式的综合问题】 【例17】（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意得出，进行下一步转化得出最小值是即可. 【详解】因为，， ，，则，故， 又，，，，，故最小值是， 故选：C． 1．（23-24高一上·四川成都·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的单调性，可判断，再由对数函数的单调性，求得的单调性和最大值，解不等式可得所求范围． 【详解】解：由于，，可得，， 当时，则，在不恒成立； 故， 由在单调递增， 在单调递减， 可得在单调递增， 则的最大值为， 由题意可得， 即有， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力． 2．（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，当时，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】按和分类讨论可得． 【详解】当时，. 当时，成立. 当时，若成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数. (1)求函数的最大值，并求出取得最大值时的值； (2)若关于的不等式对于能成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数取到最大值为1 (2) 【分析】（1）根据对数运算公式化简得，再利用换元法求函数得最值即可； （2）由关于的不等式对于能成立，知，所以，解不等式即可. 【详解】（1）因为， 令， 可得， 所以当且仅当，即时，函数取到最大值1. （2）由（1）可得：当且仅当，即时，函数取到最大值1， 所以，即，且，解得，即， 故实数的取值范围为. 【经典例题十八 由对数(型)的单调性求参数】 【例18】（24-25高一上·浙江·开学考试）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数的单调性与定义域列不等式即可求得答案. 【详解】由于在上单调递增， 所以在上恒成立，即， 故选：A. 1．（23-24高一上·广西贵港·期中）已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的复合函数的单调性求参即可. 【详解】若，则在上恒成立，不符合条件． 若，则在上单调递增，得解得. 故选：D. 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为函数在上是增函数，且在上恒成立，再根据对称轴与区间的关系，可得答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 设， 因为为减函数， 所以在上是增函数， 因为，其图象的对称轴为直线， 所以，且在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列不等式，确定底数a的取值范围： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数函数的单调性求参数的取值范围. 【详解】（1）因为函数，当时在上单调递减，且，，所以. 故底数a的取值范围为：. （2）因为函数，当时在上单调递增，且，，所以. 故底数a的取值范围为：. 【经典例题二十九 由对数函数的单调性解不等式】 【例19】（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论，结合对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】， 当时，， 当时，，因为， 所以， 故选：A 1．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】，即， 所以，推不出， 但是，可以推出. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B    . 2．（23-24高一上·全国·课堂例题）若，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数单调性及定义得到不等式，求出x的取值范围. 【详解】由，得，解得， 所以实数x的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若，求满足的x的取值范围； (2)若对任意，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，不等式转化为，得到，即可求解； （2）把不等式，转化为对任意恒成立， 设，得到对任意恒成立， 设，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得， 由不等式，即，可得，解得， 所以不等式的解集为． （2）解：由不等式，即， 等价于对任意恒成立， 设，即对任意恒成立， 设， 当时，，解得， 当时，，a无解， 综上，a的取值范围是． 【经典例题二十 比较对数式的大小】 【例20】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知是函数图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（     ） ①；②；③；④. A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】求出已知两点的中点坐标及函数的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，即可得解. 【详解】如图所示，设，的中点为， 点在函数的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即，故①错误，②正确； 则，即， 即，故③正确，④错误. 故选：B. 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算法则以及对数函数的单调性可得结论. 【详解】因为， 又因为在上单调递增，又，所以， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏扬州·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】通过比较和的大小关系即可. 【详解】因为，所以 所以 又因为，所以 所以， 所以 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列不等式，比较正数m及n的大小： (1)； (2)（且）； (3)（，，）． 【答案】(1) (2)当时，；当时，； (3) 【分析】（1）根据的单调性即可比较大小； （2）对分和讨论，并结合对数函数单调性即可比较大小； （3）根据换底公式得，再根据对数函数性质得分子和分母的符号即可比较大小. 【详解】（1）因为在单调递增， 而，所以； （2）当时，在单调递增，而，所以； 当时，在单调递减，而，所以； （3）因为， 而，， 因为，即， 所以，又函数在上单调递增， 所以. 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）以下四个命题中，真命题的个数为（   ） ①函数最小值为3；    ②若，则； ③不等式的解集为． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据二次函数性质分析可得①错误；由对数运算性质构造函数并利用其单调性可得②正确；举反例在不等式的解集内可知③错误. 【详解】对于①，由于，则，即函数最小值为4，所以①错误； 对于②，若， 易知在上单调递增，，所以，可得②正确； 对于③，易知当时，，即在不等式的解集内，因此③错误； 因此真命题的个数为1个. 故选：B 2．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的单调性，结合二次函数、指对数函数性质列不等式求参数范围. 【详解】由开口向上且对称轴为，结合题意在上单调递减，所以， 因为都在上单调递减， 所以在上单调递减， 又在R上单调递减，则， 综上，a的取值范围是. 故选：D 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，若实数满足，且，则下列说法不正确的是（  ） A． B．不存在最小值，但是存在最大值 C． D．对于任意符合条件的，都有 【答案】B 【分析】首先根据，当时，；当时，.画出函数草图.根据且，得到，从而. 然后将各个选项中的式子根据和基本不等式等知识进行分析和计算，判断其正确性. 【详解】因为，即，所以，，则. 由于对勾函数在上单调递减，当时，. （当时，），所以，A选项正确. 因为，， 设，则.则，，随着增大而增大， 则在单调递减，无最小值，当时，，无最大值，选项B错误. . 设，.由对勾函数性质知道，当时，单调递减. 则单调递增，，，所以，选项C正确. 假设，因为，，则，即，，（无解），所以对于任意符合条件的，都有，D选项正确. 故选：B. 4．（24-25高一上·上海·期中）定义“正对数”： ，现有四个命题： ①若，，则；      ②若，，则； ③若，，则；   ④若，，则； 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由“正对数”的定义分别对、分，；，两种情况进行推理判断①；通过举反例说明判断②③④. 【详解】对于命题①，当时，，，，则； 当时，，，，则， 因此，，命题①正确； 对于命题②，取，，， 此时，②错误； 对于命题③，取，， ， 此时，③错误； 对于命题④，取，， 而，此时，④错误， 所以真命题的个数为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决命题①的关键是按给定定义分类讨论，并利用对数函数的性质推理判断. 5．（24-25高一·上海·课堂例题）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（    ）(参考数据：) A．2026年； B．2027 年； C．2028年； D．2029 年． 【答案】B 【分析】首先根据指数函数建立拟合的函数模型，再求解不等式. 【详解】设研发资金开始超过200万元的年份是，则第年投入的研发资金为， 则，即， 所以， 所以. 所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年. 故选：B 6．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知 的值域为，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据分段函数的值域为，具有连续性，由是增函数，可得也是增函数，故得，且，再求出的取值范围. 【详解】函数的值域为， 由是增函数， 也是增函数， ，解得， 函数的值域为，，解得. 实数的取值范围为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】由题意构造，可以证明它是奇函数，从而，所以由即可得解. 【详解】设，则的定义域为，的定义域关于原点对称， 且，即， 则为奇函数，所以，， 因为， 所以. 故答案为：1. 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数，其中，如果不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，将原不等式等价变形为：，再变量分离得到，原不等式在区间，上有解，即小于右边的最大值．根据指数函数的单调性得到右边的最大值即可得到实数的取值范围． 【详解】不等式，即， 原不等式可化为， 移项得， 两边都除以，得 不等式在区间有解，即式的右边的最大值大于， 在,上是一个减函数 当时，的最大值为 因此，得实数的取值范围是， 故答案为： 9．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】先由题意结合求出点A，进而由点A在直线上得，再结合基本不等式常数“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，，且，下列结论正确的有 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③④ 【分析】首先判断函数的单调性，依题意可得，且，从而得到，再对各选项一一分析即可. 【详解】因为， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，且，所以，且，则，故，故①错误； 对于②，，而， 又函数在上单调递增，且当时，所以，故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④正确． 故答案为：③④ 11．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）当时得，再解对数不等式可得答案； （2）转化为方程只有一个实数解，分、讨论可得答案. 【详解】（1）当时，， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）由得， 所以，整理得， 当时，由得， 此时只有一个解，满足题意； 当时，令，得，解得， 此时只有一个解，满足题意； 综上所述，或. 12．（24-25高一上·上海·期中）已知全集为R，集合  集合  B=. (1)求集合A，B及A∩B: (2)若C={}， 且满足A∪C=A， 求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于集合，根据指数函数单调性求解的范围. 对于集合，根据对数函数的性质，求解的范围. 对于，求两个集合的交集，即求既属于又属于的元素组成的集合. （2）对于，根据集合的包含关系，再根据集合的定义求解的取值范围. 【详解】（1）因为，指数函数是单调递增函数. 所以. 解为，即.   因为，对数函数是单调递增函数. 所以，解得，即.   则. （2）对于集合，可得，即. 因为，所以. 则有. 解第一个不等式，得. 解第二个不等式，得. 所以的取值范围是. 13．（24-25高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． (1)当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； (2)当时，证明：具有“性质”； (3)如果函数具有“性质”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）取验证即可判断； （2）通过，转换成证明恒成立即可. （3）通过对任意恒成立，讨论三种情况即可. 【详解】（1）当时，，则不具有“性质”． （2）若要证具有“性质”，则 只需要证成立即可， 又，则，恒成立， 则具有“性质”． （3）由题意知， 则对任意恒成立， 当时，成立，当时不成立， 当时，或． 14．（24-25高一上·上海·期中）已知， 函数 (1)当时，解不等式 (2)设 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. (3)设，若对任意的， 在区间上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由 得到 ，再利用对数函数的单调性求解； （2）由题意得到函数 在定义域内单调递减证明； （3）根据函数 在定义域内单调递减，得到函数 在区间 上的最大值和最小值，化简得到求解. 【详解】（1）解：当 时, , 则 ， , 解得 ， 不等式的解集为 ； （2） 在 上单调递减, 函数 在定义域内单调递减, 所以当点 P在点Q的左侧时，点P在点Q的上方； （3）由（2）知：函数 在定义域内单调递减， 函数 在区间 上的最大值为： , 最小值为， ， 即 ， 令 ， 则，即 在 上单调递增, 解得 ， 又, 实数的取值范围时 . 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数的简图； 1 2 4 (2)根据（1）的结果，若，试猜想的值，并证明你的结论． 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意，由函数的解析式完成表格，进而作出函数的草图； （2）根据题意，假设，结合函数的图象可得，结合函数的解析式分析可得答案. 【详解】（1）由题意知，函数，则填表如下： 1 2 4 其大致图象如图： （2）若，猜想， 证明：由于，假设，若，则必有， 则，， 由于，则， 所以，即， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $$