精品解析：重庆市渝北区六校联盟2024-2025学年九年级上学期第一次教学检测数学试题

2024-2025学年下期初2025届教学大练兵（一） 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读试卷上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列是一元二次方程的是　　 A. B. C. D. 2. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 3. 如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第9个图案需要的棋子个数为（ ） A. 81 B. 91 C. 109 D. 111 4. 下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 菱形的每一条对角线都能平分所在一组对角 D. 正方形的四条边都相等 5. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在正方形中，点E是对角线上的一点，连结，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连结，若F恰为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，．下列说法： ①当时，若，则的值为0或3； ②当时，若，则关于的方程一定有两个不相等的实数根； ③若，，则时，有最小值8． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共8小题，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 12. 把二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是___________． 13. 已知二次函数，当时，函数的最小值为_________ ． 14. 若是关于x的二次函数，则m的值为_______． 15. 如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是______米． 16. 如图，在中，已知，，以为一边作正方形，使得点，落在直线的两侧，连接，以为一边作正方形，使得点，落在直线的两侧，连接．若，则的长为______． 17. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为______． 18. 对于一个三位自然数m，将各个数位上的数字分别乘以3后，取其个位数字，得到三个新的数字，我们对自然数m规定一个运算：，例如：，其各个数位上的数字分别乘以3后，再取其个位数字分别是：，则．则_______；若已知两个三位数（为整数，且），若能被7整除，则的最大值是_______． 三、（解答题：（本大题共8小题，其中19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）解方程：； （2）化简：． 20. 为加强暑期安全教育，由中国教育电视台制作了“暑期安全一直在行动”系列科普宣传视频内容在多媒体平台播出，广大学生家长及时选择内容进行了观看．为了解学生对暑期安全知识的学习情况，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生进行问卷测试（测试成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示），并对测试数据（成绩）进行如下收集、整理和分析： 【收集数据】 七年级10名学生测试成绩：75，83，76，82，75，83，95，80，68，83 八年级的成绩整理如表：其中分布在这一组的成绩是：85，85，86，84，85 【整理数据】 年级 七年级 1 4 1 八年级 0 4 5 1 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 80 81 八年级 80 85 【解决问题】根据以上信息，解答下面问题： （1）填空：______，______，______； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个年级的成绩比较好，简要说明理由； （3）七八年级共有学生1800人，按规定，若学生测试成绩超过80分为“优秀”，估计这两个年级安全知识学习优秀的总人数有多少？ 21. 在学习了平行线后，小西进行了如下思考，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是什么四边形．请根据小西的思路完成以下作图与填空． 已知：如图，，连接． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，． （2）求证：四边形是菱形． 证明：， ∴① 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ③ 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是 22. 小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． （1）求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） （2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 23. 2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． （1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ （2）实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 24. 如图，在中，，，D为上一点，且．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿着匀速运动到点C时停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为y． （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）请在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）若与y的图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围． 25. 如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，为轴上一点，直线与抛物线交于另一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）试在线段下方的抛物线上求一点，使得的面积最大，并求出最大面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，x轴上一点使得是等腰直角三角形？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由． 26. 已知如图，是等边三角形，点D是直线上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接． （1）如图1，当时，与相交于点F，若，求的长； （2）如图2，当点D在的延长线上时，连接，延长交于点N，点M是的中点，连接，求证：； （3）如图3，点D在运动过程中，当最短时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下期初2025届教学大练兵（一） 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读试卷上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列是一元二次方程的是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A．该方程是一元二次方程，故本选项正确； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； C．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； D．该方程是分式方程，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，不等式的性质，二次根式的运算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数在哪两个整数之间． 先计算得到，再估算的范围，再根据不等式的性质即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值在2和3之间， 故选：A． 3. 如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第9个图案需要的棋子个数为（ ） A. 81 B. 91 C. 109 D. 111 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得：第1个图案的棋子个数为 ；第2个图案的棋子个数为 ；第3个图案的棋子个数为 ；第4个图案的棋子个数为 ；……由此发现，第 个图案的棋子个数为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：第1个图案的棋子个数为 ； 第2个图案的棋子个数为 ； 第3个图案的棋子个数为 ； 第4个图案的棋子个数为 ； …… 由此发现，第 个图案的棋子个数为， ∴第9个图案需要的棋子个数为． 故选：B 【点睛】本题主要考查了图形累的规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 4. 下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 菱形的每一条对角线都能平分所在一组对角 D. 正方形的四条边都相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题和逆命题．交换命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后根据四边形的判定与性质对四个逆命题的真假进行判断． 【详解】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形的逆命题为平行四边形的两组对边分别相等，此逆命题为真命题，所以A选项不符合题意； B．矩形的对角线相等且互相平分的逆命题为对角线相等且互相平分的四边形为矩形，此逆命题为真命题，所以B选项不符合题意； C．菱形的每一条对角线都能平分所在一组对角的逆命题为每一条对角线都能平分所在一组对角的四边形是菱形，此逆命题为真命题，所以C选项不符合题意； D．正方形的四条边都相等的逆命题为四条边相等的四边形为正方形，此逆命题为假命题，所以D选项符合题意； 故选：D 5. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，若每天票房的增长率都为元，第二天的票房为元，第三天的票房为元，据此可列方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：若每天票房的增长率都为元，则第二天的票房为元，第三天的票房为元， 由题意得，， 故选：． 6. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 7. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键 先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵二次函数 ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， ． 故选：． 8. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴，故①错误； ②∵函数开口方向向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在和之间，对称轴为直线， ∴顶点纵坐标要小于， ∴，且， ∴，故②正确； ③∵图象与y轴的交点在和之间， ∴， ∵图象与x轴交于点和， ∴的两根为和3， 由韦达定理可知：， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵对称轴为直线为， ∴， ∵，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有②③④， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，点E是对角线上的一点，连结，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连结，若F恰为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点分别作的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为点，则，可证明，，由为等腰直角三角形，设，则，可得，则为等腰直角三角形，由勾股定理得，由，得到，解得，故． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为点，则， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴，四边形为矩形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可证明：， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴设，则， ∵点为中点，， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 由勾股定理得， ∵， ∴， 解得， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，正确构造全等是解题的关键． 10. 已知，，．下列说法： ①当时，若，则的值为0或3； ②当时，若，则关于的方程一定有两个不相等的实数根； ③若，，则时，有最小值8． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对各项分别分析计算即可．本题重点考查一元二次方程的根的判别式，绝对值的意义，难度不是很大，但4个小题需要分别分析计算，计算量相当大，过程很繁琐，容易出错，一定要认真． 【详解】解：①当时，若， 则， 整理，得， 解得或． 经检验，为增根， 故的值为0； ①错误； ②当时，，， ， ， ， ， 关于的方程一定有两个不相等的实数根， ②正确； ③若，，则，，， ， 当时，， 则时，有最小值8； 当时，， 则时，有最小值22； 当时，原式 时，有最小值8． ③正确 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 12. 把二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题即可． 【详解】解：把二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是， 故答案为：． 13. 已知二次函数，当时，函数的最小值为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、将二次函数解析式化为顶点式，先化为顶点式得出二次函数开口向下，对称轴为直线，再分别求出当时、当时的的值即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最小值为， 故答案为：． 14. 若是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：2． 15. 如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是______米． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把解析式化为顶点式，顶点的纵坐标的值即为水柱的最大高度． 【详解】解：， ∴水柱的最大高度是5米， 故答案为：5． 16. 如图，在中，已知，，以为一边作正方形，使得点，落在直线的两侧，连接，以为一边作正方形，使得点，落在直线的两侧，连接．若，则的长为______． 【答案】13 【解析】 【分析】证明得，过点C作并延长交于M，则四边形是矩形，求出，，，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形为正方形 ∴， ∴， 即 在和中 ∴ ∴ 过点C作并延长交于M，则四边形是矩形 ∴，，． ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：13． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 17. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数的取值范围，由分式方程的解的情况求参数，先解不等式组，根据不等式组无解确定的取值范围，即确定的取值范围，再解分式方程，求出分式方程的解，根据分式方程的整数解确定的值，进而即可求解，解题的关键是根据不等式组无解确定的取值范围，进而由分式方程的整数解确定出的值． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程有整数解，且, ∴，，，， 又∵， ∴，，， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 18. 对于一个三位自然数m，将各个数位上的数字分别乘以3后，取其个位数字，得到三个新的数字，我们对自然数m规定一个运算：，例如：，其各个数位上的数字分别乘以3后，再取其个位数字分别是：，则．则_______；若已知两个三位数（为整数，且），若能被7整除，则的最大值是_______． 【答案】 ①. 121 ②. 144 【解析】 【分析】本题考查了数的十进制，数的整除，根据新定义计算，可得的值；先用、的解析式表示，再根据整除的性质列出关于、的关系式从而求得、的值，最后根据的定义求出结果，关键在于数的代数表达式，明白三位数的表达式为即可根据定义运算． 【详解】解：的各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：2，9，6， ； ∵，， ∴ ∵能被7整除， ∴是7的倍数 ∵为整数，且， ∴， ∴或， ∴或， ∵均为整数， ∴或 ∴或， ∴或， ∴当，， 当，， 的最大值为144． 故答案为：121，144． 三、（解答题：（本大题共8小题，其中19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）解方程：； （2）化简：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了分式的混合运算． （1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后通分后进行同分母的减法运算． 【详解】解：（1）， ， 或， 所以，； （2）原式 ． 20. 为加强暑期安全教育，由中国教育电视台制作了“暑期安全一直在行动”系列科普宣传视频内容在多媒体平台播出，广大学生家长及时选择内容进行了观看．为了解学生对暑期安全知识的学习情况，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生进行问卷测试（测试成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示），并对测试数据（成绩）进行如下收集、整理和分析： 【收集数据】 七年级10名学生测试成绩：75，83，76，82，75，83，95，80，68，83 八年级的成绩整理如表：其中分布在这一组的成绩是：85，85，86，84，85 【整理数据】 年级 七年级 1 4 1 八年级 0 4 5 1 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 80 81 八年级 80 85 【解决问题】根据以上信息，解答下面问题： （1）填空：______，______，______； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个年级的成绩比较好，简要说明理由； （3）七八年级共有学生1800人，按规定，若学生测试成绩超过80分为“优秀”，估计这两个年级安全知识学习优秀的总人数有多少？ 【答案】（1）4；83； （2）八年级学生知识竞赛成绩更好， 理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级， 说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）． （3）990人 【解析】 【分析】（1）数出成绩在范围内的人数即可求a；根据众数的定义即可求b；根据中位数的定义可求c． （2）比较两年级的中位数、众数、平均数的大小即可得出结论； （3）用全校总人数乘以两年级成绩超过80分点的比例，计算即可． 【小问1详解】 解：； ∵83出现的次数最多，共3次， ∴七年级的众数是83，即； 按从小到大排列，第5，第6个成绩应是85，85， 故八年级的中位数是，即； 故答案为：4；83；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这两个年级安全知识学习优秀的总人数有990人． 【点睛】本题考查频数分布表，中位数，众数，平均数，用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 21. 在学习了平行线后，小西进行了如下思考，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是什么四边形．请根据小西的思路完成以下作图与填空． 已知：如图，，连接． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，． （2）求证：四边形是菱形． 证明：， ∴① 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ③ 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是 【答案】（1） 如图所示： （2），，，菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题；（1）根据要求作图；（2）根据领边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：， ∴①， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ③， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是菱形． 故答案为：，，，菱形． 22. 小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． （1）求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） （2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】（1）小山与亭台之间的距离米 （2）小玲先到达寺庙处 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）作于点，在中求出，然后在中即可求解； （2）延长，作于点，作于点，则，在中求出，米，在中求出，，进而求出两人行走的路程可得答案． 【小问1详解】 作于点， 由题意知，，，，， 在中， 在中，，， 小山与亭台之间的距离米 【小问2详解】 延长，作于点，作于点，则， 由题意知，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，， ∴， 在中，，米， 在中，， 米， 米， 且两人速度一致， 小玲先到． 答：小玲先到达寺庙处． 23. 2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． （1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ （2）实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【答案】（1）原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵 （2）物业管理公司实际购买两种树共56棵 【解析】 【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案． （2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到方程式求出满足条件的值，即可得出答案． 【小问1详解】 设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵， 根据题意，可得， 解得，． 答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵． 【小问2详解】 根据题意，可得， 整理得，， 解得：，， ∵，∴， ∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟， 答：物业管理公司实际购买两种树共56棵． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键． 24. 如图，在中，，，D为上一点，且．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿着匀速运动到点C时停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为y． （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）请在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）若与y的图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象如下： 性质：当时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一） （3）或． 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点P在上时，直接求出关系式即可；当点P在上时，过点P作于E，求出的长，即可求得关系式； （2）画出函数图象，结合图象写出一条性质即可； （3）结合函数图象，即可求得t的取值范围． 【小问1详解】 解：①当点P在上时，即时， ∵，， ∴； 当点P在上时，即时， 过点P作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 综上，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当过原点时，则；当过点时，， 则， 当时，， 如图，当在间平行移动时，直线恰好与图象有一个交点，但不与重合，或者过点时直线恰好与图象有一个交点， 当在间平行移动时，直线恰好与图象有一个交点，但不与重合时，． 当过点时，，解得 综上，或． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了直角三角形的性质，求函数解析式，画函数图象，关键是求出函数解析式，正确画出函数图象，确定t的范围时，注意数形结合． 25. 如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，为轴上一点，直线与抛物线交于另一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）试在线段下方的抛物线上求一点，使得的面积最大，并求出最大面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，x轴上一点使得是等腰直角三角形？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），最大面积为 （3）存在，或或； 【解析】 【分析】（1）根据对称轴可知，再将点代入中，求出的值即可确定函数的解析式； （2）过点作轴交于点，设，则，可求，当时，的面积最大为，此时； （3）设，分三种情况讨论：当，时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，证明，得到，求出的值再求点坐标即可；当，时，过点作轴交对称轴于点，过点作交于点，同理可证，此情况不存在；当，，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，同理可证，可求． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 将点代入中， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或， ， 过点作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时，的面积最大为， 此时； 【小问3详解】 解：存在一点，轴上一点使得是等腰直角三角形，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设， 如图1：当，时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ，， ， 解得或， 或， 或； 如图2，当，时，过点作轴交对称轴于点，过点作交于点， 同理可证， ，， ， 此情况不存在； 如图3，当，，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， 同理可证， ，， ， ； 综上所述：点坐标为或或； 【点睛】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长；注意分类讨论思想的应用． 26. 已知如图，是等边三角形，点D是直线上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接． （1）如图1，当时，与相交于点F，若，求的长； （2）如图2，当点D在的延长线上时，连接，延长交于点N，点M是的中点，连接，求证：； （3）如图3，点D在运动过程中，当最短时，直接写出的值． 【答案】（1）2 （2） 证明：延长到点K，使得，连接，如图2所示， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由旋转知，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质求出，再根据旋转性质求得，根据含角的直角三角形性质即得； （2）延长到点K，使得，连接，根据等边三角形性质证明， ，得到，，结合旋转性质证明，， ，证明，得到，，根据三角形的中位线性质得到，根据即得； （3）将绕点A逆时针旋转，得到，连接，延长交的延长线于点H，设等边的边长为2，得到，，根据， ，推出，推出，得到，E点在直线上运动，得到时最短，证明，，到四边形是平行四边形，根据，得到是菱形，得到，当时，根据，得到，得到，得到，根据，，得到，即得． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 由旋转知，，， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3所示，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，延长交的延长线于点H，设等边的边长为2， 则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴E点在直线上运动， ∴当时最短， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形，旋转，四边形综合．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形性质，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $