【新教材】专题突破二：平行线的性质与判定填空（解答题）（20道）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练人教（2024）版（原卷+解析版）

【专题突破】2024-2025七年级下册数学新人教版∙能力提升 本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题组训练1】如图，已知，，分别是，的平分线． (1)求证：． 证明：因为（已知）， 所以（________）． 因为平分（已知）， 所以________（________）． 同理________． 所以， 所以（________）． (2)请说出（1）中用到了哪两个互逆的真命题． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行 (2)“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行” 【详解】（1）证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， 同理， ， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行． （2）（1）中用到的互逆真命题为“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行” ． 【题组训练2】把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线．试说明：． 解：是的角平分线， （___________）， 又（已知）， （___________）， ___________（__________）， （___________）， 又（已知）， （同角的补角相等）， （__________）． 【答案】角平分线的定义；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行 【详解】解：是的角平分线， （角平分线的定义）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （同角的补角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 【题组训练3】如图，点G在上，已知，平分，平分，试说明．下面是某同学的解答过程，请把该解答过程补充完整． 解：（已知）， __________（____________________） __________（____________________） 平分， __________（____________________）． 平分， __________， （____________________）． （____________________）． 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义； ；等量代换；内错角相等，两直线平行 【详解】解：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【题组训练4】完成下面的解题过程，并在括号内填上依据： 如图，已知，，，试说明． 解：∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴ 即 ∴______ ∴ （____________） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等)； ∵， ∴（等量代换)； ∵， ∴； 即； ∴； ∴（内错角相等，两直线平行）． 【题组训练5】把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （             ）       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （                         ）， 所以（                             ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（             ）， 所以（                ） 【详解】解：因为平分， 所以∠1=∠2（角平分线的定义），       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（ 两直线平行，同旁内角互补）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以（同角的补角相等）， 所以（ 同位角相等，两直线平行）， 【题组训练6】把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．如图，，，． （1）试说明； （2）与的位置关系如何？为什么？ 解：（1）∵（已知） ∴ （ ） 又∵（已知） ∴ （等量代换） ∴（ ） （2）与的位置关系是 ，理由如下： ∵（已知） ∴ （ ） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（ ） 【详解】解：（1）∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）与的位置关系是，理由如下： ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 【题组训练7】完成下面的证明： 如图，已知，平分，求证：． 证明：（已知） （ ） （ ） 平分（已知） = （ ） （等量代换） 【答案】见解析 【详解】证明：（已知） （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） 平分（已知） （角平分线的定义） （等量代换） 【题组训练8】填空：如图，已知．试说明：． 解：（______________________）， （______________）， ______________________（等量代换）． ________ ________________． （____________________________________）． （平角的定义）， （等量代换）． 【答案】对顶角相等； 已知； ； ； ； 两直线平行，内错角相等 【详解】解：（对顶角相等）， （已知）， （等量代换）． ． （两直线平行，内错角相等）． （平角的定义）， （等量代换）． 【题组训练9】完成下面的证明过程． 已知：如图， ，平分，平分． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（ _________________________ ）． ∵（已知）， ∴________（ ___________________________ ）． 又∵平分，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴，即． 【答案】两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；； 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵平分，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴，即． 【题组训练10】完成推理填空：如图在中，已知，，试说明． 解：（邻补角的定义），（已知） __________（同角的补角相等） （__________） __________（两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （__________） （__________） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【详解】解：（邻补角定义）， （已知） （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等）． 【题组训练11】如图，已知，与相交于点E，若，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴①_________（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（②________）； ∴③____________（同位角相等，两直线平行）． ∴④__________（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（⑤___________________）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． 【答案】见解析 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（②同角的补角相等）； ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． 【题组训练12】根据题意结合图形填空： 已知：如图，于D，与G，，求证：平分. 证明：∵，（已知） ∴（    ①    ） ∴（    ②    ） ∴（    ③    ） （    ④    ） （已知） ∴ ⑤ ⑥ （    ⑦    ） ∴是的平分线（    ⑧    ） 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；，，等量代换；角平分线的定义 【详解】证明：，（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， 是的平分线（角平分线的定义）． 【题组训练13】如图，已知，，把下面的空填写完整． 解：因为（已知） 所以 （ ） 所以（ ） 又因为（已知） 所以 （ ） 所以 __________（ ）． 【详解】解：因为（已知） 所以（内错角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，内错角相等） 又因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行）； 【题组训练14】把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．如图所示，已知，，试说明：． 解：∵（已知）， ∴ （ ） 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∵（ ）， ∴（等量代换）． 【详解】解:∵ (已知)， ∴ (　两直线平行，内错角相等　)， 又∵ (已知)， ∴ (　等量代换　)， ∴ (　同位角相等，两直线平行　)， ∴(　两直线平行,同位角相等　)， ∵ (　对顶角相等　)， ∴ (等量代换)． 【题组训练15】完成下面的证明过程： 如图所示，直线与分别相交于点A，D，与分别相交于点H，G，已知，． 求证：． 证明：，（已知）（___________） _______（___________） （___________） （___________） 又（已知） ________（___________） ____________（___________） （___________） 【详解】证明：，（已知）（对顶角相等） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 【题组训练16】如图，，交于点，点在上，，垂足为H，，试说明．请将下面的解答过程补充完整（填数字式子或理由）． 解：（已知）， （ ） （已知） （ ） （ ） 又，即， （ ）． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 又，即， （两直线平行，同位角相等）． ． 【题组训练17】完成下面推理填空： 如图，、分别在和上，，与互余，于．求证：． 证明： （______） （已知） ____________（______） （______） （______） ． 与互余（______） ______（______） （______） 【详解】证明： （垂直的定义）， （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（平角的定义）， ， 与互余（已知）， ， （同角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 【题组训练18】如图，一条直线分别与直线直线、直线、直线相交于A、G、H、D，如果，，求证：．请将下面的解答过程补充完整（在空上填写推理依据或数学式子） 证明：∵（已知），（______①______） ∴（等量代换） ∴ ∴（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， ∴______③______（内错角相等，两直线平行） ∴（______④______） ∴（______⑤______） 【详解】证明：（已知），（对顶角相等）， （等量代换）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． 【题组训练19】如图，，，求的度数． 解：因为（                  ）， 所以 （                 ）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以 （内错角相等，两直线平行）． 所以（               ）． 因为（已知）， 所以 ． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 因为（已知）， 所以． 【题组训练20】如图，，，，将求的过程填写完整． 解：（______） ______（______） 又，（______） （______） ______（______） ______ （______） 又（______） ______（______） 【详解】解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又，（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知） （等式性质） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【专题突破】2024-2025七年级下册数学新人教版∙能力提升 本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题组训练1】如图，已知，，分别是，的平分线． (1)求证：． 证明：因为（已知）， 所以（________）． 因为平分（已知）， 所以________（________）． 同理________． 所以， 所以（________）． (2)请说出（1）中用到了哪两个互逆的真命题． 【题组训练2】把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线．试说明：． 解：是的角平分线， （___________）， 又（已知）， （___________）， ___________（__________）， （___________）， 又（已知）， （同角的补角相等）， （__________）． 【题组训练3】如图，点G在上，已知，平分，平分，试说明．下面是某同学的解答过程，请把该解答过程补充完整． 解：（已知）， __________（____________________） __________（____________________） 平分， __________（____________________）． 平分， __________， （____________________）． （____________________）． 【题组训练4】完成下面的解题过程，并在括号内填上依据： 如图，已知，，，试说明． 解：∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴ 即 ∴______ ∴ （____________） 【题组训练5】把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （             ）       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （                         ）， 所以（                             ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（             ）， 所以（                ） 【题组训练6】把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．如图，，，． （1）试说明； （2）与的位置关系如何？为什么？ 解：（1）∵（已知） ∴ （ ） 又∵（已知） ∴ （等量代换） ∴（ ） （2）与的位置关系是 ，理由如下： ∵（已知） ∴ （ ） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（ ） 【题组训练7】完成下面的证明： 如图，已知，平分，求证：． 证明：（已知） （ ） （ ） 平分（已知） = （ ） （等量代换） 【题组训练8】填空：如图，已知．试说明：． 解：（______________________）， （______________）， ______________________（等量代换）． ________ ________________． （____________________________________）． （平角的定义）， （等量代换）． 【题组训练9】完成下面的证明过程． 已知：如图， ，平分，平分． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（ _________________________ ）． ∵（已知）， ∴________（ ___________________________ ）． 又∵平分，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴，即． 【题组训练10】完成推理填空：如图在中，已知，，试说明． 解：（邻补角的定义），（已知） __________（同角的补角相等） （__________） __________（两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （__________） （__________） 【题组训练11】如图，已知，与相交于点E，若，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴①_________（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（②________）； ∴③____________（同位角相等，两直线平行）． ∴④__________（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（⑤___________________）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． 【题组训练12】根据题意结合图形填空： 已知：如图，于D，与G，，求证：平分. 证明：∵，（已知） ∴（    ①    ） ∴（    ②    ） ∴（    ③    ） （    ④    ） （已知） ∴ ⑤ ⑥ （    ⑦    ） ∴是的平分线（    ⑧    ） 【题组训练13】如图，已知，，把下面的空填写完整． 解：因为（已知） 所以 （ ） 所以（ ） 又因为（已知） 所以 （ ） 所以 __________（ ）． 【题组训练14】把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．如图所示，已知，，试说明：． 解：∵（已知）， ∴ （ ） 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∵（ ）， ∴（等量代换）． 【题组训练15】完成下面的证明过程： 如图所示，直线与分别相交于点A，D，与分别相交于点H，G，已知，． 求证：． 证明：，（已知）（___________） _______（___________） （___________） （___________） 又（已知） ________（___________） ____________（___________） （___________） 【题组训练16】如图，，交于点，点在上，，垂足为H，，试说明．请将下面的解答过程补充完整（填数字式子或理由）． 解：（已知）， （ ） （已知） （ ） （ ） 又，即， （ ）． 【题组训练17】完成下面推理填空： 如图，、分别在和上，，与互余，于．求证：． 证明： （______） （已知） ____________（______） （______） （______） ． 与互余（______） ______（______） （______） 【题组训练18】如图，一条直线分别与直线直线、直线、直线相交于A、G、H、D，如果，，求证：．请将下面的解答过程补充完整（在空上填写推理依据或数学式子） 证明：∵（已知），（______①______） ∴（等量代换） ∴ ∴（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， ∴______③______（内错角相等，两直线平行） ∴（______④______） ∴（______⑤______） 【题组训练19】如图，，，求的度数． 解：因为（                  ）， 所以 （                 ）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以 （内错角相等，两直线平行）． 所以（               ）． 因为（已知）， 所以 ． 【题组训练20】如图，，，，将求的过程填写完整． 解：（______） ______（______） 又，（______） （______） ______（______） ______ （______） 又（______） ______（______） 学科网（北京）股份有限公司 $$