精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

高三年级12月份月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（其中 为虚数单位），则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据模长公式求解. 【详解】根据可得， 故， 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性解不等式，再由交集运算得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 3. 有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ） A. 平均数 B. 第50百分位数 C. 极差 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出平均数、第50百分位数、极差、众数，即可得到答案 【详解】平均数为； ，则第50百分位数为 ； 极差为； 众数为 故平均数最大 故选：A. 4. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断的范围，求得 的值，利用二倍角公式，即可求得答案 【详解】由题意，则， 由可得， 即有，即，，解得， 故选：C 5. 已知函数是减函数，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得，根据题意可得对恒成立，求得的最小值即可. 【详解】由，可得， 因为函数是减函数，所以对恒成立， 即对恒成立，所以对恒成立， 所以，又，当且仅当 时等号成立， 所以，所以，所以 的取值范围为. 故选：D. 6. 已知数列的前 项和为，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的关系可得为从第二项开始的等比数列，即可利用等比求和公式求解. 【详解】由可得，故， 又，，故为从第二项开始的等比数列，且公比为2， 故. 故选：D. 7. 若直线与曲线相切，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切点和斜率列方程，利用构造函数法结合导数来求得 的取值范围. 【详解】设切点为，因为，所以． 又因为切点在直线上， 所以，解得，所以． 令，则， 所以在区间上 ，单调递减， 在区间上单调递增， 所以，故 的取值范围为． 故选：C 8. 已知，分别为双曲线 ：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后利用二倍角公式结合条件可得，然后根据离心率公式即得. 【详解】因为， 为的中点， 所以，， 所以，又， ， 所以， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知直线与圆 ，则（ ） A. 直线过定点 B. 圆的半径为4 C. 直线与圆一定相交 D. 圆心到直线的距离的最大值是1 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线变形为，即可求解定点，判断A，将圆转化为标准式，即可求解B，根据定点在圆内，即可判断C，根据定点与圆心的距离即可求解D. 【详解】直线变形为，故，解得，故直线过定点，A正确， 圆 为 ，故半径为2，B错误， 由于定点在圆内，故直线与圆一定相交，C正确， 到圆心的距离为1，故当定点与圆心的连线与直线垂直时，距离最大，故圆心到直线的距离的最大值是1，D正确， 故选：ACD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间上的零点个数为4 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得，即可判断A；利用即可判断B；解方程即可判断C；利用导数求出函数 的最大值即可判断D. 【详解】对于A：， 因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以 的最小正周期为 ，故A正确； 对于B：， 所以点是 图象的对称点，故B正确； 对于C：由，可得： ，解得：， 或=0，解得：，共5个零点，故C错误； 对于D：， 又，令， 因为 的周期为 ，所以只需讨论 内的 的最大值， 此时当时，，当时，， 故当即时， 有极大值， 又，故D正确. 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为3，P为正方体表面上的一个动点，Q为线段上的动点，.则下列说法正确的是（ ） A. 当点P在侧面（含边界）内时， 为定值 B. 当点P在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为 C. 当点P在侧面（含边界）内时，对任意点P，总存在点Q，使得 D. 点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对选项A，易证得，即可求出 的值；对选项B，易知直线与直线所成角为，求出，即可得出答案；对选项，通过关系建立方程，结合点 的坐标满足，得到关于的一元二次方程，再通过判别式即可判断出对任意点 ，总存在点，便得；对于选项D，点P的轨迹一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧，另一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧，求解即可. 【详解】对于A，因为P在侧面（含边界）内，由正方体的性质知， 平面，平面，所以， 所以，故A正确； 对于B，点P在侧面（含边界）内，由正方体的性质知， 平面，平面，所以， 直线与直线所成角为， 所以， 直线与直线所成角的大小为，故B不正确； 对于C，建立如下图所示的空间直角坐标系 ，根据题意，可得：，，，，，，， 为线段上的动点，则有：（） 解得：，设点， 因为，所以， 则，若， 则有：， ，又 则有： 又，则有：， 故对任意点 ，总存在点，便得，故选项正确； 对于D，当时，如图2，点P的轨迹一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧， 另一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧；所以此时点P轨迹的长度为，故D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项为________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得；令，则无自然数解. 所以展开式中的常数项为. 故答案为： 13. 已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球.第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式求得正确答案. 【详解】依题意，第二次取到红球的概率为. 故答案为： 14. 已知函数，满足，且，则的最小值为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据对数的性质可得，即可利用基本不等式的乘“1”法求解. 【详解】不妨设，如图，作出的图象， 根据可得， 故，即可， 故，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且. （1）求边b的值； （2）若D为边BC的中点，，求的面积. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，找到边关系求解. (2)根据余弦定理，求出，再根据面积公式求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：，且， 所以. 【小问2详解】 延长AD至点E，满足，连接EB，EC，在 中， 由余弦定理得：， 因为 ，， 代入上式整理得：，所以 所以. 16. 已知数列满足 . （1）求证：数列是等差数列； （2）令，求数列的前 项和. 【答案】（1） 因为，所以， 所以，所以 ， 又 ，所以是以1为首项，1为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，进而结合已知可得 ，可得结论； （2）结合（1）可得，令，对照系数可得，进而利用累加法可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知 令， 对照系数可得（其中）， . 17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为． （1）若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面平面SCD． （2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处 【解析】 【分析】（1）由题可得EPSD，EFCD，即证； （2）由题可得SP⊥平面ABCD，结合条件可得AD的长，建立空间直角坐标系，设＝λ，利用条件列方程，即可解得. 【小问1详解】 因为E、F分别是SA、SB的中点， 所以EF AB， 在矩形ABCD中，AB CD， 所以EF CD，CD 平面SCD，EF平面SCD， ∴EF 平面SCD， 又因为E、P分别是SA、AD的中点， 所以EP SD，SD 平面SCD，EP平面SCD， ∴EP 平面SCD， 又EF∩EP＝E，EF，EP平面PEF， 所以平面PEF 平面SCD． 【小问2详解】 假设在棱SA上存在点M满足题意， 在等边三角形SAD中，P为AD的中点，所以， 又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面SAD， 所以平面ABCD，所以SP是四棱锥的高． 设，则，， 所以，所以m＝2． 以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设，所以． 设平面PMB的一个法向量为，则， 所以取．易知平面SAD的一个法向量为， 所以， 因为，所以， 所以存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处满足题意． 18. 已知函数 （1）求 的单调性; （2）若 有两个不相同的零点，，设 的导函数为 ．证明： 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论参数范围，判断导数正负，即可求得答案. （2）根据函数有2个零点可得到相应的等式以及，由此将所证明不等式等价转化，结合构造函数，利用函数的单调性即可证明. 【小问1详解】 ∵，定义域为， 则， 当 时， 恒成立， 当 时，令 ，解得，令 ，解得， ∴当 时，在上单调递增； 当 时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 证明：∵有两个不相同的零点，不妨设， ∴由（1）知，， ，故， ， 又 ， 结合，令 ，则． 构造函数，则恒成立， ∴在上单调递增， 则， ∴成立． 【点睛】关键点睛：本题是利用函数有两个零点证明不等式问题，解答的关键是利用函数零点得出相应的等式，进而将所证不等式进行等价转化，再利用构造函数，利用函数单调性即可证明. 19. 黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁.每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分.假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为 ，求 的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取 人，记这 人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为 分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 【答案】（1）分布列见解析， （2） （3）趋近于常数. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到变量X的可能取值为2，3，4，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望； （2）由这 人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）记“合计得 分”为事件A，“合计得分”为事件 ，得到，结合数列的递推关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案. 【小问1详解】 由题意得，随机变量 的可能取值为2，3，4， 可得，，. 所以 的分布列如下表所示： X 2 3 4 P 所以，数学期望为. 【小问2详解】 由这 人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁， 所以， 则， 由两式相减，可得， 所以. 【小问3详解】 在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为 分或分， 记“合计得 分”为事件A，“合计得分”为事件 ，A与 是对立事件， 因为，， 所以，即， 因为， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数. 【点睛】思路点睛：第二问根据独立重复试验二项分布求得，然后结合数列错位相减求解；第三问根据事件概率和为1求得通过配凑成等比数列来求解出，从而解得趋近于常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级12月份月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（其中 为虚数单位），则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ） A. 平均数 B. 第50百分位数 C. 极差 D. 众数 4. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前 项和为，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线相切，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别为双曲线 ：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知直线与圆 ，则（ ） A. 直线过定点 B. 圆的半径为4 C. 直线与圆一定相交 D. 圆心到直线的距离的最大值是1 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间上的零点个数为4 D. 的最大值为 11. 已知正方体的棱长为3，P为正方体表面上的一个动点，Q为线段上的动点，.则下列说法正确的是（ ） A. 当点P在侧面（含边界）内时， 为定值 B. 当点P在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为 C. 当点P在侧面（含边界）内时，对任意点P，总存在点Q，使得 D. 点P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，常数项为________. 13. 已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球.第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为________. 14. 已知函数，满足，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且. （1）求边b的值； （2）若D为边BC的中点，，求的面积. 16. 已知数列满足 . （1）求证：数列是等差数列； （2）令，求数列的前 项和. 17. 如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥 的体积为． （1）若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面平面SCD． （2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数 （1）求 的单调性; （2）若 有两个不相同的零点，，设 的导函数为 ．证明： 19. 黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁.每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分.假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为 ，求 的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取 人，记这 人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为 分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $