期末模拟卷（A）2024-2025学年苏科版七年级数学上册期末模拟测试卷

终日不倦者，其唯学焉！ 期末模拟卷（A）2024-2025学年七年级数学上册模拟测试 考试范围：第一章~第六章；考试时间：90分钟 注意事项： 1、 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、 请将答案正确填写在答题卡上 第一卷（选择题） 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分。每小题所给四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．下列各数中，不是无理数的是（　　） A．π B． C．0.1010010001… D．π﹣3.14 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【解答】解：A、π是无理数，故本选项不合题意； B、是分数，属于有理数，故本选项符合题意； C、0.1010010001…是无理数，故本选项不合题意； D、π﹣3.14是无理数，故本选项不合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 2．已知单项式3am+1b与﹣bn﹣1a3可以合并同类项，则m，n分别为（　　） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，进行计算即可． 【解答】解：由题意得： m+1＝3，n﹣1＝1， ∴m＝2，n＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 3．下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（　　） A． B． C． D． 【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形． 【解答】解：A、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意； B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意； C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意； D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 4．仙河镇2023年3月某天最高气温是9℃，最低气温是﹣3℃，这一天的最高气温比最低气温高（　　） A．6℃ B．12℃ C．﹣12℃ D．﹣11℃ 【分析】根据题意列出算式，再运用有理数减法法则进行求解． 【解答】解：由题意得， 9﹣（﹣3）＝12（℃）． 故选：B． 【点评】此题考查了有理数减法的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算． 5．在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（　　） A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7 C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【分析】根据题意，可以用含a的代数式表示出各个位置上的数字，然后即可判断A、B、C，再将四个数相加，即可判断D． 【解答】解：由图可得， 右上角的数为a，则左上角的数字为a﹣1，左下角的数字为a+6，右下角的数字为a+7，故选项A、B、C均不符合题意， a+（a﹣1）+（a+6）+（a+7） ＝a+a﹣1+a+6+a+7 ＝4a+12 ＝4（a+3）， ∴方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 6．下列图形旋转一周，能得到如图几何体的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每一个几何体的特征判断即可． 【解答】解：A、将图形绕直线旋转一周，能得到如图的几何体，故A符合题意； B、将图形绕直线旋转一周，不能得到如图的几何体，故B不符合题意； C、将图形绕直线旋转一周，不能得到如图的几何体，故C不符合题意； D、将图形绕直线旋转一周，不能得到如图的几何体，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键． 7．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　） A．a＞b B．a＞﹣b C．﹣a＜b D．﹣a＞﹣b 【分析】根据题意可得a＜0＜b，且|a|＞|b|，然后进行逐一辨别． 【解答】解：由题意可得a＜0＜b，且|a|＞|b|， ∴a＜b，a＜﹣b，﹣a＞b，﹣a＞﹣b， ∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 【点评】此题考查了运用数轴表示实数大小的能力，关键是能正确理解相关知识，并能运用数形结合思想进行求解． 8．如图，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图中所有圆的周长的和是（　　） A．πa B．6πa C．10πa D．20πa 【分析】先从图中找出每个图中圆的面积，从中找出规律，再计算周长和． 【解答】解：根据图形发现： 第一个图中，圆的周长为πa； 第二个图中，所有圆的周长之和是2πa； 以此类推，则第3个图中所有圆的周长之和为3πa： 所以图中所有圆的周长的和是：πa+2πa+3πa＝6πa． 故选：B． 【点评】本题考查了列代数式，观察图形，即可发现这些图中，每一个图中的所有的圆周长和的规律． 第二卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，请直接将答案填写在答题卡相应位置） 9．若m与﹣2互为相反数，则m的值为　2　． 【分析】根据相反数的定义，直接得结论． 【解答】解：∵﹣2的相反数是2， ∴m＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了相反数的定义．理解相反数的定义，是解决本题的关键． 10．比较大小：﹣π　＜　﹣3．（填“＞”、“＝”、“＜”） 【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可． 【解答】解：∵π＞3， ∴﹣π＜﹣3， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了实数的大小比较法则的应用，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键． 11．科学家们测得光在水中的速度约为225000000米/秒，数字225000000用科学记数法表示为 　2.25×108　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：225000000＝2.25×108， 故答案为：2.25×108． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．若2am+1b2与﹣3a3bn是同类项，则m+n的值为 　4　． 【分析】根据同类项的定义可得：m+1＝3，n＝2，从而可得：m＝2，n＝2，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：∵2am+1b2与﹣3a3bn是同类项， ∴m+1＝3，n＝2， 解得：m＝2，n＝2， ∴m+n＝2+2＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 13．若x＝2是方程a﹣bx＝4的解，则3a﹣6b+1的值为 　13　． 【分析】首先将x＝2代入方程a﹣bx＝4之中得a﹣2b＝4，进而再将a﹣2b＝4整体代入3a﹣6b+1之中即可得出答案． 【解答】解：∵x＝2是方程a﹣bx＝4的解， ∴a﹣2b＝4， ∴3a﹣6b+1＝3（a﹣2b）+1＝3×4+1＝13． 故答案为：13． 【点评】此题主要考查了一元一次方程解的定义，求代数式的值，理解一元一次方程解的定义，熟练掌握求代数式的值的方法是解决问题的关键． 14．如图，点B，O，D在同一条直线上，若∠AOC＝90°，∠2＝116°，则∠1＝　26　°． 【分析】先根据平角的定义求出∠BOC＝64°，再根据∠AOC＝90°即可求出∠1的度数． 【解答】解：∵点B，O，D在同一条直线上， ∴∠2+∠BOC＝180°， ∵∠2＝116°， ∴∠BOC＝180°﹣∠2＝180°﹣116°＝64°， ∵∠AOC＝90°， ∴∠1＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣64°＝26°． 故答案为：26． 【点评】此题主要考查了平角的定义，角的计算，理解平角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 15．若m2﹣2m＝1，则3+2m2﹣4m的值是 　5　． 【分析】将多项式适当变形，利用整体代入的方法解答即可． 【解答】解：原式＝3+2（m2﹣2m） ＝3+2×1 ＝3+2 ＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，将多项式适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键． 16．定义：C是线段AB（5＜AB＜10）上的一点，若点C将AB分得的两条线段中，有一条线段的长与AB的长的和是10，则称点C是线段AB的“圆满分割点”．已知MN＝8，P、Q分别是线段MN、PN的“圆满分割点”，则QN的长是 　2或4　． 【分析】根据线段的“圆满分割点”的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵P是线段MN的“圆满分割点”，MN＝8， ∴PM＝2，PN＝6或PM＝6，PN＝2， ∵Q线段PN的“圆满分割点”， ∴PN＝6， ∴PQ＝4，QN＝2或PQ＝2，QN＝4， 综上所述：QN的长是2或4， 故答案为：2或4． 【点评】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键． 三．解答题（共9小题，共68分。17~21每题6分、22~23每题8分、24题10分、25题12分） 17．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算律进行简便计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【解答】解：（1） ＝﹣8×（）×6 ＝﹣48×（） ＝﹣48×（）﹣4848×（） ＝8﹣36+4 ＝﹣24； （2） ＝﹣1﹣[2﹣（﹣8）]×（） ＝﹣1﹣10×（） ＝﹣1 ． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 18．先化简，再求值：3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2）的值，其中x＝1，y＝﹣2． 【分析】去括号、合并同类项化简后代入求值即可． 【解答】解：3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2） ＝3y2﹣x2+4x2﹣6xy﹣3x2﹣3y2 ＝﹣6xy 当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣6×1×（﹣2）＝12． 【点评】本题考查整式的加减，去括号、合并同类项是整式加减的基本方法． 19．解方程： （1）3x+7＝32﹣2x． （2）． 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：（1）3x+7＝32﹣2x， 移项，得3x+2x＝32﹣7， 合并同类项，得5x＝25， 系数化成1，得x＝5； （2）， 去分母，得2（x+1）﹣8＝x， 去括号，得2x+2﹣8＝x， 移项，得2x﹣x＝8﹣2， 合并同类项，得x＝6． 【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 20．如图，点A、B、C均在格点上． （1）根据下列要求画图： ①找一格点P，使得BP∥AC； ②过点B作BQ⊥AC，垂足为Q． （2）在（1）的条件下，垂线段 　AQ　的长度就是点A到BQ的距离． 【分析】（1）①根据网格线的特征及平行线的性质作图； ②根据垂线的定义作图； （2）根据点到直线的距离的定义求解． 【解答】解：（1）如图所示： ①点P即为所求； ②点Q即为所求； （2）垂线段AQ的长度就是点A到BQ的距离， 故答案为：AQ． 【点评】本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特征、平行线的性质及点到直线的距离是解题的关键． 21．第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，为了迎接亚洲冬季运动会，现要修一条公路，甲工程队单独修需30天完成，乙工程队单独完成需要的天数是甲工程单独完成天数的少1天． （1）乙工程队单独完成需要多少天？ （2）若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条公路，求甲乙还需合作几天修完这条路？ 【分析】（1）设乙工程队单独完成需要x天，根据乙工程队单独完成需要的天数是甲工程单独完成天数的少1天．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲乙还需合作y天修完这条路，根据时间×工作效率＝工作量，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设乙工程队单独完成需要x天， 由题意得：x＝301， 解得：x＝20， 答：乙工程队单独完成需要20天； （2）设甲乙还需合作y天修完这条路， 由题意得：（5+y）y＝1， 解得：y＝10， 答：甲乙还需合作10天修完这条路． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 22．如图，直线AB、CD相交于点O，OC平分∠AOM，ON⊥CD，垂足为点O． （1）图中与∠COM互补的角是 　∠COB，∠AOD，∠DOM　； （2）∠MON与∠BON相等吗？请说明理由； （3）若∠AOM＝80°，求∠AON和∠MON的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠COM，然后利用平角定义可得∠AOC+∠COB＝180°，∠AOC+∠AOD＝180°，∠COM+∠DOM＝180°，从而利用等量代换可得∠COM+∠COB＝180°，∠COM+∠AOD＝180°，即可解答； （2）根据垂直定义可得∠CON＝90°，从而利用平角定义可得∠AOC+∠BON＝90°，然后利用等角的补角相等可得∠BON＝∠MON，即可解答； （3）先利用平角定义可得∠BOM＝100°，然后利用（2）的结论可得∠BON＝∠MON∠BOM＝50°，从而利用角的和差关系可得∠AON＝130°，即可解答． 【解答】解：（1）∵OC平分∠AOM， ∴∠AOC＝∠COM， ∵∠AOC+∠COB＝180°，∠AOC+∠AOD＝180°， ∴∠COM+∠COB＝180°，∠COM+∠AOD＝180°， ∵∠COM+∠DOM＝180°， ∴图中与∠COM互补的角是∠COB，∠AOD，∠DOM， 故答案为：∠COB，∠AOD，∠DOM； （2）∠MON＝∠BON， 理由：∵ON⊥CD， ∴∠CON＝90°， ∴∠AOC+∠BON＝180°﹣∠CON＝90°， ∵∠COM+∠MON＝90°， ∵∠AOC＝∠COM， ∴∠BON＝∠MON； （3）∵∠AOM＝80°， ∴∠BOM＝180°﹣∠AOM＝100°， ∵∠BON＝∠MON， ∴∠BON＝∠MON∠BOM＝50°， ∴∠AON＝∠AOM+∠MON＝130°， ∴∠AON的度数为130°，∠MON的度数为50°． 【点评】本题考查了垂线，余角和补角，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 23．如图，在正方体的顶点处分别填上﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5八个数中的一个数，使得每个面上的四个数相加的和都相等． （1）这个相等的和等于 　6　； （2）将图中的〇里填上数． 【分析】（1）利用最大的数5与最小的数﹣2和为3，﹣1与4的和为3，0与3的和为3，1与2的和为3，然后进行计算； （2）多次尝试来解决． 【解答】解：（1）5+（﹣2）+4+（﹣1）＝6， 故答案为：6； （2）正前方那个面：左上是﹣2，右上是5，左下是4，右下是﹣1， 后面那个面：左上是3，右上是0，左下是1，右下是2． 【点评】本题考查了认识立体图形，有理数的加法，学生需多次尝试去解决． 24．【问题背景】 如图1，小华在荡秋千，秋千底座从点A到点B的过程中，绳子的长度保持不变．在线段AC、MN、PQ中，长度最短的是 　线段PQ　． 【尝试说理】 我们将会学习不等式的一个性质：如果a+b＜a+c，那么b＜c．根据这个性质和学过的基本事实，可以证实上述结论． 连接OM、ON． 根据基本事实“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，　垂线段最短　”， 可得OQ＜ON． 再根据基本事实“　两点之间线段最短　”，可得ON＜OM+MN． 所以OQ＜ON＜OM+MN，即OP+PQ＜OM+MN． 又因为OP＝OM，所以PQ＜MN． 同理可得PQ＜AC． 【方法迁移】 图2是摩天轮的示意图，OA、OB是摩天轮的两根支架，OP、OM都是摩天轮的半径，且OP＝OM．MN⊥AB，PQ⊥AB，垂足分别为N、Q，PQ经过圆心O．小华发现PQ＞MN，请根据学过的基本事实，证实这个发现． 【分析】问题背景：由图形即可得到答案； 尝试说理：垂线段的性质，线段的性质即可得到答案； 方法迁移：由两点之间线段最短得到OM+OQ＞MQ，由垂线段最短得到：MQ＞MN，而PO＝OM，即可推出PQ＞MN． 【解答】解：问题背景：线段PQ， 故答案为：线段PQ； 尝试说理：垂线段最短，两点之间线段最短， 故答案为：垂线段最短，两点之间线段最短， 方法迁移：连接MQ， 由基本事实“两点之间线段最短”， 得到OM+OQ＞MQ， 根据基本事实“垂线段最短”， 得到：MQ＞MN， 因此OM+OQ＞MN， 因为PO＝OM， 所以PO+OQ＞MN， 因此PQ＞MN． 【点评】本题考查垂线段最短，线段的性质，关键是掌握垂线段最短，两点之间线段最短． 25．如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度选装，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（t的值在0到30之间，单位：秒）． （1）当t＝3时，求∠AOB的度数； （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值； （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）当t＝3时，∠AOM＝3×4＝12°，∠BON＝3×6＝18°，即得∠AOB＝150°； （2）根据题意，当∠AOB第二次达到60°时，可得4t+6t＝180+60，即可解得答案； （3）分两种情况：当射线OB与射线OA第一次夹角为90°时，可得4t+6t＝90，当射线OB与射线OA第二次夹角为90°时，可得4t+6t＝270，即可解得答案． 【解答】解：（1）当t＝3时，∠AOM＝3×4＝12°，∠BON＝3×6＝18°， ∴∠AOB＝180°﹣12°﹣18°＝150°， 答：∠AOB的度数是150°； （2）根据题意，当∠AOB第二次达到60°时， 4t+6t＝180+60， 解得t＝24， 答：当∠AOB第二次达到60°时，t的值是24秒； （3）存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°，理由如下： 当射线OB与射线OA第一次夹角为90°时，两条射线共旋转180°﹣90°＝90°， ∴4t+6t＝90， 解得t＝9； 当射线OB与射线OA第二次夹角为90°时，两条射线共旋转180°+90°＝270°， ∴4t+6t＝270， 解得t＝27， 综上所述，t的值是9秒或27秒． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/26 20:09:45；用户：464029419；邮箱：464029419@qq.com；学号：19718803 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$终日不倦者，其唯学焉！ 期末模拟卷（A）2024-2025学年七年级数学上册模拟测试 考试范围：第一章~第六章；考试时间：90分钟 注意事项： 1、 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、 请将答案正确填写在答题卡上 第一卷（选择题） 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分。每小题所给四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．下列各数中，不是无理数的是（　　） A．π B． C．0.1010010001… D．π﹣3.14 2．已知单项式3am+1b与﹣bn﹣1a3可以合并同类项，则m，n分别为（　　） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 3．下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（　　） A． B． C． D． 4．仙河镇2023年3月某天最高气温是9℃，最低气温是﹣3℃，这一天的最高气温比最低气温高（　　） A．6℃ B．12℃ C．﹣12℃ D．﹣11℃ 5．在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（　　） A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7 C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 6．下列图形旋转一周，能得到如图几何体的是（　　） A． B． C． D． 7．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　） A．a＞b B．a＞﹣b C．﹣a＜b D．﹣a＞﹣b 8．如图，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图中所有圆的周长的和是（　　） A．πa B．6πa C．10πa D．20πa 第二卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，请直接将答案填写在答题卡相应位置） 9．若m与﹣2互为相反数，则m的值为　 　． 10．比较大小：﹣π　 　﹣3．（填“＞”、“＝”、“＜”） 11．科学家们测得光在水中的速度约为225000000米/秒，数字225000000用科学记数法表示为 　 　． 12．若2am+1b2与﹣3a3bn是同类项，则m+n的值为 　 　． 13．若x＝2是方程a﹣bx＝4的解，则3a﹣6b+1的值为 　 　． 14．如图，点B，O，D在同一条直线上，若∠AOC＝90°，∠2＝116°，则∠1＝　 　°． 15．若m2﹣2m＝1，则3+2m2﹣4m的值是 　 　． 16．定义：C是线段AB（5＜AB＜10）上的一点，若点C将AB分得的两条线段中，有一条线段的长与AB的长的和是10，则称点C是线段AB的“圆满分割点”．已知MN＝8，P、Q分别是线段MN、PN的“圆满分割点”，则QN的长是 　 　． 三．解答题（共9小题，共68分。17~21每题6分、22~23每题8分、24题10分、25题12分） 17．计算： （1）； （2）． 18．先化简，再求值：3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2）的值，其中x＝1，y＝﹣2． 19．解方程： （1）3x+7＝32﹣2x． （2）． 20．如图，点A、B、C均在格点上． （1）根据下列要求画图： ①找一格点P，使得BP∥AC； ②过点B作BQ⊥AC，垂足为Q． （2）在（1）的条件下，垂线段 　 　的长度就是点A到BQ的距离． 21．第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，为了迎接亚洲冬季运动会，现要修一条公路，甲工程队单独修需30天完成，乙工程队单独完成需要的天数是甲工程单独完成天数的少1天． （1）乙工程队单独完成需要多少天？ （2）若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条公路，求甲乙还需合作几天修完这条路？ 22．如图，直线AB、CD相交于点O，OC平分∠AOM，ON⊥CD，垂足为点O． （1）图中与∠COM互补的角是 　 　； （2）∠MON与∠BON相等吗？请说明理由； （3）若∠AOM＝80°，求∠AON和∠MON的度数． 23．如图，在正方体的顶点处分别填上﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5八个数中的一个数，使得每个面上的四个数相加的和都相等． （1）这个相等的和等于 　 　； （2）将图中的〇里填上数． 24．【问题背景】 如图1，小华在荡秋千，秋千底座从点A到点B的过程中，绳子的长度保持不变．在线段AC、MN、PQ中，长度最短的是 　 　． 【尝试说理】 我们将会学习不等式的一个性质：如果a+b＜a+c，那么b＜c．根据这个性质和学过的基本事实，可以证实上述结论． 连接OM、ON． 根据基本事实“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，　 　”， 可得OQ＜ON． 再根据基本事实“　 　”，可得ON＜OM+MN． 所以OQ＜ON＜OM+MN，即OP+PQ＜OM+MN． 又因为OP＝OM，所以PQ＜MN． 同理可得PQ＜AC． 【方法迁移】 图2是摩天轮的示意图，OA、OB是摩天轮的两根支架，OP、OM都是摩天轮的半径，且OP＝OM．MN⊥AB，PQ⊥AB，垂足分别为N、Q，PQ经过圆心O．小华发现PQ＞MN，请根据学过的基本事实，证实这个发现． 25．如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度选装，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（t的值在0到30之间，单位：秒）． （1）当t＝3时，求∠AOB的度数； （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值； （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$