【新教材】专题7.4 平移六大题型（一课一讲）-2024-2025七年级下册数学同步讲练【人教2024版】（原卷+解析版）

专题7.4平移六大题型（一课一讲） 【人教版】 题型一：生活中的平移现象 【经典例题1】1．下列四幅图案中，能通过平移图案得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会在北京隆重开幕．此次冬奥会的吉祥物“冰墩墩”是熊猫形象与冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代以及面向未来的无限可能．在下面的四个冰墩墩图片中，能由左图经过平移得到的是（    ） A．B．C．D． 【变式训练1-2】下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 【变式训练1-3】下列运动属于平移的是（   ） A．抽屉的拉开 B．荡秋千的人的运动 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的运动 D．乒乓球被运动员高抛发出后球的运动 【变式训练1-4】下列运动属于平移的是（    ） A．空中放飞的风筝 B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程 D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行 【变式训练1-5】下列运动属于平移的是（    ） A．冷水加热过程中小气泡变成大气泡 B．乘电梯从一楼到十楼 C．随风飘动的树叶在空中的运动 D．钟表上走动的分针 题型二：图形的平移距离 【经典例题2】在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．    【变式训练2-1】如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．    【变式训练2-2】如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，若，，则 ．    【变式训练2-3】如图，∆ABC经过平移得到，连接，若cm，则点A与点A'之间的距离为 cm． 【变式训练2-4】如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为25cm，则平移的距离为 cm． 【变式训练2-5】把边长分别为4和2的两个正方形、如图放置，把正方形沿着水平方向向左平移，正方形固定不动，当两个正方形重叠部分的面积为正方形面积的时，此时平移的距离是 ． 题型三：利用平移求阴影部分的面积 【经典例题3】如图，将左边的正方形向右平移5个单位，两个正方形重合，则图中阴影部分的面积是（    ） A．5 B．25 C．50 D．以上都不对 【变式训练3-1】如图，将∆ABC平移后得到，设两个阴影部分面积分别为和，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-2】如图，在三角形中，，将三角形沿方向平移的长度得到三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．30 B．26 C．32 D．42 【变式训练3-3】如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式训练3-3】已知在直角三角形中，，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置（如图所示），其中点落在边的中点处，此时边与边相交于点D，如果，，那么四边形的面积 ． 【变式训练3-4】如图，将三角形平移得到三角形，若图中阴影部分面积与所有空白部分面积之比为，则阴影部分面积与三角形面积的比值为 ． 题型四：利用平移的性质求重叠部分的面积 【经典例题4】如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移 ，再向下平移后到长方形的位置． (1)用的代数式表示长方形与长方形的重叠部分的面积，这时应满足怎样的条件？ (2)用的代数式表示六边形（阴影部分）的面积． 【变式训练4-1】∆ABC和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果∆ABC朝着某个方向平移后得如图②所示，则∆ABC平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)∆ABC平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 【变式训练4-2】如图，长方形，，，若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形，试问： (1)长方形与长方形的面积是否相等？ (2)将长方形平移多长距离，能使两长方形的重叠部分的面积是？ 【变式训练4-3】如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 【变式训练4-4】探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 题型五：利用平移解决实际问题 【经典例题5】如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则 ． 【变式训练5-1】如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 【变式训练5-2】如图，某居民小区有一长方形土地，长米，宽米．居民想在长方形地内修筑宽均为米的小路，余下的部分做绿化，为了使草坪更美观，有人建议把道路修成如图所示的形状，求绿化的面积为 平方米． 【变式训练5-3】西苑小区有一块长方形空地，现准备建一条马路，如图，有图①和图②两种设计方案，若图中，两种设计方案中图①马路总面积为，图②总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空）    【变式训练5-4】某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示． (1)问地毯至少需要多少米？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？ 题型六：平移作图题 【经典例题6】如图，在平面直角坐标系中，， (1)在图中画出∆ABC向右平移5个单位，向下平移2个单位后的． (2)写出点，，的坐标． (3)求∆ABC的面积． 【变式训练6-1】∆ABC在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将∆ABC向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 【变式训练6-2】如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知∆ABC，点D为边上一点，在方格纸内将∆ABC经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)写出与的位置和数量关系． 【变式训练6-3】如图，每个小正方形边长都为1，三角形ABC的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫做格点）． (1)过A点做所在直线的垂线段； (2)平移三角形，使点A平移到点E（点B平移到点F，点C平移到点G）画出平移后的三角形． 【变式训练6-4】如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点A平移至点． (1)在网格图中画出平移后的三角形；（点分别是的对应点）， (2)连接，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹） 【变式训练6-5】如图，将∆ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到． (1)画出，直接写出点的坐标为______； (2)的面积为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.4平移六大题型（一课一讲） 【人教版】 题型一：生活中的平移现象 【经典例题1】1．下列四幅图案中，能通过平移图案得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由平移的性质可知，不改变图形的形状、大小和方向，只有B选项符合要求， 【变式训练1-1】2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会在北京隆重开幕．此次冬奥会的吉祥物“冰墩墩”是熊猫形象与冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代以及面向未来的无限可能．在下面的四个冰墩墩图片中，能由左图经过平移得到的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：A、此图形不是通过平移得到的，故A不符合题意； B、此图形不是通过平移得到的，故B不符合题意； C、此图形是通过平移得到的，故C符合题意； D、此图形不是通过平移得到的，故D不符合题意； 【变式训练1-2】下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 【答案】A 【详解】解：A、飞机在地面上沿直线滑行，属于平移变换，符合题意； B、在游乐场里荡秋千，属于旋转变换，不符合题意； C、推开教室的门，属于旋转变换，不符合题意； D、风筝在空中随风飘动，不属于平移，不符合题意； 【变式训练1-3】下列运动属于平移的是（   ） A．抽屉的拉开 B．荡秋千的人的运动 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的运动 D．乒乓球被运动员高抛发出后球的运动 【答案】A 【详解】解：A、抽屉的拉开，是平移，故选项A符合题意； B、荡秋千的人的运动路线是曲线，不是平移； C和D中篮球和乒乓球运动路线是曲线，不是平移， 【变式训练1-4】下列运动属于平移的是（    ） A．空中放飞的风筝 B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程 D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行 【答案】D 【详解】解：A、空中放飞的风筝不是平移，不符合题意； B、乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式不是平移，不符合题意； C、篮球被运动员投出并进入篮筐的过程不是平移，不符合题意； D、茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行属于平移，符合题意； 【变式训练1-5】下列运动属于平移的是（    ） A．冷水加热过程中小气泡变成大气泡 B．乘电梯从一楼到十楼 C．随风飘动的树叶在空中的运动 D．钟表上走动的分针 【答案】B 【详解】解：A、冷水加热过程中小气泡变成大气泡不属于平移，故不符合题意； B、乘电梯从一楼到十楼属于平移，故符合题意； C、随风飘动的树叶在空中的运动不属于平移，故不符合题意； D、钟表上走动的分针不属于平移，故不符合题意； 题型二：图形的平移距离 【经典例题2】在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．    【答案】6 【详解】解：如图，点是一组对应点，，所以平移距离为6； 故答案为：6    【变式训练2-1】如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．    【答案】3 【详解】解：长方形平移到长方形的位置， 对应点B到的距离为：0-(-3)=3， ∴平移的距离是3， 【变式训练2-2】如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，若，，则 ．    【答案】2 【详解】∵，， ∴， 由平移的性质可知，， 【变式训练2-3】如图，∆ABC经过平移得到，连接，若cm，则点A与点A'之间的距离为 cm． 【答案】 【详解】解：∵∆ABC经过平移得到， cm, ∴cm, 【变式训练2-4】如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为25cm，则平移的距离为 cm． 【答案】4 【详解】设四边形ABFD的周长为 得 ∵根据平移的性质得AB=DE，且AB//DE ∴四边形ABED是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 【变式训练2-5】把边长分别为4和2的两个正方形、如图放置，把正方形沿着水平方向向左平移，正方形固定不动，当两个正方形重叠部分的面积为正方形面积的时，此时平移的距离是 ． 【答案】或 【详解】解：由题意可知：重叠部分的面积是，重叠部分的边长是2，另一边长是， 如图：当正方形在正方形右侧时，正方形移动的距离是， 当正方形在正方形左侧时，正方形移动的距离是， 故答案为：或． 题型三：利用平移求阴影部分的面积 【经典例题3】如图，将左边的正方形向右平移5个单位，两个正方形重合，则图中阴影部分的面积是（    ） A．5 B．25 C．50 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：由平移的性质可知，把左边正方形的阴影部分向右平移5个单位长度，与右边阴影部凑成一个完整的正方形， 所以阴影部分的面积． 【变式训练3-1】如图，将∆ABC平移后得到，设两个阴影部分面积分别为和，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵将∆ABC平移后得到， ∴ ∴． 【变式训练3-2】如图，在三角形中，，将三角形沿方向平移的长度得到三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．30 B．26 C．32 D．42 【答案】B 【详解】解：根据平移可得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴图中阴影部分的面积为， 【变式训练3-3】如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】22 【详解】解：由平移的性质得，，，， 为和的公共部分， 阴影部分的面积， ，， ， ， 阴影部分的面积为22． 【变式训练3-3】已知在直角三角形中，，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置（如图所示），其中点落在边的中点处，此时边与边相交于点D，如果，，那么四边形的面积 ． 【答案】72 【详解】解：由平移的性质可知，， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 【变式训练3-4】如图，将三角形平移得到三角形，若图中阴影部分面积与所有空白部分面积之比为，则阴影部分面积与三角形面积的比值为 ． 【答案】 【详解】解：设三角形面积为,阴影部分面积= 由题意可得三角形面积的空白面积为； 同理可得：三角形面积的空白面积为 有空白部分面积 ∵阴影部分面积与所有空白部分面积之比为 ∴ ∴ 题型四：利用平移的性质求重叠部分的面积 【经典例题4】如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移 ，再向下平移后到长方形的位置． (1)用的代数式表示长方形与长方形的重叠部分的面积，这时应满足怎样的条件？ (2)用的代数式表示六边形（阴影部分）的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，， 重叠部分的长为，宽为， 重叠部分的面积， ， ， 解得， 应满足的条件是：； （2）解：六边形（阴影部分）的面积为， ， ． 【变式训练4-1】∆ABC和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果∆ABC朝着某个方向平移后得如图②所示，则∆ABC平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)∆ABC平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 【答案】(1)∆ABC平移的方向沿方向，平移距离是；(2) 【详解】（1）解：由图可知，∆ABC平移的方向沿方向，平移距离是长， ， 平移距离是； （2）解：∵， ∴， ∵， ， 的面积． 【变式训练4-2】如图，长方形，，，若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形，试问： (1)长方形与长方形的面积是否相等？ (2)将长方形平移多长距离，能使两长方形的重叠部分的面积是？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴； （2）解：由平移的性质可得， ∵两长方形的重叠部分的面积是， ∴， ∴， ∴， ∴将长方形平移，能使两长方形的重叠部分的面积是． 【变式训练4-3】如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)①：3或9；②ⅰ）20；ⅱ） 【详解】（1）解：长方形的面积为30，边长为5． ， 点表示6； 故答案为：6； （2）解：当向左移动时，如图， ， ， 移动后的表示3； 当向右移动时，如图， ， 又 ， 移动后表示9， 故答案为：3或9； ②ⅰ）当向左移动时，如图， ， ， 当向右移动时，如图， ， ， 综上，， 故答案为：20； ⅱ）由题意知： 为线段的中点，点E在线段上，且， ，， 当向左移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当向右移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得； 综上，． 【变式训练4-4】探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 题型五：利用平移解决实际问题 【经典例题5】如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则 ． 【答案】 【详解】解：依题意有， 解得． 【变式训练5-1】如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】 【详解】 解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为：（米）， 【变式训练5-2】如图，某居民小区有一长方形土地，长米，宽米．居民想在长方形地内修筑宽均为米的小路，余下的部分做绿化，为了使草坪更美观，有人建议把道路修成如图所示的形状，求绿化的面积为 平方米． 【答案】 【详解】解：平移后，阴影部分是长为米，宽为米的矩形，则其面积为： （平方米）， ∴绿化的面积为平方米． 【变式训练5-3】西苑小区有一块长方形空地，现准备建一条马路，如图，有图①和图②两种设计方案，若图中，两种设计方案中图①马路总面积为，图②总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空）    【答案】 【详解】解：设马路的宽为x， 由平移的性质可得，， ∵， ∴， 【变式训练5-4】某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示． (1)问地毯至少需要多少米？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？ 【答案】(1)地毯至少需要11.6米(2)买地毯需要1044元 【详解】（1）解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米， ∴地毯的长度为（米）， 答：地毯至少需要11.6米； （2）解：地毯的面积为（平方米）， ∴买地毯至少需要（元）， 答：买地毯需要1044元． 题型六：平移作图题 【经典例题6】如图，在平面直角坐标系中，， (1)在图中画出∆ABC向右平移5个单位，向下平移2个单位后的． (2)写出点，，的坐标． (3)求∆ABC的面积． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）由图得：； （3）由图得：∆ABC的面积为：． 【变式训练6-1】∆ABC在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将∆ABC向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 【答案】(1)图见详解(2)2 【详解】（1）解：即为所求： （2）解：点A到的距离为2个单位长度， 故答案为：2． 【变式训练6-2】如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知∆ABC，点D为边上一点，在方格纸内将∆ABC经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)写出与的位置和数量关系． 【答案】(1)图见解析，平移方式：将∆ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将∆ABC先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． (2) 【详解】（1）解：如图，即为所画， 平移方式：将∆ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将∆ABC先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． （2）解：由平移的性质得，． 【变式训练6-3】如图，每个小正方形边长都为1，三角形ABC的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫做格点）． (1)过A点做所在直线的垂线段； (2)平移三角形，使点A平移到点E（点B平移到点F，点C平移到点G）画出平移后的三角形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， ． 【变式训练6-4】如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点A平移至点． (1)在网格图中画出平移后的三角形；（点分别是的对应点）， (2)连接，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹） 【答案】(1)见解析(2)见解析，， 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：作图如下所示： 由平移的性质可得， 故答案为：，． 【变式训练6-5】如图，将∆ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到． (1)画出，直接写出点的坐标为______； (2)的面积为______． 【答案】(1)画图见解析，(2)7 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∴点的坐标为； （2）解：的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$